1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO THI HƯƠNG CÁC HÀM ĐIỀU HÒA, DƯỚI ĐIỀU HÒA VÀ TRÊN ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO THI HƯƠNG CÁC HÀM ĐIỀU HÒA, DƯỚI ĐIỀU HÒA VÀ TRÊN ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đào Thị Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:"Các hàm điều hòa, điều hòa điều hòa" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đào Thị Hương i Mục lục Mở đầu 1 Các tính chất hàm điều hòa, điều hòa điều hòa 1.1 Các định lý giá trị trung bình 1.2 Các nguyên lý cực đại yếu mạnh 1.3 Bài toán Dirichlet Tính nghiệm 10 1.4 Biểu diễn Green 12 1.5 Nghiệm toán Dirichlet hình cầu 16 1.6 Bất đẳng thức Harnack hàm điều hòa 19 1.7 Các đánh giá bên miền hàm điều hòa 20 1.8 Mở rộng lớp hàm điều hòa điều hòa 21 Tính giải toán Dirichlet hàm điều hòa 23 2.1 Các hàm hàm xác định biên Phương pháp Perron 23 2.2 Hàm rào cản điểm biên 24 2.3 Điểm biên quy Điều kiện cần đủ cho tính giải toán Dirichlet 25 2.4 Điều kiện đủ cho tính giải toán Dirichlet Điều kiện hình cầu 26 2.5 Điều kiện cần đủ để điểm biên quy 28 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 ii Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết hàm điều hòa phận quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Song, giáo trình sách chuyên khảo phương trình đạo hàm riêng thường tập trung vào nghiên cứu hàm điều hòa mà không xét tới hàm số liên quan mật thiết với chúng hàm điều hòa hàm điều hòa Việc mở rộng đối tượng nghiên cứu quan trọng, hàm điều hòa có tất tính chất hai loại hàm Luận văn trình bày Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu hàm điều hòa, hàm điều hòa hàm điều hòa Từ nguyên lý dễ dàng suy tính nghiệm toán Dirichlet hàm điều hòa, đồng thời cho phép chứng minh đánh giá độ lớn hàm điều hòa đạo hàm Luận văn trình bày áp dụng hàm điều hòa vào việc nghiên cứu tính giải toán Drrichlet hàm điều hòa miền giới nội Cụ thể, luận văn đưa điều kiện cần đủ điểm biên miền để toán Dirichlet cho hàm điều hòa giải Mục đích nghiên cứu Luận văn nhằm mục đích trình bày cách hệ thống tính chất định tính Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu hàm điều hòa, hàm điều hòa hàm điều hòa, đồng thời trình bày việc áp dụng hàm điều hòa nhằm đưa điều kiện cần đủ điểm biên miền để toán Dirichlet cho hàm điều hòa giải Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu trình bày cách hệ thống tính chất định tính Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu hàm điều hòa, hàm điều hòa hàm điều hòa, đồng thời đưa điều kiện cần đủ điểm biên miền để toán Dirichlet cho hàm điều hòa giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu hàm điều hòa, hàm điều hòa hàm điều hòa, đồng thời đưa điều kiện cần đủ điểm biên miền để toán Dirichlet cho hàm điều hòa giải Phương pháp nghiên cứu Luận văn dùng công cụ Giải tích toán học hàm nhiều biến số Giải tích hàm tuyến tính Dự kiến đóng góp Luận văn tài liệu tham khảo bổ sung lý thuyết định tính hàm điều hòa, hàm điều hòa hàm điều hòa Nguyên lý cực đại mạnh yếu, điều kiện cần đủ điểm biên miền để toán Dirichlet cho hàm điều hòa giải tức h(x, y) = −Γ(x − y), ∀x ∈ ∂Ω có u(y) = ϕ(x) ∂G(x, y) dSx ∂νx (1.28) ∂Ω hàm G = G(x, y) gọi hàm Green toán Dirichlet cho miền Ω, gọi hàm Green dạng thứ cho Ω Từ Định lý 1.8, hàm Green Sự tồn hàm Green cho phép biểu diễn C (Ω) ∩ C (Ω) hàm điều hòa qua giá trị biên ∂Ω 1.5 Nghiệm toán Dirichlet hình cầu Khi miền Ω hình cầu hàm Green nói mục 1.4 xác định rõ ràng phương pháp ảnh dẫn đến tích phân Poisson tiếng biểu diễn cho hàm điều hòa hình cầu Cụ thể là, giả sử BR = BR (0) cho x ∈ BR , x = lấy R2 x = 2x |x| (1.29) Kí hiệu điểm nghịch đảo BR ; x = 0, lấy x = ∞ Dễ dàng kiểm nghiệm hàm Green cho BR xác định  |y|  Γ (|x − y|) − Γ |x − y¯| y = G (x, y) = R  Γ (|x|) − Γ (R) y =   |x| |y| =Γ |x|2 + |y|2 − 2xy − Γ  + R2 − 2xy  R (1.30) 16 cho tất x, y ∈ BR , x = y Hàm G xác định (1.30) có tính chất G (x, y) = G (y, x) , G(x, y) ≤ ∀x, y ∈ B R (1.31) lại tính toán trực tiếp cho thấy x ∈ ∂BR đạo hàm theo hướng pháp tuyến G xác định ∂G R2 − |y|2 ∂G = = |x − y|−n ≥ ∂ν ∂ |x| nωn R (1.32) Hơn u ∈ C (BR ) ∩ C (B R ) điều hòa, có công thức tích phân Poisson R2 − |y|2 u(y) = nωn R udSx |x − y|n (1.33) ∂BR Vế phải đẳng thức (1.33) gọi tích phân Poisson u Phép tính xấp xỉ đơn giản cho thấy công thức tích phân Poisson cho u ∈ C (BR ) ∩ C (B R ) Chú ý cách lấy y = thu ý nghĩa giá trị định lý cho hàm điều hòa Thực tất định lý trước chương hẳn suy hệ biểu diễn (1.28) với Ω = BR (0) Để thành lập tồn nghiệm toán Dirichlet cổ điển cho hình cầu cần kết nghịch đảo với biểu diễn (1.33) chứng minh Định lý 1.9 ([2]) Lấy B = BR (0) ϕ hàm liên tục ∂B hàm u xác định  2 ϕ(y)dSy  R − |x| n n−1 u(x) = ∂BR |x − y|  nωn R ϕ(x) x ∈ B x ∈ ∂B thuộc C (B) ∩ C (B) thỏa mãn ∆u = B 17 (1.34) ∂G điều hòa theo x, nên hàm ∂ν u(x) xác định đẳng thức (1.34) điều hòa B Để chứng Chứng minh Bởi hàm G hàm minh tính liên tục u ∂B sử dụng công thức Poisson (1.33) cho hàm u = Ta nhận đồng thức K(x, y)dSy = 1, ∀x ∈ B (1.35) ∂B x ∈ B , K nhân Poisson: R2 − |x|2 ; x ∈ B, y ∈ ∂B K(x, y) = nωn R|x − y|n (1.36) Tất nhiên tích phân (1.35) phải tính trực tiếp tính toán phức tạp Bây lấy x0 ∈ ∂B ε dương tùy ý Chọn δ > cho |ϕ(x) − ϕ(x0 )| < ε |x − x0 | < δ lấy |ϕ| ≤ M ∂B δ |x − x0 | < có (1.34) (1.35) |u(x) − u(x0 )| = K(x, y)(ϕ(y) − ϕ(x0 ))dSy ∂B ≤ K(x, y) |ϕ(y) − ϕ(x0 )| dSy + |y−x0 |≤δ K(x, y) |ϕ(y) − ϕ(x0 )| dSy |y−x0 |>δ 2M R2 − |x|2 Rn−2 ≤ ε+ (δ/2)n Nếu |x − x0 | đủ nhỏ, rõ ràng |u(x) − u(x0 )| < 2ε u liên tục x0 Do u ∈ C (B) định lý chứng minh Chúng ta ý đối số có trước địa phương Nghĩa ϕ bị chặn khả tích ∂B liên tục x0 , u(x) → ϕ(x0 ) x → x0 Nhận xét 1.3 Giả sử Ω = BR (y) với y ∈ Rn Khi phép tịnh tiến ta đưa hình cầu BR (0) 18 1.6 Bất đẳng thức Harnack hàm điều hòa Một hệ xa Định lý 1.1 bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa Định lý 1.10 ([2]) Cho u hàm điều hòa không âm Ω với miền đóng tùy ý Ω ⊂⊂ Ω, tồn số C phụ thuộc n, Ω Ω cho: sup u ≤ C inf u (1.37) Ω Ω Chứng minh Lấy y ∈ Ω, B4R (y) ⊂ Ω với hai điểm tùy ý x1 , x2 ∈ BR (y), từ bất đẳng thức (1.6) có: u(x1 ) = ωn R n udx ≤ ωn R n BR (x1 ) u(x2 ) = ωn (3R)n udx B2R (y) udx ≥ ωn (3R)n B3R (x2 ) udx B2R (y) Vì có sup u ≤ 3n inf u (1.38) BR (y) BR (y) Bây lấy Ω ⊂⊂ Ω chọn x1 , x2 ∈ Ω cho u(x1 ) = sup u, u(x2 ) = Ω inf u Lấy Γ ⊂ Ω đường cong đóng nối x1 x2 chọn R cho Ω 4R < d(Γ, ∂Ω) Từ Định lý Heine – Borel, Γ bị phủ số N hữu hạn (chỉ phụ thuộc Ω Ω) hình cầu có bán kính R Áp dụng đánh giá (1.38) cầu kết hợp kết bất đẳng thức u(x1 ) ≤ 3nN u(x2 ) Hơn đánh giá (1.37) với số C = 3nN 19 Chú ý số (1.37) bất biến phép đồng dạng biến đổi trực giao 1.7 Các đánh giá bên miền hàm điều hòa Cho u hàm điều hòa Ω B = BR (y) ⊂⊂ Ω Ta nhận thấy gradient Du hàm điều hòa Ω Từ Định lý giá trị trung bình Định lý phân kỳ ta có Du(y) = ωn R n Dudx = ωn R n B uνdS B Do |Du(y)| ≤ n sup |u| R ∂B |Du(y)| ≤ n sup |u| , dy Ω (1.39) dy = d (y, ∂Ω) Nhờ áp dụng liên tiếp đánh giá (1.39) miền thu đánh giá cho đạo hàm cấp cao Định lý 1.11 ([2]) Cho u hàm điều hòa Ω Ω tập hợp compact Ω Khi với đa số α có α sup |D u| ≤ Ω n |α| d |α| sup |u| (1.40) Ω Trong α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn , |α| = α1 + α2 + + αn Dα u = D1α1 D2α2 Dnαn , Dj u = ∂u , d = d(Ω , ∂Ω) ∂xj Hệ tức thời đánh giá (1.40) tính liên tục đồng bậc miền compact đạo hàm tập hàm điều hòa bị chặn 20 Hệ Định lý Azzela thấy tập bị chặn hàm điều hòa họ chuẩn tắc, tức định lý sau Định lý 1.12 ([2]) Mỗi dãy bị chặn hàm điều hòa miền Ω chứa dãy hội tụ miền compact Ω tới hàm điều hòa 1.8 Mở rộng lớp hàm điều hòa điều hòa Định nghĩa lớp C (Ω) hàm điều hòa hàm điều hòa khái quát rộng Một C (Ω) hàm u gọi điều hòa (trên điều hòa) Ω với cầu B ⊂⊂ Ω hàm h điều hòa B thỏa mãn u ≤ (≥) h ∂B có u ≤ (≥) h B Các tính chất sau C (Ω) hàm điều hòa dễ dàng thiết lập (i) Nếu u điều hòa miền Ω, thỏa mãn nguyên lý cực đại mạnh Ω, v điều hòa miền bị chặn Ω với v ≥ u ∂Ω v > u khắp Ω v ≡ u Để chứng minh khẳng định trên, giả sử ngược lại điểm x0 ∈ Ω có (u − v) (x0 ) = sup (u − v) = M ≥ 0, Ω giả thiết có hình cầu B = B(x0 ) cho u−v = M ∂B Giả sử u, v kí hiệu hàm điều hòa u, v ∂B Khi đó: M ≥ sup (u − v) ≥ (u − v) (x0 ) ≥ (u − v) (x0 ) = M, ∂B đẳng thức xảy Bằng nguyên lý cực đại mạnh cho hàm điều hòa (Định lý 1.2 u − v ≡ M B u − v ≡ M ∂B , mâu thuẫn với chọn B 21 (ii) Giả sử u điều hòa Ω B cầu bên Ω Kí hiệu u hàm điều hòa B (được tính theo tích phân Poisson u ∂B ) cho u = u ∂B Chúng ta định nghĩa Ω hàm nâng điều hòa u (trong B ) U (x) = x ∈ B x ∈ Ω − B u¯ (x) u (x) (1.41) Khi hàm U điều hòa Ω Để chứng minh ta xét cầu B ⊂⊂ Ω giả sử h hàm điều hòa B cho h ≥ U ∂B Từ u ≤ U B có u ≤ h B U ≤ h B − B Cũng U điều hòa B , có nguyên lý cực đại U ≤ h B ∩ B Do U ≤ h B U điều hòa Ω (iii) Giả sử u1 , u2 , , uN điều hòa Ω Khi hàm u (x) = max {u1 (x) , u2 (x) , , uN (x)} điều hòa Ω Đây hệ tầm thường định nghĩa điều hòa Tương ứng, kết hàm điều hòa nhận cách thay u −u tính chất (i),(ii) (iii) 22 23 Chương Tính giải toán Dirichlet hàm điều hòa 2.1 Các hàm hàm xác định biên Phương pháp Perron Bây giả sử Ω bị chặn ϕ hàm bị chặn biên ∂Ω Một C (Ω) hàm điều hòa u gọi hàm ϕ thỏa mãn u ≤ ϕ ∂B Một cách tương tự C (Ω) hàm điều hòa gọi hàm ϕ thỏa mãn u ≥ ϕ ∂B Bằng nguyên lý cực đại hàm nhỏ hàm Đặc biệt hàm ≤ inf ϕ ≥ sup ϕ ∂Ω hàm (hàm trên) Giả sử Sϕ ∂Ω kí hiệu tập hàm ϕ Kết phương pháp Perron chứa định lý Định lý 2.1 ([2]) (Phương pháp Perron) Hàm u(x) = sup v(x) hàm điều hòa Ω v∈Sϕ Chứng minh Theo nguyên lý cực đại, hàm v ∈ Sϕ thỏa mãn v ≤ sup ϕ, u xác định Lấy y điểm tùy ý cố định Ω Từ định nghĩa u, tồn dãy {vn } ⊂ Sϕ cho (y) → u(y) Thay max (vn , infϕ) cho dãy {vn } bị chặn Bây chọn R cho hình cầu B = BR (y) ⊂⊂ Ω định nghĩa Vn hàm nâng điều hòa B theo (1.31) Khi Vn ∈ Sϕ , Vn (y) → u(y) từ Định lý 1.8 dãy {Vn } chứa dãy {VnK } hội tụ cầu Bρ (y) với ρ < R tới hàm v điều hòa B Rõ ràng v ≤ u B v(y) = u(y) Chúng ta khẳng định v = u B Giả sử v(z) < u(z) z ∈ B tồn hàm u ∈ Sϕ cho v(z) < u(z) Hạn chế wk = max(u,Vnk ) {Wk } hàm nâng điều hòa (1.31) Chúng ta thu trước dãy dãy {Wk } hội tụ tới hàm điều hòa w thỏa mãn v ≤ w ≤ u B v(y) = w(y) = u(y) Nhưng sau nguyên lý cực đại phải có v = w B Điều mâu thuẫn với định nghĩa u u hàm điều hòa Ω 2.2 Hàm rào cản điểm biên Kết bên đưa hàm điều hòa, nghiệm (gọi nghiệm Perron) toán Dirichlet cổ điển: ∆u = 0, u = ϕ ∂Ω Thực vậy, toán Dirichlet giải được, nghiệm trùng với nghiệm Perron Nếu w nghiệm toán rõ ràng w ∈ Sϕ nguyên lý cực đại w ≥ u cho tất u ∈ Sϕ Trong phương pháp Perron việc nghiên cứu dáng điệu gần biên nghiệm tách biệt với toán tồn Giả thiết liên tục giá trị biên liên quan tới tính chất hình học biên thông qua khái niệm hàm rào cản Giả sử ξ điểm ∂Ω C (Ω), hàm w = wξ gọi hàm rào cản ξ tương đối tới Ω nếu: (i) w điều hòa Ω; (ii) w > Ω \ ξ; w(ξ) = Một đặc điểm quan trọng khái niệm rào cản thuộc tính địa phương biên ∂Ω Cụ thể là, định nghĩa w rào 24 cản địa phương ξ ∈ ∂Ω, tồn lân cận N ξ cho w thỏa mãn định nghĩa Ω ∩ N Khi rào cản ξ Ω định nghĩa sau Giả sử B cầu thỏa mãn ξ ∈ B ⊂⊂ N m = inf w > Hàm N −B w(x) = min(m, w(x)), m, x∈Ω∩B x∈Ω\B rào cản ξ Ω, w(x) thỏa mãn điều kiện (i) (ii) Thực vậy, w liên tục Ω điều hòa Ω tính chất (iii) hàm điều hòa (trang 18) Tính chất (ii) suy cách trực tiếp 2.3 Điểm biên quy Điều kiện cần đủ cho tính giải toán Dirichlet Một điểm biên ξ ∈ ∂Ω gọi quy (đối với Laplacian) tồn rào cản w(ξ) điểm Sự liên hệ rào cản dáng điệu biên nghiệm chứa phần sau Định lý 2.2 ([2]) Giả sử u hàm điều hòa xác định Ω phương pháp Perron (Định lý 2.1) Nếu ξ điểm biên quy Ω ϕ liên tục ξ , u(x) → ϕ(ξ) x → ξ Chứng minh Chọn ε > M = sup |ϕ| Từ ξ điểm biên quy, có rào cản w ξ nhờ tính liên tục ϕ có hai số δ k cho |ϕ(x) − ϕ(ξ)| < ε |x − ξ| < δ kw(x) ≥ 2M |x − ξ| ≥ δ Hàm ϕ(ξ) + ε + kw, ϕ(ξ) − ε − kw điều hòa điều hòa ϕ Hơn từ định nghĩa u thực tế 25 hàm ưu hàm Chúng ta có Ω ϕ(ξ) − ε − kw (x) ≤ u(x) ≤ ϕ(ξ) + ε + kw (x) |u(x) − ϕ(ξ)| < ε + kw(x) Từ w(x) → x → ξ đạt u(x) → ϕ(ξ) x → ξ Sự hướng dẫn cách trực tiếp tới Định lý 2.3 ([2]) Bài toán Dirichlet cổ điển miền Ω bị chặn giải với giá trị biên liên tục tùy ý ϕ(x) điểm biên Ω quy Chứng minh Nếu giá trị biên ϕ liên tục biên ∂Ω bao gồm điểm biên quy, định lý trước viết hàm điều hòa cung cấp phương pháp Perron giải toán Dirichlet Ngược lại giả sử toán Dirichlet giải cho tất giá trị biên liên tục Giả sử ξ ∈ ∂Ω hàm ϕ(x) = |x − ξ| liên tục ∂Ω hàm điều hòa giải toán Dirichlet Ω với giá trị biên ϕ rõ ràng rào cản ξ Hơn ξ quy, tất điểm ∂Ω 2.4 Điều kiện đủ cho tính giải toán Dirichlet Điều kiện hình cầu Câu hỏi quan trọng đặt ra: điểm biên miền điểm quy? Hóa điều kiện đủ nói chung phụ thuộc vào tính chất hình học địa phương biên Chúng ta đề cập đến vài điều kiện bên Nếu n = xét điểm biên z0 miền bị chặn Ω lấy gốc z0 với tọa độ cực r, θ Giả sử tồn lân cận N z0 cho nhánh 26 giá trị nhánh đơn θ xác định Ω ∩ N thành phần Ω ∩ N có z0 biên Chúng ta thấy w = −Re log r =− log z log r + θ2 rào cản địa phương (yếu) z0 z0 điểm quy Đặc biệt z0 điểm quy điểm cuối vòng cung đơn nằm phần Ω Như toán Dirichlet phẳng luôn giải cho giá trị biên liên tục miền bị chặn mà điểm biên tiếp cận từ phía cung đơn Tổng quát hơn, rào cản cho thấy toán giá trị biên giải thành phần phần bù miền có nhiều điểm Ví dụ miền miền mà bị chặn số hữu hạn đường cong đóng, đĩa đơn vị cắt dọc vòng cung, trường hợp giá trị biên gán cạnh đối khe Khi số chiều n lớn 2, toán Dirichlet giải cách tương tự Một điều kiện đủ đơn giản cho tính giải cho miền bị chặn Ω ⊂ Rn Ω thỏa mãn điều kiện mặt cầu ngoài; điểm ξ ∈ ∂Ω tồn cầu B = BR (y) cho B ∩ Ω = ξ Nếu điều kiện thỏa mãn hàm w cho bởi:   R2−n − |x − y|2−n , w(x) = |x − y|  log , R n≥3 n=2 (2.1) hàm rào cản ξ Do đó, điểm biên ξ miền Ω với biên ∂Ω trơn lớp C điểm quy 27 2.5 Điều kiện cần đủ để điểm biên quy Khái niệm vật lý dung lượng cung cấp biện pháp để mô tả tính quy điểm biên Giả sử Ω miền bị chặn Rn (n ≥ 3) với biên trơn ∂Ω giả sử u hàm điều hòa xác định phần bù Ω thỏa mãn điều kiện biên u = ∂Ω u = vô cực Ta định nghĩa dung lượng miền Ω ∂u dS = ∂ν cap Ω = − |Du|2 dx (2.2) Rn −Ω ∂Ω ν véc tơ pháp tuyến Ta định nghĩa dung lượng thông qua đại lượng biến phân sau cap Ω = inf v∈K |Dv|2 , (2.3) K = v ∈ C01 (Rn ) v = Ω} Để kiểm tra tính quy điểm x0 ∈ ∂Ω với λ ∈ (0; 1) cố định đưa vào xét dung lượng sau Cj = cap x ∈ / Ω| |x − x0 | ≤ λj Tiêu chuẩn Wiener khẳng định x0 điểm quy Ω chuỗi ∞ Cj /λj(n−2) j=0 phân kỳ 28 (2.4) 29 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: - Các khái niệm hàm điều hòa, điều hòa điều hòa - Các định lý giá trị trung bình hàm điều hòa, điều hòa điều hòa - Nguyên lý cực đại mạnh yếu hàm điều hòa - Bất đẳng thức Harnack hàm điều hòa - Hàm rào cản điểm quy toán Dirichlet hàm điều hòa - Điều kiện cần đủ cho tính giải toán Dirichlet hàm điều hòa Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đào Thị Hương 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng, (2009), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] D Gilbarg, N S Trudinger, (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, New York [3] F Taylor (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York - London [...]... sử Ω là bị chặn và ϕ là một hàm bị chặn trên biên ∂Ω Một C 0 (Ω) hàm dưới điều hòa u được gọi là hàm dưới đối với ϕ nếu nó thỏa mãn u ≤ ϕ trên ∂B Một cách tương tự một C 0 (Ω) hàm trên điều hòa được gọi là hàm trên đối với ϕ nếu nó thỏa mãn u ≥ ϕ trên ∂B Bằng nguyên lý cực đại mọi hàm dưới là nhỏ hơn hoặc bằng mọi hàm trên Đặc biệt các hàm hằng ≤ inf ϕ ≥ sup ϕ ∂Ω là hàm dưới (hàm trên) Giả sử Sϕ... hòa khi và chi khi −u(x) là hàm trên điều hòa 2 Hàm u(x) là hàm điều hòa khi và chỉ khi u(x) vừa là hàm dưới điều hòa vừa là hàm trên điều hòa Ví dụ 1.1 Trong R2 với x, y ∈ R ta có a Hàm u = x2 − y 2 là một hàm điều hòa vì: ∂ 2u ∂u ∂ 2u ∂u = 2x; = 2 và = −2y; = −2 ∂x ∂x2 ∂y ∂y 2 Suy ra ∆u = 2 − 2 = 0 b Hàm u = x2 + 2y 2 là một hàm dưới điều hòa vì: ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u = 2x; = 2 và = 4y; =4 ∂x ∂x2 ∂y ∂y 2... nghĩa trong lớp C 2 (Ω) các hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa có thể được khái quát rộng hơn Một C 0 (Ω) hàm u sẽ được gọi là dưới điều hòa (trên điều hòa) trong Ω nếu với mọi quả cầu B ⊂⊂ Ω và mọi hàm h điều hòa trong B thỏa mãn u ≤ (≥) h trên ∂B chúng ta có u ≤ (≥) h trong B Các tính chất sau của C 0 (Ω) hàm dưới điều hòa sẽ dễ dàng được thiết lập (i) Nếu u là dưới điều hòa trong một miền Ω,... Chương 1 Các tính chất của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa Cho Ω là một miền trong Rn và u là một hàm trong C 2 (Ω) Laplacian của u, kí hiệu là ∆u được định nghĩa bởi: n ∆u= j=1 ∂ 2u ∂x2j (1.1) Hàm u được gọi là hàm điều hòa (dưới điều hòa, trên điều hòa) trong Ω nếu nó thỏa mãn: ∆u(x) = 0 (∆u(x) ≥ 0, ∆u(x) ≤ 0), ∀x ∈ Ω (1.2) Nhận xét 1.1 1 Hàm u(x) là hàm dưới điều hòa khi và chi khi... đạo hàm của tập các hàm điều hòa bị chặn đều 20 Hệ quả của Định lý Azzela chúng ta thấy một tập bị chặn bất kỳ các hàm điều hòa luôn là một họ chuẩn tắc, tức là định lý sau là đúng Định lý 1.12 ([2]) Mỗi dãy bị chặn của hàm điều hòa trên miền Ω đều chứa một dãy con hội tụ trên mọi miền compact của Ω tới một hàm điều hòa 1.8 Mở rộng lớp hàm dưới điều hòa và trên điều hòa Định nghĩa trong lớp C 2 (Ω) các. .. kỳ chúng ta đưa vào xét các dung lượng sau Cj = cap x ∈ / Ω| |x − x0 | ≤ λj Tiêu chuẩn Wiener khẳng định x0 là một điểm chính quy của Ω nếu và chỉ nếu chuỗi ∞ Cj /λj(n−2) j=0 là phân kỳ 28 (2.4) 29 Kết luận Luận văn đã trình bày các vấn đề sau: - Các khái niệm hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa - Các định lý về giá trị trung bình đối với hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa - Nguyên... điều hòa trong Ω Khi đó hàm u (x) = max {u1 (x) , u2 (x) , , uN (x)} cũng là dưới điều hòa trong Ω Đây là hệ quả tầm thường của định nghĩa dưới điều hòa Tương ứng, các kết quả của hàm trên điều hòa sẽ nhận được bằng cách thay u bởi −u trong tính chất (i),(ii) và (iii) 22 23 Chương 2 Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa 2.1 Các hàm dưới đối với một hàm xác định trên biên Phương pháp... ) và {Wk } là hàm nâng điều hòa như trong (1.31) Chúng ta thu được như trước đây một dãy con của dãy {Wk } hội tụ tới một hàm điều hòa w thỏa mãn v ≤ w ≤ u trong B và v(y) = w(y) = u(y) Nhưng sau đó bằng nguyên lý cực đại chúng ta phải có v = w trong B Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của u và do đó u là hàm điều hòa trong Ω 2.2 Hàm rào cản tại một điểm trên biên Kết quả bên trên đưa ra một hàm điều. .. = M, ∂B và do đó đẳng thức được xảy ra Bằng nguyên lý cực đại mạnh cho hàm điều hòa (Định lý 1.2 cho nên u − v ≡ M trong B và hơn nữa u − v ≡ M trên ∂B , mâu thuẫn với sự chọn B 21 (ii) Giả sử u là dưới điều hòa trong Ω và B là quả cầu bên trong Ω Kí hiệu u là hàm điều hòa trong B (được tính theo tích phân Poisson của u trên ∂B ) sao cho u = u trên ∂B Chúng ta định nghĩa trong Ω hàm nâng điều hòa... Khi đó hàm U cũng là dưới điều hòa trong Ω Để chứng minh ta xét một quả cầu bất kỳ B ⊂⊂ Ω và giả sử h là một hàm điều hòa trong B sao cho h ≥ U trên ∂B Từ u ≤ U trong B chúng ta có u ≤ h trong B và hơn nữa U ≤ h trong B − B Cũng vì U là điều hòa trong B , chúng ta có nguyên lý cực đại U ≤ h trong B ∩ B Do đó U ≤ h trong B và U là dưới điều hòa trong Ω (iii) Giả sử u1 , u2 , , uN là dưới điều hòa