BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu thân hướng dẫn tận tình,chu đáo PGS.TS Mỵ Vinh Quang Bằng kiến thức mà học hai năm qua lớp cao học khoá 17 ngành Đại số lý thuyết số làm tảng cho nghiên cứu tiếp sách tham khảo để viết lên luận văn Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Trần Huyên TS Đậu Thế Cấp, quý thầy trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu, dành thời gian quý báu đọc góp ý cho luận văn Tôi vô cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh quý thầy cô trường Cao Đẳng Kỹ Thuật Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hoàn thành luận văn Tôi biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp bạn bè giúp đỡ hỗ trợ tinh thần vật chất cho thời gian qua Cuối cùng, xin cảm ơn chồng hai yêu quí, người chấp nhận khó khăn để yên tâm học tập mong mỏi thành công TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2009 Nguyễn Thị Cẩm Thạch MỤC LỤC Trang phụ bìa……………………………………………………………………….1 Lời cảm ơn………………………………………………………………………… Mục lục …………………………………………………………………………… Danh mục ký hiệu……………………………………………………………….4 MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………5 Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC…………… 1.1 Chuẩn trường………………………………………………….6 1.2 Xây dựng trường số p-adic 1.3 Tính chất tô pô 1.4 Trường số phức hàm chỉnh hình p-adic…………………………….23 p p ……………………………………… 11 ……………………………………………… 17 Chương XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC…………………….25 2.1 Không gian hàm địa phương……………………………… 25 2.2 Độ đo p-adic………………………………………………………… 28 2.3 Một số độ đo thường dùng……………………………………………32 2.4 Tương tự p-dic tích phân Riemann……………………………….33 2.5 Điều kiện khả tích…………………………………………………….35 Chương TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG…………….45 3.1 Một số kết lý thuyết tích phân Cauchy giải tích phức… 45 3.2 Tích phân Schnirelman……………………………………………… 46 3.3 Lớp   D  …………………………………………………………… 56 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN……………………………………………………64 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….65 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập số tự nhiên : Tập số nguyên : Tập số hữu tỷ : Tập số thực p : Tập số nguyên p-adic * p : Tập phần tử khả nghịch p : Chuẩn trường K p : Trường số p-adic p : Trường số phức p-adic p : Chuẩn p-adic p ord p a : Số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố B (a, r ) : Hình cầu mở tâm a bán kính r B  a, r  : Hình cầu đóng tâm a bán kính r D ( a, r ) : Mặt cầu tâm a bán kính r   p p a  pN : Khoảng  x : Phần nguyên x A : Hàm đặc trưng tập A  Haar : Độ đo Haar  : Độ đo Dirac  Mazar : Độ đo Mazur xa , N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  S N ,xa , N  ( f ) : Tổng Riemann hàm f  f : Tích phân hàm f ứng với độ đo  p p p p p MỞ ĐẦU Giải tích p-adic hướng mà phát triển nhanh ngành Đại số Lý thuyết số Gần có số tác giả xây dựng tích phân p-adic sử dụng chúng các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội suy hàm giải tích p-adic số ứng dụng thú vị khác việc nghiên cứu hàm p-adic Mục tiêu luận văn xây dựng tích phân Schnirelman nghiên cứu số ứng dụng tích phân Schnireman để nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic.Luận văn gồm chương Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong chương này, trình bày cách xây dựng trường số p-adic trường số phức p-adic p p Sau đó, đưa số tính chất trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương chương Chương 2: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC Trong chương này, trình bày khái niệm độ đo p-adic, độ đo bị chặn độ đo tăng chậm Từ đưa định nghĩa tổng Riemann, tích phân padic tương tự p-adic tích phân Riemann điều kiện khả tích cho hàm liên tục ứng với độ đo Chương 3: TÍCH PHÂN SCHINIREMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Trong chương này, xây dựng tích phân Schinelman lớp   D  Từ nghiên cứu số ứng dụng tích phân Schinelman để tìm tương tự p-adic số định lý tính chất tích phân Cauchy giải tích phức Phần kết luận luận văn nêu đóng góp luận văn kiến nghị hướng phát triển Vì thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp vui lòng bảo lượng thứ Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong phần trình bày cách xây dựng trường số p-adic số tính chất pô tô Cách xây dựng trường số p-adic nhiều tác giả trình bày với nhiều phương pháp khác Ở trình bày cách xây dựng trường số p-adic phương pháp giải tích N.KOBLITZ Vì theo cách xây dựng trường số p-adic cách “tự nhiên” Sau xây dựng trường số p-adic đưa số tính chất tô pô Các kết trình bày phần hầu hết không chứng minh, chứng minh số kết bản, quan trọng có liên quan đến chương luận văn chương chương 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Định nghĩa Cho K trường Chuẩn trường K ánh xạ (kí hiệu ) từ tập K vào tập số thực không âm thỏa mãn điều kiện sau : i) x   x  2i ) xy  x y 3i ) x  y  x  y x, y  K x, y  K 1.1.2 Ví dụ Ví dụ Trường số với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn , , điều kiện định nghĩa nên giá tri tuyệt đối chuẩn chuẩn giá trị tuyệt đối, ta ký hiệu g Ví dụ Cho K trường tùy ý Ánh xạ xác định : 1 nê' u x   x  0 nê' u x   Là chuẩn trường K gọi chuẩn tầm thường , , ta gọi 1.1.3 Chú ý Giả sử chuẩn trường K Ta chứng minh hàm d từ KxK vào tập số thực không âm xác định d ( x, y )  x  y hàm mêtric trường K gọi mêtric tương ứng với chuẩn Tô pô sinh mêtric tương ứng gọi tô pô tương ứng chuẩn 1.1.4 Các tính chất     suy  x  x  x 1   0 x  x  0 1.1.5 Định nghĩa hai chuẩn tương đương Hai chuẩn trường K gọi tương đương tô pô cảm sinh hai mêtric tương ứng chúng Kí hiệu ~ 1.1.6 Định lý Giả sử , hai chuẩn trường K, mệnh đề sau tương đương: x   x  với x  K x   x  với x  K C Tồn số dương C > cho x  x với x  K {xn} dãy Cauchy ~  {xn } dãy Cauchy 2 Chứng minh 1)  2) Với x  K , giả sử x  ta cần chứng minh x  Giả sử ngược lại, tức x  Ta có: 1 x  12 1  1 x2 x x2  hay x  x1 Suy Điều vô lý x  Vậy x  2)  1) Chứng minh tương tự 1)  3) Giả sử x   x  với x  K Ta xét hai trường hợp sau :  Trường hợp : Nếu có hai chuẩn tầm thường ta chứng minh chuẩn lại tầm thường Thật vậy: Gỉa sử chuẩn tầm thường với x  K , x  , ta có x  Nếu x  ta xét hai trường hợp sau: x   x  (vô lý) x 1 Do x  hay chuẩn 1 1  (vô lý) x2 x1 C tầm thường Do tồn C=1 thỏa x  x với xK  Trường hợp : Nếu hai chuẩn không tầm thường Vì không tầm thường nên tồn x0  K cho x0  ,do ta có x01  Từ giả thiết mệnh đề ta suy x01   Nên x0 x0 2 1 x0  Đặt x0  a x0  b a, b>1 Khi đó, với x  K ta viết x  a với   log a x Ta chứng minh x  b Thật vậy, lấy r  m  n  r  m   ta có : n m n m m n m x  a  a  x0 1n  x  x0 1n  x  x0  x n  x0m 1 Do n m x n x0 m   x n x0 m   x n  x0m  x  x0 Suy m x  x0 n 2 m hay x2 bn Như vậy, ta chứng minh với r  m  n r   x  b r Do ta lấy dãy rn   rn   , n mà rn   từ bất đẳng thức ta x  b : Hoàn toàn tương tự, lấy r  Nên ta lấy dãy rn   m  n r   ta có x  b  rn   , n mà rn   ta có x  b Vậy x  b  Do x  a   (b log a )   (b  ) log b b C  x với C = logba>0 a 3)  4) Giả sử x n  dãy Cauchy chuẩn , nghĩa xn  xm  m, n   xn  xm 1C  m, n   với C>0 thỏa xn  xm  xn  xm Hay C Do xn  xm  m, n   Vậy xn là dãy Cauchy chuẩn 4)  1) Giả sử x  ta cần chứng minh x  n Từ giả thiết x  suy x  chuẩn Nên  x n   theo chuẩn Mà dãy hội tụ phải dãy Cauchy Do xn là dãy Cauchy với 1 ,từ giả thiết ta suy xn là dãy Cauchy đối Điều có nghĩa ( x n 1  x n )  chuẩn với chuẩn Vì chuẩn 2 hay x n ( x  1)  đối Do x n  x  không tầm thường nên  x  suy x n  hay x  3)  5) C Giả sử tồn số dương C > cho x  x với x  K  Khi ta có: B1  a, r   x  K  = x  K    x a1  r = xK C xa  r 1    x  a  r C  = B2  a, r C      Do đó: A     a  A :  B1(a,r)  A (vì A tập mở)    a  A :  B2  a, r C   A    A  Vậy    nên theo định nghĩa ta có ~ 5)  1) Giả sử x < suy x n  Do ~ nên x n  Vậy x  1.1.7 Định nghĩa chuẩn phi Archimede Cho K trường Chuẩn trường K gọi chuẩn phi Archimede trường K với x,y  K : x  y  max  x , y  1.1.8 Ví dụ chuẩn phi Archimede Ví dụ Chuẩn tầm thường K chuẩn phi Archimede Ví dụ Nếu K trường hữu hạn chuẩn K tầm thường, chuẩn phi Archimede 1.1.9 Mệnh đề (nguyên lý tam giác cân) Cho K trường Chuẩn chuẩn phi Archimede trường K Khi với x,y  K mà x  y x  y  max x , y  Chứng minh Vì vai trò x,y mệnh đề nên ta giả sử x  y Khi ta có: max  x , y   x Nên ta cần chứng minh x y  x Thật vậy, ta có x  y  max  x , y  y  x nên x  y  x Nhưng x  y  x x  x  y  y  max  x  y , y   x (vô lý x  x ) Vậy x  y  x hay x  y  max x , y  1.1.10 Mệnh đề Dãy  xn   F dãy Cauchy  xn 1  xn   n   1.1.11 Mệnh đề Cho  xn  dãy Cauchy Nếu xn   n   xn dãy dừng 1.1.12 Định lý (Điều kiện tương đương tính phi Archimede ) Cho chuẩn trường K, mệnh đề sau tương đương: chuẩn phi Archimede 1i) 2i)  3i) n  1, n  4i) tập bị chặn 1.2 Xây dựng trường số p-adic p 1.2.1 Định nghĩa ord p a với a  Giả sử p số nguyên tố Với a  , a  ta gọi ord p a số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố Nếu a = ta quy ước ord p a   1.2.2 Định nghĩa ord p x với x  Giả sử p nguyên tố Với x  , ta giả sử x  a b a, b  , (a,b)=1 Ta định nghĩa ord p x  ord p a  ord p b 1.2.3 Mệnh đề Cho ánh xạ p từ vào tập số thực không âm xác định sau: ord p x nê'u x  (1/ p ) xp  nê'u x  0 Khi p chuẩn phi Archimede trường gọi chuẩn p-adic 1.2.4 Định lý (Oxtropxki) Mọi chuẩn không tầm thường trường tương đương với p với p số nguyên tố tương đương với giá tri tuyệt đối thông thường g Chứng minh Ta xét trường hợp xảy chuẩn Trường hợp : Nếu > từ điều kiện tương đương tính phi Archimede ta suy không chuẩn phi Archimede Lấy n  N , giả sử n  a0  a1   as 2s ,   2s  n  2s 1 Ta viết  2 với   log 2 Khi ta có : n  a0  a1   as s   2   s 1    s 1     s    1   s C (vì tổng dấu ngoặc hội tụ nên đặt C  1     s    n C Suy n  n C với n  Nên với k  ta có n k  n ka C  n  n k C Cho k   ta n  n Mặt khác, s  n  s 1 nên ta có 2s 1  n  s 1  n  n  s 1  n Suy n  2s 1  s 1  n  2( s 1)  (2( s 1)  n) ( từ chứng minh cho ta  n  n nên  2s 1  n    2s 1  n  )  Do n  2 s 1   2s 1  2s       Hay n  2( s 1) 1  (1  )   n C ' với C   1  (1  )      Thay n n k với k  Cho k   , ta n  n Vậy n  n với n  ta có n k  n k C '  n  n k C '  )  -Với x  , x  ta viết x  m , m, n  , n  ta có : n  m  m   x       xg n n n m   -Với x  , x   x  nên ta có : x   x   x g  x g  Vậy x = x g với x  hợp ta có g Theo điều kiện tương đương chuẩn trường Trường hợp : Nếu  chuẩn phi Archimede Từ giả thiết  theo điều kiện tương đương tính phi Archimede ta có n  với n  Do chuẩn không tầm thường nên tồn n0  cho n0 < Gọi p số tự nhiên bé thỏa p < p  Khi p số nguyên tố Thật vậy, giả sử p hợp số p  p1 p2 với p1 , p2 số tự nhiên  p1 , p2  p Khi p  p1 p2  nên suy p1  p2  ( điều mâu thuẩn với cách chọn p ) Gọi q số nguyên tố khác p Ta chứng minh q = Vì n  với n  nên q  Giả sử q < ( q k , p k ) = nên tồn m,n  Ta có cho mp k  nq k    mp k  nq k  m p k  n q k  p k  q k Cho k   ta  , điều vô lý Vậy q  Lấy m  , m  , xét phân tích thành tích thừa số nguyên tố m sau m  p  p1 p k  k  i   m, pi   1 Từ định nghĩa chuẩn p ta có m p     p k 1 2  Mặt khác m  p p1 p2 pk ord p  m   1    p Vì p1  p mà p1 số nguyên tố nên p1  , suy p1  1 Tương tự ta có p2  p3   pk   log 1p m  p     p  k  C  log p     1 p C         m p với C  log p Nên   p    p p m - Với x  , x  ta viết x  , m, n  , n  ta có : n C C m mp m C x   C   xp n n p n  p p C C - Với x  , x   x  nên ta có : x   x   x p  x p C Vậy x = x p với x  hợp ta có p Theo điều kiện tương đương chuẩn trường Định lý chứng minh 1.2.5 Xây dựng trường số số p-adic p Từ định lý Oxtropxki ta thấy chuẩn không tầm thường thông thường g , chuẩn phi Archimede Mặt khác, ta biết làm đầy đủ đầy đủ theo p theo g p giá trị tuyệt đối ta trường số thực ta trường mà ta gọi trường số p-adic Cụ thể cách xây dựng sau : -Kí hiệu S tập tất dãy Cauchy hữu tỷ theo S x  x  n n ,  xn   Cauchy theo p p  -Trên S ta xác định quan hệ tương đương sau: xn  ~ y n   lim xn  y n n  -Ta gọi p p 0 tập hợp tất lớp tương đương theo quan hệ : p S ta trang bị cho Vậy làm  p x  n  xn   S  hai phép toán cộng nhân sau : p Phép cộng :  xn    yn    xn  yn  yn    xn yn  Phép nhân :  xn  Khi đó, ta chứng minh phép toán định nghĩa tốt không phụ thuộc vào phần tử đại diện Hơn nữa, ( p , ,.) trường với phần tử đặc biệt xác định sau : Phần tử không : 0 Phần tử đơn vị : 1 Phần tử đối  xn   xn  Phần tử nghịch đảo  xn   sau : Vì  xn  dãy Cauchy mà  xn   nên xn   n   Nên theo mệnh đề 1.1.11 ta có N  0 1 xn Ta chọn dãy  yn  cho yn   Thì cho n  N : xn  a  n  N n  N 1  yn  dãy Cauchy  yn    xn  -Trường p gọi trường số p-adic Với x   xn   p p Chuẩn , ta định nghĩa : x p  lim xn n  p p xác định sau : (*) Khi đó, ta dể dàng kiểm tra định nghĩa hợp lý, thỏa điều kiện chuẩn Vậy p xác định theo công thức (*) chuẩn Mặt khác, ánh xạ j :  p p đơn cấu trường Nên ta xem trường Do với a  , ta đồng a với j  a   a  a p  lim a p  a p n  Nên p p p j  a   a xác định theo qui tắc với a  mở rộng chuẩn p p ta có : 1.2.6 Định nghĩa đồng dư Với a, b  p p ta nói a  bmod p N  a  b p  p  N Từ định nghĩa ta có nhận xét : a, b  định nghĩa đồng dư với định nghĩa đồng dư thông thường tập hợp số nguyên p trùng p lập 1.2.7 Vành số nguyên p-adic Tập hợp p   a p  / a p  với phép toán cộng nhân thành vành Vành gọi vành số nguyên p-adic Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành  P   x   p /  x p     x  p p  / x p   x  1.2.8 Biểu diễn p-adic số x Với số x  P p / x   mod p  p x viết dạng : x  b0  b1 p   bn p n  Trong  bi  p  với i = 1,2,3,… Công thức gọi biểu diễn p-adic x Nếu x  p p không thỏa mãn điều kiện x p  x p  p m với m  Ta đặt x '  xp m x ' p  x p m  x p m  p m p  m  nên x  p Do theo chứng minh ta có : x '  b0  b1 p   bn p n  Suy x  x  b0 p  m  b1 p  m 1   bm  bm 1 p  pm Bằng cách đánh lại số cho thích hợp ta có biểu diễn x có dạng: x  c m p  m  c m 1 p  m 1   c0  c1 p   cn p n  Công thức gọi công thức biểu diễn p-adic x Vậy x  Trong m  p có khai triển p-adic : x    c p i  m p i i cho x p  p m ci  0,1, , p  1 , c m  1.3 Tính chất tô pô Vì tô pô p tô pô cảm sinh chuẩn phi Archimede nên có nhiều tính p chất khác lạ so với tô pô thông thường Trong mục trình bày số tính chất tô pô p nhằm phục vụ cho chương chương 1.3.1 Định nghĩa hình cầu, mặt cầu Cho a  p p r số thực dương ta định nghĩa :   Hình cầu mở tâm a bán kính r tập hợp B (a, r )  x  p   Hình cầu đóng tâm a bán kính r tập hợp B  a, r   x    Mặt cầu tâm a bán kính r tập hợp D ( a, r )  x  Từ định nghĩa ta thấy p p : xa p  r p : xa p  r : xa p  r hình cầu đóng tâm bán kính  * p   mặt cầu tâm bán kính 1.3.2 Mệnh đề Mọi hình cầu, mặt cầu Hai hình cầu p tập vừa mở, vừa đóng p Mọi hình cầu, mặt cầu p lồng rời có vô số tâm Mọi hình cầu có vô số bán kính p có số đếm hình cầu mặt cầu Chứng minh Giả sử a  p  r  , r  xét hình cầu mở : B (a, r )  x  p : xa p  r  Hiển nhiên B(a,r) tập mở Ta cần chứng minh B(a,r) tập đóng nghĩa p \ B(a, r ) tập mở Thật vậy, lấy b  p \ B(a, r ) điều có nghĩa b  a p  r Gọi S(b,r) hình cầu mở tâm b, bán kính r Lấy y  S (b, r ) suy y  b p  r Do b  a p  y  b p Mặt khác y  a p  ( y  b)  (b  a) p Theo nguyên lý tam giác cân, ta có: y  a p  b  a p y  a p  r Hay y  Nên S (b, r )  Suy Vậy p p p \ B ( a, r ) \ B ( a, r ) \ B(a, r ) tập mở Hay B(a,r) tập đóng  D ( a, r )   x  Tương tự, ta có B  a, r   x    r p : xa p  r p : xa p tập vừa mở, vừa đóng Xét hai hình cầu mở B1(a,r) B2(b,s) Giả sử B1(a,r)  B2(b,s)  Ø ta chứng minh chúng phải lồng Giả sử r[...]... sự phân tích thành tích các thừa số nguyên tố của m như sau m  p  p1  1 p k  k và  i  0 nếu  m, pi   1 1 Từ định nghĩa chuẩn p ta có m p     p k 1 2  Mặt khác m  p p1 p2 pk ord p  m   1    p Vì p1  p mà p1 là số nguyên tố nên p1  1 , suy ra p1   1 1 Tương tự ta có p2   p3    pk  1 3 2  1 log 1p m  p     p  k  C  log 1 p   1   1 p C  ...  / a p  1 cùng với ph p toán cộng và nhân trong thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p- adic T p h p tất cả các phần tử khả nghịch của vành  P   x   p 1 /  x p     x  p p là  / x p  1  x  1.2.8 Biểu diễn p- adic của số x trong Với mỗi số x  P p / x  0  mod p  p thì x viết được dưới dạng : x  b0  b1 p   bn p n  Trong đó 0  bi  p  1 với i = 1,2,3,…... p p 0 là t p h p tất cả các l p tương đương theo quan hệ trên : p S và ta trang bị cho Vậy làm  p x  n  xn   S  hai ph p toán cộng và nhân sau : p Ph p cộng :  xn    yn    xn  yn  yn    xn yn  Ph p nhân :  xn  Khi đó, ta có thể chứng minh các ph p toán trên được định nghĩa tốt và không phụ thuộc vào phần tử đại diện Hơn nữa, ( p , ,.) là một trường với các phần tử đặc... biểu diễn p- adic của x trong Nếu x  p p không thỏa mãn điều kiện x p  1 thì x p  p m với m  Ta đặt x '  xp m thì x ' p  x p m  x p m  p m p  m  1 nên x  p Do đó theo chứng minh trên ta có : x '  b0  b1 p   bn p n  Suy ra x  x  b0 p  m  b1 p  m 1   bm  bm 1 p  pm Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích h p ta có biểu diễn của x có dạng: x  c m p  m  c m 1 p  m 1... p p thì j  a   a được xác định theo qui tắc với a  trong là mở rộng của chuẩn trong p p và ta có : 1.2.6 Định nghĩa đồng dư trong Với a, b  p p ta nói a  bmod p N  nếu a  b p  p  N Từ định nghĩa ta có nhận xét : nếu a, b  thì định nghĩa đồng dư trong với định nghĩa đồng dư thông thường trên t p h p số nguyên p sẽ trùng p l p 1.2.7 Vành các số nguyên p- adic T p h p p   a p  / a p. .. nhiên và 1  p1 , p2  p Khi đó p  p1 p2  1 nên suy ra p1  1 hoặc p2  1 ( điều này mâu thuẩn với cách chọn p ) Gọi q là số nguyên tố khác p Ta chứng minh q = 1 Vì n  1 với mọi n  nên q  1 Giả sử q < 1 vì ( q k , p k ) = 1 nên tồn tại m,n  Ta có sao cho mp k  nq k  1 1  1  mp k  nq k  m p k  n q k  p k  q k Cho k   ta được 1  0 , điều này vô lý Vậy q  1 Lấy m  , m  0 , xét sự phân. ..  m p với C  log 1 p Nên   p    p p m - Với x  , x  0 ta viết x  , m, n  , n  0 thì ta có : n C C m mp m C x   C   xp n n p n  p p C C - Với x  , x  0 thì  x  0 nên ta có : x   x   x p  x p C Vậy x = x p với mọi x  h p 2 này ta có p Theo điều kiện tương đương của chuẩn trong trường Định lý đã được chứng minh 1.2.5 Xây dựng trường số số p- adic p Từ định lý Oxtropxki... c m 1 p  m 1   c0  c1 p   cn p n  Công thức này gọi là công thức biểu diễn p- adic của x trong Vậy bất kỳ x  Trong đó m  p đều có khai triển p- adic : x    c p i  m p i i sao cho x p  p m và ci  0,1, , p  1 , c m  0 1.3 Tính chất tô p của Vì tô p trong p là tô p cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính p chất khác lạ so với tô p thông thường Trong mục này... chất tô p cơ bản của p nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3 1.3.1 Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong Cho a  p p và r là số thực dương ta định nghĩa :   Hình cầu mở tâm a bán kính r là t p h p B (a, r )  x  p   Hình cầu đóng tâm a bán kính r là t p h p B  a, r   x    Mặt cầu tâm a bán kính r là t p h p D ( a, r )  x  Từ định nghĩa ta thấy p p : xa p  r p : xa p  r : xa p  r là... trong đó b a, b  , (a,b)=1 Ta định nghĩa ord p x  ord p a  ord p b 1.2.3 Mệnh đề Cho ánh xạ p từ vào t p số thực không âm được xác định như sau: ord p x nê'u x  0 (1/ p ) xp  nê'u x  0 0 Khi đó p là một chuẩn phi Archimede trên trường và được gọi là chuẩn p- adic 1.2.4 Định lý (Oxtropxki) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường đều tương đương với p với p là một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương