TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( VÒNG ) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 Câu I : 1) Cộng hai phương trình hệ ta thu  2x  y   25  x  y  5 2 x  y   Với x  y  ta hệ  2 x  y  1  2  3y   3y  Từ 1 suy x  thay vào   ta   y 2   y 1 x 1 2    y   y   13 y  30 y  17     y  17  x  13 13   y  1  x  1  Tương tự với trường hợp x  y  5 ta   y   17  x   13 13  17 Đáp số: ( x  1, y  1), ( x  , y  ) 13 13 17 ( x  1, y  1), ( x   , y   ) 13 13 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác sau: Dễ thấy y  đặt x  ky ta k  3k y  12ky  y  23  2 thu  2 suy 2(3k  12k  8)  23(k  1)   k   k y  y  17  y 1 x 1 Với k   y     y  1  x  1 17  y x  17 13 13 Với k   y2    17 13  y   17  x    13 13 2) Điều kiện x   , phương trình tương đương với  2x 1    x2  x  1  Giải 2x 1   2x 1   x  Giải x  4x  2x 1   4x  2x    x   2 TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Đáp số: x  4, x  0, x  Câu II : 1) Đẳng thức viết lại dạng x2  y  x2 y   xy  2( x  y)(1  xy)  25   x  y    xy  1   x  y 1  xy   25 2   x  y    xy  1  25   x  1 y  1  25   x  1 y  1  (Vì x, y  )  x    ( x  4, y  0)  y 1     x   ( x  0, y  4)    y   Đáp số:  x  0, y   ,  x  4, y   k  k 1 1  1  k (k  1) k k 1 Với k  ta có  11 1.2 1  1  k  ta có 2.3 2) Ta có k  n ta có n2  n  1  1  n(n  1) n n 1 Cộng n đẳng thức ta thu   1.2 2.3 n2  n  1 Dễ thấy n  n     n 1  n 1 n 1 n(n  1) n 1   Suy   1.2 2.3 n2  n  1  n n(n  1)  Chú ý: Học sinh giải cách khác sau  1 1.2 k 2   2.3 Với k   k n n2  n  1 n   n(n  1) n n  k  k 1 k   k (k  1) k k  TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Cộng n đẳng thức ta suy  3 13    1.2 2.3 3.4  n2  n  n  n n(n  1) n 1 n2  n  1   Suy   n n(n  1)  1.2 2.3 Câu III : 1) Xét tam giác BAC vuông A có góc ACB = 300 , AB  2R Ta suy B BC  AB  4R Theo định lý Pitago tam giác ABC ta có AC  BC  AB2  16R2  4R2  12R2  AC  3R Ta thấy AH  BH , nên AH khoảng cách từ A đến H đường thẳng BC N A Dễ thấy M C AB AC  AH BC  2SABC  AH  AB AC R.2 3.R   3R BC 4R Đáp số: AC  3R, BC  4R, AH  3R 2) Vì ABHN tứ giác nội tiếp Suy HNB  HAB (Cùng chắn cung BH ) Ta có HAB = ACB (Góc có cạnh tương ứng vuông góc) Suy HNB  ACB  1800  HNB  HNM  ACB  HNM  tứ giác HNMC tứ giác nội tiếp, bốn điểm C, H , N , M nằm đường tròn Vì A, B, C cố định  H cố định Vì tâm đường tròn cách H , C cố định nên nằm đường trung trực đoạn HC cố định Vậy tâm đường tròn qua đường trung trực đoạn HC Câu IV : Ta chứng minh bất đẳng thức   a   b4   a  b2  a, b  (1) Bình phương hai vế ta thu (1  a )(1  b4 )   2a 2b2  (1  a )(1  b4 )  (1  a 2b2 )2  (a  b2 )2  (Hiển nhiên đúng) Ta có (1  a)(1  b)   a  b  ab  4 Ta có TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 a  b  2ab 2(a  )  2a 2(b  )  2b Cộng ba bất đẳng thức ta thu 3(a  b2 )   2(a  b  ab)   a  b2  (2) Từ (1) (2) suy  a   b4   Vậy Pmin  17  17 đạt a  b  2