BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUYẾT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CARISTI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUYẾT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CARISTI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hà Đức Vượng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Quyết Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Mở rộng định lý điểm bất động Caristi tự làm Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Quyết Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Định lý điểm bất động Caristi 16 1.3 Nguyên lý biến phân Ekeland 24 Mở rộng định lí điểm bất động Caristi 27 2.1 Định lý điểm bất động Caristi mở rộng 27 2.2 Ứng dụng 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực ∅ Tập rỗng T :X→X Ánh xạ T từ không gian X vào không gian X (X, d) Không gian metric d(x, y) Khoảng cách hai phần tử x y C[a,b] Tập hàm số liên tục đoạn [a, b] Γ Họ hàm cộng tính, liên tục gốc ψ(x) Họ hàm liên tục bị chặn ✷ Kết thúc chứng minh Mở đầu Lí chọn đề tài Một tập hợp khác rỗng X tùy ý ánh xạ T : X → X , có phần tử x0 ∈ X thỏa mãn T x0 = x0 x0 gọi điểm bất động ánh xạ T X Ví dụ ánh xạ T : R → R xác định T x = ex − Khi x = điểm bất động T R Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên Lý thuyết điểm bất động (fixed point theory) Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung toán học nói riêng Các kết điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX , Định lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Năm 1976, Caristi công bố kết quan trọng điểm bất động sau: Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] nửa liên tục bị chặn Ánh xạ T : X → X thỏa mãn d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X Khi T có điểm bất động X Sau nhiều nhà toán học nghiên cứu có kết mở rộng định lý D Downing, W A Kirk (1977), J S Bae, E W Cho, S H Yeom (1994), W.A Kirk (2009), A Amini - Harandi (2010) Năm 2013, nhà toán học người Hàn Quốc Seong-Hoon Cho mở rộng định lý điểm bất động Caristi ứng dụng định lý vào nguyên lý biến phân Ekeland định lý phần tử cực đại Kết công bố báo: " Some generalizations of Caristi’s fixed point theorem with applications " đăng tạp chí Internatinal Journal of Mathematics [4] Với mong muốn tìm hiểu sâu định lý điểm bất động Caristi kết mở rộng nó, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: "Mở rộng định lý điểm bất động Caristi" làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định lý điểm bất động Caristi, kết mở rộng định lý điểm bất động Caristi Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại kết điểm bất động Caristi kết mở rộng định lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu " Mở rộng định lý điểm bất động Caristi " dựa báo "Some generalization of Caristi’s fixed point theorem with applila- tions" S H Cho (2013) [4] Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu Đóng góp luận văn Qua đề tài xây dựng luận văn tổng quan mở rộng định lý điểm bất động Caristi Luận văn gồm hai chương nội dung: Chương 1, Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức không gian metric, định lý điểm bất động Caristi nguyên lý biến phân Ekeland Chương 2, Mở rộng định lý điểm bất động Caristi Trong chương trình bày định lý điểm bất động Caristi mở rộng Sau đó, trình bày nguyên lý biến phân kiểu Ekeland định lý phần tử cực đại cho ánh xạ đa trị xem ứng dụng định lý điểm bất động Caristi mở rộng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức không gian metric, không gian metric đầy đủ với ví dụ phản ví dụ minh họa Cuối trình bày định lý điểm bất động Caristi nguyên lý biến phân Ekeland không gian metric 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [3] Một tập hợp X = ∅, ánh xạ d:X ×X →R gọi metric, d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi cặp (X, d) gọi không gian metric Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm không gian 27 Chương Mở rộng định lí điểm bất động Caristi Trong chương trình bày định lý điểm bất động Caristi mở rộng Sau đó, trình bày nguyên lý biến phân kiểu Ekeland định lý phần tử cực đại cho ánh xạ đa trị, xem phần ứng dụng định lý Caristi mở rộng 2.1 Định lý điểm bất động Caristi mở rộng Kí hiệu 2.1.1.[4] Ta kí hiệu Γ họ tất hàm γ : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn γ hàm cộng tính γ hàm liên tục γ −1 (0) = Nhận xét 2.1.1 Nếu γ ∈ Γ γ liên tục [0, ∞) Nếu d metric tập hợp khác rỗng X , γ ∈ Γ γ ◦ d 28 metric X Đặc biệt {xn } dãy Cauchy không gian metric (X, d) dãy Cauchy không gian metric (X, γ ◦d) Kí hiệu 2.1.2.[4] Cho (X, d) không gian metric Ta kí hiệu Ψ(X) họ tất ánh xạ ψ :X ×X →R thỏa mãn Tồn xˆ ∈ X cho ψ(ˆ x, ) hàm nửa liên tục bị chặn ψ(x, y) + ψ(y, z) ≤ ψ(x, z), ∀x, y, z ∈ X Khi ta kí hiệu Ψ (X) họ tất ánh xạ ψ ∈ Ψ(X) cho ψ(x, x) = 0, ∀x ∈ X Định lý 2.1.1 [4] Cho (X, ≤) tập thứ tự phận hàm φ : X × X → R thỏa mãn: Mọi dãy không giảm X dãy bị chặn Tồn xˆ ∈ X cho φ(ˆ x, ) hàm không giảm Khi đó, với x0 ∈ X, ∃x∗ ∈ X với x0 ≤ x∗ cho x∗ ≤ x ta có φ(ˆ x, x) = φ(ˆ x, x∗ ) Chứng minh Thật vậy, ta đặt α(x) = φ(ˆ x, x), ∀x ∈ X với xˆ ∈ X cho φ(ˆ x, ) hàm không giảm 29 Theo nguyên lý Brezis-Browder với x0 ∈ X, ∃x∗ ∈ X : x0 ≤ x∗ ≤ x Suy φ(ˆ x, x) = φ(ˆ x, x∗ ) Định lý 2.1.2 [4] Cho (X, d) không gian metric, γ ∈ Γ ψ ∈ Ψ(X) Trên X ta xây dựng quan hệ thứ tự sau: x ≤γ y ⇔ γ(d(x, y)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, y) (2.1) ∀x, y ∈ X xˆ ∈ X cho ψ(ˆ x, ) hàm nửa liên tục bị chặn Khi (X, ≤γ ) tập thứ tự phận có phần tử cực đại Chứng minh Trước tiên ta chứng minh ≤γ quan hệ thứ tự phận X Thật vậy, ∀x ∈ X ta có γ(d(x, x)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, x) = Vậy x ≤γ x ∀x, y ∈ X , giả sử x ≤γ y ta có γ(d(x, y)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, y) 30 y ≤γ x ta có γ(d(y, x)) ≤ ψ(ˆ x, y) − ψ(ˆ x, x) Vậy, ta có γ(d(x, y)) + γ(d(y, x)) ≤ Ta suy d(x, y) = hay x = y Vậy x ≤γ y y ≤γ x x = y Cuối ta xét ∀x, y, z ∈ X , giả sử x ≤γ y y ≤γ z ta có γ(d(x, y)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, y), γ(d(y, z)) ≤ ψ(ˆ x, y) − ψ(ˆ x, z) Suy γ(d(x, y)) + γ(d(y, z)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, z) Từ tính cộng tính hàm γ ta có γ(d(x, z)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, z) Hay x ≤γ z Vậy x ≤γ y , y ≤γ z x ≤γ z Do ta có (X, ≤γ ) tập thứ tự phận Đặt φ(ˆ x, x) = −ψ(ˆ x, x), ∀x ∈ X Vì ψ hàm nửa liên tục bị chặn nên φ(ˆ x, ) hàm nửa liên tục bị chặn Nếu x, y ∈ X mà x ≤γ y ta có ≤ γ(d(x, y)) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, y) 31 Ta suy φ(ˆ x, y) ≥ φ(ˆ x, x) Vậy φ(ˆ x, ) hàm không giảm X Bây ta lấy dãy {xn } ⊂ X , dãy không giảm Khi ta có dãy {φ(ˆ x, xn )} dãy không giảm, bị chặn R Do dãy {φ(ˆ x, xn )} hội tụ suy dãy {φ(ˆ x, xn )} dãy Cauchy Với n ≤ m, ta có xn ≤γ xm Vậy ta có γ(d(xn , xm )) ≤ ψ(ˆ x, xn ) − ψ(ˆ x, xm ) Ta suy γ(d(xn , xm )) ≤ φ(ˆ x, xm ) − φ(ˆ x, xn ) (2.2) Vậy dãy {xn } dãy Cauchy (X, γ ◦ d), {xn } dãy Cauchy (X, d) Vì X không gian đầy đủ nên ∃x ∈ X cho lim xn = x n→∞ Mặt khác, φ(ˆ x, ) hàm nửa liên tục nên ta có lim φ(ˆ x, xm ) ≤ φ(ˆ x, x) m→∞ Trong bất đẳng thức (2.2) cho m → ∞ ta có γ(d(xn , x)) ≤ lim φ(ˆ x, xm ) − φ(ˆ x, xn ) m→∞ ≤ φ(ˆ x, x) − φ(ˆ x, xn ) = ψ(ˆ x, xn ) − ψ(ˆ x, x) Do xn ≤γ x, ∀n ∈ N nên dãy {xn } dãy bị chặn 32 Theo định lý 2.1.1 với x0 ∈ X, ∃x∗ ∈ X với x0 ≤γ x∗ cho x∗ ≤γ x ⇒ φ(ˆ x, x) = φ(ˆ x, x∗ ) (2.3) Vì x∗ ≤γ x, theo cách xây dựng quan hệ thứ tự ta có γ(d(x∗ , x)) ≤ ψ(ˆ x, x∗ ) − ψ(ˆ x, x) = φ(ˆ x, x) − φ(ˆ x, x∗ ) Kết hợp với (2.3) ta suy γ(d(x∗ , x)) = 0, hay d(x∗ , x) = Ta có x = x∗ , x∗ phần tử cực đại (X, ≤γ ) Định lý chứng minh Định lý 2.1.3 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ Hàm γ ∈ Γ, hàm ψ ∈ Ψ(X) Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn γ(d(x, T x)) ≤ ψ(T x, x), ∀x ∈ X (2.4) Khi T có điểm bất động X Chứng minh Tương tự chứng minh định lý 2.1.2, ta xây dựng quan hệ thứ tự ≤γ X ta có (X, ≤γ ) tập thứ tự phận có phần tử cực đại giả sử x∗ ∈ X Khi ta có γ(d(x, T x)) ≤ ψ(T x, x) ≤ ψ(ˆ x, x) − ψ(ˆ x, T x), ∀x ∈ X 33 Vậy ta có x ≤γ T x, ∀x ∈ X Vì x∗ ∈ X nên ta có x∗ ≤γ T x∗ Vì x∗ phần tử cực đại X nên ta có x∗ = T x∗ Vậy x∗ điểm bất động ánh xạ T X Định nghĩa 2.1.1 [4] Ta kí hiệu Ω họ tất hàm η : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn: η(0) = ∃γ ∈ Γ ε > cho γ(t) ≤ η(t), ∀t ∈ {t ≥ : η (t) ≤ ε} Định lý 2.1.4 [4] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, ψ ∈ Ψ (X) Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn η (d (x, T x)) ≤ ψ (T x, x) (2.5) ∀x ∈ X, η ∈ Ω Khi tồn tập Y khác rỗng X cho T có điểm bất động Y 34 Chứng minh Lấy điểm xˆ ∈ X cho ψ (ˆ x, ) hàm nửa liên tục bị chặn X Đặt α = inf {ψ (ˆ x, x) : x ∈ X} lấy ε > cho α + ε ≥ Đặt Y = {x ∈ X : ψ (ˆ x, x) ≤ α + ε} Vì ψ (ˆ x, ) hàm nửa liên tục nên Y tập đóng hiển nhiên Y = ∅ Do (X, d) không gian metric đầy đủ nên (Y, d) ⊂ (X, d) (Y, d) không gian metric đầy đủ Y ⊂ X Vì ψ (ˆ x, xˆ) = ≤ α + ε nên xˆ ∈ Y Vậy ta có ψ (ˆ x, ) nửa liên tục bị chặn Y Theo định nghĩa hàm ψ , hiển nhiên ta có ψ(x, y) + ψ(y, z) ≤ ψ(x, z), x, y, z ∈ Y Vậy ta có ψ ∈ Ψ(Y ) Bây ta chứng minh Y bất biến T tức T (Y ) ⊂ Y Lấy x ∈ Y Từ (2.5) ta thu được: η (d (x, T x)) ≤ ψ (ˆ x, x) − ψ (ˆ x, T x) (2.6) α ≤ ψ (ˆ x, T x) ≤ ψ (ˆ x, x) ≤ α + ε (2.7) Ta suy Vậy ta có T x ∈ Y ta có T (Y ) ⊂ Y Từ (2.6) (2.7) ta có: ≤ η (d (x, T x)) ≤ ψ (ˆ x, x) − ψ (ˆ x, T x) ≤ ε 35 Do η ∈ Ω nên tồn γ ∈ Γ cho: γ (d (x, T x)) ≤ η (d (x, T x)) ≤ ψ (T x, x) , ∀x ∈ Y Theo định lý 2.1.3 ánh xạ T có điểm bất động Y Định lý chứng minh Định lý 2.1.5 [4] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, η ∈ Ω Giả sử ánh xạ F : X → 2X có giá trị khác rỗng thỏa mãn η(d(x, y)) ≤ ψ(y, x), (2.8) ∀x ∈ X, y ∈ F x ψ ∈ Ψ (X) Khi F có điểm bất động, tức ∃x ∈ X cho x ∈ F x Chứng minh Với x ∈ X ta đặt y = T x Khi ta có T x ∈ F x với x ∈ X Từ (2.8) ta có η(d(x, T x)) ≤ ψ(T x, x) Theo Định lý 2.1.1 ánh xạ T có điểm bất động, tức ∃x ∈ X cho x = T x Vì ta có x = T x ∈ F x Hay x điểm bất động ánh xạ F 2.2 Ứng dụng Như ứng dụng định lý điểm bất động Caristi mở rộng ta suy nguyên lý biến phân kiểu Ekeland định lý phần tử cực đại cho ánh xạ 36 đa trị sau Định lý 2.2.1 [4] (Nguyên lý biến phân kiểu Ekeland) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, cho η ∈ Ω, ψ ∈ Ψ (X) Khi tồn x¯ ∈ X cho η (d (¯ x, x)) > ψ (x, x¯) , (2.9) ∀x ∈ X với x = x¯ Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử với x ∈ X , tồn y ∈ X với x = y cho η (d (x, y)) ≤ ψ (y, x) Ta xác định ánh xạ đa trị F : X → 2X sau F x = {y ∈ X : y = x, η (d (x, y)) ≤ ψ (y, x)} Theo Định lý 2.1.2 ∃¯ x ∈ X cho x¯ ∈ F x¯ Điều mâu thuẫn với y ∈ X ta đặt y = T x ta có x = y = T x¯ Hay ta có x¯ ∈ / F x¯ Do ∃x ∈ X cho η (d (¯ x, x)) > ψ (x, x¯) , ∀x ∈ X, x = x Định lý chứng minh 37 Định lý 2.2.2 [4](Định lý phần tử cực đại ) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, η ∈ Ω ψ ∈ Ψ (X) Giả sử ánh xạ đa trị F : X → 2X thỏa mãn : Mỗi x ∈ X với F x = ∅, ∃y = y(x) ∈ X với x = y cho η (d (x, y)) ≤ ψ (y, x) Khi ∃¯ x ∈ X cho F x¯ = ∅ Chứng minh Với giả thiết cho, theo nguyên lý biến phân kiểu Ekeland tức Định lý 2.2.1 ∃¯ x ∈ X cho η (d (¯ x, x)) > ψ (x, x¯) , ∀x ∈ X, x = x Bây ta chứng minh F x¯ = ∅ phương pháp phản chứng Giả sử F x¯ = ∅, tức ∃y = y(¯ x) ∈ X với y = x¯ cho η (d (¯ x, y)) ≤ ψ (y, x¯) Ta suy η (d (¯ x, y)) ≤ ψ (y, x¯) < η (d (¯ x, y)) điều mâu thuẫn Vậy tập hợp F x¯ = ∅ Nhận xét 2.2.1 Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 tương đương Định lý 2.2.1 Định lý 2.1.4 tương đương Chứng minh Thật vậy, từ chứng minh Định lý 2.2.2 ta thấy từ Định lý 2.2.1 ta suy Định lý 2.2.2 38 Bây ta từ Định lý 2.2.2 suy Định lý 2.2.1 Ta chứng minh phản chứng, tức từ Định lý 2.2.2 suy Định lý 2.2.1 Giả sử với x ∈ X , tồn y ∈ X với x = y cho η(d(x, y)) ≤ ψ(y, x) Ta xác định ánh xạ đa trị F : X → 2X sau: F x = {y ∈ X : y = x, η(d(x, y)) ≤ ψ(y, x)} Khi ta có F x = ∅, ∀x ∈ X (2.10) Mặt khác, theo định lý 2.2.2 ∃¯ x ∈ X cho F x¯ = ∅ (2.11) Từ (2.10) (2.11) ta rút mâu thuẫn Vậy từ Định lý 2.2.2 ta suy Định lý 2.2.1 Do hai định lý tương đương Từ Định lý 2.1.4 ta suy Định lý 2.2.1 hiển nhiên Điều thể chứng minh Định lý 2.2.1 Bây ta chứng minh chiều ngược lại, tức từ Định lý 2.2.1 ta suy Định lý 2.1.4 Ta chứng minh phản chứng, tức từ Định lý 2.2.1 suy Định lý 2.1.4 39 Giả sử ∀x ∈ X ta có x = T x Vậy ∃¯ x ∈ X cho x¯ = T x¯ Khi theo Định lý 2.2.1 ta có η (d (¯ x, T x¯)) > ψ (T x¯, x¯) (2.12) Mặt khác, theo Định lý 2.1.4 ta có η (d (¯ x, T x¯)) ≤ ψ (T x¯, x¯) (2.13) Từ (2.12) (2.13) ta mâu thuẫn Vậy từ Định lý 2.2.1 ta suy Định lý 2.1.4 hai định lý tương đương Kết luận chương Chúng trình bày định lý điểm bất động Carsiti mở rộng xem ứng dụng phần chứng minh định lý kiểu Ekeland định lý phần tử cực đại Chúng định lý Caristi mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland tương đương 40 Kết luận Luận văn trình bày chi tiết kết mở rộng định lý điểm bất động Caristi Seong Hoon Cho Sau đó, trình bày nguyên lý biến phân kiểu Ekeland định lý phần tử cực đại cho lớp ánh xạ đa trị Chứng minh định lý dựa vào định lý mở rộng điểm bất động Caristi nên xem ứng dụng định lý mở rộng điểm bất động Caristi 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (1998), Tô pô đại cương, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] S H Cho (2013), "Some generalizations of caristi’s fixed point theorem with applications", Int Journal of Math Analysis, Vol 7, No 12, 557-564 [...]... phân Ekeland là tương đương 27 Chương 2 Mở rộng của định lí điểm bất động Caristi Trong chương này chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi mở rộng Sau đó, chúng tôi trình bày về nguyên lý biến phân kiểu Ekeland và định lý phần tử cực đại cho ánh xạ đa trị, được xem như là phần ứng dụng của định lý Caristi mở rộng 2.1 Định lý điểm bất động Caristi mở rộng Kí hiệu 2.1.1.[4] Ta kí hiệu Γ là họ... nói Định lý Caristi và Định lý Ekeland là tương đương Kết luận chương 1 Chương 1 chúng tôi đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ và kết quả quan trọng về điểm bất động đó là định lý điểm bất động Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric Đồng thời chúng tôi cũng trình bày phần chứng minh định lý điểm bất động Caristi và nguyên lý biến... định lý Caristi, T có điểm bất động trong X Điều này trái với cách xây dựng ánh xạ T Vậy với ∀ε > 0, ∃xε ∈ X sao cho ∀y ∈ X, y = xε ta luôn có ϕ(xε ) − εd(xε , y) < ϕ(y) Định lý đã được chứng minh Nhận xét 1.3.1 Định lý điểm bất động Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương Chứng minh Thật vậy, từ chứng minh trên của Định lý Ekeland cho ta thấy từ Định lý Caristi có thể suy ra Định lý. .. phần tử cực đại trong X Cuối cùng ta chỉ ra rằng v là điểm bất động của T Theo giả thiết, ta có d(v, T v) ≤ ϕ(v) − ϕ(T v) Theo cách xây dựng quan hệ thứ tự trên X , ta suy ra v ≤ T v Nhưng vì v là phần tử cực đại trong X nên ta phải có v = T v Hay v là điểm bất động của ánh xạ T Định lý được chứng minh 1.3 Nguyên lý biến phân Ekeland Định lý 1.3.1 [1] (Ekeland 1974) Cho (X, d) là một không gian... chỉ khi ánh xạ T là nửa liên tục dưới M được gọi là tập mức dưới của ánh xạ T Định nghĩa 1.2.7 [1] Cho X là một không gian tô pô và f là một ánh xạ trong X , tức là f : X → X Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f trên X nếu x = f (x) Tập tất cả các điểm bất động của f được kí hiệu là F ix(f ) 20 Định lý 1.2.1 [2] (Caristi (1976)) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và hàm số ϕ : X →... ra x0 (t) không liên tục tại t = 2 L Do đó x0 (t) ∈ / C[0,1] L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định bởi Vậy C[0,1] (1.4) 1.2 Định lý điểm bất động Caristi Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho một tập X bất kỳ Ta nói một họ G gồm những tập con của X là một tô pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu: 17 1 Hai tập ∅ và X đều thuộc họ G Tức là φ ∈ G, X ∈ G 2 G kín đối với phép giao... ta chứng minh chiều ngược lại, tức là từ Định lý Ekeland có thể suy ra Định lý Caristi Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại hàm ϕ là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên X Ánh xạ T : X → X thỏa mãn d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X, x = T x 26 Tức là ánh xạ T không có điểm bất động Hay ta có ϕ(x) − d(x, T x) ≥ ϕ(T x) (1.8) Từ kết luận của Định lý Ekeland, ta chọn ε = 1 và y = T x ta có... hay d(x∗ , x) = 0 Ta có x = x∗ , vậy x∗ là phần tử cực đại trong (X, ≤γ ) Định lý được chứng minh Định lý 2.1.3 Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ Hàm γ ∈ Γ, hàm ψ ∈ Ψ(X) Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn γ(d(x, T x)) ≤ ψ(T x, x), ∀x ∈ X (2.4) Khi đó T có điểm bất động trong X Chứng minh Tương tự như chứng minh định lý 2.1.2, ta xây dựng quan hệ thứ tự ≤γ trên X và ta có (X, ≤γ ) là tập được... Vì x∗ ∈ X nên ta cũng có x∗ ≤γ T x∗ Vì x∗ là phần tử cực đại trong X nên ta có x∗ = T x∗ Vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T trong X Định nghĩa 2.1.1 [4] Ta kí hiệu Ω là họ tất cả các hàm η : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn: 1 η(0) = 0 2 ∃γ ∈ Γ và ε > 0 sao cho γ(t) ≤ η(t), ∀t ∈ {t ≥ 0 : η (t) ≤ ε} Định lý 2.1.4 [4] Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ, ψ ∈ Ψ (X) Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn... lại có cosx ≥ −1, ∀x ∈ R nên hàm y = cosx bị chặn dưới bởi −1 ∈ R Do đó hàm số y = cosx là hàm số bị chặn trên tập R Định nghĩa 1.2.3 [1] Lân cận của một điểm x trong một không gian tô pô X là một tập mở chứa x Nói cách khác V là lân cận của x nếu có một tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V Định nghĩa 1.2.4 [1] Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn các tính chất phản