Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9
S GIO DC V O TO K THI CHN HC SINH GII CP TNH Lp THCS nm hc 2015-2016 Mụn Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang - PH TH CHNH THC Cõu (3,0 im) a)Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha phng trỡnh: x y xy x y b) Chng minh rng vi ba s t nhiờn a,b,c ú cú ỳng mt s l v hai s chn ta 3 3 luụn cú a b c a b c b c a a b c Chia ht cho 96 Cõu (4,0 im) a) Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú n n b) Tớnh S Cõu (4,0 im) 2 1 n n2 tng 1 1 2014 2016 a) Gii phng trỡnh 2x x 2x x b) Gii h phng trỡnh x y y x xy x y x y Cõu (7,0 im) Cho BC l dõy cung c nh ca ng trũn (O; R) ,( BC 0, a a a a a a a a) Chng minh rng M b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu thc N nhn giỏ tr nguyờn? M Bi (2,0 im) Cho biu thc: M a) Cho cỏc hm s bc nht: y 0,5x , y x v y mx cú th ln lt l cỏc ng thng (d1), (d2) v (m) Vi nhng giỏ tr no ca tham s m thỡ ng thng (m) ct hai ng thng (d1) v (d2) ln lt ti hai im A v B cho im A cú honh õm cũn im B cú honh dng? b) Trờn mt phng ta Oxy, cho M v N l hai im phõn bit, di ng ln lt trờn trc honh v trờn trc tung cho ng thng MN luụn i qua im c nh I(1 ; 2) Tỡm h thc liờn h gia honh ca M v tung ca N; t ú, suy 1 giỏ tr nh nht ca biu thc Q OM ON Bi (2,0 im) 17x 2y 2011 xy a) Gii h phng trỡnh: x 2y 3xy x y z z x (y 3) b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x, y, z cho: Bi (3,0 im) Cho ng trũn (C ) vi tõm O v ng kớnh AB c nh Gi M l im di ng trờn (C ) cho M khụng trựng vi cỏc im A v B Ly C l im i xng ca O qua A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct ng thng AM ti N ng thng BN ct ng trũn (C ) ti im th hai l E Cỏc ng thng BM v CN ct ti F a) Chng minh rng cỏc im A, E, F thng hng b) Chng minh rng tớch AMAN khụng i c) Chng minh rng A l trng tõm ca tam giỏc BNF v ch NF ngn nht Bi (1,0 im) Tỡm ba ch s tn cựng ca tớch ca mi hai s nguyờn dng u tiờn -HT H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch ký ca giỏm th 1: Ch ký ca giỏm th 2: S GIO DC V O TO THNH PH NNG Kè THI CHN SINH HC SINH GII LP NM HC 2015-2016 Mụn thi: TON HNG DN CHM MễN TON LP Di õy l s lc biu im ca thi Hc sinh gii lp Cỏc Giỏm kho tho lun thng nht thờm chi tit li gii cng nh thang im ca biu im ó trỡnh by T chm cú th phõn chia nh thang im n 0,25 im cho tng ý ca thi Tuy nhiờn, im tng bi, tng cõu khụng c thay i Ni dung tho lun v ó thng nht chm c ghi vo biờn bn c th vic chm phỳc kho sau ny c thng nht v chớnh xỏc Hc sinh cú li gii khỏc ỳng, chớnh xỏc nhng phi nm chng trỡnh c hc thỡ bi lm ỳng n ý no giỏm kho cho im ý ú Vic lm trũn s im bi kim tra c thc hin theo quy nh ca B Giỏo dc v o to ti Quyt nh s 40/2006/BGD-T -P N BI-í a a a a a a a vi a > 0, a a a a a a a a) Chng minh rng M b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu thc N nhn giỏ tr nguyờn M Cho biu thc: M Bi Do a > 0, a nờn: IM a a ( a 1)(a a 1) a a v a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a) a (1 a) a 1.a a (1,25) M a 2,00 0,25 Do a 0; a nờn: ( a 1) a a 2 a 24 a ú N ch cú th nhn c mt giỏ tr nguyờn l Ta cú N M a 1.b a a ( a 2)2 M N = a a (0,75) a hay a (phự hp) 0,25 0,25 0,25 M Vy, N nguyờn a (2 3) a) Cho cỏc hm s bc nht: y 0,5x , y x v y mx cú th ln lt l cỏc ng thng (d1), (d2) v (m) Vi nhng giỏ tr no ca tham s m thỡ ng thng (m) ct hai ng thng (d1) v (d2) ln lt ti hai im A v B cho im A cú honh õm cũn im B cú honh dng? b) Trờn mt phng ta Oxy, cho M v N l hai im phõn bit, di ng ln lt trờn trc honh v trờn trc tung cho ng thng MN luụn i qua im c nh I(1 ; 2) Tỡm h thc liờn h gia honh ca M v tung ca N; t ú, suy giỏ Bi 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 tr nh nht ca biu thc Q 1 OM ON iu kin (m) l th hm s bc nht l m Phng trỡnh honh giao im ca (d1) v (m) l: 0,5x mx (m 0,5)x iu kiờn phng trỡnh ny cú nghim õm l m 0,5 hay m 0,5 0,25 2.a (0,75) Phng trỡnh honh giao im ca (d2) v (m) l: x mx (m 1)x iu kiờn phng trỡnh ny cú nghim dng l m hay m Vy iu kin cn tỡm l: m 0,5; m t m = xM v n = yN mn v m (*) Nờn ng thng qua ba im M, I, N cú dng: y = ax+b am b a b h thc liờn h gia m v n l 2m n mn n b 0,25 0,25 0,25 0,25 Chia hai v cho mn ta c: (**) 2.b m n (1,25) 2 4 mn 0,25 m n m n m n m n 1 1 ; kt hp (**): m = 5, n = 2,5 (tha (*)) Q ; du = xy 0,25 m n m n Vy giỏ tr nh nht ca Q l 0,25 Bi 17x 2y 2011 xy a) Gii h phng trỡnh: x 2y 3xy b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x, y, z cho: x yz zx (1) (y 3) (2) 17 1007 x y x 2011 y 490 Nu xy thỡ (1) (phự hp) 490 y y x 1007 x 17 1004 3.a y x 2011 y (1,25) Nu xy thỡ (1) xy (loi) 1031 y x x 18 Nu xy thỡ (1) x y (nhn) KL: H cú ỳng nghim l (0;0) v ; 490 1007 iu kin x 0; y z 0; z x y z x 3.b (2) x y z z x x y z z x (0,75) ( x 1) ( y z 1) ( z x 1) 2,0 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x y z y (tha iu kin) z z x Cho ng trũn (C ) vi tõm O v ng kớnh F AB c nh Gi M l im di ng trờn (C ) cho M khụng trựng vi cỏc im A v B Ly C l im i xng ca O qua A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct ng thng AM ti N ng thng BN ct ng trũn (C ) ti im th hai l E Cỏc ng thng BM v C Bi CN ct ti F a) Chng minh rng cỏc im A, E, F thng hng b) Chng minh rng tớch AMAN khụng i c) Chng minh rng A l trng tõm ca tam N giỏc BNF v ch NF ngn nht MN BF v BC NF A l trc tõm ca tam giỏc BNF 4.a FA NB (1,00) Li cú AE NB 0,25 M A B O E (C ) Nờn A, E, F thng hng 3,0 0,25 0,25 0,25 0,25 CAN MAB , nờn hai tam giỏc ACN v AMB ng dng AN AC 4.b Suy ra: (0,75) AB AM Hay AM AN AB AC 2R khụng i (vi R l bỏn kớnh ng trũn (C )) Ta cú BA BC nờn A l tõm tam giỏc BNF C l trung im NF (3) CAN CFM , nờn hai tam giỏc CNA v CBF ng dng CN AC CN CF BC AC 3R 4.c BC CF (1,25) p dng bt ng thc Cụ-si, ta cú: NF CN CF CN CF 2R khụng i Nờn: NF ngn nht CN =CF C l trung im NF (4) 0,25 0,25 0,25 0,25 Mt khỏc: (3) v (4) cho ta: A l tõm tam giỏc BNF NF ngn nht Tỡm ba ch s tn cựng ca tớch ca mi hai s nguyờn dng u tiờn t: S = 123456789101112 S 3467891112 (1) l mt s nguyờn 100 hai ch s tn cựng ca S l 00 Mt khỏc, sut quỏ trỡnh nhõn liờn tip cỏc tha s v phi ca (1), nu ch ý (1,00) S n ch s tn cựng, ta thy cú ch s tn cựng l (vỡ 34=12; 26=12; 27=14; 100 48=32; 29=18; 811=88; 812=96) Vy ba ch s tn cựng ca S l 600 Bi - Ht - 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,50 0,25 0,25 3.b (0,75) iu kin x 0; y z 0; z x y z x x y z z x ; yz ; zx Theo BT Cauchy: x 2 VP x y z z x (y 3) VT 0,25 0,25 x x Do ú y z y tha iu kin z z x PHềNG GD-T CM THY 0,25 K THI CHN HC SINH GII TON ( S 3) nm hc : 2011 - 2012 Mụn : TON (Thi gian lm bi: 150 phỳt: Vũng 2) Bi ( 3,0 im) Cho cỏc s dng: a; b v x = 2ab Xột biu thc P = b2 a x a x a x a x 3b Chng minh P xỏc nh Rỳt gn P Khi a v b thay i, hóy tỡm giỏ tr nh nht ca P Bi (3,0 im) Tỡm x; y; z tho h sau: x 3x y y 3y 2z z3 3z 3x Bi ( 3,0 im) Vi mi s nguyờn dng n 2008, t Sn = an +bn , vi a = 5 ;b= 2 Chng minh rng vi n 1, ta cú Sn + = (a + b)( an + + bn + 1) ab(an + bn) Chng minh rng vi mi n tho iu kin bi, Sn l s nguyờn n n Tỡm tt c cỏc s n Sn Chng minh Sn = l s chớnh phng Bi (5,0 im) Cho on thng AB v im E nm gia im A v im B cho AE < BE V ng trũn (O1) ng kớnh AE v ng trũn (O2) ng kớnh BE V tip tuyn chung ngoi MN ca hai ng trũn trờn, vi M l tip im thuc (O 1) v N l tip im thuc (O2) Gi F l giao im ca cỏc ng thng AM v BN Chng minh rng ng thng EF vuụng gúc vi ng thng AB Vi AB = 18 cm v AE = cm, v ng trũn (O) ng kớnh AB ng thng MN ct ng trũn (O) C v D, cho im C thuc cung nh AD Tớnh di on thng CD Bi 5: (4): Cho ABC ng thng d ct AB v AC v trung tuyn AM theo th t L E ,F,N a) Chng minh : AB AC AM AE AF AN b) Gi s ng thng d // BC Trờn tia i ca tia FB ly im K, ng thng KN ct AB ti P ng thng KM ct AC ti Q Chng minh PQ//BC Bi 6: (2 im) Cho < a, b,c a + x > (1) a(b 1) Xột a x = (2) b Ta cú a + x > a x a x a x (3) T (1); (2); (3) P xỏc nh Rỳt gn: 2ab a(b 1) a Ta cú: a + x = a a x (b 1) b b b 2ab a(b 1) a a - x = a a x b b b b a a (b 1) b b b b b P= 3b b b 3b a a (b 1) b b b Nu < b < P = 2b 3b 3b 3b2 Nu b P = b 3b 3b (1.0 im) Xột trng hp: 4 Nu < b < 1, a dng tu ý thỡ P = P 3b b 2b Nu b , a dng tu ý thỡ P = b 3b 3b im 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy N, M, D thng hng 0,75 A P N O B H K M C T A v O k AH BC OK BC (H, K BC) AH // OK 2im OM OK Nờn (1) AM AH OK BC S BOC OK (2) S ABC AH BC AH S OM (1) , (2) BOC S ABC AM S ON Tng t : AOC S ABC BN S AOB OP S ABC CP Nờn OM ON OP S BOC S AOC S AOB (3) AM BN CP S ABC S ABC S ABC 0,25 0,25 0,75 Vi ba s dng a,b,c ta chng minh c: 1 ) a b c OM ON OP AM BN CP )( ) (4) Nờn ( AM BN CP OM ON OP (a+ b + c) ( T (3) ,(4) suy : AM BN CP (pcm) OM ON OP 0,75 PHềNG GIO DC V O TO HNG THY CHNH THC THI CHN HC SINH GII THCS CP HUYN NM HC 2007 2008 MễN TON HC Thi gian lm bi : 150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Bi (4) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t : a) 4x2 49 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 Bi (4) Cho x2 x 2x A x x x 10 x a) Rỳt gn A b) Tỡm x nguyờn A nguyờn Bi (4) Gii phng trỡnh a) x 3x b) x2 = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bi (6) Tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF gp ti H ng thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct ti G a) Chng minh rng GH i qua trung im M ca BC b) ABC ~ AEF c) BD F CD E d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF Bi (1) Cho ba s thc x, y v z cho x + y + z = Chng minh rng Bi (1) Gii bt phng trỡnh 2007 2008 x HT PHềNG GIO DC V O TO HNG THY Kè THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2007 2008 HNG DN CHM MễN TON HC Gi ý ỏp ỏn Bi 1a) 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) Bi 1b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) Bi 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) iu kin A cú ngha l x 5v x x2 x 2x x2 x 2x A x x x 10 x x ( x 5)( x 2) x x x x (2 x 4)( x 2) ( x 5)( x 2) im (1 ) (1) (1) (1) (0,5) (2) x x 15 ( x 5)( x 3) x ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) x2 2b) A (1,5) ( x 2) 1 , vi x nguyờn, A nguyờn v ch x2 x2 nguyờn, ú x-2=1 hoc x-2 =-1 ngha l x=3, hoc x=1 x2 Bi 3a) Ta xột cỏc trng hp sau (1) TH1: x x x 3x 2 x 3x x Ta thy x=3 thuc khong ang xột vy nú l nghim ca phng trỡnh TH2: x x x 3x 2 x 3x x x 0,2 Ta thy x=0,2 khụng thuc khong ang xột vy nú khụng l nghim ca (1) phng trỡnh Kt lun phng trỡnh cú nghim x=3 (2) Bi 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 (2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 hoc x+8 =0 x=-5 hoc x=-8 Gi ý ỏp ỏn im Bi 4a) Ta cú BG AB, CH AB, nờn BG //CH, tng t: BH AC, CG AC, nờn BH//CG.t giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i sụng song nờn nú l hỡnh bỡnh hnh Do ú hai ng chộo GH v BC ct ti trung im ca mi ng Vy GH i qua trung im M ca BC (2) A E F B H D M C G 4b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC nờn cỏc tam giỏc (1,5) ABE v ACF vuụng Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn AB AE AB AF chỳng ng dng T õy suy (1) AC AF AE AC Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2) T (1) v (2) ta suy ABC ~ AEF 4c) Chng minh tng t ta c BDF~BAC, EDC~BAC, suy (1,5) BDF~DEC BDF CDE 4d) Ta cú BDF CDE 900 BDF 900 CDE (1) AHB BDF AHC CDE ADF ADE Suy DH l tia phõn giỏc gúc EDF Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc EFD T õy suy H l giao im ba ng phõn giỏc tam giỏc DEF Vy H cỏc u ba cnh ca tam giỏc DEF Bi 5) Ta cú x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y)3 + z3 3xyz 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 (x + y)z + z2] 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 (x + y)z + z2 3xy] = x2 + y2 + z2 xy yz zx x xy y ( y yz z ) ( x xz z ) 2 2 = x y y z x x dpcm 2007 2008 x 2007 2008 Bi 6) iu kin x , bt phng trỡnh x x = (2008 x 2007) x x x 2007 2008 Hoc biu din trờn trc s : 2007 2008 Trong tng phn, tng cõu, nu thớ sinh lm cỏch khỏc nhng cho kt qu ỳng, hp logic thỡ cho im ti a ca phn, cõu tng ng UBND HUYN NAM ễNG PHềNG GIO DC O TO THI TUYN CHN HC SINH GII LP NM HC 2007 -2008 MễN THI : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) Cõu 1: (1,5 im) So sỏnh cỏc s thc sau ( Khụng dựng mỏy tớnh gn ỳng) v x2 x2 x2 Cõu 3: (1,5im) Tỡm giỏ tr nh nht ca A x Cõu 2: (3 im) Gii phng trỡnh sau: Cõu 4: (2 im) Gii h phng trỡnh: 2x2 + 3y = 3x2 - 2y = Cõu 5: (4 im) Lp 9A cú 56 bn, ú cú 32 bn nam Cụ giỏo ch nhim d kin chia lp thnh cỏc t hc tp: - Mi t gm cú cỏc bn nam, cỏc bn n - S cỏc bn bn nam, cỏc bn n c chia u vo cỏc t - S ngi mi t khụng quỏ 15 ngi nhng cng khụng ớt hn chớn ngi Em hóy tớnh xem cụ giỏo cú th sp xp nh th no v cú tt c my t ? Cõu 6: (5im) Cho ng trũn tõm (O; R) ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi Trong on AB ly im M khỏc ng thng CM ct ng trũn (O) ti im th hai N ng thng vuụng gúc vi AB ti M ct tip tuyn vi ng trũn (O) ti N im P Chng minh rng: a) Cỏc im O, M, N, P cựng nm trờn mt ng trũn b) T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyn trờn on AB thỡ P di chuyn õu ? Cõu 7: ( 3im) Cho ng trũn (O, R), ng kớnh AB C l im trờn ng trũn (O, R) Trờn tia i ca tia CB ly im D cho CD = CB Khi C chuyn ng trờn ng trũn (O, R) thỡ D chuyn ng trờn ng no? Ht-HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII MễN TON - LP 9, NM HC 2007 -2008 Cõu (1,5) Ni dung yờu cu Gi s > 2 3 2 im 18 12 (BT ỳng) 0,5 1,0 0,5 x2 x2 x2 x2 x x 2 2 x x x x x hay x x hay x (3) 2 x x x 0hay x x hay x x hay x hay x hay x x2 x2 2 A x x2 x2 1 Do x 2 x x (1,5) Ta cú Suy A 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 A x (2) Vy GTNN ca A bng x = t u = x2 0, ta cú: 2u + 3y = 3u - 2y = Do ú: u 0,25 13 y 0,75 13 x 13 y 13 0,25 2 26 13 13 y 13 x H PT cú nghim l: 26 26 ( x, y ) ( , ); ( , ) 13 13 13 13 (4) * Gi s bn nam c chia vo t l x, 0,5 0,25 0,5 s bn nam c chia vo t l y, x, y nguyờn dng Theo ta cú h: 32 24 x y (1) x + y 15 (2) 0,75 3x 4y = => x T (1) ta cú: t y = 3t, t > v t z, ta cú: 0,5 y 0,25 0,5 x = 4t T (2), ta cú: 3t + 4t 15 hay 7t 15 => 0,5 15 t 7 7 0,5 Vỡ t z nờn giỏ tr t cn tỡm l t = 2, ta tớnh x = 8; y = Nh vy, mi t cú bn nam, bn n S t c chia l: 0,5 56 t 68 C (5) a) A M O B 0,5 N E P D F * Tam giỏc OMP vuụng ti M nờn O, M, P thuc ng trũn ng kớnh OP * Tam giỏc ONP vuụng ti N nờn O, N, P thuc ng trũn ng kớnh OP * Vy O, M, N, P cựng thuc ng trũn ng kớnh OP 0,25 0,25 0,25 b) MP//OC (vỡ cựng vuụng gúc vi AB) NMP NCD (hai gúc ng v) ONC OCN (hai gúc ỏy ca tam giỏc cõn ONC) NMP NOP (hai gúc ni tip cựng chn cung NP) Suy MNO NOP ; ú, OP//MC Vy t giỏc MCOP l hỡnh bỡnh hnh 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) CND COM ( g.g ) OC CM Nờn hay CM.CN = OC.CD = 2R2 CN CD 0,5 0,5 0,5 d) Vỡ MP = OC = R khụng i Vy P chy trờn ng thng k t D //AB Do M ch chy trờn on AB 0,5 nờn P ch chy trờn EF thuc ng thng song núi trờn (3) D C A * ACB 90o (gúc ni tip chn na ng trũn) => AC vuụng gúc vi BD CD = CB (gt) O 0,5 B 0,5 0,5 Tam giỏc ABC cõn ti A AD = AB = 2R (khụng i) AD = AB = 2R (khụng i) v A c nh Do ú D chuyn ng trờn ng trũn (A; 2R) S GD&T Tha Thiờn Hu Trng THCS Nguyn Tri Phng - Hu Nm hc 2005 - 2006 0,5 0,5 0,5 THI HC SINH GII (Vũng 2) Mụn: Toỏn (Thi gian: 90 phỳt) Bi 1: (3 im) a Cho n l mt s nguyờn dng Hóy so sỏnh: 1 1 + v + 2 n n+1 n n+1 b Tớnh: 1+ 1 + + 22 32 1+ 1 + + 32 42 1+ 1 + + + 42 52 1+ 1 + 20052 20062 Bi 2: (3 im) Chng minh rng: n 1 + + + + n n 2 -1 vi n N v n Bi 3: (4 im) Cho ng trũn tõm O cú ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi Gi M v N ln lt l trung im ca OA v OB ng thng CN ct (O) ti I Chng minh CMI 90 S GD&T Tha Thiờn Hu Trng THCS Nguyn Tri Phng - Hu Nm hc 2005 - 2006 THI HC SINH GII (Vũng 2) Mụn: Toỏn (Thi gian: 90 phỳt) Bi 1: (3 im) a Cho n l mt s nguyờn dng Hóy so sỏnh: 1 1 + v + 2 n n+1 n n+1 b Tớnh: 1+ 1 + + 2 1+ 1 + + 1+ 1 + + + 1+ 1 + 2005 20062 Bi 2: (3 im) Chng minh rng: n 1 + + + + n n 2 -1 vi n N v n Bi 3: (4 im) Cho ng trũn tõm O cú ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi Gi M v N ln lt l trung im ca OA v OB ng thng CN ct (O) ti I Chng minh CMI 90 S GD&T Tha Thiờn Hu Trng THCS Nguyn Tri Phng - Hu Nm hc 2006 - 2007 THI HC SINH GII Mụn: Toỏn (Thi gian: 90 phỳt) Bi 1: (2 im) Rỳt gn biu thc x2 y x x2 y y x2 y vi x > 0, y > Bi 2: (4 im) a Xỏc nh m phng trỡnh sau vụ nghim x x3 xm x b Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = (x 2y + 1)2 + (2x 4y + 7)2 Bi 3: (2 im) Bn ngi 1; 2; 3; tham d mt hi ngh Bit rng : a Mi ngi ch bit hai bn th ting Anh, Nga, Phỏp, Vit b Ngi bit ting Nga, khụng bit ting Phỏp c Ngi bit ting Anh, khụng bit ting Phỏp v phi phiờn dch cho ngi v ngi d Ngi khụng bit ting Nga, khụng bit ting Vit nhng núi chuyn trc tip c vi ngi Hi mi ngi bit cỏc th ting no ? Bi 4: (4 im) a Cho a b, x y Chng minh (a + b) (x + y) 2(ax + by) (1) b Cho a + b Chng minh a2006 + b2006 a2007 + b2007 (2) Bi 5: (8 im) Cho on thng AB = a a Nờu cỏch dng v dng ABC cho BAC 60 v trc tõm H ca ABC l trung im ca ng cao BD (2 im) b Gi O l tõm ng trũn ngoi tip ABC, v ng kớnh AG, HG ct BC ti K Chng minh OK BC (2 im) c Chng minh AOH cõn v tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC theo a (2 im) d Tớnh din tớch tam giỏc ABC theo a (2 im) S GIO DC O TO THA THIấN HU TRNG THCS V THPT T HU THI CHN HC SINH GII LP CP TRNG Mụn: Toỏn Thi gian: 150 phỳt Bi 1: a) Gii phng trỡnh: x4 - x3 + x2 - 11x + 10 = b) Tỡm x, y tho món: x - x - = - y + y - 3- Bi Rỳt gn A = 2- 3+ + 3+ 2 2+ - 2 Bi Tỡm GTNN (nu cú) ca cỏc biu thc sau: P = x + 12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 Bi Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB Trờn ng kớnh AB ly hai im I v J i xng qua O M l mt im (khỏc A v B) trờn (O); cỏc ng thng MO, MI, MJ th t ct (O) ti E, F, G; FG ct AB ti C ng thng i qua F song song AB ct MO, MJ ln lt ti D v K Gi H l trung im ca FG a) Chng minh t giỏc DHEF ni tip c b) Chng minh CE l tip tuyn ca ng trũn (O) P N Bi 1: a) x - x + x - 11x + 10 = ( x - 1)( x - 2)( x + x + 5) = ( x - 1)( x - 2) = (vỡ x + x + = ( x + 1) + > 0, " x ẻ Ă ) ộx = ờởx = b) x - x - = - y + y - ( x - - 1) + ( y ỡù x - = ỡù x = ùớ ùớ ùù y - = ùùợ y = ợ 3- Bi A = 2- + = 2( - 3) 4- + = = - 2) = + + 3+ 2+ - 2 2( + 3) 4+ - 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ + 1- 2( - 3) + 2( + 3) 3- 24 =- - Bi P = x + 12 x + + x - 20 x + 25 = 2x + + - 2x 2x + + - 2x = Vy, Pmin=8 (2 x + 3)(5 - x) - Ê x Ê 2 2 Q = x + y + xy - x + 2008 = ( x + y ) - 2( x + y ) + + y + y + + 2006 = = ( x + y - 1) + ( y + 1) + 2006 2006; " x, y ỡù x + y - = ỡùù x = Vy, Qmin=2006 ùớ ùợù y + = ùợù y = - Bi M a) Ta cú: OI = OJ ị DF = DK C A I F E ã = GME ã ị DH // GK ị HDE ã ã = GFE ã ị HDE ã B m GME = GFE D ị DHEF ni tip c K ã ã b) T cõu a suy DEH = DFH H ã ã G m DFH = OCH ị OHEC ni tip c ã = OHC ã = 900 Vy CE l tip tuyn ca (O) ị OEC O PHềNG GD T C C Trng : THCS Nguyn Trói J THI HC SINH GII CP HUYN Mụn: Toỏn Lp: Thi gian: 150 phỳt ( khụng k thi gian phỏt ) BI Bi 1: (3,0 im) Cho a,b,c > Chng minh : a b a) b a 1 1 1 b) a b c b c c a a b Bi 2: (3,0 im) x4 x x Cho biu thc A= : , vi x 0, x x x x x x a) Rỳt gn A b) Tỡm x cho A < Bi 3: (4,0 im) Gii phng trỡnh x6 x x x x x x 10 x 12 b) 17 15 13 11 Bi 4: (2,5 im) Tỡm s t nhiờn n n 18 v n 41 l hai s chớnh phng Bi 5: (1,5 im) Chng minh a thc sau A = n3 + 3n2 + 2n chia ht cho 6, vi mi s nguyờn n Bi 6: (6,0 im) Cho tam giỏc ABC vuụng gúc ti nh A, ng cao AH ng trũn ng kớnh BH ct cnh AB ti im D v ng trũn ng kớnh CH ct cnh AC ti im E Gi I,J theo th t l cỏc trung im ca cỏc on thng BH, CH a) a,Chng minh bn im A,D,H,E nm trờn mt ng trũn Xỏc nh hỡnh dng t giỏc ADHE b,Chng minh DE l mt tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn c,Cho bit AB = 6cm, AC = 8cm Tớnh di on thng DE? GV Nguyn Th Kim Yn P N BIU IM MễN TON Bi 1: (3,0 im) a) Do a, b (0,25im) a b b a a b2 ab (0,25im) a b2 2ab (0,25im) a b a b bt ng thc ny ỳng => b a (0,25im) 1 1 1 b) a b c b c c a a b a a b b c c vt b c c a a b (0,25im) a b a c b c = b a c a c b (0,5im) p dng cõu a, ta cú: a b (1) b a (0,25im) a c c a (0,25im) b c c b (0,25im) (2) (3) Cng (1), (2), (3) v theo v ta c iu phi chng minh Bi 2: (3,0 im) a) Vi x > thỡ x4 x x2 x x x v x (0,25im) Thc hin bin i x4 x x A= : x x4 x x2 x x : x x x x x x x4 x = (0,5im) = xx2 x x x (0,5im) = x x x x x x x x x (0,5im) x = x (0,25im) b) A x * vỡ x x x (0,25im) Do ú * x x (0,25im) x x9 (0,5im) Bi 3: Gii phng trỡnh (4,0 im) a) iu kin x (0,25im) (0,5im) x6 x x 2 (0,25im) x (0,25im) x hoc x (0,25im) (0,25im) x 25 hoc x x x x x x 10 x 12 (1) 17 15 13 11 x x x x x 10 x 12 (1) 17 15 13 11 (1,0 im) x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 17 15 13 11 (0,5im) 1 1 1 ( x 19) 17 15 13 11 (0,5im) 1 1 1 17 15 13 11 x 19 x 19 (0,75im) b) Bi : (2,5 im) S n 18 v n 41 l hai s chớnh phng n 18 p v n 41 q p, q N (0,5im) p q n 18 n 41 59 p q p q 59 (0,5im) p q p 30 Nhng 59 l s nguyờn t nờn: p q 59 q 29 (0,5im) Ta cú : n 18 p 302 900 suy n 882 (0,5im) Thay vo n 41, ta c 882 41 841 292 q (0,5im) Vy vi n 882 thỡ n 18 v n 41 l hai s chớnh phng (0,5im) Bi 5: (1,5 im) A = n3 + 3n2 + 2n A = n(n2 + 3n +2) (0,25im) = n (n+1)(n+2) (0,5im) Trong ba s nguyờn liờn tip cú mt s chia ht cho v mt s chia ht cho m CLN(2,3)=1 (0,25im) A = n (n+1)(n+3) vi mi s nguyờn n (0,25im) Vy A = n3 + 3n2 +2n vi mi s nguyờn n (0,25im) Bi 6: (6,0 im ) - V hỡnh ỳng A E D B C I H J 0,25 im Ta cú D E 900 Hai im D, E nm trờn ng trũn ng kớnh AH T giỏc ADHE l hỡnh ch nht.(T giỏc cú gúc vuụng) T giỏc ADHE l hỡnh ch nht, suy A1 E1 Ta li cú : A1 C (cựng ph vi A2 ) C E3 ( EJC cõn) E1 E3 0,25 im 0,25 im 0,5 im m E2 E3 90 0,25 im 0,25 im 0,25 im 900 E1 E2 900 DEJ DE JE DE l tip tuyn ti E ca ng trũn (J) Chng minh tng t, ta cú DE l tip tuyn ti D ca ng trũn (I) hay DE l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn (I) v (J) Trong tam giỏc vuụng ABC, ỏp dng nh lớ Pytago ta cú : BC 62 82 BC 10 AB2 = BH.BC AB 36 BH 3, BC 10 CH= 10 3,6 = 6,4 T giỏc ADHE l hỡnh ch nht nờn DE = AH; AH2 = CH BH = 3,6 6,4 36.64 DE 3, 6.6, 4,8 100 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,5 im 0,5 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,5 im 0,5 im [...]... SABC = 120 cm2 v BC = 600 Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE? TRNG THCS THNG V HNG DN GII THI HSG HUYN KIM THNH T KHTN NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn 9 Thi gian: 120 Cõu 1: (4 im) a/ Rỳt gn biu thc A = 2 x 9 x 3 2 x 1 x 5 x 6 x 2 3 x KX: x 4; x 9 A= = 2 x 9 x 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 2 x 1 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 b/ Cho x, y, z tho món: xy... ) 9 a b c OM ON OP AM BN CP )( ) 9 (4) Nờn ( AM BN CP OM ON OP (a+ b + c) ( T (3) ,(4) suy ra : AM BN CP 9 (pcm) OM ON OP 0,75 PHềNG GIO DC V O TO HNG THY CHNH THC THI CHN HC SINH GII THCS CP HUYN NM HC 2007 2008 MễN TON HC Thi gian lm bi : 150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Bi 1 (4) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t : a) 4x2 49 12xy... ADE ng dng vy: ABC (3) S ADE AD M BC = 600 nờn ABD 300 AB = 2AD(4) T (3)(4) ta cú: S ABC 4 S ADE 30(cm 2 ) S ADE K THI CHN HC SINH GII TNH S GIO DC V O TO NM HC 2011 - 2012 THANH HểA Đề CHíNH THứC MễN: TON Lp 9 thcs Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian phỏt Ngy thi: 23 thỏng 3 nm 2012 Cõu I (4) ổ x- 1 ử ổ 3 x- 1+ 1 x+ 8 ữ ữ + : ỗỗỗ Cho biu thc P = ỗỗỗ ữ ỗố3 + x - 1 10 - x ữ ứ ỗố x - 3... lt cõn ti O1 v O2 nờn ta cú: MEO1= NBO2 (1) Mt khỏc ta cú: AME = 90 0 MAE + MEO1= 90 0 (2) MAE + NBO2 = 90 0 AFB = 90 0 T giỏc FMEN cú 3 gúc vuụng T giỏc FMEN l hỡnh ch nht NME = FEM (3) Do MN MO1 MNE + EMO1 = 90 0 (4) Do tam giỏc O1ME cõn ti O1 MEO1 = EMO1 (5) T (3); (4); (5) ta cú: FEM + MEO1= 90 0 hay FEO1 = 90 0 (pcm) 2 (2,5 im) Ta cú EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm 0,25... DEF Bi 5 (1) Cho ba s thc x, y v z sao cho x + y + z = 1 Chng minh rng Bi 6 (1) Gii bt phng trỡnh 2007 2008 x HT PHềNG GIO DC V O TO HNG THY Kè THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2007 2008 HNG DN CHM MễN TON HC 9 Gi ý ỏp ỏn Bi 1a) 4x2- 49- 12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)- 49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) Bi 1b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) Bi 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) iu kin A cú ngha l x 5v... BN CP + + 9 OM ON OP - HT Ghi chỳ : Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm K THI CHN HC SINH GII LP 9 HNG DN CHM CHNH THC Mụn : TON Bi Cõu a 2im Bi gii im Ta cú: 6 x 5 y 18 2 xy 2xy - 6x - 5y = 18 2xy - 6x + 15 - 5y = 33 2x(y 3) 5(y 3) = 33 (y 3)(2x 5) = 33 = 1.33 = 3.11 = (-1).(-33) = = (- 33).(-1) = (-3).(-11) = (-11).(-3) Ta xột cỏc trng hp sau : y 3 1 x 19 2 x 5 ... thc trong chng trỡnh ó hc thỡ hai Giỏm kho chm thi thng nht vic phõn b im ca cỏch gii ú, sao cho khụng lm thay i tng im ca bi (hoc ý) ó nờu trong hng dn ny./ THI HC SINH GII TON 9 Thi gian: 150 phỳt( khụng k thi gian giao ) Cõu1: ( 5) 2 x 9 Cho biểu thức M = 2 x 1 x3 x5 x 6 x 3 2 x a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M b Tìm x để M = 5 c Tìm x Z để M Z Cõu: 2(2) Cho 4a2+b2=5ab vi 2a>b>0... AB.AH=AE.AC (2) Cụng theo v (1) v (2) ta c AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(CE+AE)AC=AC2 0,25 0,25 Lu ý: Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng vn cho im ti a PHềNG GIO DC V O TO HUYN KIM THNH THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn 9 Thi gian lm bi: 120 phỳt gm 01 trang Bi 1: (4,0 im) a) Rỳt gn biu thc A = 2 x 9 x 3 2 x 1 x 5 x 6 x 2 3 x b) Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = 1 (1 y 2 )(1 z 2 ) (1 z... 3 1 a 2 b 2 3 3 0,5 Tng t ta cú b3 c 3 1 b 2c 0,25 0,25 a3 c3 1 c 2a 2a3 2b3 2c3 3 a 2b b 2c c 2 a 0,5 UBND HUYN PHềNG GIO DC - O TO CHNH THC THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2013-2014 MễN: TON LP 9 Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian giao x y x y x y 2xy : 1 1 xy 1 xy 1 xy Bi 1: (4 im) Cho biu thc: P a) Rỳt gn biu thc P b) Tớnh giỏ tr ca P vi x 2 2 3 Bi 2:... (C1) v (C2) 2) KH AM Cõu V (2) Vi 0 x; y; z 1 Tỡm tt c cỏc nghim ca phng trỡnh: x y z 3 1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 NM HC 2011-2012 Mụn : TON Ngy thi :18/02/2012 S GIO DC V O TO THANH HểA Cõu 1:K 1 < x ạ 10 1) 3 x - 1 + 9 ộờ 1 2 P= :ờ 10 - x ờở x - 1 3( x - 1 + 3) x - 1 P= 10 - x 2 x- ( P= x- 1 + 4ự ỳ x- 1- 3 ỳ ỳ ỷ ) x- 1- 3 1+ 4 3 x - 1( x - 10)( x