Đang tải... (xem toàn văn)
Chương trình Hình học ở phổ thông gồm hai mảng: hình học thuần túy và hình học giải tích (nghiên cứu trong các hệ tọa độ). Trong chương trình hình học lớp 10, nội dung hình học giải tích trong mặt phẳng là một phần kiến thức rất quan trọng và mới lạ đối với học sinh. Đây là phần tiếp nối của hình học phẳng cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm của đại số và giải tích. Trong số những bài toán tọa độ phẳng được đưa vào giảng dạy có một lớp các bài toán xuất phát từ bài toán hình học phẳng. Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận các bài tập đó, vì nó đòi hỏi học sinh cần nắm chắc các kiến thức về hình học phẳng và hình học giải tích trong mặt phẳng. Hiện nay, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng thường xuất hiện khá nhiều trong các kì thi: kì thi học sinh giỏi bậc THPT, kì thi THPT quốc gia (câu 8)… Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải chịu khó tư duy, tìm tòi, sáng tạo, đào sâu suy nghĩ và có kiến thức tổng hợp. Vì vậy, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng luôn thu hút được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh và giáo viên THPT.
1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Chương trình Hình học phổ thông gồm hai mảng: hình học túy hình học giải tích (nghiên cứu hệ tọa độ) Trong chương trình hình học lớp 10, nội dung hình học giải tích mặt phẳng phần kiến thức quan trọng lạ học sinh Đây phần tiếp nối hình học phẳng cấp THCS nhìn quan điểm đại số giải tích Trong số toán tọa độ phẳng đưa vào giảng dạy có lớp toán xuất phát từ toán hình học phẳng Học sinh thường gặp nhiều khó khăn tiếp cận tập đó, đòi hỏi học sinh cần nắm kiến thức hình học phẳng hình học giải tích mặt phẳng Hiện nay, toán hình học giải tích mặt phẳng thường xuất nhiều kì thi: kì thi học sinh giỏi bậc THPT, kì thi THPT quốc gia (câu 8)… Đây dạng toán khó, đòi hỏi học sinh phải chịu khó tư duy, tìm tòi, sáng tạo, đào sâu suy nghĩ có kiến thức tổng hợp Vì vậy, toán hình học giải tích mặt phẳng thu hút quan tâm đặc biệt học sinh giáo viên THPT Đối với người giáo viên nói chung thân người giáo viên toán tương lai, việc giải tập, hướng dẫn học sinh làm tập, việc xây dựng toán, khai thác, đặc biệt hóa, khái quát hóa toán dựa sở toán gốc biết việc quan trọng cần thiết trình giảng dạy Chính vậy, mạnh dạn chọn đề tài “Xây dựng tập hình học giải tích từ toán hình học phẳng” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận - Xây dựng tập hình học giải tích mặt phẳng từ mối quan hệ hình học phẳng như: quan hệ vuông góc, quan hệ thẳng hàng, quan hệ khoảng cách, quan hệ nội tiếp - Xây dựng tập hình học giải tích mặt phẳng từ toán hình học phẳng theo hướng dựng thêm điểm mới, cắt ghép hình, khái quát hóa, đặc biệt hóa từ toán hình học phẳng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức hình học giải tích mặt phẳng, kiến thức hình học phẳng - Nghiên cứu số toán hình học phẳng, từ xây dựng số tập hình học giải tích mặt phẳng xuất phát từ toán Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, tập liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích mặt phẳng từ đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, đề thi thử đại học, sách tham khảo phân hóa, tổng hợp kiến thức - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu, từ tổng kết, rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu - Phương pháp lấy ý kiến: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Bài tập hình học phẳng, tập hình học giải tích mặt phẳng - Phạm vi: Các toán hình học phẳng chương trình THCS, toán hình học giải tích mặt phẳng chương trình THPT Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận dùng tài liệu tham khảo ôn tập cho học sinh khối 10 THPT, đặc biệt cho học sinh tham dự kì thi THPT quốc gia, thi học sinh giỏi khối THPT, cho giáo viên THPT, sinh viên ngành Toán Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương Chương 1: Kiến thức hình học giải tích mặt phẳng hình học phẳng Chương 2: Xây dựng tập hình học giải tích từ toán hình học phẳng Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG VÀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Kiến thức hình học giải tích mặt phẳng 1.1.1 Hệ trục tọa độ, vectơ, điểm 1.1.1.1 Trục tọa độ, hệ trục tọa độ Trục tọa độ: Trục tọa độ (còn gọi trục, hay trục số) đường thẳng r xác định điểm O vectơ i có độ dài r Điểm O gọi gốc tọa độ, vectơ i gọi vec tơ đơn vị trục tọa độ r ( O ; i) Kí hiệu: uur r OI = i , tia OI kí hiệu Ox, tia đối tia Ox Ta lấy điểm I cho r ( O ; i ) gọi trục x’Ox hay trục Ox Ox’ Khi trục Hình 1.1: Trục tọa độ Hệ trục tọa độ: Hệ trục tọa độ hệ gồm hai trục tọa độ Ox Oy vuông góc rr với Vectơ đơn vị Ox, Oy i, j Điểm O gọi gốc tọa độ, trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung r ur ( O ; i, j ) Kí hiệu: Oxy hay Hình 1.2: Hệ trục tọa độ 1.1.1.2 Vectơ Tọa độ vectơ r r r r ur a = x i + y j cặp số ( x ;y) ( O ; i , j ) Đối với hệ trục tọa độ vectơ r r r a = ( x ;y ) a gọi tọa độ vectơ a , kí hiệu hay ( x ;y) Số thứ x gọi r a hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ r r a ( x ; y ), b ( x '; y '), k ∈ ¡ Cho hai vectơ + Hai vectơ nhau: r r x = x' a = b⇔ y = y' + Hai vectơ phương: r r r a Vectơ b phương với vectơ ≠ ⇔ ∃k ∈ ¡ : x ' = kx, y ' = ky x' y' = ( x ≠ 0, y ≠ 0) x y r r r r a + b = x + x ' ; y + y ' ; a − b = ( x − x ' ; y − y ') ( ) + Tổng, hiệu hai vectơ: r k a = ( kx ; ky ) + Tích số với vectơ: ⇔ rr r r r r a.b = a b cos a; b = xx '+ yy ' + Tích vô hướng hai vectơ: r a = x2 + y2 + Modun vectơ: rr r r a.b cos a; b = r r = ab + Góc hai vectơ: r r rr r a ⊥ b ⇔ a b = + Hai vectơ vuông góc: ( ) ( ) xx '+ yy ' x +y 2 x' + y' 2 1.1.1.3 Điểm Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ uuur OM vectơ gọi tọa độ điểm M uuuur r r OM = x i + y j Khi ( x ;y) Như vậy, cặp số tọa độ điểm M ta viết M( x; y) M = ( x; y) Số x gọi hoành độ điểm M, số y gọi tung độ điểm M Cho A( x A , y A ); B( x B , y B );C( xC , yC ) Khi đó: uuur + Vectơ: AB = ( xB − x A ; yB − y A ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI = x A + xB y + yB ; yI = A 2 + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG = x A + xB + xC y + yB + yC ; yG = A 3 + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x A − kxB y − kyB ; yM = A 1− k 1− k uuur uuur MA = k MB (M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ ) xM = 1.1.2 Phương trình đường thẳng 1.1.2.1 Vectơ phương đường thẳng r r u Vectơ ≠ , có giá song song trùng với đường thẳng ∆ gọi vectơ phương (vtcp) đường thẳng ∆ Nhận xét: r r ku (k ≠ 0) vtcp u – Nếu vtcp đường thẳng ∆ đường thẳng ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vtcp 1.1.2.2 Vectơ pháp tuyến đường thẳng r r n Vectơ ≠ , có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến (vtpt) đường thẳng ∆ Nhận xét: r r kn ( k ≠ 0) vtpt n – Nếu vtpt đường thẳng ∆ đường thẳng ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vtpt r r r r – Nếu u vtcp n vtpt đường thẳng ∆ u ⊥ n 1.1.2.3 Phương trình tham số đường thẳng r r r M ( x ; y ) u = ( u ; u ); u ≠ Cho đường thẳng ∆ qua 0 có vtcp x = x0 + tu1 y = y0 + tu2 Phương trình tham số đường thẳng ∆: (t tham số) Nhận xét: x = x0 + tu1 y = y0 + tu2 ⇔ ∃ t ∈ ¡ M ( x ; y ) ∈ – ∆ : – Gọi k hệ số góc ∆ thì: · + k = tanα, với α = xAv , α ≠ 90 +k u2 = u1 , với u1 ≠ Hình 1.3 1.1.2.4 Phương trình tắc đường thẳng r r r M ( x ; y ) u = ( u ; u ); u ≠ Cho đường thẳng ∆ qua 0 có vtcp x − x0 y − y0 = u u2 Phương trình tắc ∆: (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng phương trình tắc 1.1.2.5 Phương trình tổng quát đường thẳng 2 Phương trình ax + by + c = với a + b ≠ gọi phương trình tổng quát đường thẳng ∆ Nhận xét: – Nếu đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = đường thẳng ∆ có r r r n = ( a ; b ) u = ( − b ; a ) u vtpt vtcp = (b ; −a ) r M ( x ; y ) n 0 – Nếu đường thẳng ∆ qua có vtpt = (a; b) phương trình đường thẳng ∆ là: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = Các trường hợp đặc biệt: + Đường thẳng ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0) Phương trình x y + =1 a b đường thẳng ∆: (Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) + Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k Phương trình đường thẳng ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (Phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 1.1.2.6 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: a1 x + b1 y + c1 = (1) a x + b y + c = 2 a1 b1 ≠ a + ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ b2 (nếu a2 , b2 ≠ 0) a1 b1 c1 = ≠ a b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0) + ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = = a + ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0) 1.1.2.7 Góc hai đường thẳng r r r a x + b y + c = n = ( a ; b ); n 1 1 ≠ 0) Cho hai đường thẳng ∆1: (có vtpt r r r a x + b y + c = n = ( a ; b ); n 2 2 ≠ 0) ∆2: (có VTPT · Khi góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 Kí hiệu: (∆1 , ∆ ) Ta có: r r r r ( n , n ) ( n , n2 ) ≤ 90 · ( ∆1 , ∆ ) = r r r r (n1, n2 ) > 900 180 − (n1 , n2 ) r r n1.n2 a1a2 + b1b2 r r · · cos( ∆1, ∆ ) = cos( n1 , n2 ) = r r = 2 2 n1 n2 a1 + b1 a2 + b2 Chú ý: - ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = - Cho ∆1: y = k1 x + m , ∆2: y = k2 x + m thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 1.1.2.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ Kí hiệu: d ( M , ∆) Ta có: d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 1.1.2.9 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ ( axM + byM + c)(axN + by N + c ) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 1.1.2.10 Phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1 x + b1 y + c1 a12 + b12 =± a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 Phương trình đường tròn 1.1.3.1 Phương trình đường tròn 1.1.3 Đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R có phương trình: ( x − a ) + ( y − b) = R 2 2 Nhận xét: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = , với a + b − c > , phương trình đường tròn có tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Hình 1.4 1.1.3.2 Vị trí trương đối đường thẳng đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng d: + d tiếp xúc với (C) + d cắt (C) ⇔ d ( I ; d ) = R ⇔ d ( I ; d ) < R + d (C) ⇔ d ( I ; d ) > R Hình 1.5 1.2 Kiến thức hình học phẳng 1.2.1 Tam giác Giải Hình 2.13 Gọi M tiếp điểm ∆ với (C); E hình chiếu vuông góc G ∆; N giao điểm ∆ đoạn GE Ta có: MI − IG ≤ MG ≤ MI + IG ⇒ R − IG ≤ MG ≤ R + IG Mà: GN ≤ GE ≤ GM nên IN − IG ≤ GE ≤ IM + IG ⇒ R − IG ≤ d (G ,V) ≤ R + IG Dựa vào toán gốc 13 ta xây dựng toán hệ tọa độ Oxy tương ứng sau: Bài toán 13.1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;3), B(-3;2), C(4;-5) Gọi (T) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (T) cho: a) d ( A,V) + d ( B,V) + d (C ,V) b) d ( A,V) + d ( B,V) + d (C ,V) max Giải Hình 2.13.1 Gọi M tiếp điểm ∆ với (T); G trọng tâm tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn (T) Ta tìm G(-1;0), I(1;-1) ⇒ IG : x + y + = 0;(T) :(x − 1) ( y + 1) = 25 Gọi H, K giao điểm đường thẳng IG đường tròn (T) Tọa độ điểm H, K nghiệm hệ phương trình: 2 ( x − 1) + ( y + 1) = 25 x + y + = Suy ra: H (1 − 5; − + − 5); K (1 + 5; − − − 5) Theo toán gốc 13 ta có: 3( R − IG ) ≤ d ( A,V) + d ( B,V) + d (C ,V) ≤ 3( R + IG ) ⇒ 3(5 − 5) ≤ d ( A,V) + d ( B,V) + d (C ,V) ≤ 3(5 + 5) Do đó: a) d ( A,V) + d ( B,V) + d (C ,V) V⊥ IG ∆ qua H Khi ∆: x − y − + 5 = b) d ( A,V) + d ( B,V) + d (C ,V) max V⊥ IG ∆ qua K Khi ∆: x − y − − 5 = 2.5 Xây dựng tập hình học giải tích mặt phẳng xuất phát từ quan hệ nội tiếp Bài toán gốc 14: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm BC AB; D, E chân đường cao kẻ từ A, B tam giác ABC Chứng minh tứ giác MEND nội tiếp đường tròn Giải Hình 2.14 · · Ta có: NAE = NEA (vì EN trung tuyến tam giác vuông AEB) · · MNE = NEA (hai góc so le trong- MN P AC ) · · ⇒ NAE = MNE (1) Mặt khác E, D nhìn AB góc vuông nên ABDE nội tiếp đường · · · tròn Khi đó: NEA = EDM (2) (cùng bù với BDE ) · · Từ (1) (2) suy ra: MNE = EDM Suy tứ giác MEND nội tiếp đường tròn Dựa vào toán gốc 14 ta xây dựng toán hình giải tích hệ tọa độ Oxy sau: Bài toán 14.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(-1;4) Gọi D, E, N chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung điểm 7 I − ; ÷ AB Biết 2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Giải Hình 2.14.1 Đường thẳng BE có phương trình: x = −1 Khi AC qua E(-1;2) vuông góc với BE có phương trình: y = Gọi M trung điểm BC gọi C(c;2) thuộc AC Khi M( c −1 ;3) Theo toán gốc14, ta có tứ giác MEND nội tiếp đường tròn nên: IM=IE=R ⇔ IM = R 2 2 c+2 1 3 ⇔ ÷ + = ÷ + ÷ c 2 2 C ( 1;2 ) c = ⇔ ⇒ c = −5 C ( −5;2 ) Vậy C ( 1;2 ) ; C ( −5;2 ) Bài toán 14.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không vuông đường thẳng ∆ có phương trình x + y − = Giả sử D(4;1), E(2;-1), N(1;2) theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng ∆ điểm M có hoành độ nhỏ Giải Hình 2.14.2 Gọi (T) đường tròn qua ba điểm N, D, E có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = Vì N, D, E thuộc đường tròn (T) nên ta có hệ: a = − a + 2b + c = −5 2 4a + b + c = −17 ⇔ b = − ⇒ (T ) : x + y − x − y + = a − b + c = −5 c = Theo toán gốc 14, ta có tứ giác MEND nội tiếp đường tròn nên: M ∈ (T ) Mà M ∈ ∆ tọa độ M nghiệm hệ: x = M ;1÷ 2 x + y − x − y + = 2 ⇔ 7⇒ 2 x + y − = x = M ;1 (L) 5 ÷ y =1 1 M ;1÷ Khi đường thẳng BC qua hai điểm D(4;1) nên có phương trình: y = Gọi B ( t;1) ∈ BC Khi EN đường trung tuyến tam giác vuông AEB nên: ⇔ BN = EN ⇔ BN = EN ⇔ ( t − 1) + 12 = 10 t = −2 B( −2;1) ⇔ ⇒ t = B(4;1) ≡ D ( L ) Do M N trung điểm BC AB nên C(3;1); A(4;3) Vậy A(4;3); B(-2;1); C(3;1) · Bài toán gốc 15: Cho hình bình hành ABCD có BAC nhọn Gọi H, K, E hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC, BD, CD I giao điểm AC BD Chứng minh: tứ giác HKIE nội tiếp đường tròn Giải Hình 2.15 · · = HAE Ta có tứ giác AHCE nội tiếp đường tròn tâm I nên HIE (1) (góc tâm góc nội tiếp chắn cung) · · Mà ABHK, AKED tứ giác nội tiếp và: EAB = HAD = 90 nên: · · · HKE = 1800 − HKB − EKD · · = 1800 − HAB − EAD · · = 900 − HAB + 900 − EAD · = HAE (2) · · Từ (1) (2) có: HKE = HIE Suy ra: tứ giác HKIE nội tiếp đường tròn Từ toán gốc 15 hệ Oxy: biết phương trình đường tròn qua điểm H, K, E, biết tọa độ điểm A, ràng buộc thêm điều kiện điểm C nằm đường thẳng Ta tính tọa độ điểm I, C Do H, E thuộc đường tròn đường kính AC nên ta tìm tọa độ điểm H, E Từ tính tọa độ đỉnh hình bình hành Vậy ta xây dựng toán hệ tọa độ Oxy sau: Bài toán 15.1: · Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có BAC nhọn, A(-2;-1) Gọi H, K, E hình chiếu vuông góc A 2 đường thẳng BC, BD, CD Đường tròn (T): x + y + x + y + = ngoại tiếp tam giác HKE Tìm tọa độ B, C, D biết H có hoành độ âm, C có hoành độ dương nằm đường thẳng d: x − y − = Giải Hình 2.15.1 Vì C ∈ d ⇒ C ( c; c − 3) Gọi I giao điểm AC BD Khi I trung điểm AC ⇒ I( c−2 c−4 ; ) 2 Theo toán gốc 15 ta có tứ giác HKIE nội tiếp nên I ∈ (T ) 2 c−2 c−4 c−2 c−4 + 4 ÷ + ÷ + ÷+ = c = c = −1( L) ⇒ I (0; −1); C (2; −1) Phương trình đường tròn đường kính AC: (T') : x + ( y + 1) = Do H = (T) ∩ (T');E = (T) ∩ (T') Tọa độ tâm H, E nghiệm hệ phương trình: 11 x + ( y + 1) = x = − ; y = − ⇔ 5 2 x + y + x + y + = x = 0; y = −3 11 H − ; − ÷; E (0; −3) Do H có hoành độ âm nên 5 Từ tính B(-4;-3), C(2;-1), D(4;1) 2.6 Xây dựng tập hình học giải tích mặt phẳng theo hướng dựng thêm điểm mới, cắt ghép hình, khái quát hóa, đặc biệt hóa từ toán hình học phẳng Bài toán gốc 1: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC, CD Gọi H giao điểm AM BN Chứng minh rằng: AM ⊥ BN Hình 2.16 Giả sử ta chọn hình vuông ABCD với tọa độ đỉnh A(-4;0), B(0;4); C(4;0), D(0;-4) Khi ta tính toán kiện khác sau: M(2;2), N(2;-2) Phương trình đường thẳng AM: x − y + = BN: 3x + y − = 8 H ; ÷ 5 Tọa độ giao điểm H AM BN Dựa vào tính toán ta xây dựng toán hình giải tích mặt phẳng từ phương án sau: Bài toán 1.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4) Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Gọi 8 H ; ÷ 5 giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông, biết A nằm đường thẳng ∆: x + y + = Bài toán 1.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B(-4;0) Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Gọi 8 H ; ÷ 5 giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông, biết N nằm đường thẳng ∆: x + y + = Bây ta cắt hình vuông toán thành hình thang có cạnh AB=2CN ta toán sau: Hình 2.16.1 Bài toán 1.3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD (vuông B C) có AB=BC=2CD đỉnh A(-4;0) Gọi M trung 4 8 H ; ÷ điểm cạnh BC; điểm 5 giao điểm AM BD Xác định tọa độ đỉnh lại hình thang, biết điểm D nằm đường thẳng x + y + = Trong toán gọi E giao điểm AN BC Khi ta có BE=4BM Từ ta xây dựng toán tam giác sau: Hình 2.16.2 Bài toán 1.4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có BC=2BA Điểm N(2;-2) trung điểm cạnh AC Gọi M điểm 4 8 H ; ÷ 5 cạnh BC cho BC=4BM Điểm giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm M nằm đường thẳng: x + y − = Trong toán cắt đôi hình vuông thành hình chữ nhật ta xây dựng toán hình chữ nhật sau: Hình 2.16.3 Bài toán 1.5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA Gọi E(1;1) điểm cạnh BC cho BC=4BE; điểm 8 H ; ÷ 5 giao điểm BD AE Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm B nằm đường thẳng x+2y-6=0 · cos NBC = Từ BC = BN ta xây dựng toán liên quan đến số đo góc Hình 2.16.4 Bài toán 1.6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD 8 H ; ÷ 5 Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Điểm giao điểm BN AM Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết phương trình đường thẳng BC: x+y-4=0 điểm C có hoành độ dương Bài toán 1.7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD 4 8 H ; ÷ 5 Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Điểm giao điểm BN AM Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông ABCD, biết phương trình đường thẳng AN: x+3y+4=0 điểm A có hoành độ âm Bài toán 1.8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD (vuông B C) có AB=BC=2CD Gọi M trung điểm cạnh BC; 4 8 H ; ÷ 5 điểm giao điểm BD AM Xác định tọa độ đỉnh hình thang ABCD, biết phương trình cạnh AB: x-y+4=0 A có hoành độ âm uuur uuur BH = BN Từ ta xây dựng toán sau: Bài toán 1.9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4) Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD; đường thẳng AM qua điểm E(5;3) Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông, biết N có tung độ âm nằm đường thẳng x-2y-6=0 Bài toán 1.10: Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần 8 H ; ÷ 5 lượt trung điểm cạnh BC DC, điểm giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông, biết điểm B thuộc đường thẳng x+2y-8=0, N thuộc đường thẳng x-2y-6=0 d ( H , AB) = d ( N , AB ) ta xây dựng toán sau: Ta có Bài toán 1.11: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD Phương trình đường thẳng AB: x-y+4=0 Gọi M, N trung điểm cạnh BC, DC, H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB , điểm N có hoành độ dương thuộc đường thẳng x-2y-6=0 Bài toán 1.12: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có đường thẳng AB qua điểm E(-5;-1) Gọi M, N (2;-2) trung điểm BC DC; H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB hoành độ điểm A không âm Bài toán 1.13: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD Phương trình đường thẳng AB: x-y+4=0 Gọi M, N trung điểm cạnh BC 8 H ; ÷ 5 DC, điểm giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB KẾT LUẬN Khóa luận đưa số toán hình học phẳng, nhận xét mối liên hệ chất yếu tố xuất toán đó, kết hợp với việc sử dụng kiến thức hình học giải tích tọa độ điểm hay phương trình đường để tạo toán hình học giải tích mặt phẳng tương ứng Cụ thể: - Xây dựng tập hình học giải tích từ toán hình học phẳng xuất phát từ quan hệ vuông góc, quan hệ số đo góc, quan hệ thẳng hàng, quan hệ khoảng cách, quan hệ nội tiếp Khóa luận đưa 15 toán hình học phẳng từ xây dựng toán hình học giải tích tương ứng trình bày lời giải tương ứng - Xây dựng 13 tập hình học giải tích mặt phẳng từ toán gốc theo nhiều hướng khác như: dựng thêm điểm mới, cắt ghép hình, khái quát hóa, đặc biệt hóa TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình (2012), Nâng cao phát triển toán 8, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Vũ Hữu Bình (2012), Nâng cao phát triển toán 9, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Phan Đức Chính (tổng chủ biên) – Tôn Thân (chủ biên) (2012), Toán 7, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Phan Đức Chính (tổng chủ biên) – Tôn Thân (chủ biên) (2012), Toán 8, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [5] Phan Đức Chính (tổng chủ biên) – Tôn Thân (chủ biên) (2012), Toán 9, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [6] Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí (2012), Phương pháp giải toán hình học giải tích mặt phẳng, Nhà xuất Hà Nội [7] Đặng Thành Nam (2015), Kỹ thuật giải nhanh hình học phẳng Oxy, Nhà xuất đại học quốc Hà Nội [8] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên)–Văn Như Cương (chủ biên) (2012), Hình học nâng cao 10, Nhà xuất giáo dục [9] Vũ Dương Thụy (chủ biên) (2012), Toán nâng cao chuyên đề Hình học 8, Nhà xuất giáo dục [10] Vũ Dương Thụy (chủ biên) (2012), Toán nâng cao chuyên đề Hình học 9, Nhà xuất giáo dục [11] Các đề thi thử đại học môn toán năm 2014, 2015 trường THPT trang web toán học: www.boxmath.vn, www.diendantoanhoc.net, www.maths.vn, www.vnmath.com