ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ LIÊN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, 2015 Mục lục Lời nói đầu Chƣơng Một số phƣơng pháp 1.1 Nguyên lí Đirichlê 1.2 Nguyên lí cực hạn Error! Bookmark not defined 1.3 Phương pháp đồ thị, tô màu Error! Bookmark not defined 1.4 Phương pháp tạo đa giác bao Error! Bookmark not defined 1.5 Phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Error! Bookmark not defined Chƣơng Một số dạng toán hình học tổ hợp thƣờng gặp Error! Bookmark not defined 2.1 Hệ điểm đường thẳng Error! Bookmark not defined 2.2 Điểm nằm hình Error! Bookmark not defined 2.3 Hình nằm hình Error! Bookmark not defined 2.4 Phủ hình Error! Bookmark not defined 2.5 Hình giao Error! Bookmark not defined 2.6 Đếm yếu tố hình học Error! Bookmark not defined 2.7 Đánh giá độ dài, góc, diện tích Error! Bookmark not defined Chƣơng Một số đề thi có nội dung hình học tổ hợp Error! Bookmark not defined 3.1 Đề thi tuyển sinh chuyên Error! Bookmark not defined 3.2 Đề thi học sinh giỏi Error! Bookmark not defined 3.3 Đề thi đề nghị Olympic truyền thống 30/4 lần XX - năm 2014 Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Error! Bookmark not defined Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những toán liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang bị kiến thức riêng hình học tổ hợp hình học Khi toán trở nên dễ dàng Tuy nhiên có đòi hỏi kiến thức chuyên sâu, chí có nhiều hình học tổ hợp tổng quát cho không gian chưa có lời giải Hình học tổ hợp coi nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học sở thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic truyền thống 30/4,… Luận văn đưa số cách giải cho hình học tổ hợp xuất kì thi thời gian qua, tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi từ lớp Bố cục luận văn gồm ba chương Chương Một số phương pháp Chương trình bày phương pháp vận dụng để giải toán hình học tổ hợp như: Nguyên lí Đirichlê; nguyên lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngoài phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Một số dạng toán hình học tổ hợp thường gặp Chương đưa toán hình học tổ hợp cụ thể, xếp theo dạng: Hệ điểm đường thẳng; điểm nằm hình; hình nằm hình; phủ hình; hình giao nhau; đếm yếu tố hình học; đánh giá độ dài, góc, diện tích Chương Một số hình học tổ hợp đề thi Chương đưa số hình học tổ hợp có đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Toán học Để hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Vũ Đỗ Long dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ em trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Thị Liên Chƣơng Một số phƣơng pháp Trước vào số phương pháp để giải toán hình học tổ hợp, ta xét khái niệm sau + Một hình F gọi lồi với hai điểm A B thuộc F , đoạn thẳng nối hai điểm A , B thuộc F + Khoảng cách lớn hai điểm hình lồi đường kính hình lồi 1.1 Nguyên lí Đirichlê Người đề xuất nguyên lí cho nhà toán học Đức Johann Đirichlê ông đề cập tới nguyên lí với tên gọi “nguyên lí ngăn kéo” (The Drawer Principle) Ngoài nguyên lí biết đến nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lí lồng nhốt thỏ Nguyên lí Đirichlê phát biểu năm 1834 “Nguyên lý Đirichlê dạng cổ điển thường dùng để chứng minh tồn theo kiểu không xây dựng (non-constructive), tức biết đối tượng tồn không cụ thể.” (Trích giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ toán học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1 31/1/2010.) a) Nguyên lí Đirichlê Nhốt n  thỏ vào n lồng tồn lồng có hai thỏ b) Nguyên lí Đirichlê tổng quát Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp, N không chia hết cho k , tồn N hộp chứa    đồ vật k (Ở đây,  x  số nguyên lớn có giá trị nhỏ x ) Chứng minh Giả sử hộp chứa    vật Khi tổng số đồ vật nhỏ k N N  k    N k  Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật đặt vào hộp c) Nguyên lí Đirichlê đối ngẫu Cho tập hữu hạn S   , S1 , S2 , , Sn tập S cho S1  S2   Sn  k S Khi đó, tồn phần tử x thuộc S cho x phần tử chung k  tập Si , i  1, n Ở S số phần tử tập hợp S Si , i  1, n số phần tử tập hợp Si d) Nguyên lí Đirichlê cho diện tích Nếu K hình phẳng, K1 , K2 , , Kn hình phẳng cho Ki  K với i  1, n , | K || K1 |  | K2 |   | Kn | Ở K diện tích hình phẳng K , | Ki | diện tích hình phẳng K i , i  1, n Khi đó, tồn hai hình phẳng Ki , K j , (1  i  j  n ) cho Ki , K j có điểm chung e) Nguyên lí Đirichlê vô hạn Nếu chia tập hợp vô hạn táo vào hữu hạn ngăn kéo phải có ngăn kéo chứa vô hạn táo f) Nguyên lí Đirichlê đoạn thẳng Ta kí hiệu d ( I ) độ dài đoạn thẳng I nằm Cho A đoạn thẳng, A1 , A2 , , An đoạn thẳng cho Ai  A, i  1, n d ( A)  d ( A1 )  d ( A2 )   d ( An ) Khi có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung Chứng minh Giả sử hai đoạn thẳng đoạn thẳng cho có điểm chung Khi d ( A1  A2   An )  d ( A1 )  d ( A2 )   d ( An )  d ( A) Mà từ Ai  A, i  1, n , ta có d ( A1  A2   An )  d ( A) Hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nên điều giả sử sai Vậy có có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung  Nguyên lí Đirichlê thường liên quan đến toán thi đấu thể thao, chia hết, nguyên tố nhau, đồ thị, tô màu, quen toán hình học Ở đưa số toán sau Bài 1.1 Bên tam giác ABC cạnh m đặt năm điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 1m Lời giải Ba đường trung bình tam giác cạnh m chia thành bốn tam giác có cạnh 1m (hình 1) Ta có năm điểm đặt bốn tam giác Do theo nguyên lí Đirichlê, tồn tam giác nhỏ mà có hai điểm cho, điểm rơi vào đỉnh tam giác ABC Vậy khoảng cách hai điểm nhỏ 1m Bài 1.2 Trên mặt phẳng cho 43 điểm Trong ba điểm luôn tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa không 22 điểm cho Lời giải Lấy A số 43 điểm cho Xét hình tròn ( A;1) Chỉ có hai khả sau xảy + Nếu tất điểm cho nằm hình tròn ( A;1) kết luận toán + Tồn điểm B  A ( B thuộc số 43 điểm cho), cho B  ( A;1) Vì B  ( A;1) nên AB  Xét hình tròn ( B;1) Lấy C điểm số 43 điểm cho cho C  A, C  B Theo giả thiết dựa vào AB  1, ta có Min CA, CB  Vì C  ( A;1) , C  ( B;1) (hình 2) Vì C điểm số 43 điểm cho cho C  A, C  B nên hình tròn ( A;1) , ( B;1) chứa tất 43 điểm cho Vì theo nguyên lí Đirichlê, hai hình tròn chứa không 22 điểm cho Ta có điều cần chứng minh Tổng quát Cho 2n  điểm mặt phẳng (với n  ) Biết ba điểm luôn tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Khi tồn hình tròn bán kính chứa không n  điểm cho Bài 1.3 Cho hình vuông có diện tích Người ta đặt vào hình vuông cách tùy ý 101 điểm Chứng minh tồn tam giác với ba đỉnh điểm số điểm cho có diện tích không 100 Lời giải Ta chia hình vuông ABCD thành 50 hình chữ nhật có diện tích cách sau 50 + Chia cạnh AB thành 10 đoạn liên tiếp + Chia cạnh AD thành đoạn liên tiếp Khi đặt 101 điểm vào 50 hình chữ nhật hình chữ nhật chứa ba điểm Giả sử hình chữ nhật chứa ba điểm M , N , K Khi diện tích MNK không lớn nửa diện tích hình chữ nhật chứa tức không lớn Điều có nghĩa tồn tam giác với ba đỉnh 100 điểm số điểm cho có diện tích không  100 Tương tự ta có toán sau Bài 1.4 Trong hình vuông có cạnh , đặt 201 điểm phân biệt Chứng minh có ba số 201 điểm nằm hình tròn bán kính 14 Lời giải Chia hình vuông cho thành 100 hình vuông nhỏ có cạnh Theo nguyên lí Đirichlê, tồn hình vuông nhỏ, chẳng hạn 10 hình vuông a chứa ba số 201 điểm Đường tròn ngoại tiếp hình vuông a có bán kính 1  10 14 Vậy ba điểm nói nằm hình tròn đồng tâm với hình vuông a có bán kính 14 Tổng quát Ta tổng quát hóa toán với a kích thước cạnh hình vuông, m số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh có n số m điểm nằm hình tròn bán kính a  m    n   (trong kí hiệu  x  phần nguyên x )  Nguyên lí Đirichlê sử dụng nhiều toán tô màu đồ thị Bài 1.5 Giả sử điểm mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hình chữ nhật có đỉnh màu Lời giải Xét lưới ô vuông tạo ba đường nằm ngang A, B, C chín đường nằm dọc đánh số từ đến Xét ba nút lưới đường nằm dọc ta thấy nút có hai cách tô màu nên ba nút có    cách tô màu Như có chín đường nằm dọc mà có tám cách tô nên có hai đường nằm dọc có cách tô màu Giả sử nút giao hai đường dọc hai ba điểm A1 , A2 , A3 B1 , B2 , B3 Vì ba điểm A1 , A2 , A3 có hai cách tô nên có hai điểm tô màu Giả sử A1 , A2 tô màu Vì hai có cách tô màu giống nên B1 , B2 tô màu màu với A1 , A2 Do hình chữ nhật A1 A2 B2 B1 có đỉnh tô màu Tổng quát Nếu điểm mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông tô n màu tồn hình chữ nhật có đỉnh màu TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ toán học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1-31/1/2010 Vũ Hữu Bình, Các toán hình học tổ hợp dùng cho bậc trung học sở, NXB Giáo Dục, tái lần thứ hai http://diendantoanhoc.net/ http://tailieu.vn/ Nguyễn Mạnh Hà - Đoàn Thanh Tùng - Vũ Hữu Khương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông chuyên, Nhà xuất Hà Nội, 2011 Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2005 Vũ Đình Hòa, Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2001 10 [...]... 1 Bài giảng Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh, trình bày tại chương trình Gặp gỡ toán học 2010 do ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1-31/1/2010 2 Vũ Hữu Bình, Các bài toán hình học tổ hợp dùng cho bậc trung học cơ sở, NXB Giáo Dục, tái bản lần thứ hai 3 http://diendantoanhoc.net/ 4 http://tailieu.vn/ 5 Nguyễn Mạnh Hà - Đoàn Thanh Tùng - Vũ Hữu Khương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông... Hà - Đoàn Thanh Tùng - Vũ Hữu Khương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông chuyên, Nhà xuất bản Hà Nội, 2011 6 Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2005 7 Vũ Đình Hòa, Một số kiến thức cơ sở hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2001 10