BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Quí thầy cô trường nhiệt tình giảng dạy trình em học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Hà MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự hình thành từ năm 1940, tiếp tục phát triển hoàn thiện ngày Lý thuyết tìm ứng dụng đa dạng việc chứng minh tồn nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân, tích phân phát sinh Toán học, Vật lí, Sinh học, … nghiên cứu mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, … Trong lí thuyết phương trình không gian có thứ tự lớp phương trình với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng Các kết toán tử dạng cho phép nghiên cứu tồn tại, xấp xỉ nghiệm phương trình chứa toán tử không liên tục vốn xuất tự nhiên từ toán thực tế Đã có nhiều định lí điểm bất động ánh xạ tăng, chứng minh phương pháp khác báo Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn Bích Huy, … Để tìm định lí dạng điểm bất động ánh xạ tăng để nghiên cứu lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng cần có nhìn lại, phân tích phương pháp áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng mà tìm hiểu qua báo khoa học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng; phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt ánh xạ co 4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự ứng dụng việc chứng minh tồn nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân, tích phân phát sinh Toán học, Vật lí, Sinh học, … nghiên cứu mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, … Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có bốn chương Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng việc tìm điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: tìm hiểu ứng dụng số siêu hạn vào toán điểm bất động ánh xạ tăng Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy ứng dụng vào toán điểm bất động Chương 4: ứng dụng ánh xạ co suy rộng toán điểm bất động; khảo sát tồn điểm bất động ánh xạ có tính chất lõm Vì khả thời gian có hạn nên luận văn thiếu sót, em mong nhận góp ý quí thầy cô độc giả Chương PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG 1.1 Nguyên lí đệ qui mở rộng Định nghĩa 1.1.1 Cho tập P   ,  P ,   gọi tập thứ tự phần P có quan hệ thứ tự  thỏa: i Phản xạ: x  x x  P ii Đối xứng: Nếu x  y y  x x  y x, y  P iii Bắc cầu: Nếu x  y y  z x  z x, y , z  P Ta kí hiệu x  y x  y x  y Ví dụ  , ,  ,   ,  ,   tập thứ tự Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp P có thứ tự gọi thứ tự tốt tập khác rỗng có phần tử  Với C  P, x  P , ta kí hiệu C x   y  C y  x Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui) Cho D tập hợp tập tập thứ tự  P,   ,   D ánh xạ F : D  P Khi đó, tồn tập tốt C P cho: 1) x  C  x  F  C x  (*) 2) Nếu C  D F  C  cận chặt C (**) Chứng minh Đặt x0  F     P Gọi M tập tất xích tốt C ' P có tính chất:   x  C ' x  F C 'x Ta có M   C '   x0   M Ta chứng minh  C '  M C 'M Bổ đề 1.1.1 Nếu C1 , C2  M C2  C1 C1  C2x với x   C2 \ C1  Chứng minh  Vì x   C2 \ C1  nên C2x  C1 Thật vậy, lấy y  C2x y  C2 y  x Mà x   C2 \ C1  nên y  C2 \ C1 Suy y  C1  Giả sử C1 \ C2x     Đặt y  C1 \ C2x Khi đó, ta có C1y  C2x   C1  C2  (do C2x  C1 ) Ta chứng minh C1y  C2x     Giả sử C1y  C2x Khi tồn z  C2x \ C1y nên C2x Suy C2z  C1y (vì z  x ) z  C1y (1) Mặt khác z  C2x   C1  C2  nên z  C1 Mà z  C1y Do y  z Suy C2y  C2z Ta có C1y  C2x nên C1y  C2y (Lấy z  C1y  C2x  z  C2 , z  y  z  C2y ) Do C1y  C2z (2) Từ (1) (2) suy C2z  C1y     Hay z  F C2z  F C1y  y , mâu thuẫn z  C2x y  C2x     Vậy C1y  C2x hay y  F C1y  F C2x  x , mâu thuẫn y  C1 x  C1 Vậy C1 \ C2x    Ta chứng minh C2x  C1 C1 \ C2x   Do C1  C2x Bổ đề 1.1.2   Giả sử x  F C x , x  y  C  M Khi x  C Chứng minh    Vì y  C  M nên y  F C y Do x  y nên ta có C x  C y     Hơn dấu “=” không xảy x  F C x  y  F C y  Như z  C y \ C x   Ta chứng minh x  z có x  C Trước tiên, ta chứng minh C x  C z  Mà z   C Do z  C y \ C x y \ Cx  nên C  C  suy u  C z x (Thật vậy, lấy u  C z , ta có u  C , u  z  y y \ C x  u C x ) Giả sử dấu “=” không xảy Khi t  C x \ C z Vì t z thuộc C nên chúng so sánh với Và từ cách chọn t , ta có z t  x   Tức z  C x , mâu thuẫn z  C y \ C x Do C x  C z     Suy x  F C x  F C z  z Vậy x  C Chứng minh mệnh đề 1.1.1 Theo bổ đề 1.1.1 hai xích thuộc M chứa Đặt C   C ' C 'M  Chứng minh C tốt Lấy tập A  C , A   Ta chứng minh x  A Chọn C1  M cho A  C1   Do C1 tốt nên x   A  C1  Ta chứng minh x  A Lấy y thuộc A Ta chứng minh x  y, y  A Khi đó, C2  M cho y  C2 Nếu y  C1 y  C1  A x  y Nếu y  C1 C2  C1 nên theo bổ đề 1.1.1 ta có C1  C2k với k   C2 \ C1  Có y  C2 , y  C1 nên y  C2 \ C1 k  y Suy C2k  C2y tức C1  C2k  C2y Do x  C1  C2y nên x  y Vậy x  y, y  A Suy x  A tồn hay C xích tốt  Chứng minh C thỏa (*)  / Lấy x  C tồn C1  M cho x  C1 Lấy y  C x tồn C2  M cho y  C2x Nếu C2  C1 C2x  C1x y  C1x Nếu C2  C1 theo bổ đề 1.1.1 ta có C1  C2k , k   C2 \ C1    Do x  C1 , C1  C2k nên x  C2k Suy x  k  C1x  C2k x  C2x Mà y  C2x nên y  C1x Tức y  C1x , y  C x hay C x  C1x Hiển nhiên ta có C1x  C x Do C1x  C x     Suy x  F C1x  F C x (do C1  M ) Vậy C  M    / Giả sử x  F C x Cần chứng minh x  C Giả sử trái lại x  C Ta chứng minh C  M nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải có x  y, y  C (1) Hiển nhiên C x   không, ta có x  F     x0  C Đặt C1  C x   x Chứng minh C1 tốt   Với D  C1 , D  , D   x ta có D  C x  D nên theo định nghĩa   1.1.2 ta có C1 tốt ( C x  D tồn C x  D  C x  C , C tốt theo định nghĩa 1.1.2) Do (1) nên C1y  C y , y  C1 Thật vậy, lấy y  C1  C x   x  Nếu y  x C1y  C1x  C x   x  x  Cx  Cy   Nếu y  C x y  x nên ta có C1y  C x   x y  Cy Do C1  M   Nếu y  x y  x  F  C   F  C   F  C  Nếu y  C y  C mà C  M nên y  F  C   F  C  Thật vậy, lấy y  C1 , chứng minh y  F C1y x x y y y y Suy x  C , mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh  Chứng minh C thỏa (**) Thật vậy, C  D a  F  C  cận chặt C , C a  C   Suy F C a  F  C   a Do (*) nên ta có a  C (mâu thuẫn a cận chặt C ) Vậy C thỏa (**) Kết luận: Mệnh đề chứng minh hoàn toàn 1.2 Tập xấp xỉ liên tiếp từ điểm ánh xạ Bổ đề 1.2.1 Cho tập có thứ tự  P ,   , ánh xạ G : P  P a  P Khi tồn xích tốt C P cho    I  a  C a  x  C  x  sup G C x Chứng minh    Xét D    A  P sup G  A  toàn taïi ánh xạ f : D  P xác định f     a f  A   sup G  A  với   A  D Rõ ràng f định nghĩa tốt  Theo mệnh đề 1.1.1 (nguyên lí đệ qui) tồn xích tốt C P cho   1) x  C  x  f C x 2) Nếu C  D f  C  cận chặt C  Ta kiểm tra C thỏa  I  Đặt x0  C (vì C tốt nên tồn min)   Ta có x0  C nên theo 1) ta có x0  f C x0  f     a tức a  C     Với a  x C x   Do x  C  x  f C x  sup G C x (định nghĩa f ) Vậy C xích tốt P thỏa điều kiện  I  Định nghĩa 1.2.1 Xích C xây dựng gọi xích tốt (w.o) phép lặp G từ a Định lí 1.2.1 Cho tập có thứ tự  P ,   , ánh xạ G : P  P , a  P Giả sử C xích tốt phép lặp G từ a Nếu a  Ga x*  sup G  C  tồn x*  max C Gx*  x* Chứng minh Giả sử a  Ga x*  sup G  C  tồn Ta chứng minh x*  max C  Lấy x  C Nếu x  a a  Ga  sup G  C   x* nên x  x*   Nếu a  x  C ta có x  sup G C x  sup G  C   x* Suy x  x* , x  C  Giả sử x*  C Khi ta có x  x* , x  C hay C x*  C   Ta có x*  sup G  C   sup G C x* Suy x*  C (mâu thuẫn) Do x*  C Vậy ta chứng minh x*  max C Và Gx*  sup G  C   x* Bổ đề 1.2.2 Nếu A B tập P sup A, sup B tồn sup  A  B   sup sup A, sup B Chứng minh Dễ thấy hai tập hợp A  B sup A, sup B có cận giống nhau, từ suy điều phải chứng minh Định nghĩa 1.2.2 Cho C xích tốt Với x  C , x  max C , có phần tử tiếp sau Sx C , ta có Sx :  y  C / x  y Mệnh đề 1.2.1 Cho G : P  P ánh xạ tăng a  Ga Gọi C xích tốt phép lặp G từ a Khi đó: a Nếu x  C x  Gx Gx  C b Sa tồn a  Ga Sa  Ga c Nếu a  x  C Sx tồn Gx  x sup  x , Gx tồn tại, Sx  sup  x , Gx d Nếu a  x  C x  sup C x x không phần tử tiếp sau e G  C  xích tốt P Chứng minh a Lấy x  C , chứng minh x  Gx Nếu x  a x  Gx (do giả thiết a  Ga ) Nếu a  x  C ta có y  C x y  x mà G tăng nên Gy  Gx   Suy sup G C x  Gx hay x  Gx Vậy x  C x  Gx  Chứng minh Gx  C Ta cần xét trường hợp x  Gx Ta chứng minh C Gx  C x   x Thật Hiển nhiên có C x   x  C Gx (do x  Gx ) (1) Lấy y  C Gx y  C y  Gx Nếu x  y x  C y   Nên Gx  sup G C y  y (mâu thuẫn y  Gx ) Suy y  x hay y  C x   x , y  C Gx hay C Gx  C x   x (2) Từ (1) (2) suy C Gx  C x   x     Do sup G C Gx  sup G C x   x  Gx G tăng Vậy Gx  C b Nếu Sa tồn Sa  a , Sa  C   Sa  sup G C Sa (theo  I  ) Mà C Sa  C a  a  a (vì a  C nên C a   ) nên Sa  sup G a   Ga a  Sa  Ga  Đảo lại, giả sử a  Ga Chứng minh Sa tồn Ta có C Ga  a Thật Hiển nhiên a  C Ga a  Ga Ta chứng minh C Ga  a Lấy x  C Ga ta có x  C x  Ga   Nếu a  x a  C x nên Ga  sup G C x  x (do  I  ) mâu thuẫn x  Ga Vậy x  a , mà a  C nên x  a hay x  a tức C Ga  a Vậy C Ga  a   Khi đó: sup G C Ga  sup G a   Ga  I  nên Ga  C Ta có a  Ga  C nên a  max C Theo định nghĩa ta có Sa tồn c Giả sử a  x  C Sx tồn Áp dụng  I  , định nghĩa 1,2,2 bổ đề 1.2.2 ta có Sx  sup G C Sx   sup G C x   x    sup G C x   Gx  sup  x , Gx Vì x  Sx  sup  x , Gx nên Gx  x  Đảo lại, giả sử a  x  C Gx  x z  sup  x , Gx tồn Ta chứng minh Sx tồn Ta có C z  C x   x (tương tự a) Theo bổ đề 1.2.2 ( I ) , ta có    z  sup  x , Gx  sup G C x  Gx       sup G C x   x   sup G C z Suy z  C ( I ) Như ta có x  z  C nên x  max C Theo định nghĩa 1.2.2 ta có Sx tồn d Giả sử a  x  C x không phần tử tiếp sau Rõ ràng x cận C x Lấy w cận khác C x Với y  C x a  y  x Do y  C y  max C nên tồn Sy y  a b) ta có a  Sa  Ga y  a c) Sy  sup  y, Gy Vậy với y  C x ta có Sy  sup  y, Gy Suy Gy  Sy  C x (do y  x x  Sy nên Sy  x )   Do Gy  w , y  C x Suy sup G C x  w hay x  w (do ( I ) ) Như theo định nghĩa sup ta có x  sup C x  Giả sử x phần tử tiếp sau, tức x  Sy với y thuộc C Khi y  Sy  x  y  C x Ta chứng minh z  y, z  C x Thật Nếu tồn z  C x y  z x  Sy  z mâu thuẫn z  C x Khi Sy  x  sup C x  y , mâu thuẫn Suy điều phải chứng minh Các kết kéo theo hệ sau Hệ 1.2.1 Nếu C xích tốt phép lặp G từ a  P a a  max C a  Ga b Nếu a  x x  max C Gx  x sup  x , Gx không tồn Chứng minh a Suy từ mệnh đề 1.2.1.b) b Suy từ mệnh đề 1.2.2.c) Hệ 1.2.2 Cho C xích tốt phép lặp G từ a  P Ta có Nếu x  C Gx  Sx x  Gx Chứng minh  / Hiển nhiên Gx  Sx  x  / Ta có x  C x  Gx Theo mệnh đề 1.2.1.a) x  C nên Gx  C Khi tồn sup  x , Gx  Gx x  Gx Theo mệnh đề 1.2.1.c) ta có tồn Sx  sup  x , Gx  Gx (đpcm) 1.3 Điểm bất động ánh xạ tăng Định lí 1.3.1 Cho tập thứ tự P , ánh xạ tăng G : P  P a cận G  P  Giả sử tồn x*  sup G  C  với C xích tốt phép lặp G từ a Khi x*  Gx*  max C  a  x Gx  x Đặc biệt x* điểm bất động bé G Chứng minh  Vì a cận G  P  nên a  Ga Mà theo giả thiết ta có x*  sup G  C  tồn Nên theo định lí 1.2.1 x*  max C Gx*  x* Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 x*  C nên x*  Gx* Suy x*  Gx*  max C  Chứng minh x*  a  x / Gx  x Đặt D  a  x / Gx  x Lấy y  D , ta cần chứng minh x*  y Thật Giả sử x*  y Ta có A   x  C / x  y   x*  A Đặt z  A ta có z  y Mà a  y nên z  a hay C z   Với t  C z t  y theo định nghĩa z   Suy z  sup G C z  Gy  y y  D Mâu thuẫn Vậy x*  y, y  D  a  x / Gx  x hay x*  a  x / Gx  x (do x*  max C  a Gx*  x* nên x*  D ) Kết luận: x*  Gx*  max C  a  x / Gx  x  Đặc biệt D chứa tất điểm bất động G Mà x*  D nên x* điểm bất động bé G Do tương tự, ta xét tập với quan hệ thứ tự  kết 1.1, 1.2, 1.3 Đặc biệt ta có kết sau Định lí 1.3.2 Cho ánh xạ F : P  P b  P Khi tồn xích tốt nghịch đảo C ' phép lặp F từ b thỏa  I ' b  max C '   b  x  C '  x  inf F C 'x Nếu b  Fb , F tăng x *  inf F  C ' tồn x   Fx   C '  max b  x Fx  x x  điểm bất động lớn F Từ định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ sau Hệ 1.3.1 Cho P tập thứ tự phần ánh xạ tăng G : P  P a Nếu G  P  có cận xích tốt G  P  có sup G có điểm bất động bé x* x*   x / Gx  x b Nếu G  P  có cận xích tốt G  P  có inf G có điểm bất động lớn x * x *  max  x / Gx  x Chứng minh Ta chứng minh a), trường hợp b) hoàn toàn tương tự Gọi a cận G  P  , ta có a  Ga Gọi C xích tốt phép lặp G từ a Theo mệnh đề 1.2.1 G  C   C G  C  xích tốt G  P  Do theo giả thiết x*  sup G  C  tồn Áp dụng định lí 1.3.1 ta có đpcm Định nghĩa 1.3.1 Tập hợp thứ tự phần P gọi đầy đủ tương đối theo thứ tự   A  P tập tốt (hoặc tốt nghịch đảo) tồn sup A  P (tương ứng inf A  P ) Nếu A  P P gọi tập tốt đầy đủ Định nghĩa 1.3.2 Cho tập hợp thứ tự phần P Khi đó: a c gọi sup – center P tồn sup c, y  P , y  P b c gọi inf – center P tồn inf c, y , y  P c c gọi order – center P vừa sup – center vừa inf – center P Với a, b  P, a  b Kí hiệu  a    x  P, a  x  b   x  P, x  b  a, b   x  P, a  x  b Định lí 1.3.3 Cho  P ,   tập thứ tự phần, G : P  P ánh xạ tăng G  P  tập đầy đủ tương đối theo thứ tự P Khi a Nếu P có sup – center c G có điểm bất động x  thỏa mãn x   max  x   b  / x  Gx với b   x   c  / sup c, Gx  x b Nếu P có inf – center c G có điểm bất động x thỏa mãn x   x   a  / Gx  x với a  max  x   c  / x  inf c, Gx Chứng minh Ta chứng ming trường hợp a), trường hợp b) chứng minh tương tự  Xét ánh xạ f : P  P xác định f  x   sup c, Gx Hiển nhiên f định nghĩa tốt Khi đó, rõ ràng f tăng f  P  tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng, G  P  đầy đủ tương đối theo thứ tự)  Ta có c  sup c, Gc  f  c  hay c cận f  c  Gọi C xích tốt f từ c Vì f  P  đầy đủ tương đối f  C   f  P  tập tốt nên theo định nghĩa 1.3.1 tồn b  sup f  C  Theo định lí 1.3.1 điểm bất động b f b   x   c  / f  x   x  Ta có b  f  b   sup c, Gb nên Gb  b Gọi C ' xích tốt nghịch đảo G từ b Khi G  C ' tốt nghịch đảo G  P  đầy đủ tương đối nên tồn x   inf G  C ' Theo định lí 1.3.2 x  điểm bất động G x   max  x   b  / x  Gx với b   x   c  / sup c, Gx  x Hệ 1.3.2 Cho  P,   tập thứ tự phần có order – center c ánh xạ tăng G : P  P , G  P  tập đầy đủ tương đối theo thứ tự P Khi a Phương trình x  inf c, Gx có nghiệm lớn  c  b Phương trình x  sup c, Gx có nghiệm bé  c  c G có điểm bất động bé x điểm bất động lớn x   a, b  với a, b xác định định lí 1.3.3 Hệ 1.3.3 Cho P tập thứ tự tốt đầy đủ có order – center Khi đó, ánh xạ tăng G : P  P có điểm bất động lớn x  điểm bất động bé x thỏa định lí 1.3.3 Ví dụ Kí hiệu P   x , x , , x m  m  / x1  x2   xm  r p với p   0,   p p p r  Giả sử P thứ tự theo “thứ tự tọa độ” (nghĩa x , y  P, x   x1 , x2 , , xm  y   y1 , y2 , , ym  x  y  xi  yi , i  1, m ) Khi đó, ánh xạ tăng G : P  P có điểm bất động x x  thỏa định lí 1.3.3 Chứng minh Đặt c   0,0, ,0  c order – center P Thật vậy, lấy x   x1 , x2 , xm   P , ta có sup c, x  max  0, x1  ,max  0, x2  , , max  0, xm  [...]... ' tồn tại thì x   Fx   min C '  max b  x Fx  x và x  là điểm bất động lớn nhất của F Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.3.1 Cho P là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng G : P  P a Nếu G  P  có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G  P  đều có sup thì G có điểm bất động bé nhất x* và x*  min  x / Gx  x b Nếu G  P  có một cận trên và mọi xích sắp tốt của. .. sắp tốt của phép lặp G từ a  P Ta có Nếu x  C thì Gx  Sx khi và chỉ khi x  Gx Chứng minh  / Hiển nhiên Gx  Sx  x  / Ta có x  C và x  Gx Theo mệnh đề 1.2.1.a) x  C nên Gx  C Khi đó tồn tại sup  x , Gx  Gx do x  Gx Theo mệnh đề 1.2.1.c) ta có tồn tại Sx  sup  x , Gx  Gx (đpcm) 1.3 Điểm bất động của ánh xạ tăng Định lí 1.3.1 Cho tập sắp thứ tự P , ánh xạ tăng G : P  P a là một cận...  b Phương trình x  sup c, Gx có nghiệm bé nhất trong  c  c G có điểm bất động bé nhất x và điểm bất động lớn nhất x  trong  a, b  với a, b xác định ở định lí 1.3.3 Hệ quả 1.3.3 Cho P là tập sắp thứ tự tốt đầy đủ và có một order – center Khi đó, mỗi ánh xạ tăng G : P  P đều có điểm bất động lớn nhất x  và điểm bất động bé nhất x thỏa định lí 1.3.3 Ví dụ Kí hiệu P   x , x , , x 1 2... cả các điểm bất động của G Mà x*  min D nên x* là điểm bất động bé nhất của G Do sự tương tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự  thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3 vẫn còn đúng Đặc biệt ta có kết quả sau Định lí 1.3.2 Cho ánh xạ F : P  P và b  P Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo C ' của phép lặp F từ b thỏa  I ' b  max C '   b  x  C '  x  inf F C 'x Nếu b  Fb , F tăng và... tương đối nên tồn tại x   inf G  C ' Theo định lí 1.3.2 thì x  là điểm bất động của G và x   max  x   b  / x  Gx với b  min  x   c  / sup c, Gx  x Hệ quả 1.3.2 Cho  P,   là tập sắp thứ tự một phần có order – center c và ánh xạ tăng G : P  P , G  P  là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P Khi đó a Phương trình x  inf c, Gx có nghiệm lớn nhất trong  c  b Phương trình... Cho tập sắp thứ tự P , ánh xạ tăng G : P  P a là một cận dưới của G  P  Giả sử tồn tại x*  sup G  C  với C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a Khi đó x*  Gx*  max C  min a  x Gx  x Đặc biệt x* là điểm bất động bé nhất của G Chứng minh  Vì a là cận dưới của G  P  nên a  Ga Mà theo giả thiết ta có x*  sup G  C  tồn tại Nên theo định lí 1.2.1 thì x*  max C và Gx*  x* Mặt khác... Tập hợp sắp thứ tự một phần P được gọi là đầy đủ tương đối theo thứ tự nếu   A  P là tập sắp tốt (hoặc sắp tốt nghịch đảo) thì tồn tại sup A  P (tương ứng inf A  P ) Nếu A  P thì P gọi là tập sắp tốt đầy đủ Định nghĩa 1.3.2 Cho tập hợp sắp thứ tự một phần P Khi đó: a c được gọi là sup – center của P nếu tồn tại sup c, y  P , y  P b c được gọi là inf – center của P nếu tồn tại inf c, y ,... gọi là order – center của P nếu nó vừa là sup – center vừa là inf – center của P Với a, b  P, a  b Kí hiệu  a    x  P, a  x  b   x  P, x  b  a, b   x  P, a  x  b Định lí 1.3.3 Cho  P ,   là tập sắp thứ tự một phần, G : P  P là ánh xạ tăng và G  P  là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P Khi đó a Nếu P có một sup – center c thì G có điểm bất động x  thỏa mãn x ... c, Gc  f  c  hay c là cận dưới của f  c  Gọi C là xích sắp tốt của f từ c Vì f  P  đầy đủ tương đối và f  C   f  P  là tập sắp tốt nên theo định nghĩa 1.3.1 sẽ tồn tại b  sup f  C  Theo định lí 1.3.1 thì là điểm bất động b của f và b  min  x   c  / f  x   x  Ta có b  f  b   sup c, Gb nên Gb  b Gọi C ' là xích sắp tốt nghịch đảo của G từ b Khi đó vì G  C ' sắp...Định nghĩa 1.2.1 Xích C được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lặp G từ a Định lí 1.2.1 Cho tập có thứ tự  P ,   , ánh xạ G : P  P , a  P Giả sử C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a Nếu a  Ga và x*  sup G  C  tồn tại thì x*  max C và Gx*  x* Chứng minh Giả sử a  Ga và x*  sup G  C  tồn tại Ta chứng minh x*  max C  Lấy x  C Nếu x  a thì do a  Ga  sup G 