BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ĐỖ TRẦN MINH VŨ MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh-2009 LỜI MỞ ĐẦU Cho R vành giao hoán có đơn vị M R-mô đun Với phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M tự đồng cấu M xác định phép nhân phần tử x với M Mô đun M gọi coprimary M = với x thuộc R ϕx,M đơn cấu lũy linh Khi đó, (M ) = ρ iđêan nguyên tố R M gọi M ρ-coprimary Mô đun N M gọi mô đun ρ-nguyên sơ mô đun thương M/ ρ-coprimary Một phân tích nguyên sơ N M N biểu diễn N giao hữu hạn mô đun nguyên sơ M: N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn Sự phân tích nguyên sơ gọi tối tiểu mô đun nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qn thỏa điều kiện : M/ (1) Các iđêan nguyên tố Qi phân biệt (2) Không có Qi nằm giao mô đun lại Từ đó, nhà toán học nêu khái niệm mô đun thứ cấp mô đun biểu diễn Một R-mô đun M gọi thứ cấp M = với x thuộc R ϕx,M toàn cấu lũy linh Khi đó, (M ) = ρ iđêan nguyên tố R M gọi R-mô đun ρ-thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp M biểu diễn M tổng hữu hạn mô đun thứ cấp: M = N1 + N2 + + Nn Biểu diễn thứ cấp gọi tối tiểu mô đun thứ cấp N1 , N2 , , Nn thỏa điều kiện : (1) Các iđêan nguyên tố (Ni ) phân biệt (2) Không có Ni nằm tổng mô đun lại Nếu M có biểu diễn thứ cấp, ta nói M mô đun biểu diễn Luận văn viết mô đun biểu diễn tính chất nó, chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm khái niệm vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp Hầu hết chứng minh chương bỏ qua Chương 2: Mô đun biểu diễn Chương trình bày vấn đề mô đun biểu diễn được: định nghĩa mô đun thứ cấp mô đun biểu biễn được, tính chất mô đun thứ cấp mô đun biểu diễn được, mô đun mô đun biểu diễn được, tính biểu diễn mô đun Artin, tính biểu diễn Hom(M,E) số tình cụ thể R-mô đun M E Tôi xin gửi đến TS Trần Tuấn Nam, TS Nguyễn Đình Lân lòng biết ơn chân thành Thầy người hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Xin chân thành cảm ơn đến thầy cô Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh thầy cô tham gia giảng dạy, quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn đồng nghiệp, bạn học khóa giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn có thiếu sót, kính mong thầy cô bạn góp ý thông cảm TP Hồ Chí Minh 12-2009 Đỗ Trần Minh Vũ Mục lục CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu 1.4 Iđêan nguyên sơ 1.5 Mô đun 1.6 Vành Nơ te 1.7 Vành Artin 1.8 Dãy khớp 10 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 12 Mô đun biểu biễn 12 2.1.1 Các định nghĩa 12 2.1.2 Tính chất mô đun biểu diễn 16 2.1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết 30 2.2 Mô đun mô đun biểu diễn 33 2.3 Tính biểu diễn mô đun Artin 41 2.4 Tính biểu diễn Hom(M;E) 42 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun Trong luận văn này, ta hiểu vành vành giao hoán có đơn vị khác không Cho M R-mô đun, A B hai tập M, = K ⊂ R Ta định nghĩa: A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B} KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K} Tập A khác rỗng M gọi mô đu M A+A ⊂ A RA ⊂ A Với A B hai mô đun M A+B A ∩ B mô đun M Hơn nữa, Giao họ mô đun M mô đun M Cho S tập khác rỗng M Giao tất mô đun M chứa S gọi mô đun sinh tập S, ký hiệu Cho A mô đun M, tập thương M/A = {m + A|m ∈ M } R- mô đun với phép toán (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 + m2 ) + A r (m + A) = rm + A R-mô đun M/A gọi mô đun thương M theo mô đun A 2 Giả sử M R-mô đun f : S → R đồng cấu vành Khi đó, M xem S-mô đun với phép nhân s.m = f (s).m Tập S M gọi hệ sinh M M= Tập n ri si = với S gọi độc lập tuyến tính từ đẳng thức i=1 ri ∈ R, si ∈ S, ta có r1 = r2 = = rn = Mô đun M gọi mô đun tự M có hệ sinh độc lập tuyến tính Giả sử {Mi }i∈I họ R-mô đun Trong tập tích Đề Mi , ta i∈I định nghĩa phép toán: (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I r.(xi )i∈I = (rxi )i∈I Mi trở thành R-mô đun gọi tích trực tiếp họ Khi đó, i∈I R-mô đun {Mi }i∈I Mi = Mô đun i∈I (xi )i∈I ∈ Mi | hữu hạn xi = Mi i∈I i∈I gọi tổng trực tiếp của họ mô đun {Mi }i∈I Tổng trực tiếp mô đun tự mô đun tự R-mô đun M tự M đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành R Mỗi mô đun M đẳng cấu với mô đun thương mô đun tự Cho M R- mô đun, L N mô đun M Ta kí hiệu (L : N ) = {x ∈ R|x.N ⊂ L} Đây iđêan R Trong trường hợp đặc biệt L=0 N=M (0 : M ) gọi linh hóa mô đun M, kí hiệu Ann(M) Với m ∈ M , Ann(m) linh hóa R-mô đun sinh phần tử m ∈ M Mệnh đề 1.1.1 Cho L N hai R-mô đun Khi đó, Ann (L + N ) = Ann (L) ∩ Ann (N ) (N : L) = Ann (N + L)/N Mệnh đề 1.1.2 Cho R-mô đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L Khi đó: L/ N ∼ M/ = L/M N Mệnh đề 1.1.3 Cho L N mô đun M Khi đó: L (L + N )/ ∼ N = /(N ∩ L) Mệnh đề 1.1.4 Cho M R-mô đun Khi đó: M hữu hạn sinh M đẳng cấu với mô đun thương mô đun tự hữu hạn sinh 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Giả sử R vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không Iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết R-mô đun M tồn phần tử x ∈ M để Ann(x)=P AssR (M ) tập tất iđêan nguyên tố liên kết R-mô đun M Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M) Mệnh đề 1.2.1 Cho P phần tử tối đại tập iđêan Ann (x) |x ∈ M x = Khi đó, P ∈ Ass (M ) Hệ 1.2.2 Cho M R-mô đun (1) Ass (M ) = ⇔ M = (2) Tập ước của R-mô đun M hợp iđêan nguyên tố liên kết M Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R) |MP = ∅} Định lý 1.2.3 Cho M R-mô đun Khi đó, Ass (M ) ⊂ Supp (M ) 4 Định lý 1.2.4 Cho M R-mô đun hữu hạn sinh khác Khi đó, tồn dãy mô đun = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M cho Mi/ ∼R Mi−1 = /Pi với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n) Bổ đề 1.2.5 Cho → M → M → M dãy khớp R-mô đun Ass (M ) ⊂ Ass (M ) ∪ Ass (M ) Từ bổ đề trên, ta thấy, M = M1 ⊕ M2 ta có dãy khớp → M1 → M → M2 đó, Ass (M ) ⊂ Ass (M1 ) ∪ Ass (M2 ) Mệnh đề 1.2.6 Cho M R-mô đun hữu hạn sinh Khi đó, Ass (M ) tập hữu hạn Định lý 1.2.7 Cho R vành Nơ te, điều sau tương đương với M R-mô đun: (1) M coprimary (2) M có iđêan nguyên tố liên kết 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu Cho vành giao hoán có đơn vị R Một iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết yếu M tồn phần tử x ∈ M để P tối tiểu Ann(x) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết yếu M kí hiệu W.Ass(M) Mệnh đề 1.3.1 Cho M R-mô đun Khi đó, ta có: (1) Ass (M ) ⊂ W.Ass (M ) (2) Ass (M ) = W.Ass (M )nếu R vành Nơ te (3) W.Ass = ∅ M = (4) Nếu → M → N → L → dãy khớp W.Ass (M ) ⊂ W.Ass (N ) ⊂ W.Ass (M ) ∪ W.Ass (L) Mệnh đề 1.3.2 Cho M R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không M có phân tích nguyên sơ Gọi = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nn phân tích nguyên sơ tối tiểu 0, Ni mô đun Pi -nguyên sơ M Khi đó, W.Ass (M ) = {P1 , P2 , , Pn } Hệ 1.3.3 Cho R vành Nơ te, M R-mô đun hữu hạn sinh mô đun M có phân tích nguyên sơ 1.4 Iđêan nguyên sơ Mệnh đề 1.4.1 (1) Cho Q1 , , Qn iđêan nguyến tố vành R P n Qi Khi đó, tồn số i0 để P ⊂ Qi0 iđêan R nằm i=1 (2) Cho P1 , , Pn iđêan vành R Q iđêan nguyên n Pi Khi đó, tồn số i để Pi ⊂ Q Đặc biệt, tố R chứa i=1 n Q = Pi có i để Q = Pi i=1 Cho P Q hai iđêan vành R Q ∪ P iđêan R Ta định nghĩa iđêan (Q : P ) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi iđêan thương Q cho P Cho P iđêan vành R Căn P, kí hiệu r (P ), iđêan xác định sau: r (P ) = {x ∈ R | ∃n > : xn ∈ P } Mệnh đề 1.4.2 Cho P iđêan vành R Khi đó: (1) P ⊂ r (P ) (2) Nếu P iđêan nguyên tố r (P n ) = P với số n>0 Nếu f : A → B đồng cấu vành Q iđêan B P = f −1 (Q) iđêan A ta kí hiệu P = Qc iđêan P R gọi nguyên sơ P khác R x.y ∈ P x ∈ P y n ∈ P với số nguyên dương n Một iđêan nguyên tố đương nhiên iđêan nguyên sơ điều ngược lại không iđêan P gọi Q-nguyên sơ P iđêan nguyên sơ r(P)=Q Mệnh đề 1.4.3 Nếu Q iđêan nguyên sơ r(Q) iđêan nguyên tố tối tiểu R chứa Q Mệnh đề 1.4.4 Nếu r(P) iđêan tối đại P iđêan nguyên sơ Đặc biệt, P iđêan tối đại R với n>0, P n iđêan P-nguyên sơ Một phân tích nguyên sơ iđêan P vành R biểu diễn P giao số hữu hạn iđêan nguyên sơ R Sự phân n tích nguyên sơ P = Qi iđêan P vành R gọi tối tiểu i=1 n Qj ⊂ Qi Từ phân tích nguyên sơ bất kì, ta với i, j=1 j=i có phân tích nguyên sơ tối tiểu iđêan P R gọi phân tích P có phân tích nguyên sơ R Mệnh đề 1.4.5 Cho P iđêan phân tích vành R P = n Qi phân tích nguyên sơ tối tiểu P Khi đó, với i, đặt i=1 Pi = r (Qi ) Khi đó, Pi không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ P 1.5 Mô đun Một mô đun thực N M gọi mô đun nguyên tố M nếu, với r ∈ R m ∈ M thỏa rm ∈ N m ∈ N ,hoặc r ∈ (N : M ) Ta thấy, N mô đun nguyên tố M P = (N : M ) iđêan nguyên tố R Do đó, ta gọi N P-mô đun nguyên tố Cho R vành M R-mô đun Với phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M tự đồng cấu M xác định phép nhân phần tử x với M Khi đó, nilradical M, kí hiệu (M ), tập tất phần tử x thuộc R cho ϕx,M lũy linh Nó iđêan R, gọi lũy linh M Định lý 1.5.1 N mô đun nguyên tố M với r thuộc R, đồng cấu ϕ M : M/N → M/N đơn cấu, r, /N Ta nói mô đun M nguyên tố mô đun M mô đun nguyên tố Do đó, Mô đun N mô đun nguyên tố M/N mô đun nguyên tố Một R-mô đun M gọi coprimary M khác không với x thuộc R ϕx,M đơn cấu lũy linh Khi đó, (M ) = P iđêan nguyên tố R Do đó, ta nói M P-coprimary Cho M R-mô đun P iđêan nguyên tố R Mô đun N M gọi mô đun P-nguyên sơ mô đun thương M/N P-đối nguyên sơ Một phân tích nguyên sơ N M biểu diễn N giao hữu hạn mô đun nguyên sơ M: N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn Sự phân tích nguyên sơ gọi tối tiểu mô đun nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qn thỏa điều kiện : M/ (1) Các iđêan nguyên tố Pi = Qi phân biệt (2) Không có Qi nằm giao mô đun lại Cho M R-mô đun có mô đun có phân tích nguyên tối tiểu = Q1 ∩ ∩ Qn Khi đó: M/ Qi không phụ thuộc vào phân tích mô đun Hơn nữa, P iđêan Mệnh đề 1.5.2 Tập iđêan nguyên tố Pi = nguyên tố R điều sau tương đương : (1) P Pi (2) M có mô đun P-đối nguyên sơ (3) M có mô đun mà nilradical P 8 M/ Qi kí hiệu Ass(M) Một tập B Ass(M) gọi cô lập với P thuộc B Tập iđêan Pi = Q thuộc Ass(M), Q ⊂ P Q ∈ B Mệnh đề 1.5.3 Nếu {Pi1 , , Pir } tập cô lập Ass(M) mô đun Qii ∩ ∩ Qir không phụ thuộc phân tích chọn Mệnh đề 1.5.4 Tập phần tử x ∈ R để ϕx,M không đơn cấu hợp tấp Pi thuộc Ass(M) Mệnh đề 1.5.5 Tập phần tử x ∈ R để ϕx,M lũy linh giao tất Pi thuộc Ass(M) 1.6 Vành Nơ te Một vành R gọi vành Nơ te tập khác rỗng iđêan R có phần tử tối đại Mệnh đề 1.6.1 Các điều sau tương đương vành R: (1) R vành Nơ te (2) Mọi iđêan R hữu hạn sinh Mệnh đề 1.6.2 Cho R vành Nơ te Khi đó, (1) Nếu φ : R → S toàn cấu S vành Nơ te (2) Nếu S tập đóng nhân R S −1 R vành Nơ te (3) Nếu P iđêan nguyên tố R RP vành Nơ te Mệnh đề 1.6.3 Cho S vành vành R Nếu S vành Nơ te R hữu hạn sinh, xét S-mô đun Khi đó, R vành Nơ te Định lý 1.6.4 Trong vành Nơ te, iđêan có phân tích nguyên sơ 9 Mệnh đề 1.6.5 Cho R vành Nơ te Khi đó, (1) Mọi iđêan chứa lũy thừa radical (2) Nếu Q iđêan tối đại R P iđêan bất bì khác R điều sau tương đương: (a) P Q-nguyên sơ (b) r (P ) = Q (c) tồn số n để Qn ⊂ P ⊂ Q 1.7 Vành Artin Một vành R gọi vành Artin tập không rỗng iđêan R có phần tử tối tiểu Mệnh đề 1.7.1 Trong vành Artin, ta có: (1) Mọi iđêan nguyên tố iđêan tối đại (2) Tập iđêan tối đại tập hữu hạn Định lý 1.7.2 Cho vành R có iđêan không tích iđêan tối đại P1 , , Pn ( không thiết iđêan tối đại khác nhau) Khi đó, R vành Nơ te R vành Artin Ta xét dãy hữu hạn iđêan nguyên tố R sau: P0 P1 P2 Pn Một dãy gọi có độ dài n Ta định nghĩa chiều vành R sup tập độ dài dãy iđêan nguyên tố R Kí hiệu dimR Hiển nhiên vành Artin có số chiều Định lý 1.7.3 Cho vành R R vành Artin R vành Nơ te dimR=0 Một vành gọi vành địa phương có iđêan tối đại Định lý 1.7.4 Một vành Artin R đẳng cấu với tích trực tiếp hữu hạn vành Artin địa phương 10 1.8 Dãy khớp Cho M E hai R-mô đun, ánh xạ f : M → E gọi R-đồng cấu với m1 , m2 ∈ M r ∈ R f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 ) f (r.m1 ) = r.f (m1 ) Ta đặt Hom(M,E) tập tất R-đồng cấu từ M vào E Cho f : M → N R-đồng cấu R-mô đun E R-mô đun, ta kí hiệu f∗ : Hom (N, E) → Hom (M, E) R-đồng cấu biến đồng cấu g Hom(N,E) thành đồng cấu gf Hom(M,E) Tương tự, f ∗ : Hom (E, M ) → Hom (E, N ) R-đồng cấu biến đồng cấu g Hom(E,M) thành đồng cấu fg Hom(E,N) Một dãy R-mô đun R-đồng cấu fn+1 fn → − Mn−1 −−→ Mn −−−→ Mn+1 → − gọi khớp Mn Im fn = Ker fn+1 Một dãy gọi khớp khớp Mn Đặc biệt: f (1) Dãy → − M→ − N khớp f đơn cấu f (2) Dãy M → − N→ − khớp f toàn cấu g f (3) Dãy → − L→ − M → − N → − khớp g đơn cấu, f toàn cấu Im g = Ker f g f Mệnh đề 1.8.1 Cho L → − M→ − N→ − dãy R-mô đun R-đồng cấu Dãy khớp với R-mô đun E, dãy sau khớp: f g 0→ − Hom (N, E) → − Hom (M, E) → − Hom (L, E) g f Mệnh đề 1.8.2 Cho → − L→ − M→ − N dãy R-mô đun R-đồng cấu Dãy khớp với R-mô đun E, dãy sau khớp: g f 0→ − Hom (E, L) → − Hom (E, M ) → − Hom (E, N ) 11 Định nghĩa: Cho E R-mô đun E gọi R-mô đun nội xạ với đơn cấu χ : A → B, đồng cấu f : A → E, tồn đồng cấu f : B → E cho f = f χ Định lý 1.8.3 Mọi mô đun nhúng vào mô đun nội xạ đó, xem mô đun mô đun nội xạ Nếu R-mô đun E nội xạ với dãy khớp ngắn g f 0→ − L→ − M→ − N→ − ta có dãy khớp sau: f g 0→ − Hom (N, E) → − Hom (M, E) → − Hom (L, E) → − Định nghĩa: Cho E R-mô đun E gọi R-mô đun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C, đồng cấu f : E → C, tồn đồng cấu f : E → B cho f = σf Nếu R-mô đun E xạ ảnh với dãy khớp ngắn g f 0→ − L→ − M→ − N→ − ta có dãy khớp sau: g f − Hom (E, M ) → − Hom (E, N ) → − 0→ − Hom (E, L) → 12 Chương MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 2.1.1 Mô đun biểu biễn Các định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị Một R-mô đun M gọi thứ cấp M khác không với x thuộc R ϕx,M toàn cấu lũy linh Mệnh đề 2.1.1 Cho M R-mô đun thứ cấp Ta có (M ) = ρ iđêan nguyên tố R Chứng minh: Giả sử xy ∈ ρ y ∈ / ρ Khi đó, với n, y n M = tồn số m để (xy)m M = Do đó, ϕy,M không lũy linh nên toàn cấu Do đó, yM = M Vì nên = (xy)m M = xm y m M = xm M Suy ra, x ∈ ρ Vậy, ρ iđêan nguyên tố R Do mệnh đề trên, M R-mô đun thứ cấp có (M ) = ρ, ta gọi M ρ-thứ cấp Cho M R-mô đun Một biểu diễn thứ cấp M biểu diễn M tổng hữu hạn mô đun thứ cấp: M = N1 + N2 + + Nn Biểu diễn thứ cấp gọi tối tiểu mô đun thứ cấp N1 , N2 , , Nn thỏa điều kiện : 13 (Ni ) phân biệt (1) Các iđêan nguyên tố (2) Không có Ni nằm tổng mô đun lại Nếu M có biểu diễn thứ cấp, ta nói M mô đun biểu diễn Mệnh đề 2.1.2 Tổng trực tiếp hữu hạn mô đun ρ-thứ cấp mô đun ρ-thứ cấp Chứng minh: m Giả sử M = ⊕ Mi tổng trực tiếp R-mô đun ρ-thứ cấp i=1 r Nếu r ∈ ρ với i, Mi − → Mi lũy linh Do đó, có số ni để rni Mi = Đặt n = n1 n2 nm Khi đó, rn Mi = với i Do đó, r rn M = 0, tức M − → M lũy linh r r Nếu r ∈ / ρ với i, Mi − → Mi toàn cấu Do đó, M − → M toàn cấu Vậy, M R-mô đun ρ-thứ cấp Mệnh đề 2.1.3 Mô đun thương khác không mô đun ρ-thứ cấp mô đun ρ-thứ cấp Chứng minh: Giả sử M R-mô đun ρ-thứ cấp M/N mô đun thương khác M r Nếu r ∈ ρ đồng cấu M − → M lũy linh Khi đó, tồn số n để n r → M/N lũy linh rn M = Do đó, rn M/N = r M/N = nên M/N − r Nếu r ∈ / ρ đồng cấu M − → M toàn cấu Do đó, r M/N = r M rM/ = M/ nên M/ − M N N N → /N toàn cấu Vậy, /N R-mô đun ρ-thứ cấp Giả sử M1 , M2 , , Mr R- mô đun M Ta thấy Mi có m thể coi mô đun thương R-mô đun M = ⊕ Mi Do đó, m i=1 M = ⊕ Mi R-mô đun ρ-thứ cấp mệnh đề trên, Mi i=1 14 R-mô đun biểu diễn Do đó, ta có: M1 , M2 , , Mr R- mô đun m ρ-thứ cấp M = ⊕ Mi R-mô đun ρ-thứ cấp i=1 Mệnh đề 2.1.4 Cho M R-mô đun, ρ iđêan nguyên tố R, M1 , M2 , , Mr mô đun ρ-thứ cấp M Khi đó, N = M1 + M2 + + Mr mô đun ρ-thứ cấp M Chứng minh : r Nếu r ∈ ρ với i, Mi − → Mi lũy linh Do đó, có số ni để rni Mi = Đặt n = n1 n2 nm Khi đó, rn Mi = với i Do đó, r rn N = 0, tức N − → N lũy linh r r Nếu r ∈ / ρ với i, Mi − → Mi toàn cấu Do đó, N − → N toàn cấu Vậy, N R-mô đun ρ-thứ cấp n Cho M R-mô đun biểu diễn M = Ni biểu diễn i=1 thứ cấp M Do mệnh đề 2.1.4, ta giả sử iđêan nguyên tố (Ni ) = ρi khác Bằng cách bỏ phần dư tổng trên, ta coi biểu diễn tối tiểu Vậy, từ biểu diễn thứ cấp bất kì, ta tìm biểu diễn thứ cấp tối tiểu n Cho M R-mô đun biểu diễn M = Ni biểu diễn i=1 thứ cấp tối tiểu M Các iđêan nguyên tố ρ1 , ρ2 , , ρn gọi iđêan nguyên tố gắn kết R-mô đun biểu diễn M, kí hiệu Att(M) Tập Att(M) gọi cô lập với Q ∈ Att(M ) thỏa điều kiện có P ∈ để Q ⊂ P Q ∈ Mệnh đề 2.1.5 Cái linh hóa mô đun ρ-thứ cấp iđêan ρ-nguyên sơ Chứng minh: 15 + Nếu x ∈ ρ tồn số n để xn M = Do đó, xn ∈ Ann (M ) xn ∈ r (Ann (M )) Ngược lại, Ann (M ) ⊂ ρ ρ iđêan nguyên tố nên r (Ann (M )) ⊂ ρ Do đó, r (Ann (M )) = ρ + Giả sử xy ∈ Ann (M ) Khi đó, xyM = Nếu x ∈ ρ tồn số n để xn M = Do đó, xn ∈ Ann (M ) Nếu x ∈ / ρ xM = M Do đó, yM = yxM = y ∈ Ann (M ) Vậy, Ann (M ) iđêan ρ-nguyên sơ Mệnh đề 2.1.6 Nếu M R-mô đun ρ-thứ cấp S tập nhân R : a) Nếu S ∩ ρ = ∅ S −1 M =0 b) Đồng cấu nhúng M vào S −1 M toàn cấu c) S −1 M 0, S −1 R-mô đun S −1 ρ-thứ cấp Chứng minh: a) Giả sử S ∩ ρ = ∅ Lấy p ∈ S ∩ ρ Khi đó, tồn số n để pn M = pn ∈ S Ta có, pn (s.0 − 1.m) = pn m = Vì nên với m s m s ∈ S −1 M , = 0S −1 M Vậy, S −1 M = b) Ta có ψ : M → S −1 M biến m ∈ M thành ∈ S −1 M Nếu m S ∩ ρ = ∅ S −1 M =0 Khi đó, đồng cấu nhúng M vào S −1 M đương nhiên toàn cấu Nếu S ∩ ρ = ∅ với m s ∈ S −1 M , sM = M nên có m1 ∈ M để sm1 = m Khi đó, ta có s (s.m1 − 1.m) = nên ψ (m1 ) = m1 m s −1 = Do đó, đồng cấu nhúng M vào S −1 M toàn cấu c) Giả sử S M = ∅ Nếu p s m s ∈ S −1 ρ p ∈ ρ nên tồn số n để pn M = Khi đó, với ∈ S −1 M , p n m s s = pn m s s p s = Do đó, S −1 M − → S −1 M lũy linh Nếu p s ∈ / S −1 ρ với m s m1 ∈ M để p.m1 = m Khi đó, ∈ S −1 M , p ∈ / ρ nên ta tìm p p m1 s = m s nên S −1 M → −s S −1 M toàn cấu Vậy, S −1 M S −1 R -mô đun S −1 ρ-thứ cấp 16 2.1.2 Tính chất mô đun biểu diễn Trong phần này, ta xem R vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không Mệnh đề 2.1.7 Cho M R-mô đun biểu diễn Khi đó, α = Ann(M ) iđêan phân tích R Và Ass R/α ⊂ Att (M ) Chứng minh: n Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = Ni với Ni ρi -thứ i=1 cấp Đặt Qi = Ann(Ni ) Từ 2.1.5, ta có Qi ρi -nguyên sơ n Nếu r ∈ ∩Qi rNi = với số i Do đó, rM = rNi = i=1 Suy ra, r ∈ Ann (M ) n Nếu r ∈ / ∩Qi tồn số i0 để r ∈ / ρi0 Vì biểu diễn M = n n biểu diễn tối tiểu nên Ni0 ⊂ Ni Chọn x0 ∈ Ni0 \ i=1 i=i0 rxi0 = Ni i=1 Ni Khi đó, i=1 i=i0 n rxi0 ∈ / Ni i=1 i = i0 Vì n rxio + Ni = i=1 i = i0 Do đó, rM = Suy ra, r ∈ / Ann (M ) Vậy, ta có Ann(M ) = ∩Qi Do đó, Ann(M) iđêan phân tích A Theo mệnh đề 1.5.2, ta có Ass R/α ⊂ Att (M ) Mệnh đề 2.1.8 Cho Q mô đun thương khác R- mô đun biểu diễn M Khi đó, Q mô đun biểu diễn Att(Q) ⊂ Att(M ) [...]... Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i=1 thứ cấp của M Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố (Ni ) = ρi là khác nhau Bằng cách bỏ các phần dư trong tổng trên, ta coi biểu diễn trên là tối tiểu Vậy, từ một biểu diễn thứ cấp bất kì, ta luôn có thể tìm được một biểu diễn thứ cấp tối tiểu n Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i=1 thứ cấp tối... là R-mô đun Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + + Nn Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1 , N2 , , Nn thỏa các điều kiện : 13 (Ni ) phân biệt (1) Các iđêan nguyên tố (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được Mệnh đề 2.1.2... ∈ / ρ nên ta tìm được p p m1 s 1 = m s nên S −1 M → −s S −1 M là toàn cấu Vậy, S −1 M là S −1 R -mô đun S −1 ρ-thứ cấp 16 2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không Mệnh đề 2.1.7 Cho M là R-mô đun biểu diễn được Khi đó, α = Ann(M ) là iđêan phân tích được của R Và Ass R/α ⊂ Att (M ) Chứng minh: n Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối... Định nghĩa: Cho E là R-mô đun E được gọi là R-mô đun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu σ : B → C, mỗi đồng cấu f : E → C, tồn tại đồng cấu f : E → B sao cho f = σf Nếu R-mô đun E là xạ ảnh thì với mọi dãy khớp ngắn g f 0→ − L→ − M→ − N→ − 0 ta có dãy khớp sau: g f − Hom (E, M ) → − Hom (E, N ) → − 0 0→ − Hom (E, L) → 12 Chương 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 2.1.1 Mô đun biểu biễn được Các định nghĩa Cho R là... Vậy, ta có Ann(M ) = ∩Qi Do đó, Ann(M) là iđêan phân tích được của A Theo mệnh đề 1.5.2, ta có Ass R/α ⊂ Att (M ) Mệnh đề 2.1.8 Cho Q là một mô đun thương khác 0 của R- mô đun biểu diễn được M Khi đó, Q là mô đun biểu diễn được và Att(Q) ⊂ Att(M ) ... (M ) n Nếu r ∈ / ∩Qi thì tồn tại chỉ số i0 để r ∈ / ρi0 Vì biểu diễn M = n n là biểu diễn tối tiểu nên Ni0 ⊂ Ni Chọn x0 ∈ Ni0 \ i=1 i=i0 rxi0 = 0 và Ni i=1 Ni Khi đó, i=1 i=i0 n rxi0 ∈ / Ni i=1 i = i0 Vì thế cho nên n rxio + Ni = 0 i=1 i = i0 Do đó, rM = 0 Suy ra, r ∈ / Ann (M ) Vậy, ta có Ann(M ) = ∩Qi Do đó, Ann(M) là iđêan phân tích được của A Theo mệnh đề 1.5.2, ta có Ass R/α ⊂ Att (M ) Mệnh... diễn thứ cấp tối tiểu n Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i=1 thứ cấp tối tiểu của M Các iđêan nguyên tố ρ1 , ρ2 , , ρn được gọi là các iđêan nguyên tố gắn kết của R-mô đun biểu diễn được M, kí hiệu là Att(M) Tập con của Att(M) được gọi là cô lập nếu với bất kì Q ∈ Att(M ) thỏa điều kiện có P ∈ để Q ⊂ P thì Q ∈ Mệnh đề 2.1.5 Cái linh hóa của một mô đun ρ-thứ cấp là một iđêan... M là P-coprimary Cho M là R-mô đun và P là iđêan nguyên tố của R Mô đun con N của M được gọi là mô đun con P-nguyên sơ nếu mô đun thương M/N là P-đối nguyên sơ Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M: N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qn thỏa các điều kiện... , Mr là các R- mô đun con của M Ta thấy Mi có m thể coi như là mô đun thương của R-mô đun M = ⊕ Mi Do đó, nếu m i=1 M = ⊕ Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp thì do mệnh đề trên, Mi cũng là i=1 14 R-mô đun biểu diễn được Do đó, ta có: M1 , M2 , , Mr là các R- mô đun m ρ-thứ cấp khi và chỉ khi M = ⊕ Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp i=1 Mệnh đề 2.1.4 Cho M là R-mô đun, ρ là iđêan nguyên tố của R, và M1 , M2 , , Mr là... linh Nó là một iđêan của R, được gọi là căn lũy linh của M Định lý 1.5.1 N là mô đun con nguyên tố của M khi và chỉ khi với mỗi r thuộc R, đồng cấu ϕ M : M/N → M/N hoặc là đơn cấu, hoặc r, /N là bằng 0 Ta nói mô đun M là nguyên tố nếu mô đun con 0 của M là mô đun con nguyên tố Do đó, Mô đun con N là mô đun con nguyên tố khi và chỉ khi M/N là mô đun nguyên tố Một R-mô đun M được gọi là coprimary nếu