B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI H TH HềA NH GI S CHIU FRACTAL CA TP HT TON CC TRONG KHễNG GIAN BANACH V NG DNG LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc PGS.TS Cung Th Anh H NI, 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc n PGS.TS Cung Th Anh, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ng nghip ó c v, ng viờn, to iu kin tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi H Th Hũa Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca PGS.TS Cung Th Anh, lun chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti:ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach v ng dng c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi H Th Hũa Mc lc M u ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach 1.1 Tp hỳt ton cc 1.2 Khỏi nim, tớnh cht ca s chiu fractal 1.3 nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal Mt s ng dng 15 2.1 p dng cho mt lp phng trỡnh vi phõn thng 15 2.2 p dng cho mt lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic 17 Kt lun Ti liu tham kho 21 22 M u Lớ chn ti Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim thi gian vụ cựng ca cỏc h ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn hm l mt bi toỏn quan trng v cú nhiu ý ngha thc tin Mt nhng cỏch tip cn bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt ton cc ú l mt compact, bt bin, hỳt cỏc b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ang xột C th ta cú th xp x dỏng iu tim cn nghim ca mt qu o bt kỡ ca h ang xột bng cỏc qu o nm trờn hỳt ton cc Mt quan trng cn nghiờn cu l ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc, bi vỡ theo nh lớ Hăolder-Manộ ci biờn ta bit rng nu mt hỳt ton cc cú s chiu fractal hu hn thỡ, v nguyờn tc, ta cú th chuyn vic nghiờn cu h ng lc trờn hỳt v nghiờn cu cỏc h ng lc khụng gian hu hn chiu Trong nhng nm qua, ó cú nhiu kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc v ỏp dng chỳng cho hỳt ton cc ca nhiu lp phng trỡnh o hm riờng c th, xem [6] Tuy nhiờn, phn ln cỏc kt qu ó cú mi dng li trng hp hỳt ton cc khụng gian Hilbert Cỏc kt qu v tng ng trng hp hỳt ton cc khụng gian Banach cũn ớt Vỡ vy, chỳng tụi chn ny lm ti nghiờn cu ca lun Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu vic ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng kt qu tng quỏt ny chng minh tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca mt s lp phng trỡnh c th Nhim v nghiờn cu ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng xột tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca mt s lp phng trỡnh c th i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Tp hỳt ton cc ca h ng lc tiờu hao vụ hn chiu v s chiu fractal ca nú Phm vi nghiờn cu: Chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng cho hỳt ca mt s lp phng trỡnh c th 5 Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca lớ thuyt h ng lc tiờu hao vụ hn chiu Kt qu trỡnh by ca lun Thit lp c kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng c cỏc kt qu tng quỏt xột tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca mt lp phng trỡnh vi phõn thng v mt lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic 6 Chng ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach Chng ny trỡnh by cỏc khỏi nim v kt qu c bn v s tn ti ca hỳt ton cc; khỏi nim v cỏc tớnh cht ca s chiu fractal ca hỳt ton cc; thit lp kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach 1.1 Tp hỳt ton cc Mc ny trỡnh by cỏc nh ngha v na nhúm liờn tc, hỳt ton cc, hp th v trỡnh by nh lớ c bn v s tn ti hỳt ton cc Mc ny c vit ch yu da trờn ti liu [2] Gi s X l khụng gian Banach nh ngha 1.1.1 Mt h cỏc ỏnh x liờn tc S (t) : X X , t 0, gi l mt na nhúm liờn tc trờn X nu nú tha cỏc iu kin sau: S(0) = Id; S(t + s) = S(t)S(s), t, s 0; Vi mi x0 X , ỏnh x t S (t) x0 liờn tc trờn [0; +); Vi mi t 0, ỏnh x x0 S (t) x0 liờn tc trờn X nh ngha 1.1.2 Tp khỏc rng A X gi l hỳt ton cc ca na nhúm S(t) nu: A l compact; A l bt bin i vi na nhúm S(t) , tc l S (t) A = A, t 0; A hỳt mi b chn B X , tc l vi mi > 0, tn ti T = T (, B) cho S (t) B N (A, ) , t T (, B) , õy N (A, ) l -lõn cn ca A X Tớnh cht hỳt tng ng vi iu kin sau õy: Vi mi b chn B X, dist (S (t) B, A) t + ú dist(E,F) l na khong cỏch Hausdorff gia hai E, F X , xỏc nh bi dist (E, F ) := sup inf x y xE yF T nh ngha suy hỳt ton cc A ca na nhúm S (t), nu tn ti l nht 8 nh ngha 1.1.3 Tp b chn B0 X gi l mt hp th ca na nhúm S (t) nu vi bt kỡ b chn B X , tn ti thi im T = T (B) cho S (t) B B0 vi mi t T (B) nh ngha 1.1.4 Gi s A X Tp -gii hn ca A c nh ngha bi (A) = , S(t)A s0 ts X ú S(t)A = {v = S(t)u : u A} v [E]X l bao úng ca E X nh lớ sau õy l nh lớ c bn v s tn ti hỳt ton cc nh lớ 1.1.1 Gi s na nhúm S (t) X l liờn tc v cú mt hp th compact B0 Khi ú na nhúm S (t) cú mt hỳt ton cc A v A = (B0 ), -gii hn ca B0 Hn na, A l liờn thụng 1.2 Khỏi nim, tớnh cht ca s chiu fractal Mc ny trỡnh by khỏi nim v tớnh cht ca s chiu fractal Mc ny c vit ch yu da trờn ti liu [1] nh ngha 1.2.1 Gi s M l mt compact khụng gian metric X Khi ú, s chiu fractal ca M c nh ngha bi log2 NX (M, ) ln NX (M, ) = lim , 0 log2 ( ) ln( ) dimF M = lim ú NX (M, ) l s ti thiu cỏc hỡnh cu úng bỏn kớnh cn dựng ph M Hn na, s H (M ) := log2 NX (M, ) gi l Kolmogorov entropy ca M - nh lớ sau õy núi v tớnh cht ca s chiu fractal nh lớ 1.2.1 (Tớnh cht ca s chiu fractal ) Nu M1 M2 thỡ dimF M1 dimF M2 dimF (M1 M2 ) max {dimF M1 , dimF M2 } dimF (M1 ì M2 ) dimF M1 + dimF M2 Nu f : X X liờn tc Hă older vi s m tc l : |f (x) f (y)| L|x y| , thỡ dimF (f (M )) 1.3 dimF M nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal Mc ny trỡnh by nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal Mc ny c vit ch yu da trờn ti liu [3] Trc nghiờn cu nh lớ ta xột hai b sau: B 1.3.1 Nu U l mt khụng gian n chiu ca khụng gian Banach thc X thỡ NX (BU (0, r), ) (n + 1) n r n , < r, (1.1) ú hỡnh cu c ly cú th cú tõm U Cỏc kt qu tng t ỳng khụng gian Banach phc nu ta thay v phi ca (1.1) bi bỡnh phng ca nú 10 Chng minh Gi s K = R Vỡ U v Rn l n chiu nờn dBM (U, Rn ) log n: c th, tn ti mt ng cu tuyn tớnh T : Rn U cho T T n Vỡ BU (0, r) = T T (BU (0, r)) T (BRn (0, T r)), v BRn (0, T r) cú th c ph bi T r 1+ / T n = 1+ T T n r n r 1+n (n + 1) r n n hỡnh cu Rn cú bỏn kớnh / T , iu ny suy BU (0, r) cú th c ph bi s U - hỡnh cu bỏn kớnh tng t Nu X l phc ta cn (1 + (a/b))2n b - hỡnh cu Cn ph hỡnh cu bỏn kớnh a Ta kớ hiu L(X) l khụng gian cỏc phộp bin i tuyn tớnh b chn t X vo chớnh nú, K(X) l khụng gian úng ca L(X) cha tt c cỏc bin i tuyn tớnh compact t X vo chớnh nú v nh ngha L (X) = {T L(X) : T = L + C, C K(X), L L(X) < } Ta ký hiu dist(A, B) l bỏn khong cỏch Hausdorff gia A v B , dist(A, B) = sup inf a b aA bB X B 1.3.2 Cho X l khụng gian Banach v T L/2 (X) Khi ú, tn ti mt khụng gian hu hn chiu Z ca X cho dist(T [BX (0, 1)], T [BZ (0, 1)]) < (1.2) Ta kớ hiu (T ) l giỏ tr nh nht ca n N cho (1.2) ỳng vi khụng gian n chiu no ú ca X Chng minh Vit T = L + C vi C K(X) v L L(X), vi L L(X) < /2 u tiờn ta s chng minh vi mi > 0, tn ti mt khụng gian 11 hu hn chiu Z cho dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < Gi s cú mt trng hp khụng tha Chn x1 X vi x1 X =1 v cho Z1 = span{x1 } Khi ú, dist(C[BX (0, 1)], C[BZ1 (0, 1)]) , v cng tn ti x2 X vi x2 X = cho Cx2 Cx1 X Vi Z2 = span{x1 , x2 }, ta cú th tỡm c x3 vi x3 Cx3 Cx1 X v Cx3 Cx2 X X = cho Tip tc quỏ trỡnh quy np ny, ta cú th xõy dng dóy {xj } vi xj = cho Cxi Cxj X , i = j, iu ny mõu thun vi tớnh compact ca C < cho L L(X) < < v chn Z cho Bõy gi, cho dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < Nu x BX (0, 1) v z BZ (0, 1) thỡ Tx Tz X L(x z) X + Cx Cz X + Cx Cz X Nờn + dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < dist(T [BX (0, 1)], T [BZ (0, 1)]) Ta cú iu phi chng minh 12 Bõy gi ta i nghiờn cu nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal nh lớ 1.3.1 (nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal) Cho X l khụng gian Banach, U X l m v f : U X l mt ỏnh x kh vi liờn tc Gi s K l mt compact v 0, 21 , Df (x) L/2 (X) vi mi x K Khi ú, n = sup (Df (x)) v D = sup Df (x) l hu hn v xK xK D N (Df (x)[BX (0, 1)], 2) (n + 1) n vi mi x K, ú = nu X l thc v = nu X l phc T ú suy dimF (K) n log((n + 1)D/) log(2) Chng minh u tiờn, ta chng minh n = sup (Df (x)) l hu hn Vi xK mi x K , tn ti khụng gian tuyn tớnh hu hn chiu Zx cho dist(Df (x)[BX (0, 1)], Df (x)[BZx (0, 1)]) < Vỡ Df (.) liờn tc nờn dn n tn ti x > cho dist(Df (y)[BX (0, 1)], Df (y)[BZx (0, 1)]) < vi mi y BX (x, x ), tc l (y) (x) vi mi y Ph m ca K cú dng hp ca cỏc BX (x, x ) trờn x cú ph hu hn,t õy suy n < Vỡ n = sup (Df (x)) < nờn vi mi x K tn ti mt khụng gian xK Zx ca X vi dim(Zx ) n cho dist(Df (x)[BX (0, 1)], Df (x)[BZx (0, 1)]) < cho n gin ký hiu, ta vit thờm x vo ch s di lờn Zx v vit T = Df (x) 13 Chỳ ý rng T (Z) cng l mt khụng gian n chiu ca X , ta cú th s dng B 1.3.1 ph hỡnh cu BT (Z) (0, T ) vi cỏc hỡnh cu BX (yi , ), i k cho yi BX (0, T ) vi mi i v T k (n + 1) n Do ú k T [BZ (0, 1)] BT (Z) (0, T ) = BX (0, T ) T (Z) BX (yi , ) i=1 (1.3) Ta s kt thỳc chng minh bng vic chng t k BX (yi , 2) T [BX (0, 1)] i=1 Tht vy, nu x BX (0, 1) thỡ t (1.2) suy tn ti y T [BZ (0, 1)] cho T x y < Vỡ y T [BZ (0, 1)] nờn t (1.3) suy y yi X X vi i {1, , k} v T x yi X Tx y X + y yi X < 2, tc l T x BX (yi , 2) Kt qu ny suy phỏt biu ca nh lớ vỡ n u trờn x K Cỏc h qu di õy l kt qu suy t nh lớ trờn: H qu 1.3.1 Gi s rng X l mt khụng gian Banach, U X l mt m v f : U X l ỏnh x kh vi liờn tc Gi s K U l mt compact cho f (K) K v Df (x) L1 (X) vi mi x K Khi ú dimF (K) < 14 Chng minh T khng nh tng t c s dng nh lớ 1.3.1 chng minh n < suy tn ti < cho Df (x) L (X) vi mi x K Chỳ ý rng D[f p ] = Df (f p1 (x)) ã ã ã Df (x), v nu Ci K(X) v Li L(X), i = 1, thỡ (C1 + L1 ) (C2 + L2 ) = [C1 C2 + C1 L2 + L1 C2 ] +L1 L2 K(X) T ú suy rng nu Df (x) L (X) vi < thỡ [D(f p )](x) Lp (X) Suy vi p ln thỡ D(f p )(x) L vi < 1/4, mi x K Bõy gi ta cú th ỏp dng nh lớ 1.3.1 vo f p v trớ ca f (chỳ ý f p (K) K ) suy df (K) < H qu 1.3.2 Cho X l khụng gian Banach v gi s T C (X), K l mt compact cho T (K) = K v Dx T cú hng l (x) hu hn vi sup (x) := < Khi ú, xK dimF (K) Chng minh Rừ rng vi mi > v x K , Dx T L/2 (X) vi mi > H qu l vi < < , log(( + 1) D ) dimF (K) log(1/2) Ly gii hn suy dimF (K) 15 Chng Mt s ng dng Chng ny ỏp dng kt qu tng quỏt Chng ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc ca mt lp phng trỡnh vi phõn thng v mt lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic Chng ny c vit ch yu da trờn ti liu [2] v [3] 2.1 p dng cho mt lp phng trỡnh vi phõn thng Cho f : Rn Rn l hm kh vi liờn tc Gi s na nhúm {S (t) : t 0} Rn sinh bi phng trỡnh vi phõn x = f (x) (2.1) x (0) = x0 (2.2) vi iu kin ban u õy, x = (x1 , , xn ) Rn , x0 Rn , f (x) = (f1 (x) , , fn (x)) Ta gi s hm f tha iu kin Lipschitz a phng f (x) f (y) K (R) x y , vi mi x, y Rn m x , y R Khi ú vi mi x0 Rn , bi toỏn Cauchy (2.1)-(2.2) cú nht nghim xỏc nh trờn khong tn ti cc 16 i [0, T (x0 )) Hn na, nu T (x0 ) hu hn thỡ x (t) + t T (x0 ) Tip theo ta gi s f tha iu kin tiờu hao kiu Lyapunov, tc l tn ti hm dng V : Rn R+ thuc lp C cho n Vxi (x) fi (x) c + V (x) , x Rn , V (x) ã f (x) = (2.3) i=1 v V (x) + x + (2.4) Hm V (x) l mt hm Lyapunov i vi h (2.1) x ln, tc l bờn ngoi D = x Rn : V (x) < o ca (2.1) V (x (t)) c c Hm V (x (t)) gim dc theo qu Min D b chn (2.4) Bõy gi ta s ch rng nu f (x) tha iu kin (2.3)-(2.4) thỡ nghim x(t) ca bi toỏn (2.1)-(2.2) s tn ti ton cc trờn c khong [0; +) v na nhúm S(t) sinh bi (2.1) s cú hỳt ton cc A Rn Tht vy, ly tớch vụ hng ca phng trỡnh (2.1) vi V (x (t)) Rn v s dng (2.3) ta cú V (x) ã x = V (x) = V (x) ã f (x) c V (x) Do ú V (x) + V (x) c p dng bt ng thc Gronwall ta c c V (x (t)) et V (x (0)) + T õy suy nghim x(t) tn ti vi mi t v hp B0 = x Rn : V (x) 2c (2.5) 17 l mt hp th ca S(t) Do iu kin (2.4), B0 b chn (v ú compact vỡ nú úng) Rn Vy na nhúm S(t) cú mt hỳt ton cc A B0 Chỳ ý rng nu c = thỡ t (2.5) suy V (x (t)) x + vi mi x0 Rn H qu l A {x Rn |V (x) = 0} Hn na ta bit rng V (x) = kộo theo x = x , ú x l im dng (vỡ V l hm Lyapunov), v ú A = {x } Trong trng hp ny hỳt ton cc l tm thng Tip theo ta i ỏnh giỏ s chiu ca hỳt ton cc A Nu rank (Dx f ) k n vi mi x A thỡ dimF (A) k C th, nu f : Rn Rn , > v tn ti hng s M > cho f (x) ã x < vi x d dt Rn x y M , ú na nhúm {S (t) : t 0} tng ng = I x y (0) = x y + f (x) , x0 y0 cú hỳt ton cc A Rn x Rn vi dimF (A) k 2.2 p dng cho mt lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic Mnh 2.2.1 Cho A : D(A) X X l toỏn t qut vi Re(A) > Nu f : X X l kh vi liờn tc v liờn tc Lipschitz trờn cỏc b chn ca X v na nhúm {S(t) : t 0} X tng ng vi 18 bi toỏn parabolic vi x(0) = x0 X x + Ax = f (x) cú hỳt ton cc A v hoc eAt l compact vi mi t > hoc fx K(X , X) l compact vi mi x A thỡ dimF (A) < Chng minh Vi mi x A, cho At S(t)x = e t x+ eA(ts) f (S(s)x)ds nờn o hm Sx (t) L(X ) vi tng ng x thuc S(t) ti x tha Sx (t) = e At t + eA(ts) f (S(s)x)Sx (s)ds Do ú, vi t ln thớch hp, gi thit ca H qu 1.3.1 c tha v ta cú iu cn phi chng minh Bõy gi ta s a c lng thụ s chiu ca hỳt ton cc u tiờn chỳ ý rng nu A : D(A) X X l toỏn t hỡnh qut vi gii thc compact v X , 0, kớ hiu khụng gian phõn tng ng vi A, thỡ tn ti mt dóy cỏc phộp chiu vi hng hu hn {Pn }nN v cỏc dóy s thc dng {n }nN v {Mn }nN cho eAt (I Pn ) L(X ,X ) Mn t() en t , t 0, (2.6) Ta núi rng A l toỏn t qut chp nhn c nu nú l toỏn t qut v tn ti dóy {n }nN v M > cho (2.6) vi Mn = M , mi n N Khụng khú thy rng, nu A l toỏn t qut chp nhn c thỡ A cú gii thc compact t Sx (t) L(X ) M + MN (t s) Sx (s) L(X ) ds, 19 ú N = sup{ f (x) L(X ,X) : x A} T bt ng thc Gronwall (xem [4, B 7.1.1]) suy Sx (t) L(X ) M (M N (1)1/(1) t e Bõy gi, nu Qn = (I Pn ), t Qn Tx (t) L(X ) Me n t + MN (t s)en (ts) Sx (s) L(X ) ds v Qn Tx (t) L(X ) t M M N (M N (1))1/(1) e M en t + (t s) e(n +(M N (1)) 1/(1) )(ts) ds t M M N (M N (1))1/(1) t M en t + e u e(n +(M N (1)) 1/(1) )u du 1/(1) Me n t t M M N e(M N (1)) (1 ) + = n (t) , n + (M N (1 ))1/(1) T tớnh chp nhn c ca A v (2.6), Qn L(X ) t M , vi mi n N Do vy, Qn Tx (t)Qn L(X ) M (t), t Chn t = v n0 N cho (1) < < Nu F = S(1), L = Qn0 S(1) v C = Pn0 S(1) thỡ A bt bin qua F Hn na, Fx = Lx + Cx vi Lx = Qn0 Sx (1) v Cx = Pn0 Sx (1) v nu Zx = R(Cx ) v Wx l mt khụng 20 gian ca X cho Cx : Wx Zx l mt ng cu, Fx L/2 (X) vi mi x A v < Thờm na, = sup dim(Zx ) dim(R(P )) xA iu ny chng minh cỏc gi thit ca nh lớ 1.3.1 c tha v ta cú dimF (A) D log(( + 1) ) log(1/2) < 21 Kt lun Lun ó trỡnh by cỏc khỏi nim v kt qu c bn v s tn ti hỳt ton cc; khỏi nim v cỏc tớnh cht ca s chiu fractal ca hỳt ton cc; thit lp kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach Lun cng ỏp dng c cỏc kt qu tng quỏt xột tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca mt lp phng trỡnh vi phõn thng v mt lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic 22 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Cung Th Anh (2012), C s lý thuyt h ng lc vụ hn chiu, NXB i hc S phm [2] Cung Th Anh (2015), C s lý thuyt phng trỡnh vi phõn, NXB i hc S phm [B] Ti liu Ting Anh [3] A.N Carvalho, J.A Langa and J.C Robinson (2010), Finitedimensional global attractors in Banach spaces, J Differential Equations 249, 3099-3109 [4] D Henry (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Math., vol 840, Springer, New York [5] R Manộ (1981), On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear maps, in: Lecture Notes in Math., vol 898, Springer, New York, pp 230-242 [6] R Temam (1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, second edition, Applied Mathematical Sciences 68, Springer-Verlag, New York xxii+648 pp [...]... lí 1.3.1 được thỏa mãn và ta có dimF (A) ≤ ν D log((ν + 1) λ) log(1/2λ) < ∞ 21 Kết luận Luận văn đã trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục; khái niệm và các tính chất của số chiều fractal của tập hút toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach Luận văn cũng áp dụng được các kết quả tổng... Một số ứng dụng Chương này áp dụng kết quả tổng quát ở Chương 1 để đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục của một lớp phương trình vi phân thường và một lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic Chương này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2] và [3] 2.1 Áp dụng cho một lớp phương trình vi phân thường Cho f : Rn → Rn là hàm khả vi liên tục Giả sử nửa nhóm {S (t) : t ≥ 0} trong. .. chất của số chiều fractal Định lí 1.2.1 (Tính chất của số chiều fractal ) 1 Nếu M1 ⊂ M2 thì dimF M1 ≤ dimF M2 2 dimF (M1 ∪ M2 ) ≤ max {dimF M1 , dimF M2 } 3 dimF (M1 × M2 ) ≤ dimF M1 + dimF M2 4 Nếu f : X → X liên tục H¨ older với số mũ θ tức là : |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|θ , thì dimF (f (M )) ≤ 1.3 dimF M θ Định lí về đánh giá số chiều fractal Mục này trình bày định lí về đánh giá số chiều fractal. .. là tầm thường Tiếp theo ta đi đánh giá số chiều của tập hút toàn cục A Nếu rank (Dx f ) ≤ k ≤ n với mọi x ∈ A thì dimF (A) ≤ k Cụ thể, nếu f : Rn → Rn , β > 0 và tồn tại hằng số M > 0 sao cho f (x) · x < 0 với x d dt Rn x y ≥ M , khi đó nửa nhóm {S (t) : t ≥ 0} tương ứng = 0 I 0 −β x y (0) = x y + 0 f (x) , x0 y0 có tập hút toàn cục A trong Rn x Rn với dimF (A) ≤ k 2.2 Áp dụng cho một lớp phương trình... xét hai bổ đề sau: Bổ đề 1.3.1 Nếu U là một không gian con n chiều của không gian Banach thực X thì NX (BU (0, r), ρ) ≤ (n + 1) n r ρ n , 0 < ρ ≤ r, (1.1) trong đó hình cầu được lấy có thể có tâm trong U Các kết quả tương tự đúng trong không gian Banach phức nếu ta thay vế phải của (1.1) bởi bình phương của nó 10 Chứng minh Giả sử K = R Vì U và Rn∞ là n chiều nên dBM (U, Rn∞ ) ≤ log n: cụ thể, tồn... thích hợp, giả thiết của Hệ quả 1.3.1 được thỏa mãn và ta có điều cần phải chứng minh Bây giờ ta sẽ đưa ra ước lượng thô số chiều của tập hút toàn cục Đầu tiên chú ý rằng nếu A : D(A) ⊂ X → X là toán tử hình quạt với giải thức compact và X β , β ≥ 0, kí hiệu không gian phân tương ứng với A, thì tồn tại một dãy các phép chiếu với hạng hữu hạn {Pn }n∈N và các dãy số thực dương {λn }n∈N và {Mn }n∈N sao cho... 1)]) < λ − λ Nếu x ∈ BX (0, 1) và z ∈ BZ (0, 1) thì Tx − Tz X ≤ L(x − z) X + Cx − Cz X ˜ + Cx − Cz ≤λ X Nên ˜ + dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < λ dist(T [BX (0, 1)], T [BZ (0, 1)]) ≤ λ Ta có điều phải chứng minh 12 Bây giờ ta đi nghiên cứu định lí về đánh giá số chiều fractal Định lí 1.3.1 (Định lí về đánh giá số chiều fractal) Cho X là không gian Banach, U ⊂ X là tập mở và f : U → X là một ánh xạ... chính nó, K(X) là không gian con đóng của L(X) chứa tất cả các biến đổi tuyến tính compact từ X vào chính nó và định nghĩa Lλ (X) = {T ∈ L(X) : T = L + C, C ∈ K(X), L L(X) < λ} Ta ký hiệu dist(A, B) là bán khoảng cách Hausdorff giữa A và B , dist(A, B) = sup inf a − b a∈A b∈B X Bổ đề 1.3.2 Cho X là không gian Banach và T ∈ Lλ/2 (X) Khi đó, tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Z của X sao cho dist(T... (1.2) Ta kí hiệu νλ (T ) là giá trị nhỏ nhất của n ∈ N sao cho (1.2) đúng với không gian con n chiều nào đó của X Chứng minh Viết T = L + C với C ∈ K(X) và L ∈ L(X), với L L(X) < λ/2 Đầu tiên ta sẽ chứng minh với mọi > 0, tồn tại một không gian con 11 hữu hạn chiều Z sao cho dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < Giả sử có một trường hợp không thỏa mãn Chọn x1 ∈ X với x1 X =1 và cho Z1 = span{x1 } Khi... sẽ có tập hút toàn cục A trong Rn Thật vậy, lấy tích vô hướng của phương trình (2.1) với ∇V (x (t)) trong Rn và sử dụng (2.3) ta có ∇V (x) · x = V (x) = −∇V (x) · f (x) ≥ c − δV (x) Do đó V (x) + δV (x) ≤ c Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được c V (x (t)) ≤ e−δt V (x (0)) + δ Từ đây suy ra nghiệm x(t) tồn tại với mọi t ≥ 0 và tập hợp B0 = x ∈ Rn : V (x) ≤ 2c δ (2.5) 17 là một tập hấp thụ của