Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM CƠ BẢN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ 1: (ĐVH) a) Từ chữ số 1; 2; 3; 4; lập số tự nhiên có chữ số? b) Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số chẵn có chữ số? c) Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? Ví dụ 2: (ĐVH) a) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? b) Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5? Ví dụ 3: (ĐVH) Cho X = {0,1, 2,3, 4,5} Hỏi lập số có chữ số khác mà số không chia hết cho Ví dụ 4: (ĐVH) Cho A = {0,1, 2,3, 4,5} Hỏi lập số có chữ số khác cho tổng hai chữ số đầu nhỏ tổng hai chữ số sau đơn vị Ví dụ 5: (ĐVH) Với chữ số 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên thỏa mãn a) gồm có chữ số b) gồm có chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho Lời giải: a) Gọi số a1 a2 a3 a4 a5 a6 ⇒ Có 6.6.6.6.6.6 = 46656 số thỏa mãn b) Gọi số a1 a2 a3 a4 a5 a6 ⇒ Có 6! = 720 số thỏa mãn c) Gọi số a1 a2 a3 a4 a5 a6 Chọn a6 có cách Chọn a1 a2 a3 a4 a5 có 5! cách ⇒ Có 3.5! = 360 số thỏa mãn Ví dụ 6: (ĐVH) Với chữ số 1; 2; 3; 4; lập số: a) Gồm chữ số? b) Gồm chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm chữ số? d) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e) Gồm chữ số viết không lặp lại? f) Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? Lời giải: a) Gọi số a1 a2 ⇒ Có 5.5 = 25 số thỏa mãn b) Gọi số a1 a2 Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn ⇒ Có A52 = 20 số thỏa mãn c) Gọi số a1 a2 Chọn a2 có cách chọn Chọn a1 có cách chọn ⇒ Có 3.5 = 15 số thỏa mãn d) Gọi số a1 a2 Chọn a2 có cách chọn Chọn a1 có cách chọn ⇒ Có 2.4 = số thỏa mãn e) Gọi số a1 a2 a3 a4 a5 ⇒ Có 5! = 120 số thỏa mãn f) Gọi số a1 a2 a3 a4 a5 Chọn a5 có cách Chọn a1 a2 a3 a4 có 4! cách ⇒ Có 1.4! = 24 số thỏa mãn Ví dụ 7: (ĐVH) Từ số: 0; 1; 2; 3; 4; lập số có chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, có số lớn 300? c) Khác nhau, có số chia hết cho 5? d) Khác nhau, có số chẵn? e) Khác nhau, có số lẻ? Lời giải: Gọi số a1 a2 a3 a) Chọn a1 có cách Chọn a2 a3 có A52 cách ⇒ Có A52 = 100 số thỏa mãn b) TH1: a1 = Chọn a2 có cách Chọn a3 có cách ⇒ Có 5.4 = 20 số thỏa mãn TH2: a1 ∈ {4;5} Chọn a1 có cách Chọn a2 a3 có A52 cách ⇒ Có A52 = 40 số thỏa mãn Vậy có 20 + 40 = 60 số thỏa mãn c) TH1: a3 = Chọn a1 a2 có A52 cách ⇒ Có A52 = 20 số thỏa mãn TH2: a3 = Chọn a có cách Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Chọn a2 có cách ⇒ Có 4.4 = 16 số thỏa mãn Vậy có 20 + 16 = 36 số thỏa mãn d) TH1: a3 = Chọn a1 a2 có A52 cách ⇒ Có A52 = 20 số thỏa mãn TH2: a3 ∈ {2; 4} Chọn a3 có cách Chọn a1 có cách Chọn a2 có cách ⇒ Có 2.4.4 = 32 số thỏa mãn Vậy có 20 + 32 = 52 số thỏa mãn e) Có 100 − 52 = 48 số thỏa mãn Ví dụ 8: (ĐVH) Từ số: 1; 2; 3; 4; 5;6 ;7; a) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau? b) Có số gồm chữ số đôi khác chia hết cho 5? Lời giải: a) Gọi số lập abcdef Có cách chọn số vị trí a Với cách đó, có cách chọn số vị trí b Với cách đó, có cách chọn số vị trí c Với cách đó, có cách chọn số vị trí d Với cách đó, có cách chọn số vị trí e Với cách đó, có cách chọn số vị trí f Vậy số cách lập 8.7.6.5.4.3 = 20160 b) Gọi số lập abcde Do số chia hết có cách chọn e Khi có cách chọn a Với cách đó, có cách chọn b Với cách đó, có cách chọn c Với cách đó, có cách chọn d Vậy số cách lập là: 1.7.6.5.4 = 840 Ví dụ 9: (ĐVH) Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ? Lời giải: Với 10 chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Có cách chọn chữ số đầu Từ vị trí thứ đến thứ vị trí có 10 cách chọn Do số chữ số chẵn số chữ số lẻ nên tương ứng với cách có cách chọn chữ số cuối Vậy ta lập 9.105.5 = 4500000 số Ví dụ 10: (ĐVH) Cho X = {0,1, 2,3, 4,5,6} a) Có số chẵn có chữ số khác đôi một? b) Có chữ số có chữ số khác chia hết cho 5? c) Có số có chữ số khác chia hết cho Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Lời giải: a) Gọi số lập abcd - Số cách lập số có chữ số khác nhau: Có cách chọn a Với cách chọn a có cách chọn b Với cách chọn b có cách chọn c Với cách chọn c có cách chọn d ⇒ Tổng số cách lập số có chữ số khác đôi 6.6.5.4 = 720 - Số cách lập số lẻ có chữ số khác nhau: Có cách chọn d Với cách chọn d có cách chọn a Với cách chọn a có cách chọn b Với cách chọn b có cách chọn c ⇒ Số cách lập số lẻ có chữ số khác đôi 3.5.5.4 = 300 Suy số cách lập số chẵn có chữ số khác đôi 720 – 300 = 420 b) Gọi số lập abc Số cách lập số có chữ số khác chia hết cho 5: Có cách chọn c Với cách chọn c có cách chọn a.Với cách chọn a có cách chọn b ⇒ Suy số cách lập số có chữ số chia hết cho 2.5.5=50 c) Ta có: + + = + + = + + = + + = + + - Với nhóm: (1, 2,6 ) , (1,3,5 ) ( 2,3, ) ta lập số chia hết cho ⇒ Tổng 6.3 = 18 số - Với nhóm ( 3, 0, ) ( 4, 0,5 ) ta lập được: số chia hết cho ⇒ Tổng 4.2 = số Vậy ta lập 18 + = 26 số chia hết cho Ví dụ 11: (ĐVH) Có số tự nhiên có tính chất: a) Là số chẵn có hai chữ số (không thiết khác nhau)? b) Là số lẻ có hai chữ số (không thiết khác nhau)? c) Là số lẻ có hai chữ số khác nhau? d) Là số chẵn có hai chữ số khác nhau? Lời giải: Kí hiệu T = {0; 1; 2; ; 9} a) Số cần tìm có dạng ab a ≠ b số tự nhiên chẵn +) Chọn b từ tập {0; 2; 4; 6; 8} ⇒ b có cách chọn +) Chọn a có cách chọn (trừ số 0) Theo quy tắc nhân có 5.9 = 45 số thỏa mãn b) Số cần tìm có dạng ab a ≠ b số tự nhiên lẻ +) Chọn b từ tập {1; 3; 5; 7; 9} ⇒ b có cách chọn +) Chọn a có cách chọn (trừ số 0) Theo quy tắc nhân có 5.9 = 45 số thỏa mãn c) Số cần tìm có dạng ab a ≠ ; b số tự nhiên lẻ a, b phân biệt +) Chọn b từ tập {1; 3; 5; 7; 9} ⇒ b có cách chọn +) Chọn a có cách chọn (trừ b số 0) Theo quy tắc nhân có 5.8 = 40 số thỏa mãn d) Số cần tìm có dạng ab a ≠ ; b số tự nhiên chẵn a, b phân biệt Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • TH1 b = chọn a có cách chọn nên có số thỏa mãn • TH2 b ≠ ta chọn b từ tập {2; 4; 6; 8} ⇒ b có cách chọn www.Moon.vn Chọn a có cách chọn (trừ b số 0) Theo quy tắc nhân có 4.8 = 32 số thỏa mãn Tóm lại, theo quy tắc cộng có tất + 32 = 41 số thỏa mãn Ví dụ 12: (ĐVH) Cho tập hợp A{1; 2;3; 4;5;6} a) Có thể lập số gồm chữ số khác hình thành từ tập A? b) Có thể lập số gồm chữ số khác chia hết cho 2? c) Có thể lập số gồm chữ số khác chia hết cho 5? Lời giải: a) Số cần tìm có dạng abcd a ≠ a, b, c, d đôi khác +) Chọn a có cách chọn +) Chọn b có cách chọn (trừ a) +) Chọn c có cách chọn (trừ a b) +) Chọn d có cách chọn (trừ a, b, c) Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn b) Số cần tìm có dạng abc a ≠ ; c chia hết cho a, b, c đôi khác +) Chọn c từ tập {2; 4; 6} ⇒ c có cách chọn +) Chọn a có cách chọn (trừ c) +) Chọn b có cách chọn (trừ c a) Theo quy tắc nhân có 3.5.4 = 60 số thỏa mãn c) Số cần tìm có dạng abcde a ≠ ; e chia hết cho a, b, c, d, e đôi khác +) Chọn e có cách chọn (là số 5) +) Chọn a có cách chọn (trừ e) +) Chọn b có cách chọn (trừ e, a) +) Chọn c có cách chọn (trừ e, a, b) +) Chọn d có cách chọn (trừ e, a, b, c) Theo quy tắc nhân có 1.5.4.3.2 = 120 số thỏa mãn Ví dụ 13: (ĐVH) Cho chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; có số tự nhiên: a) Chẵn có chữ số khác nhau? b) Có chữ số khác có mặt chữ số 5? c) Lẻ có chữ số khác Lời giải Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn a) Gọi số cần tìm có dạng abcd , ( a ≠ ) TH1 Số d = 0, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Theo quy tắc nhân, có 6.5.4 = 120 số TH2 Số d = { 2; 4; }, tức d có cách chọn Khi chọn a cho a khác khác d nên a có cách chọn Chọn b cho b khác a,d nên b có cách chọn Chọn c khác a,b,d nên c có cách chọn Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 = 300 số Vậy có 120 + 300 = 420 số thỏa mãn yêu cầu toán b) Gọi số cần tìm có dạng abcde Vì abcde số lẻ nên e = {1; 3; 5}, tức e có cách chọn Khi chọn a cho a khác đồng thời khác e nên a có cách chọn Chọn b cho b khác a,e nên b có cách chọn Chọn c khác a,b,e nên c có cách chọn Chọ d khác a,b,c,e nên d có cách chọn Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3.3 = 900 số cần tìm d) Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên gồm chữ số khác có mặt chữ số chữ số khác mặt chữ số Xét số gồm chữ số khác mặt chữ số Gọi số cần tìm có dạng acbd Khi a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 = 300 số Xét số gồm chữ số khác Gọi số cần tìm có dạng acbd Khi a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn Theo quy tắc nhân, có 6.6.5.4 = 720 số Do có 720 – 300 = 420 số cần tìm Ví dụ 14: (ĐVH) Từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; a) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau? b) Có số gồm chữ số đôi khác chia hết cho 5? Lời giải a) Gọi số cần tìm có dạng abcdef Theo giả thiết, chữ số đôi khác a, b, c, d , e, f = 1,8 Do có cách chọn a , cách chọn b , cách chọn c , cách chọn d , cách chọn e , cách chọn f Nên theo quy tắc nhân, có 8.7.6.5.4.3 = 20160 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán b) Gọi số cần tìm có dạng abcde Vì abcde chia hết e = Bài toán quy dạng Có số gồm chữ số đôi khác lập từ số 1; 2; 3; 4; 6; 7; Theo quy tắc nhân, dễ dàng thấy có 7.6.5.4 = 860 số thỏa mãn yêu cầu toán Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015