Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din CHUYấN : PHNG PHP LUYN TP TH TCH KHI A DIN I ễn kin thc c bn: ễN TP KIN THC C BN HèNH HC LP - 10 H thc lng tam giỏc vuụng : cho DABC vuụng A ta cú : a) nh lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC; CA2 = CH CB b c) AB AC = BC AH c 1 = + d) 2 AH AB AC H M B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.H thc lng tam giỏc thng: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * nh lý hm s Cụsin: a b c = = = 2R * nh lý hm s Sin: sin A sin B sin C Cỏc cụng thc tớnh din tớch a/ Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: a.b.c a+b+c = p.r = p.( p - a )( p - b)( p - c) vi p = S = a.ha = a.b sin C = 4R 2 C a S = S = AB AC c bit :* DABC vuụng A : ,* DABC u cnh a: b/ Din tớch hỡnh vuụng : S = cnh x cnh c/ Din tớch hỡnh ch nht : S = di x rng d/ Diờn tớch hỡnh thoi : S = (chộo di x chộo ngn) d/ Din tớch hỡnh thang : S = (ỏy ln + ỏy nh) x chiu cao e/ Din tớch hỡnh bỡnh hnh : S = ỏy x chiu cao f/ Din tớch hỡnh trũn : S = p R ễN TP KIN THC C BN HèNH HC LP 11 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din A.QUAN H SONG SONG Đ1.NG THNG V MT PHNG SONG SONG I nh ngha: a ng thng v mt phng gi l song song a/ /(P) aầ(P) =ặ vi nu chỳng (P) khụng cú im no chung II.Cỏc nh lý: L1:Nu ng thng d khụng nm trờn mp(P) v song song vi ng thng a nm trờn mp(P) thỡ ng thng d song song vi mp(P) L2: Nu ng thng a song song vi mp(P) thỡ mi mp(Q) cha a m ct mp(P) thỡ ct theo giao tuyn song song vi a L3: Nu hai mt phng ct cựng song song vi mt ng thng thỡ giao tuyn ca chỳng song song vi ng thng ú d ỡd ậ (P) ù ớd / /a ị d / /(P) ùa è (P) ợ ỡa/ /(P) ù ị d / /a ớa è (Q) ù(P) ầ (Q) = d ợ a (P) (Q) a d (P) ỡ(P) ầ (Q) = d ù ị d / /a ớ(P)/ /a ù(Q)/ /a ợ d a Q P Đ2.HAI MT PHNG SONG SONG I nh ngha: Hai mt phng c gi l song song vi nu chỳng khụng cú im no chung II.Cỏc nh lý: L1: Nu mp(P) cha hai ng thng a, b ct v cựng song song vi mt phng (Q) thỡ (P) v (Q) song song vi (P)/ /(Q) (P) ầ(Q) =ặ P Q ỡa,b è (P) ù ị (P)/ /(Q) ớa ầ b = I ùa/ /(Q),b / /(Q) ợ a P b I Q Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din L2: Nu mt ng thng nm mt hai mt phng song song thỡ song song vi mt phng L3: Nu hai mt phng (P) v (Q) song song thỡ mi mt phng (R) ó ct (P) thỡ phi ct (Q) v cỏc giao tuyn ca chỳng song song a ỡ(P) / /(Q) ị a / /(Q) ợa è (P) P Q R ỡ(P) / /(Q) ù ớ(R) ầ (P) = a ị a / / b ù(R) ầ (Q) = b ợ a P b Q B.QUAN H VUễNG GểC Đ1.NG THNG VUễNG GểC VI MT PHNG I.nh ngha: Mt ng thng c a gi l vuụng gúc vi mt a ^ mp(P) a ^ c,"c è (P) mt phng nu nú vuụng gúc vi mi ng thng c P nm trờn mt phng ú II Cỏc nh lý: L1: Nu ng thng d vuụng gúc vi hai ng thng ct a v b cựng nm mp(P) thỡ ng thng d vuụng gúc vi mp(P) L2: (Ba ng vuụng gúc) Cho ng thng a khụng vuụng gúc vi mp(P) v ng thng b nm (P) Khi ú, iu kin cn v b vuụng gúc vi a l b vuụng gúc vi hỡnh chiu a ca a trờn (P) ỡd ^ a ,d ^ b ù ớa ,b è mp(P) ịd ^ mp(P) ùa,b caột ợ d P b a a a ^ mp(P),b è mp(P) b ^ a b ^ a' P a' b Đ2.HAI MT PHNG VUễNG GểC I.nh ngha: Hai mt phng c gi l vuụng gúc vi nu gúc gia chỳng bng 900 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din II Cỏc nh lý: L1:Nu mt mt phng cha mt ng thng vuụng gúc vi mt ỡa ^ mp(P) ị mp(Q) ^ mp(P) mt phng khỏc thỡ hai è a mp(Q) mt phng ú vuụng gúc ợ vi L2:Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc ỡ(P) ^ (Q) vi thỡ bt c ù ớ(P) ầ(Q) = d ịa ^ (Q) ng thng a no nm ùa è (P),a ^ d (P), vuụng gúc vi ợ giao tuyn ca (P) v (Q) u vuụng gúc vi mt phng (Q) L3: Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng ỡ(P) ^ (Q) gúc vi v A l ù ùA ẻ (P) mt im (P) thỡ ị a è (P) ng thng a i qua A ẻ a ù im A v vuụng gúc ùợa ^ (Q) vi (Q) s nm (P) L4: Nu hai mt phng ct v cựng ỡ(P) ầ (Q) = a vuụng gúc vi mt ù ị a ^ (R) phng th ba thỡ giao ớ(P) ^ (R) tuyn ca chỳng vuụng ù(Q) ^ (R) gúc vi mt phng th ợ ba Q a P P a Q d P a A Q P Q a R Đ3.KHONG CCH Khong cỏch t im ti ng thng , n mt phng: Khong cỏch t im M n ng thng a (hoc n mt phng (P)) l khong cỏch gia hai im M v H, ú H l hỡnh chiu ca im M trờn ng thng a ( hoc trờn mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Khong cỏch gia ng thng v mt phng song song: Khong cỏch gia ng thng a v mp(P) song song vi a l khong cỏch t mt im no ú ca a n mp(P) d(a;(P)) = OH Khong cỏch gia hai mt phng song song: l khong cỏch t mt im bt k trờn mt phng ny n mt phng d((P);(Q)) = OH 4.Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau: l di on vuụng gúc chung ca hai ng thng ú d(a;b) = AB O a H P O P H Q A a b B Đ4.GểC Gúc gia hai ng thng a v b l gúc gia hai ng thng a v b cựng i qua mt im v ln lt cựng phng vi a v b Gúc gia ng thng a khụng vuụng gúc vi mt phng (P) l gúc gia a v hỡnh chiu a ca nú trờn mp(P) c bit: Nu a vuụng gúc vi mt phng (P) thỡ ta núi rng gúc gia ng thng a v mp(P) l 900 Gúc gia hai mt phng l gúc gia hai ng thng ln lt vuụng gúc vi hai mt phng ú Hoc l gúc gia ng thng nm mt phng cựng vuụng gúc vi giao tuyn ti im a a' b' b a a' P a P b Q a P b Q Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Din tớch hỡnh chiu: Gi S l din tớch ca a giỏc (H) mp(P) v S l din tớch hỡnh chiu (H) ca (H) trờn mp(P) thỡ S S' = Scos j A ú j l gúc gia hai mt phng (P),(P) C j B ễN TP KIN THC C BN HèNH HC LP 12 A TH TCH KHI A DIN I/ Cỏc cụng thc th tớch ca a din: TH TCH KHI LNG TR: V= B.h ỡ B : d ie ọn tớc h ủ a ựy ợ h : c h ie u c a o h vi B a) Th tớch hp ch nht: V = a.b.c vi a,b,c l ba kớch thc a b) Th tớch lp phng: V = a3 vi a l di cnh TH TCH KHI CHểP: c b a a a V= Bh h ỡB : dieọn tớch ủaựy vi ợ h : chieu cao T S TH TCH T DIN: Cho t din SABC v A, B, C l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA, SB, SC ta cú: VSABC VSA ' B ' C ' SA SB SC = SA ' SB ' SC ' B S C' A' A B' C B Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din TH TCH KHI CHểP CT: ( A' ) h B + B'+ BB' ỡB, B' : dieọn tớch hai ủaựy vi ợ h : chieu cao V= B' C' A B C Chỳ ý: 1/ ng chộo ca hỡnh vuụng cnh a l d = a , ng chộo ca hỡnh lp phng cnh a l d = a , ng chộo ca hỡnh hp ch nht cú kớch thc a, b, c l d = a + b2 + c , 2/ ng cao ca tam giỏc u cnh a l h = a 3/ Hỡnh chúp u l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u v cỏc cnh bờn u bng ( hoc cú ỏy l a giỏc u, hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ca ỏy) 4/ Lng tr u l lng tr ng cú ỏy l a giỏc u II/ Bi tp: Ni dung chớnh LOI 1: 1) Dng 1: TH TCH LNG TR Khi lng tr ng cú chiu cao hay cnh ỏy Vớ d 1: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A cú cnh BC = a v bit A'B = 3a Tớnh th tớch lng tr a Li gii: Ta cú VABC vuụng cõn ti A nờn AB = AC = a ABC A'B'C' l lng tr ng ị AA' ^ AB VAA 'B ị AA '2 = A'B2 - AB2 = 8a2 ị AA ' = 2a Vy V = B.h = SABC AA' = a3 Vớ d 2: Cho lng tr t giỏc u ABCD.ABCD' cú cnh bờn bng 4a v ng chộo 5a Tớnh th tớch lng tr ny ? Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Li gii: ABCD A'B'C'D' l lng tr ng nờn BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ị BD = 3a 3a ABCD l hỡnh vuụng ị AB = 2 9a Suy B = SABCD = Vy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Vớ d 3: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc u cnh a = v bit din tớch tam giỏc ABC bng Tớnh th tớch lng tr Li gii: Gi I l trung im BC Ta cú V ABC u nờn C' A' B' AI = A AB = & AI ^ BC ị A 'I ^ BC(dl3 ^) 2S SA'BC = BC.A 'I ị A 'I = A'BC = BC AA ' ^ (ABC) ị AA ' ^ AI C VA 'AI ị AA ' = A 'I2 - AI2 = Vy : VABC.ABC = SABC AA'= I B Vớ d 4: Mt tm bỡa hỡnh vuụng cú cnh 44 cm, ngi ta ct b i mi gúc tm bỡa mt hỡnh vuụng cnh 12 cm ri gp li thnh mt cỏi hp ch nht khụng cú np Tớnh th tớch cỏi hp ny C' D' D' D' D A' B' D C A' A B A A' Gii C' Theo bi, ta cú C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nờn ABCD l hỡnh vuụng cú AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm v chiu cao hp h = 12 cm B B' Vy th tớch hp l V = SABCD.h = 4800cm3 B' Vớ d 5: Cho hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh thoi cnh a v cú gúc nhn bng Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din 600 ng chộo ln ca ỏy bng ng chộo nh ca lng tr Tớnh th tớch hỡnh hp C' D' Li gii: Ta cú tam giỏc ABD u nờn : BD = a v SABCD = 2SABD = B' A' a =a VDD'B ị DD' = BD'2 - BD2 = a a3 Vy V = SABCD.DD' = Theo bi BD' = AC = C D A a2 60 B Bi tng t: Bi 1: Cho lng tr ng cú ỏy l tam giỏc u bit rng tt c cỏc cnh ca lng tr bng a Tớnh th tớch v tng din tớch cỏc mt bờn ca lng tr a3 S: V = ; S = 3a2 Bi 2: Cho lng tr ng ABCD.A'B'C'D' cú ỏy l t giỏc u cnh a bit rng BD' = a Tớnh th tớch ca lng tr s: V = 2a3 Bi 3: Cho lng tr ng t giỏc cú ỏy l hỡnh thoi m cỏc ng chộo l 6cm v 8cm bit rng chu vi ỏy bng ln chiu cao lng tr.Tớnh th tớch v tng din tớch cỏc mt ca lng tr s: V = 240cm3 v S = 248cm2 Bi 4: Cho lng tr ng tam giỏc cú di cỏc cnh ỏy l 37cm ; 13cm ;30cm v bit tng din tớch cỏc mt bờn l 480 cm2 Tớnh th tớch lng tr s: V = 1080 cm3 Bi 5: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti A ,bit rng chiu cao lng tr l 3a v mt bờn AA'B'B cú ng chộo l 5a Tớnh th tớch lng tr s: V = 24a3 Bi 6: Cho lng tr ng t giỏc u cú tt c cỏc cnh bng v bit tng din tớch cỏc mt ca lng tr bng 96 cm2 Tớnh th tớch lng tr s: V = 64 cm3 Bi 7: Cho lng tr ng tam giỏc cú cỏc cnh ỏy l 19,20,37 v chiu cao ca lng tr bng trung bỡnh cng cỏc cnh ỏy Tớnh th tớch ca lng tr s: V = 2888 Bi 8: Cho lp phng cú tng din tớch cỏc mt bng 24 m2 Tớnh th tớch lp phng s: V = m3 Bi 9: Cho hỡnh hp ch nht cú kớch thc t l thun vi 3,4,5 bit rng di mt ng chộo ca hỡnh hp l m.Tớnh th tớch hp ch nht s: V = 0,4 m3 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Bi 10: Cho hỡnh hp ch nht bit rng cỏc ng chộo ca cỏc mt ln lt l 5; 10; 13 Tớnh th tớch hp ny s: V = 2)Dng 2: Lng tr ng cú gúc gia ng thng v mt phng Vớ d 1: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA = BC = a ,bit A'B hp vi ỏy ABC mt gúc 600 Tớnh th tớch lng tr C' A' B' C A 60o B Li gii: Ta cú A 'A ^ (ABC) ị A 'A ^ AB& AB l hỡnh chiu ca A'B trờn ỏy ABC ABA ' = 60o Vy gúc[A 'B,(ABC)] = ẳ VABA ' ị AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vy V = SABC.AA' = Vớ d 2: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc ẳ = 60 o bit BC' hp vi (AA'C'C) mt gúc 300 vuụng ti A vi AC = a , ACB Tớnh AC' v th tớch lng tr A' C' B' A 30o a o 60 B C Li gii: VABC ị AB = AC.tan60o = a Ta cú: AB ^ AC;AB ^ AA' ị AB ^ (AA'C'C) nờn AC' l hỡnh chiu ca BC' trờn (AA'C'C) Vy gúc[BC';(AA"C"C)] = ẳ BC'A = 30o AB VAC'B ị AC' = = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' VAA 'C' ị AA' = AC'2 - A 'C'2 = 2a a2 VABC l na tam giỏc u nờn SABC = Vy V = a Vớ d 3: Cho lng tr ng ABCD A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a 10 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din S H 60 A B a C o D Li gii: 1)Ta cú SA ^ (ABC) v CD ^ AD ị CD ^ SD ( l ^ ).(1) ẳ = 60o Vy gúc[(SCD),(ABCD)] = SDA VSAD vuụng nờn SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vy V = SABCD SA = a2a = 3 2) Ta dng AH ^ SD ,vỡ CD ^ (SAD) (do (1) ) nờn CD ^ AH ị AH ^ (SCD) Vy AH l khong cỏch t A n (SCD) 1 1 VSAD ị = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vy AH = Bi tng t: Bi 1: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA=BC=a bit SA vuụng gúc vi ỏy ABC v SB hp vi (SAB) mt gúc 30o a3 Tớnh th tớch hỡnh chúp s: V = Bi 2: Cho hỡnh chúp SABC cú SA vuụng gúc vi ỏy (ABC) v SA = h ,bit rng tam giỏc ABC u v mt (SBC) hp vi ỏy ABC mt gúc 30o Tớnh th h3 tớch chúp SABC s: V = Bi 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC vuụng ti A v SB vuụng gúc vi ỏy ABC bit SB = a,SC hp vi (SAB) mt gúc 30o v (SAC) hp vi (ABC) mt gúc 60o Chng minh rng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tớnh th tớch hỡnh chúp a3 s: V = 27 Bi 4: Cho t din ABCD cú AD ^ (ABC) bit AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tớnh th tớch ABCD s: V = cm3 12 2) Tớnh khong cỏch t A n mt phng (BCD) s: d = 34 Bi 5: Cho chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti A vi BC = 2a , gúc ẳ BAC = 120o , bit SA ^ (ABC) v mt (SBC) hp vi ỏy mt gúc 45o a3 Tớnh th tớch chúp SABC s: V = Bi 6: Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng bit SA ^ (ABCD),SC = a v SC hp vi ỏy mt gúc 60o Tớnh th tớch chúp a3 s: V = 48 Bi 7: Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht bit rng 20 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din SA ^ (ABCD) , SC hp vi ỏy mt gúc 45o v AB = 3a , BC = 4a Tớnh th tớch chúp s: V = 20a3 Bi 8: Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a v gúc nhn A bng 60o v SA ^ (ABCD) ,bit rng khong cỏch t A n cnh SC = a a3 Tớnh th tớch chúp SABCD s: V = Bi 9: Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B bit AB = BC = a , AD = 2a , SA ^ (ABCD) v (SCD) hp vi ỏy mt gúc 60o a3 Tớnh th thớch chúp SABCD s: V = Bi 10 : Cho chúp SABCD cú ỏy ABCD l na lc giỏc u ni tip na ng trũn ng kớnh AB = 2R bit mt (SBC) hp vi ỏy ABCD 3R3 o mt gúc 45 Tớnh th tớch chúp SABCD s: V = 2) Dng : Khi chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cú cnh a Mt bờn SAB l tam giỏc u nm mt phng vuụng gúc vi ỏyABCD, 1) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AB 2) Tớnh th tớch chúp SABCD S D A B H a C Li gii: 1) Gi H l trung im ca AB VSAB u ị SH ^ AB m (SAB) ^ (ABCD) ị SH ^ (ABCD) Vy H l chõn ng cao ca chúp a 2) Ta cú tam giỏc SAB u nờn SA = a suy V = SABCD SH = Vớ d 2: Cho t din ABCD cú ABC l tam giỏc u ,BCD l tam giỏc vuụng cõn ti D , (ABC) ^ (BCD) v AD hp vi (BCD) mt gúc 60o Tớnh th tớch t din ABCD 21 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Li gii: Gi H l trung im ca BC Ta cú tam giỏc ABC u nờn AH ^ (BCD) , m (ABC) ^ (BCD) ị AH ^ (BCD) A a B 60 o H D C Ta cú AH ^ HD ị AH = AD.tan60o = a a & HD = AD.cot60o = 2a VBCD ị BC = 2HD = suy 1 a3 V = SBCD AH = BC.HD.AH = 3 Vớ d 3: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, cú BC = a Mt bờn SAC vuụng gúc vi ỏy, cỏc mt bờn cũn li u to vi mt ỏy mt gúc 450 a) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AC b) Tớnh th tớch chúp SABC S H A 45 C I J B Li gii: a) K SH ^ BC vỡ mp(SAC) ^ mp(ABC) nờn SH ^ mp(ABC) Gi I, J l hỡnh chiu ca H trờn AB v BC ị ẳ = 45o SIH = SJH SI ^ AB, SJ ^ BC, theo gi thit ẳ Ta cú: DSHI = DSHJ ị HI = HJ nờn BH l ng phõn giỏc ca VABC ú suy H l trung im ca AC a a3 S SH = b) HI = HJ = SH = ị VSABC= ABC 12 Bi tng t: Bi 1: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC u cnh a, tam giỏc SBC cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi (ABC) 1) Chng minh chõn ng cao ca chúp l trung im ca BC a3 2) Tớnh th tớch chúp SABC s: V = 24 Bi 2: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC vuụng cõn ti A vi AB = AC = a bit tam giỏc SAB cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi (ABC) ,mt phng a3 o (SAC) hp vi (ABC) mt gúc 45 Tớnh th tớch ca SABC s: V = 12 22 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din ẳ = 30o ; SBC l tam giỏc u Bi 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ẳ BAC = 90o ;ABC a2 cnh a v (SAB) ^ (ABC) Tớnh th tớch chúp SABC s: V = 24 Bi 4: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u;tam giỏc SBC cú ng cao SH = h v (SBC) ^ (ABC) Cho bit SB hp vi mt (ABC) mt gúc 30o Tớnh 4h3 th tớch hỡnh chúp SABC s: V = Bi 5: T din ABCD cú ABC v BCD l hai tam giỏc u ln lt nm hai a3 mt phng vuụng gúc vi bit AD = a.Tớnh th tớch t din s: V = 36 Bi : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng Mt bờn SAB l tam giỏc u cú ng cao SH = h ,nm mt phng vuụng gúc vi ABCD, 1) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AB 4h3 2) Tớnh th tớch chúp SABCD s: V = Bi 7: Cho hỡnh chúp SABCD cú ABCD l hỡnh ch nht , tam giỏc SAB u cnh a nm mt phng vuụng gúc vi (ABCD) bit (SAC) hp vi (ABCD) a3 s: V = mt gúc 30o Tớnh th tớch hỡnh chúp SABCD Bi 8: Cho hỡnh chúp SABCD cú ABCD l hỡnh ch nht cú AB = 2a , BC = 4a, SAB ^ (ABCD) , hai mt bờn (SBC) v (SAD) cựng hp vi ỏy ABCD mt gúc 8a3 s: V = 30o Tớnh th tớch hỡnh chúp SABCD Bi 9: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi vi AC = 2BD = 2a v tam giỏc SAD vuụng cõn ti S , nm mt phng vuụng gúc vi ABCD Tớnh a3 th tớch hỡnh chúp SABCD s: V = 12 Bi 10: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AD = CD = a ; AB = 2a bit tam giỏc SAB u nm mt phng vuụng gúc a3 vi (ABCD) Tớnh th tớch chúp SABCD s: V = 3) Dng : Khi chúp u Vớ d 1: Cho chúp tam giỏc u SABC cnh ỏy bng a v cnh bờn bng 2a Chng minh rng chõn ng cao k t S ca hỡnh chúp l tõm ca tam giỏc u ABC.Tớnh th tớch chúp u SABC Li gii: Dng SO ^ (ABC) Ta cú SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vy O l tõm ca tam giỏc u ABC Ta cú tam giỏc ABC u nờn 23 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din S AO = 2a VSAO ị SO2 = SA - OA = O 11a2 a 11 a3 11 ị SO = Vy V = SABC SO = 12 C A a 2a a AH = = 3 H B Vớ d 2:Cho chúp t giỏc SABCD cú tt c cỏc cnh cú di bng a 1) Chng minh rng SABCD l chúp t giỏc u 2) Tớnh th tớch chúp SABCD S C D a a 2 1 a a3 = ị V = S ABCD SO = a 3 nờn V ASC vuụng ti S ị OS = O A Li gii: Dng SO ^ (ABCD) Ta cú SA = SB = SC = SD nờn OA = OB = OC = OD ị ABCD l hỡnh thoi cú ng trũn gnoi tip nờn ABCD l hỡnh vuụng Ta cú SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 B Vy V = a3 Vớ d 3: Cho t din u ABCD cnh bng a, M l trung im DC a) Tớnh th tớch t din u ABCD b)Tớnh khong cỏch t M n mp(ABC).Suy th tớch hỡnh chúp MABC Li gii: a) Gi O l tõm ca DABC ị DO ^ ( ABC ) V = S ABC DO a2 a S ABC = , OC = CI = 3 a DDOC vuụng cú : DO = DC - OC = a2 a a3 ịV = = 12 24 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din b) K MH// DO, khong cỏch t M n mp(ABC) l MH a MH = DO = D M ị VMABC A C O I H 1 a a a3 = S ABC MH = = 3 24 Vy V = a3 24 a B Bi tng t: Bi 1: Cho hỡnh chúp u SABC cú cnh bờn bng a hp vi ỏy ABC mt gúc 3a3 o s: V = 60 Tớnh th tớch hỡnh chúp 16 Bi 2: Cho hỡnh chúp tam giỏc u SABC cú cnh bờn a, gúc ỏy ca mt bờn l 45o a 1) Tớnh di chiu cao SH ca chúp SABC s: SH = a3 2) Tớnh th tớch hỡnh chúp SABC s: V = Bi 3: Cho hỡnh chúp tam giỏc u SABC cú cnh ỏy a v mt bờn hp vi ỏy a3 mt gúc 60o Tớnh th tớch hỡnh chúp SABC s: V = 24 Bi : Cho chúp tam giỏc u cú ng cao h hp vi mt mt bờn mt gúc 30o h3 Tớnh th tớch hỡnh chúp s: V = Bi : Cho hỡnh chúp tam giỏc u cú ng cao h v mt bờn cú gúc nh h3 s: V = bng 60o Tớnh th tớch hỡnh chúp ẳ o Bi : Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú cnh ỏy a v ASB = 60 a2 1) Tớnh tng din tớch cỏc mt bờn ca hỡnh chúp u s: S = 3 a 2) Tớnh th tớch hỡnh chúp s: V = Bi : Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú chiu cao h ,gúc nh ca mt bờn 2h3 bng 60o Tớnh th tớch hỡnh chúp s: V = o Bi 8: Cho hỡnh chúp t giỏc u cú mt bờn hp vi ỏy mt gúc 45 v khong cỏch t chõn ng cao ca chúp n mt bờn bng a 25 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din 8a3 3 Bi 9: Cho hỡnh chúp t giỏc u cú cnh bờn bng a hp vi ỏy mt gúc 60o a3 Tớnh th tớch hỡnh chúp s: V = 12 Bi 10: Cho hỡnh chúp SABCD cú tt c cỏc cnh bng Chng minh rng SABCD l chúp t giỏc u.Tớnh cnh ca hỡnh chúp ny th tớch ca 9a3 nú bng V = s: AB = 3a 4) Dng : Khi chúp & phng phỏp t s th tớch s: V = Tớnh th tớch hỡnh chúp Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn B, AC = a , SA vuụng gúc vi ỏy ABC , SA = a 1) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC 2) Gi G l trng tõm tam giỏc ABC, mt phng ( a ) qua AG v song song vi BC ct SC, SB ln lt ti M, N Tớnh th tớch ca chúp S.AMN Li gii: S ABC SA v SA = a S a)Ta cú: VS ABC = A + DABC cõn cú : AC = a ị AB = a 1 a3 ị S ABC = a Vy: VSABC = a a = b) Gi I l trung im BC SG = G l trng tõm,ta cú : SI SM SN SG = = = a // BC ị MN// BC ị SB SC SI N C G M I B ị VSAMN SM SN = = VSABC SB SC 2a V = V = Vy: SAMN SABC 27 Vớ d 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C v vuụng gúc vi mt phng (ABC) ly im D cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD, ct BD ti F v ct AD ti E a) Tớnh th tớch t din ABCD b) Chng minh CE ^ ( ABD) c) Tớnh th tớch t din CDEF 26 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din ? Li gii: a a)Tớnh VABCD : VABCD = SABC CD = b)Tacú: AB ^ AC , AB ^ CD ị AB ^ ( ACD ) ị AB ^ EC Ta cú: DB ^ EC ị EC ^ ( ABD ) D F a E c) Tớnh VDCEF :Ta cú: B C VDCEF DE DF (*) = VDABC DA DB M DE.DA = DC , chia cho DA2 a DE DC a2 = = = 2 DA DA 2a 2 DF DC a2 = = = Tng t: 2 DB DB DC + CB ị A T(*) ị VDCEF 1 a3 = Vy VDCEF = VABCD = VDABC 6 36 Vớ d 3: Cho chúp t giỏc u SABCD Mt mt phng (a ) qua A, B v trung im M ca SC Tớnh t s th tớch ca hai phn chúp b phõn chia bi mt phng ú Li gii: K MN // CD (N ẻ SD) thỡ hỡnh thang ABMN l thit din ca chúp ct bi mt phng (ABM) S N + M D A O C B VSAND SN 1 = = ị VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1 = = = ị VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 M VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN Do ú : = V ABMN ABCD Vớ d 4: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn o to vi ỏy gúc 60 Gi M l trung im SC Mt phng i qua AM v song song vi BD, ct SB ti E v ct SD ti F 27 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din a) Hy xỏc nh mp(AEMF) b) Tớnh th tớch chúp S.ABCD c) Tớnh th tớch chúp S.AEMF Li gii: a) Gi I = SO ầ AM Ta cú (AEMF) //BD ị EF // BD S b) VS ABCD = M E B o + VSOA cú : SO = AO.tan 60 = I C Vy : VS ABCD F O A S ABCD SO vi S ABCD = a D a a3 = c) Phõn chia chúp t giỏc ta cú VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xột chúp S.AMF v S.ACD SM = Ta cú : ị SC DSAC cú trng tõm I, EF // BD nờn: ị V SM SF SI SF = = = ị SAMF = VSACD SC SD SO SD ị VSAMF 1 a3 = VSACD = VSACD = 36 ị VS AEMF a3 a3 =2 = 36 18 Vớ d 5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc ỏy, SA = a Gi B, D l hỡnh chiu ca A ln lt lờn SB, SD Mt phng (ABD) ct SC ti C a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD b) Chng minh SC ^ ( AB ' D ') c) Tớnh th tớch chúp S.ABCD 28 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Li gii: a) Ta cú: VS ABCD S D' I B A VSAB'C' SB ' SC ' (*) = VSABC SB SC +Tớnh VS AB 'C ' : Ta cú: SC ' = SC SB ' SA2 2a 2a 2 = = = = Ta cú: SB SB SA2 + AB 3a DSAC vuụng cõn nờn O D b) Ta cú BC ^ ( SAB ) ị BC ^ AB ' & SB ^ AB ' Suy ra: AB ' ^ ( SBC ) nờn AB' ^ SC Tng t AD' ^ SC Vy SC ^ (AB'D') c) Tớnh VS A B ' C ' D ' B' C' a3 = S ABCD SA = 3 C T (* ) ị V SA B 'C ' = V SABC ị VSAB ' C ' a3 a3 = = 3 + VS A B 'C ' D ' = 2VS A B ' C ' 2a = Bi tng t: Bi 1: Cho t diờn ABCD Gi B' v C' ln lt l trung im ca AB v AC Tớnh t s th tớch ca t din AB'C'D v t diờn ABCD s: k = Bi 2: Cho t diờn ABCD cú th tớch 9m ,trờn AB,AC,AD ln lt ly cỏc im B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tớnh t tớch t din AB'C'D' s: V = m3 Bi 3: Cho t diờn u ABCD cú cnh a Ly cỏc im B';C' trờn AB v AC a 2a a3 cho AB = ;AC' = Tớnh th tớch t diờn AB'C'D s: V = 36 Bi 4: Cho t diờnABCD cú th tớch 12 m3 Gi M,P l trung im ca AB v CD v ly N trờn AD cho DA = 3NA Tớnh th tớch t diờn BMNP s: V = m3 Bi 5: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a ,ng cao SA = a.Mt phng qua A v vuụng gúc vi SB ti H v ct SC ti K Tớnh th tớch hỡnh chúp SAHK s: V = a3 40 Bi 6: Cho hỡnh chúp SABCD cú th tớch bng 27m3 Ly A'trờn SA cho SA = 3SA' Mt phng qua A' v song song vi ỏy hỡnh chúp ct SB,SC,SD ln lt ti B',C',D' Tớnh th tớch hỡnh chúp SA'B'C'D' s: V = m3 29 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Bi 7: Cho hỡnh chúp SABCD cú th tớch bng 9m3, ABCD l hỡnh bỡnh hnh , ly M trờn SA cho 2SA = 3SM Mt phng (MBC) ct SD ti N.Tớnh th tớch a diờn ABCDMN s: V = 4m3 Bi 8: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, chiu cao SA = h Gi N l trung im SC Mt phng cha AN v song song vi BD ln lt ct a2 h SB,SDF ti M v P Tớnh th tớch chúp SAMNP s: V = Bi : Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh v I l trung im ca SC.Mt phng qua AI v song song vi BD chia hỡnh chúp thnh phn.Tớnh t s th tớch phn ny s: k = Bi 10: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh v ly M trờn SA SM cho = x Tỡm x mt phng (MBC) chia hỡnh chúp thnh phn cú th SA -1 tớch bng s: x = 5) Dng : ễn chúp v lng tr Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, SA vuụng o gúc ỏy Gúc gia SC v ỏy bng 60 v M l trung im ca SB 1) Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD 2) Tớnh th tớch ca chúp MBCD Li gii: S a)Ta cú V = S ABCD SA + S ABCD = (2a) = 4a + DSAC cú : SA = AC tan C = 2a H A B 60o D 2a C 8a3 ịV = 4a 2a = 3 b) K MH / / SA ị MH ^ ( DBC ) 1 Ta cú: MH = SA , S BCD = S ABCD 2 2a ịVMBCD = V = Vớ d 2: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Cỏc mt bờn SAB, SBC, SCA to vi ỏy mt gúc 60o Tớnh th tớch chúp 30 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Li gii: H SH ^ ( ABC ) , k HE ^ AB, HF ^ BC, HJ ^ AC suy SE ^ AB, SF ^ BC, SJ ^ AC Ta cú ẳ ẳ = SJH ẳ = 60O ị SEH = SFH DSAH = DSFH = DSJH nờn HE =HF = HJ = r ( r l bỏn kớnh ng trũn ngai tip DABC ) Ta cú SABC = p( p - a)( p - b)( p - c) a+b+c = 9a Nờn SABC = 9.4.3.2 a vi p = S 6a Mt khỏc SABC = p.r ị r = = p Tam giỏc vuụng SHE: 6a 3=2 a SH = r.tan 600 = 3 Vy VSABC = 6 a 2 a = a S J A C 60 H E F B Vớ d 3: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a , AD = a, AA = a, O l giao im ca AC v BD a) Tớnh th tớch hp ch nht, chúp OABCD b) Tớnh th tớch OBBC c) Tớnh di ng cao nh C ca t din OBBC A B Ta cú : V = AB AD.AA ' = a 3.a = a O D M C B' A' C' D' Li gii: a) Gi th tớch hp ch nht l V DABD cú : DB = AB + AD2 = 2a * Khi OABCD cú ỏy v ng cao a3 ging hp nờn: ịVOA' B'C ' D' = V = 3 b) M l trung im BC ịOM ^(BB'C') 1 a2 a a3 ịVOBB'C ' = SBB'C ' OM = = 3 2 12 c) Gi CH l ng cao nh C ca t din OBBC Ta cú : C ' H = 3VOBB 'C ' SOBB ' 31 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din DABD cú : DB = AB + AD = 2a ị SOBB ' = a ị C ' H = 2a Vớ d 4: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCDcú cnh bng a Tớnh th tớch t din ACBD B A D Li gii: Hỡnh lp phng c chia thnh: ACBD v bn CBDC, BBAC, DACD, ABAD +Cỏc CBDC, BBAC, DACD, ABAD cú din tớch ỏy v chiu cao bng nờn cú cựng th tớch 1 2 Khi CBDC cú V1 = a a = C A' B' C' a +Khi lp phng cú th tớch: V2 = a 3 ị VACB ' D ' = a - a = a 3 D' a Vớ d 5: Cho hỡnh lng tr ng tam giỏc cú cỏc cnh bng a a) Tớnh th tớch t din AB BC b) E l trung im cnh AC, mp(ABE) ct BC ti F Tớnh th tớch CABFE E A I B F C B' A' Li gii: a) Khi AB BC:Gi I l trung im AB, 1 a a a3 VA ' B ' BC = S A ' B ' B CI = = 3 2 12 b)Khi CABFE: phõn hai CEFA v CFAB +Khi ACEFcú ỏy l CEF, ng cao AA nờn VA ' CEF = J C' SCEF SCEF A ' A a2 a3 = S ABC = ị VA 'CEF = 16 48 32 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din +Gi J l trung im BC Ta cú ABCF cú ỏy l CFB, ng cao JA nờn VA ' B ' CF = SCFB' A ' J a2 SCFB' = SCBB ' = a a a3 ị V A ' B ' CF = = 24 + Vy : VCA'B'FE a3 = 16 Bi tng t: Bi 1: Cho lng tr ng ABCA1B1C1 cú ABC vuụng AB = AC = a; AA1 = a M l trung im AA1 Tớnh th tớch lng tr MA1BC1 a3 s:V = 12 ẳ = 60o, Bi 2: Hỡnh chúp SABCD cú ABC vuụng ti B, SA ^ (ABC) ACB BC = a, SA = a ,M l trung im SB.Tớnh th tớch MABC s: VMABC = a3 ẳ = 90o Bi 3: SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vi ỏy ln AB = 2, ACB SAC v SBD l cỏc tam giỏc u cú cnh bng Tớnh th tớch chúp SABCD s: VSABCD = Bi 4: Tớnh th tớch hỡnh chúp tam giỏc u SABC cỏc trng hp sau: 12 11 b) AB = 1, SA = s: V = 12 Bi Cho lng tr ABCABC cú di cnh bờn = 2a, ABC vuụng ti A, AB = a, AC = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (ABC) l trung im BC a3 s: V = Tớnh VAABC theo a? Bi 6: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh v SABCD = v gúc gia ng chộo bng 60o, cỏc cnh bờn nghiờng u vi ỏy gúc 45o Tớnh VSABCD s: V = o o Bi 7: Cho hỡnh chúp SABC cú SA = SB = SC = a ASB = 60 , BSC = 90 , a s: V = CSA = 120o.Chng minh rng ABC vuụng Tớnh VSABC 12 a) Cnh ỏy bng 1, gúc ABC = 60o s: V = 33 Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com Th tớch a din Bi 8: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, SA = a ,SB= a v mt phng (SAB) vuụng gúc mt phng ỏy Gi M,N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB.BC.Tớnh theo a th tớch chúp S.BMDN a3 s: vS BMDN = Bi 9: Cho lng tr ng tam giỏc u ABCABC cú cnh ỏy v cnh bờn u bng a M, N, E ln lt l trung im ca BC, CC, CA Tớnh t s th tớch hai phn lng tr (MNE) to s: k = Bi 10: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a,mt bờn SAD l tam giỏc u v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy Gi M,N ln lt l trung im ca cỏc cnh SB,BC,CD.Chng minh AM vuụng gúc vi BP v tớnh th tớch ca t din CMNP a3 s : vM CNP = 96 34 [...]... BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích 1 1 3 2 2 Khối CB’D’C’ có V1 = a a = C A' B' C' 1 3 a 6 +Khối lập phương có thể tích: V2 = a 1 3 1 3 3 Þ VACB ' D ' = a - 4 a = a 6 3 3 D' a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F Tính thể tích khối CA’B’FE E A I... 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA ^ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp a3 3 Đs: V = 48 Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng 20 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thể tích khối đa diện SA ^ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3 Bài 8: Cho khối chóp... www.toanmath.com Thể tích khối đa diện ¼ = 30o ; SBC là tam giác đều Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼ BAC = 90o ;ABC a2 2 cạnh a và (SAB) ^ (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = 24 Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) ^ (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o Tính 4h3 3 thể tích hình chóp SABC Đs: V = 9 Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC... góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ^ ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF 26 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thể tích khối đa diện ? Lời giải: 1 a a)Tính VABCD : VABCD = SABC CD = 3 6 b)Tacó: AB ^ AC , AB ^ CD Þ AB ^ ( ACD ) Þ AB ^ EC Ta có: DB ^ EC... song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = 1 m3 29 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thể tích khối đa diện Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là... a, O là giao điểm của AC và BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’ A B 2 3 Ta có : V = AB AD.AA ' = a 3.a = a 3 O D M C B' A' C' D' Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V DABD có : DB = AB 2 + AD2 = 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao 1 a3 3 giống khối hộp nên: ÞVOA' B'C ' D' = V = 3 3... của tứ diện OBB’C’ Ta có : C ' H = 3VOBB 'C ' SOBB ' 31 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thể tích khối đa diện DABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a Þ SOBB ' = 1 2 a Þ C ' H = 2a 3 2 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B A D Lời giải: Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’,... đường cao của khối chóp a 3 2) Ta có tam giác SAB đều nên SA = 2 3 1 a 3 suy ra V = SABCD SH = 3 6 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) ^ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD 21 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thể tích khối đa diện Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC Ta có tam giác ABC đều nên AH ^ (BCD)... ABMN ABCD 5 Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên o tạo với đáy góc 60 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F 27 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thể tích khối đa diện a) Hảy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I = SO Ç AM... điểm của AB và AC Tính 1 tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD Đs: k = 4 3 Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = 2 m3 Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao a 2a a3 2 cho AB = ;AC' = Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs: V =