BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Phước Tồn TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Phước Tồn TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trước hết qua luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, người thầy tận tình hướng dẫn giúp em tích lũy kiến thức bổ ích để hoàn thành luận văn Trong suốt trình học tập, em nhận kiến thức quý báu từ thầy cô khoa Toán -Tin trường Đại học Sư Phạm Tp HCM trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, qua luận văn em xin đồng kính gửi đến thầy cô lòng tri ân thành kính Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô làm việc phòng KHCN-SĐH giúp em nhiều trình học tập thực luận văn ***************** Lê Phước Toàn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào đầu kỷ XX, lý thuyết khơng gian trừu tượng: khơng gian metric, khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian tơpơ tuyến tính tơpơ hình thành Tiếp đó, lý thuyết tốn tử tuyến tính xuất tìm ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết số lĩnh vực kỹ thuật Lý thuyết phương trình tốn tử khơng gian có thứ tự đời từ năm 1950 hồn thiện ngày Tính chất phổ nghiên cứu cho nhiều lớp tốn tử tuyến tính dương phương pháp khác nhau, nhà tốn học từ nhiều nước Việc tập hợp kết lại trình bày chúng theo hệ thống hồn chỉnh việc làm cần thiết Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương để nghiên cứu tồn giá trị riêng  tương ứng với vectơ riêng x0 tốn tổng qt sau: “Cho C tập hợp khơng gian E,u tốn tử tuyến tính dương từ C vào X với điều kiện C,X u để khẳng định tồn vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng  cho u x0 =  x0” Luận văn chủ yếu trình bày ứng dụng khơng gian vectơ tơpơ thứ tự để nghiên cứu tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương, compắc, tốn tử u0- bị chặn, tốn tử tuyến tính khơng phân tích Chúng ta giả sử biết vấn đề đại số tốn tử khơng gian Banach; Chương I liệt kê số chi tiết cần việc trình bày Chương II dành cho bắt tay vào nghiên cứu vấn đề phổ tốn tử tuyến tính dương Chương III dành cho nghiên cứu phổ tốn tử u0 – bị chặn Cuối chương IV dành riêng cho vấn đề phổ tốn tử tuyến tính khơng phân tích Chương 1: PHỔ CỦA ÁNH XẠ - KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ 1.1 Các tính chất giải thức Giả sử (E, ) khơng gian Banach phức ký hiệu L(E) đại số Banach ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thơng thường u  u =sup{ u(x) : x  1}.Nếu u  L(E) phổ  (u) phần bù C tập mở lớn  (u) mà  (  e-u)-1 tồn hàm giải tích địa phương Ở phần e ký hiệu cho ánh xạ đồng L(E) Cho    (u), đặt (  e-u)-1 = R(  );  R(  ) gọi giải thức,  (u) gọi tập giải thức u Giả sử E {0}  (u) tập Compact khơng rỗng C bán kính r(u) đường tròn nhỏ tâm O C chứa  (u) gọi bán kính phổ u; tập {   C:|  |= r(u)}, gọi đường tròn phổ u Hơn nữa,    (u)    (u) có phương trình giải thức: R(  )-R(  )= - (  -  )R(  ).R(  ) (1) Ở ký hiệu hợp u0v u,v  L (E) uv Theo định lý ánh xạ ngược Banach, phổ  (u) định nghĩa tập hợp   C để  e-u khơng song ánh Từ xem xét có kết sau: Định lý: Giả sử u  L (E) với E khơng gian Banach phức giả sử {  n:n  N} dãy  (u) hội tụ tới   C,    (u), limn R(  n) = +  Chứng minh (=>) Giả sử  n      (u)  e – u khơng khả nghịch n  L (E) Suy lim R(n )   n  (  )Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử tồn dãy {  n} dãy {  n} cho {R(  n):n  N} bị chặn, (1) ta có: với m > n R(  n)- R(  m) = - (  n-  m) R(  n) R(  m) m,n  N R( n )  R( m )  lim n   Suy lim n  n  Từ suy {R(  n):n  N } dãy Cauchy L (E) hội tụ tới  ,  L (E) Điều nghĩa lim R( n )( n e - u)   ( e - u) = e n  tương tự ta có (  e-u)  =e , suy ( e-u) khả nghịch L (E) Do :    (u) điều mâu thuẩn R(n )   Vậy lim n  Tập hợp  (u) nơi mà đó(  e-u) khơng đơn ánh gọi phổ điểm (u) u Một phần tử 0  (u) gọi giá trị riêng u, khơng gian hạch (hạt nhân) ( 0e - u) gọi khơng gian riêng tương ứng ký hiệu N( 0) Số chiều N( 0) gọi số bội (hình học) 0 phần tử khác khơng N( 0) gọi vectơ riêng u tương ứng với giá trị riêng 0 , vectơ riêng x nghiệm phương trình ux = 0x Phổ điểm u bao gồm tất cực giải thức R Giả sử 0  cực R R( ) =  ak(  - 0 )k (a-n  0) (2) k  n khai triển Laurent R lân cận 0 Số ngun n (n  1) bậc cực 0, tổng riêng phần (2) kéo dài từ k = - n tới k = -1 gọi phần khai triển; a-n gọi hệ số đầu tiên, a-1 gọi thặng dư R  = 0 Nhân (2) với (  e-u) = ( 0 e-u)+ (  - 0) e so sánh hệ số đồng thức nhận (theo định lý cho hàm giải tích), có được: a-n ( 0 e-u)= ( 0 e-u) a-n = a-n = a-1(u- 0 e)n-1 hiển nhiên hệ số ak giao hốn với u Những mối quan hệ cho ta thấy 0 thuộc  (u); cụ thể hơn, hệ số a-1 phép chiếu E lên khơng gian hạch ( 0 e-u)n khơng gian chứa N( 0) Ngồi cho nhớ lại u Compact giải thức R hàm chỉnh hình hình cầu Riemann bị đâm thủng (một cách xác định tổng qt, R()=0) u compact  (u) tập hợp đếm với điểm tụ nhất, số khác khơng    (u) giá trị riêng u có số bội hữu hạn Cuối cùng, u  L (E) | |  r (u) giải thức u cho R( ) =    -(n+1) un (3) n 0 (uo=e); (3) khai triển R  gọi chuỗi C-Newmann Theo tiêu chuẩn Cauchy cho hội tụ chuỗi luỹ thừa ta suy ra: r (u) = lim sup un 1/n cách xác r(u) = limn un 1/n Trong trường hợp r (u) = 0, u gọi lũy linh tơpơ đại số Banach L (E); hiển nhiên u lũy linh tơpơ  (u) ={0} tương đương, giải thức R (với R()=0) hàm số ngun  -1 Nếu E khơng gian Banach u  L (E), phổ thực  R(u) xác định tập hợp R nơi mà (  e-u) khơng song ánh; cách tương tự, xác định giải thức thực u hàm số   (  e-u)-1 với miền xác định R\  R(u) (có thể xảy  R(u) trống ví dụ phép quay quanh gốc mặt phẳng Euclidean R2 ) Chúng ta xét q trình phức hóa khơng gian Banach thực sau: Giả sử (E, ) khơng gian Banach R Sự phức hóa E1 E khơng gian định chuẩn đầy đủ C Nếu muốn có chuẩn E1 cho phép nhúng E E1 phép đẳng cự ta định nghĩa: x + iy = sup (cos )x + (sin )y 0  2 Mọi u  L (E) có mở rộng phức u  L (E1) xác định u (x+iy) = u(x) + iu(y) với x,y  E Trong trường hợp E khơng gian Banach thực u  L (E) xác định phổ, giải thức, bán kính phổ u đối tượng tương ứng cho u xác định Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng u với mở rộng phức u Dễ dàng nhận thấy với u  L (E), có  R(u) =  (u)  với   \  R(u) giải thức thực u thu hẹp giải thức u E (được xem khơng gian thực E1) bán kính phổ r (u) số thực nhỏ   cho với |  |  ,   chuỗi (3) hội tụ L (E) 1.2 Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.2.1.1 1) Tập K khơng gian Banach thực X gọi nón i) K tập đóng ii) K + K  K,  K  K,    iii) K  (-K) = {  } 2) Nếu K nón thứ tự X sinh K định xy  y–xK Mỗi x  K\ {  } gọi dương Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “” thứ tự sinh nón Khi đó: 1) x  y  x+ z  y+ z ;  x   y  z  X,    2) (xn  yn (n  N*), lim xn = x, lim yn = y)  x  y 3) Nếu { xn } dãy tăng, hội tụ x xn  x ( n  N*) Chứng minh 2) Suy từ tính chất đóng K 3) Cho m   bất đẳng thức xn  xn+m 1.2.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.2.1: nón K gọi nón chuẩn nếu:  N>0:  x y x N y Mệnh đề 1.2.2.2: Giả sử “” thứ tự sinh nón chuẩn 1) Nếu u  v đoạn := {x  X: u  xv } bị chặn theo chuẩn 2) Nếu xn  yn  zn (n  N*) lim xn =a, lim zn =a lim yn =a 3) Nếu { xn } đơn điệu, có dãy hội tụ a lim xn =a, Chứng minh 1)  x     x-u  v-u   x-u  N u-v x  u + N u-v 2)   yn - xn  zn - xn  yn - x n N zn - xn xn = a 3) Coi { xn } tăng lim k  k Vì xn  x n k (n cố định, k đủ lớn) nên xn  a  n  N*