TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( VÒNG ) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 Câu I : 1) Tập xác định: x   Hai vế phương trình không âm, bình phương hai vế ta x   ( x  3)(3x  1)  3x   16  3x  10 x   12  x  3x  10 x    x 6  x   2 3x  10 x   (6  x)  36  24 x  x x    x  34 x  33   x  (Thoả mãn điều kiện) Đáp số: x  Chú ý: Học sinh làm nhanh phương pháp so sánh   x   1  + Nếu   x      3x      x   3x    vô nghiệm + Nếu x   x   3x        vô nghiệm + Nếu x   x   3x       (thoả mãn) 2  5 x  y  xy  26 (1) 2) Cách Hệ cho tương đương với  2  3x  x  xy  y  11 (2) Nhân hai vế phương trình (2) với cộng theo vế với phương trình (1) ta x2  x  48   x   y  y    y  y  3   x    y  y  43  :    vô nghiệm  3 Đáp số: ( x  2, y  1) ( x  2, y  3) Cách Ta có (2 x  y)2  ( x  y)2  5x  y  xy (2 x  y)  ( x  y)  3x (2 x  y )2  ( x  y )2  26 Hệ phương trình tương đương với  (2 x  y )  ( x  y )  (2 x  y)( x  y )  11 u  v  26 (u  v)2  2uv  26  Đặt u  x  y, v  x  y ta thu  u  v  uv  11 2(u  v)  2uv  22 Cộng hai phương trình ta thu TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 u  v  (u  v)2  2(u  v)  48    u  v  8 u  v  u  5, v  Giải   uv  u  1, v   2 x  y   x  2, y  3  x  y     2 x  y    x  2, y    x  y  u  v  8 v  8  u  vô nghiệm uv  19 u  8u  19  Giải  Câu II : 1) Suy tồn số nguyên dương m ( m  n ) thoả mãn m2  n2  391  (m  n)(m  n)  17.23  1.391  m  n  391  2n  390  n  195  m  n   Suy  m  n  23   2n   n   m  n  17 Đáp số: n  3, n  195 2) Ta có ( z  xy )2  ( z  x)( z  y)  z  zx  zy  xy  z ( x  y  z )  xy  z  xy Suy z  xy  z  xy (1) Ta có x2  y  ( x  y)2  x2  y  x  y (2) Cộng hai bất đẳng thức (1) (2) ta thu z  xy  x  y  x  y  z  xy   xy Suy z  xy  x  y  xy  x  y  a (a  (0, ))  z   2a Dấu đẳng thức xảy   Câu III : A S T M E B P Q H F C 1) Vì ABC nhọn nên điểm E , F nằm cạnh AB, AC P, Q nằm ABC Ta có EPB  TPF (đối đỉnh) (1) EPB  BHE (cùng chắn cung BE) (2) TPF  MHQ (cùng chắn cung MQ) (3) MHQ  HCQ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (4) Từ (1), (2), (3), (4)  BHE  HCQ  EH SC TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Vì EH  AB  SC  AB (5) Tương tự ta thu BT  AC (6) Từ (5), (6)  M trực tâm (ĐPCM) 2) Ta có AEF  BHP (cùng bù với góc BEP ) (7)  HP  BP Ta có CT  BT  HP Từ (7) (8) suy CT  BHP  BCT (8) AEF  BCT    BCF  BEF  180 AEF  BEF  180   Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp Câu IV : Nếu tất số đánh dấu dương  đpcm Xét trường hợp tồn i để đánh dấu  0, chọn i số nhỏ Khi theo giả thiết tồn k để  1  2   k  Giả sử k số nhỏ để  1   k  (1) (hiển nhiên k  ) Như   1   1    k 1  Ta có  (ai 1   k )   1  (ai  1 )  (ai 2   k )   2   k   1 đánh dấu  k    đánh dấu Cuối (ai  1   k 1 )  k   k   k đánh dấu  tất số , 1 ,  , ,  k đánh dấu Như vậy, số a1 , a2 , ,  k số đánh dấu có tổng lớn Tiếp tục trình lập luận cho số lại k 1 , , a2010 Sau số hữu hạn bước ta điều phải chứng minh