TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG TÀI LI U THAM KH O TOÁN CAO C P A4 - GI I TÍCH GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG N M H C: 2016 -2017 TRANG CH : http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG L I NịI U §TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017 Chúc m ng b n đƣ b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ i h c m cho em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch nh ng gi ng đ ng l n hƠng tr m Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia làm phân môn (hay g i h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn Bài t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vào cu i §ho c chuyên đ ch không theo (các bu i h c) Các t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c nên k t qu h c t p môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên ngành n m th 3, th (ho c th 5) Tuy nhiên, §trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k t p t i cu i h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) cu i §(Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c i h c, m t s video t p đ c đ a v i m c đích h ng d n em cách làm t p trình b y b c i h c Th y thi t k §trình v i l ch phát sóng s m đ em có c h i ti p c n s m v i ki n k n ng lƠm bƠi t p t t Hy v ng v i s chu n b s m t t, em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công vi c chu n b Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG b n Sinh viên ti n theo dõi §trình h c, Th y thi t k §trình đƠo t o đ c đánh mƣ s chi ti t theo phơn đo n đ n v ki n th c tu n t đ em d dàng theo dõi Các em có th vƠo đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b §trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 T i b c Ph thông, em h c m t §trình Toán nh t đ i v i Toán Cao C p s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng kh i ngành h c Tr ng i v i kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh , §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Toán A1: i s n tính o Toán A2: Gi i tích o Toán A3: Gi i tích o Toán A4: Gi i tích  i v i kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán B g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Toán B1: i s n tính o Toán B2: Gi i tích  i v i kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng, Lu t ho c Qu n tr kinh doan §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán C g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Toán C1: i s n tính o Toán C2: Gi i tích  T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đƣ đ c b trí v i n i dung chi ti t cho t ng kh i ngành thông qua h th ng video gi ng giáo trình đ y đ c ng nh tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i t p cho c Toán A, Toán B vƠ Toán C i kèm lỦ thuy t c b n m t kho d li u kh ng t p đ c t ng h p t thi gi a cu i H c k n m g n đơy c a kh i ngành:  Toán A1, A2, A3 A4: h n 3500 bƠi t p Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG  Toán B1 B2: g n 2000 bƠi t p  Toán C1 C2: g n 2000 bƠi t p Các t p tr ng y u đ c quay Video kèm l i gi i giúp em ôn t p d dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng xác Th y vƠ đ i ng Supper Mods (c ng đ u Gi ng viên d y i h c) r t vui đ c trao đ i di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu l v n d ng sáng t o ! mđ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG M CL C PH N I PH §1 PH NG TRỊNH VI PHÂN .8 NG TRỊNH VI PHÂN C P I ic ng v ph ng trình vi phơn c p Ph ng trình phơn ly .9 Ph ng trình thu n nh t 10 Ph ng trình khuy t bi n 10 Ph ng trình n tính 12 Ph ng trình Bernoulli .14 Ph ng trình vi phơn toƠn ph n 15 §2 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI 17 ic ng v ph ng trình vi phơn c p 17 Ph ng trình khuy t .18 Ph ng trình n tính thu n nh t 19 Ph ng trình n tính không thu n nh t 21 Ph ng trình n tính có h s không đ i .23 §3 H PH ic NG TRỊNH VI PHÂN 30 ng 30 Cách gi i h ph ng trình vi phơn 30 PH N II LÝ THUY T CHU I .32 §1 IC NG V H CHU I S 32 Chu i s 32 Tính ch t 33 §2 CHU I S D NG 34 nh ngh a 34 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Các đ nh lý so sánh 34 Các tiêu chu n h i t 35 §3 CHU I S CÓ D U V I H NG T B T K .39 Chu i v i s h ng có d u b t k 39 Chu i đan d u 39 Tính ch t c a chu i h i t t đ i 40 §4 CHU I HÀM S .42 Chu i hàm s h i t 42 Chu i hàm s h i t đ u 42 Tính ch t c a chu i hàm s h i t đ u 43 §5 CHU I L Y TH A 45 nh ngh a 45 Các tính ch t c a chu i l y th a 47 Khai tri n thành chu i l y th a .48 Khai tri n m t s hàm s s c p c b n 49 §6 CHU I FOURIER .52 Chu i l ng giác chu i fourier 52 i u ki n đ hàm s khai tri n thành chu i Fourier 53 Khai tri n hàm ch n l .54 PH N III PH §1 PHÉP BI N NG PHÁP TOÁN T LAPLACE .57 I LAPLACE VÀ PHÉP BI N I LAPLACE NG C .57 Phép bi n đ i Laplace 57 nh ngh a 57 Tính ch t c a phép bi n đ i Laplace .58 Phép bi n đ i Laplace ng §2 PHÉP BI N c 60 I C A BÀI TOÁN V I GIÁ TR BAN U .64 Phép bi n đ i c a đ o hàm 64 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Nghi m c a toán giá tr ban đ u H qu Phép bi n đ i c a đ o hàm b c cao 64 H ph ng trình vi phơn n tính 66 Nh ng k thu t bi n đ i b sung .67 §3 PHÉP T NH TI N VÀ PHÂN TH C N GI N 69 M đ u .69 Quy t c phân th c đ n gi n .69 S c ng h §4 ng nhân t tích l p b c 70 O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BI N I 72 M đ u .72 Tích ch p c a hai hàm .72 Vi phân c a phép bi n đ i .73 Tích phân c a phép bi n đ i 75 Phép bi n đ i c a hàm liên t c t ng khúc .75 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG PH N I PH NG TRÌNH VI PHÂN Ph ng trình vi phơn lƠ ph ng trình có d ng F(x, y, y', y", , y(n)) = 0, x lƠ bi n đ c l p, y = y(x) hàm ph i tìm, y', , y(n) lƠ đ o hàm c a C p cao nh t c a đ o hƠm có ph ng trình, g i c p c a ph trình Giáo trình ch xét ph ng trình c p Nghi m c a ph ng trình vi phơn lƠ m i hàm s th a mƣn ph Nghi m c a ph ng trình có th tìm đ cd i d ng t ng ng trình đƣ cho ng minh y = y(x), ho c d ng tham s x = x(t); y = y(t); ho c d ng n (x,y) = §1 PH ic ng v ph NG TRỊNH VI PHÂN C P I ng trình vi phơn c p nh ngh a Ph ng trình vi phơn c p lƠ ph ng trình d ng F(x,y,y') = N u t ph ng trình đƣ cho gi i đ c theo y' ph ng trình có d ng y' = f(x,y) Bài toán Cauchy Là toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y) th a mƣn u ki n y(x0) = y0, (x0, y0) giá tr cho tr c Bài toán Cauchy đ c vi t  y'  f  x, y  1   y x  x  y0   i u ki n (2) g i lƠ u ki n ban đ u, hay u ki n Cauchy nh lý t n t i nh t nghi m Xét toán Cauchy (1), (2) Gi s f(x,y) liên t c D  ,  x , y0   D Khi đó, m t lân c n nƠo c a x0, toán Cauchy (1), (2) có nghi m N u có thêm u ki n f y'  x, y  liên t c D, nghi m nh t Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Nghi m t ng quát Ta g i ghi m t ng quát c a ph ng trình y' = f(x,y) lƠ hƠm s y  (x,C) , C lƠ h ng s tùy ý, th a mƣn u ki n sau: a) Hàm s y  (x,C) th a mƣn ph ng trình đƣ cho v i m i giá tr c a C b)   x , y0   D , v i D mi n mƠ u ki n t n t i nh t nghi m đ c th a mƣn, tìm đ c giá tr c a h ng s C  C0 , cho nghi m y  (x,C0) th a mƣn u ki n ban đ u (2) Nghi m riêng, tích phân riêng N u công th c nghi m t ng quát ho c tích phân t ng quát, ta cho C giá tr c th C0, nghi m nh n đ c g i nghi m riêng ho c tích phân riêng Nghi m k d Có th t n t i nghi m không n m h nghi m t ng quát Nh ng nghi m nh v y g i nghi m k d Ph ng trình phơn ly LƠ ph ng trình d ng f(x)dx + g(y)dy = Cách gi i: Tích phân hai v ph ng trình, đ G i F(x) vƠ G(y) lƠ nguyên hƠm t ph ng c  f (x)dx  g(y)dy  C ng ng, tích phân t ng quát c a trình F(x) + G(y) =C Ví d : Gi i ph   ng trình ex  ydx   y  1 dy  Gi i: N u y  , chia hai v cho y, đ hai v ,đ    1 c e x  dx  1   dy  Tích phân  y c ex  x  y  ln y  C Ngoài ra, y(x)  c ng lƠ nghi m Nghi m không n m h nghi m t ng quát, nên nghi m k d Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Ph ng trình thu n nh t LƠ ph y ng trình có d ng y'  f   x Cách gi i: đƣ cho,đ t y = tx o hƠm theo x, đ c y' = xt' + t Th vƠo ph c xt '  f  t   t N u f  t   t  , chia hai v cho x(f(t) - t) đ ng trình c y   dt dx dt dx     ln x    t   ln C  x  Ce  x  f t  t x f t  t x  t  N u f(t)  t, y' = y/x Nghi m t ng quát y = Cx N u t n t i t0 cho f(t0) = t0 th tr c ti p, th y y = t0x nghi m riêng Ví d : Gi i ph ng trình y'  xy xy Gi i: Chia t m u cho x, d th y đơy lƠ ph đ c ng trình thu n nh t t y = tx, 1 t 1 t 1 t2 dx  t  xt '  t    xt '  t  dt 1 t 1 t 1 t x  t2 Tích ph n x y Ph hai v , đ c ln x  arctan t  ln(1  t ) + lnC V y  y arctan   x  Ce ng trình khuy t bi n a) Ph ng trình khuy t y D ng ph + N u gi i đ ng trình lƠ F(x,y') = c y' = f(x) nghi m t ng quát y =  f  x  dx + C Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 10 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG §2 PHÉP BI N I C A BÀI TOÁN V I GIÁ TR BAN U Phép bi n đ i c a đ o hƠm nh lý Cho f(t) liên t c vƠ tr n t ng khúc v i t≥0 vƠ lƠ b c m t +∞ , t c t n t i h ng s không âm c, M T tho mãn: f  t   Mect , t  T Khi t n t i (2.1)  f '(t ) v i s > c có:  f ' t   s  f t   f  0  sF (s)  f (0) Ch ng minh:   f '  t    e  st  f '  t dt   e df  t   e  st  st  f (t ) |  s  e  st f (t )dt  0 ct t   s>c Do f  t   Me , t  T  e st f (t )    st T đ nh lí (bài 1)   e f  t dt h i t v i s>0 T  f ' s   s  f  s   f  0 nh ngh a HƠm f đ c g i lƠ tr n t ng khúc [a;b]  kh vi [a;b] tr h u h n m vƠ f’(t) liên t c t ng kh c [a;b] Nghi m c a bƠi toán giá tr ban đ u H qu Phép bi n đ i c a đ o hƠm b c cao ( n 1) liên t c vƠ tr n t ng khúc v i t Gi s r ng hàm s f , f ', , f b c m t Khi t n t i  f   t   s  f t   s n n n 1  f   t  v n i s>c có f (0)  s n 2 f '(0)   f   s n F ( s)  s n 1 f (0)  s n 2 f '(0)   f  n 1 n 1 (0) (0) Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 64 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Ví d S d ng đ nh lý 1, ch ng minh r ng t e   n at n! s  a  n 1 , n  1, 2,3, Ch ng minh b ng quy n p +) n=1: f (t )  teat  f '(t )  ateat  eat  sF ( s)  f (0)  aF ( s)  t e   k at +) n=k: t +) k 1 at e k! s  a  k 1   ska1 t e   ska1 k at Ví d Gi i ph 1  F ( s)  sa s  a   k  1! k!  k 1  s  a   s  a k  ng trình: x" x ' x  v i u ki n x(0)=2,x’(0)=-1 x ' t   sX(s)  Ta có: x"t   s X  x  sx(0)  x '(0)  s Thay vƠo ph X ( s )  2s  ng trình đƣ cho có: (s X(s)  2s  1)   sX( s)    X( s)    s  s   X  s   2s   X(s)= Do 2s  2s  3    s  s   s  a  s   s  s  1 3t 2t   at    e nên có x  t   e  e nghi m c a toán giá tr ban 5 s  a  đ u Ví d Gi i toán v i u ki n ban đ u: x" x  sin 3t , x(0)  x '(0)  T u ki n ban đ u có: Ta có: sin 3t  x"t   s X(s)  sx(0)  x '(0)  s X(s) 2 s  32 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 65 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Thay vào ta có: s X (s)  X (s)  As  B Cs  D 3     X s ( ) 2 s2     s s s 4       s  9 ng nh t h s ta có A=C=0, B=3/5, D=-3/5, X ( s)  3  10 s  s  sin 2t  Do , s 4 sin 3t  3 x  t   sin 2t  sin 3t nên ta có s 3 10 Nh n xét: Nh v y ph ng pháp bi n đ i Laplace cho l i gi i tr c ti p tìm nghi m c a toán giá tr ban đ u mà không c n phân bi t lƠ ph ng trình vi phân thu n nh t không thu n nh t H ph ng trình vi phơn n tính Phép bi n đ i Laplace có kh n ng bi n đ i h ph thành m t ph ng trình đ i s n tính Ví d Gi i h ph ng trình vi phơn n tính ng trình vi phơn n tính 2 x"  6 x  y v i u ki n ban đ u x  0  x '  0  y  0  y '  0    y "  x  y  40sin 3t T u ki n ban đ u có: T Do ng t x"t   s X(s)  sx(0)  x '(0)  s X(s) 2  y"t   s Y(s) sin 3t  , thay vào h ph s 9 ng trình có h ph ng trình sau:  s  3 X ( s)  Y( s)  2s X ( s)  6 X ( s)  2Y( s)    120   120  s Y( s)  X ( s)  2Y( s)  2 X ( s)   s   Y( s)  s 9   s 9 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 66 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG  s  3 1 s 2 1  120 s2   2   s  1 s   s2  1 120  2 s 2 s 9 Do X ( s)  2  2 120  s2  120( s  3) s2  120    2  s2  4 s  9 s  1 s  s  s  Do x  t   5sin t  sin 2t  sin 3t T ng t có Y( s)  s 120  s  3   s   s  1 2  10 18   s 1 s  s  nên có y(t )  10sin t  4sin 2t  6sin 3t Nh ng k thu t bi n đ i b sung nh lý Phép bi n đ i c a tích phân N u f(t) liên t c t ng khúc v i t b c m t t    f   d   0  s 1 Hay là:  f  t   F s(s)  F ( s)      f   d    s  0 t t v i s>c 1 F   d Ch ng minh: t +) f liên t c t ng khúc  g  t    f   d liên t c, tr n t ng khúc v i t t t 0 có g  t    f   d  M  ec d  M ct M ct e  1  e  C C Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 67 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG  g  t  hàm b c m t +) S d ng đ nh lý ta có Do g(0)=0 nên ta có  f t   g ' t   s g t   g (0) t    f  d   0  g  t   1s  f t  Ví d Tìm ngh ch đ o c a phép bi n đ i Laplace c a G( s)  Ta có   1     s  s  a     t 1  s  a       s    1 s (s  a ) a   a  d   e d   e  1 a s  a  t T vƠ ti p t c có   1     s  s  a      t 1  s  a       s    t 1 t   a 1   (e  1)d    e a       d    a  a  a  s(s  a )  at  e  at  1 a2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 68 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG §3 PHÉP T NH TI N VÀ PHÂN TH C N GI N M đ u Ph ng trình vi phơn n tính v i h s h ng có nghi m bi n đ i Laplace ngh ch đ o c a hàm h u t R  s   P s Q s C n đ a k thu t cho phép tính 1 R  s  đ c thu n l i Quy t c phơn th c đ n gi n a) Quy t c Phân th c đ n gi n n tính N u Q(s) có (s-a)n R(s) có s h ng sau: An A1 A2    , Ai  i, i  1, n n s  a s  a  s  a  b) Quy t c Phân th c đ n gi n b c  N u Q(s) có  s  a 2  b2 As  B1 s  a  b   n R(s) có d ng: A2 s  B2  s  a   b2    2   An s  Bn  s  a   b    Ai , Bi  i, i  1, n n nh lý Bi n đ i tr c s N u F ( s)   f t  t n t i v i s>c, t n t i e f t   F  s  a    f t  s  a  at Hay t ng đ ng v i 1 F  s  a   e f t   e at at 1 F  s t  Ch ng minh:  Ta có: F  s  a    e   s  a t  f  t  dt   e st e at f  t   dt  e f t  , s  a  c at Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 69 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG T k t qu có: f(t) F(s) eat t n n! s  a  ,s  a sa eat cos(kt ) s  a  eat sin(kt )  k2  k2 k s  a  Ví d Tìm phép bi n đ i Laplace ng R( s)  n 1 (2.1) ,s  a (2.2) ,s  a (2.3) s2  c c a R( s)  s  s  8s s2  A B C    s  s   s   s s  s  s   A s   s    Bs ( s  4)  Cs ( s  2) Thay s=0, s=-2, s=4 ta có: -8A=1, 12B=5, 24C=17  A  1 17 , B  ,C  12 24 1 17   s 12 s  24 s  1 e 4t R  s   81  125 e2t  17 24 R( s)  S c ng h ng vƠ nhơn t tích l p b c Hay dùng hai phép bi n đ i Laplace ng tr ng h p phân tích l p b c hai c c a hàm phân th c đ n gi n Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 70 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG 1   s   t sin kt ;   2 k   s  k   1         sin kt  kt cos kt  2   s  k   2k Ví d S d ng phép bi n đ i Laplace đ g i toán v i giá tr ban đ u x" 02 x  F0 sin t; x(0)   x '(0) 2 Tác đ ng phép bi n đ i Laplace vào có s X  s   0 X (s)  X ( s)  N u F0 s  2 F0 F0  1    ,   0  tìm đ   s    s  02    02  s2  02 s    = ta có X ( s)  c x(t) F00 F x(t )   sin 0t  0t cos 0t  2 20  s  0  Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 71 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG §4 O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BI N I M đ u Phép bi n đ i Laplace c a nghi m c a m t ph c a bi n đ i c a hai hƠm đƣ bi t ng trình vi phơn lƠ tích Ch ng h n, xét toán v i giá tr ban đ u x" x  cos t; x(0)  x '(0)  Tác đ ng phép bi n đ i Laplace ta có: s X ( s)  sx(0)  x '(0)  X ( s)  M t khác ta có Do s s  X ( s)   s 1 s 1 s 1 cos t sin t  cos t sin t s 1     sin 2t   2 s   s  12 2  s 2 cos t sin t  cos t sin t Rõ ràng r ng, đ gi i đ c toán trên, ta c n tìm hàm h(t) cho h t   cos t sin t Tích ch p c a hai hƠm nh ngh a Tích ch p đ i v i phép bi n đ i Laplace c a hàm f,g liên t c t ng khúc đ c đ nh ngh a v i nh sau: t  f * g  t    f   g  t    d , t  0 Tích ch p giao hoán Ví d Tính (cos t)*(sin t) Ta có: Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 72 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG t t sin t  sin  2  t   d 2  cos t  *  sin t    cos sin  t      t 1 1 1     sin t  cos  2  t    t sin t  cos t  cos  t    t sin t 2 2  0   nh lí Gi s f(t), g(t) liên t c t ng khúc v i t 0; f  t  , g  t  b ch n b i s M,c không âm Mect t  f t  * g (t )   f t  g t  Khi ta có 1 F  s  G(s)  f (t )* g (t ) Ch ng minh:  Có G  s    e  su u t   e g (u )du   s ( t  ) g (t   )dt Do G  s   e s  e  st g (t   )dt V i g(u) uc s  d d Do F '(s)   e st f (t )dt  (e st f (t ))dt  e st  tf (t )  dt  ds ds 0 Ta có ch ng minh 3.3 b ng ph tf t   F '(s) ng pháp quy n p toán h c th t v y, n=1, ta có: t f t    1 k Gi s n=k, t c có tf t  k F k  s  Ta ch ng minh v i n=k+1, th t v y t k 1 f  t   t.t f t    dsd t f t    dsd  1 k t Ví d Tìm k k F k  s     1 k 1 F k 1 s sin kt T 3.3 ta có   d2  k  d2 k d  2ks  6ks  2k t sin kt   1 ds  s  k2   ds s  k2  ds  2   2  s  k   s  k  2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 74 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Tích phơn c a phép bi n đ i nh lí Cho f(t) liên t c t ng khúc đ i v i t≥0,  lim t 0 t +∞, s M, c không âm có 1  f (t )  F  s   t 1  f (t ) , f (t )  Mect t  f t        F   d s>c t   s     F  d  0  4.1 4.2 Ch ng minh:   st T gi thi t   e f (t )dt h i t t đ i vƠ đ u, s>c     t   F  d  e f ( t ) dt Ta có :      d   s s0   T đ i th t l y tích phân ta có :   t    t  e F d e f t d dt ( )          s s  0 0 t    Ví d Tìm Ta có tlim 0   sinht     t  s   s  f (t )dt   e  st f (t ) dt  t  f t      t   sinh t     t  sinh t cosh t  lim 1 t 0 t    d 1     1 s 1 ln   sinh t d      d  ln      s 1 1 2         s s s  sinh t  s     ln  t  s 1 Phép bi n đ i c a hƠm liên t c t ng khúc a) tv nđ Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 75 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Các mô hình toán h c h c h c hay h n tr ng liên quan đ n hàm không liên t c t ng ng v i l c bên b t ng đ o chi u b t hay t t HƠm đ n gi n b t, t t hàm b c thang đ n v t i t=a (hàm Heaviside) ta 0 ua (t )  u (t  a )   1 ta b) Phép t nh ti n tr c t nh lí N u  f  t  t n t i v i s>c, có u t  a  f t  a   e  as F (s)  e as  f 5.1 1 e -as F (s)  u  t  a  f (t  a )  u(t  a ) 1 F t  a  s>c+a 5.2 Ch ng minh:   s (  a ) f   d Ta có: e F ( s)   e  as   st a ta có e F ( s)   e f (t  a )dt  as i bi n t= ta 0  f (t  a ) Do u  t  a  t  a    ta   st Nên có e F (s)   e u (t  a ) f (t  a )dt   as u (t  a ) f (t  a ) Ví d Cho f (t )  t Tính T 5.2 có 1  e-as     u (t  a ) s  1 1  e-as    s  1   (t  a )  u (t  a )  t  a  s  Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 76 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG 0   1 t  a   2 t  a  t  a Ta có m t s b ng tra c u t ng h p t bƠi toán đƣ cho: f(t)  f t  s  eatf(t)  f t  s  a  u(t-a)f(t-a) tnf(t) (f*g)(t) f t  t f(n)(t)  1   f  t   d s sn  f t  s   s n 1 1 F(s)  t Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 f  0  s n2 f '(0)   f  n 1 (0)  f  t   s  s F(s)  f  t   s    f ( )d dn ds n n  f t  s  g t  s  t  f t  s  e e as F  s t  1 F '  s   t  77 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG F(s) F(s-a) 1 t     F  d   t  s  F  s t  eat 1 e as F (s) u(t  a ) 1 F(s)G(s)  F  s * G  s  t  F (s) s 1 F  s t  a  1 t  F  s   d 1 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 78