ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HẰNG CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƢ VÀ HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HẰNG CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƢ VÀ HÀM SỐ HỌC Chuyên ngành : PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – 2015 MỤC LỤC Lời mở đầu Chƣơng Số nguyên tính chia hết .3 1.1 Kiến thức 1.2 Bài toán chia hết 1.3 Bài toán ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN) 17 1.4 Bài toán số nguyên tố .22 Chƣơng Đồng dƣ 32 2.1 Kiến thức 32 2.2 Bài toán chia hết .37 2.3 Các toán số phương 45 2.4 Các toán chữ số tận 51 2.5 Phương trình nghiệm nguyên 56 2.6 Phương trình hệ phương trình đồng dư bậc ẩn 62 Chƣơng Hàm số học .67 3.1 Kiến thức 67 3.2 Các toán hàm số học 69 KẾT LUẬN 77 Tài liệu tham khảo 79 Lời mở đầu Số học phần quan trọng Toán học, từ lúc bước vào bậc THCS học sinh làm quen với toán số học Chính mà đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi, đề thi vào THPT chuyên khối khoa học tự nhiên ta thấy xuất toán số học Mặc dù làm quen sớm với số học gặp toán dạng học sinh thấy khó khăn cách giải quyết, học dần lên lớp cao lượng kiến thức số học lại giảm mà không hệ thống hay nhắc lại thường xuyên Chính vậy, em lựa chọn đề tài luận văn “ Các toán đồng dư hàm số học” nhằm hệ thống lại kiến thức phân dạng tập số học Trong luận văn em không sâu trình bày lí thuyết mà hệ thống lại kiến thức để làm sở giải dạng tập Luận văn chủ yếu phân dạng xếp tập từ dễ tới khó có trình bày lời giải chi tiết giúp người đọc tham khảo trình ôn tập kiến thức số học Luận văn chia thành ba chương: Chương I trình bày toán số nguyên toán phép chia hết, toán liên quan đến số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Chương II phần trọng tâm luận văn, trình bày ứng dụng lí thuyết đồng dư vào giải toán chia hết, toán số phương, chữ số tận cùng, toán phương trình nghiệm nguyên, phương trình đồng dư Chương III trình bày toán hàm số số học, tập chủ yếu hàm Euler , hàm tổng ước , hàm số ước số số tự nhiên Do thời gian kiến thức hạn chế nên trình viết luận văn, giải tập chắn không tránh khỏi thiếu xót Em rấy mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Trong trình làm luận văn, em thầy PGS TS Vũ Đỗ Long – Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn, bảo tận tình Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội dạy dỗ, trang bị kiến thức bổ ích giúp đỡ em suốt trình theo học Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán – Cơ – Tin học giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trình hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hằng Chƣơng Số nguyên tính chia hết 1.1 Kiến thức 1.1.1 Phép chia Chúng ta nói số nguyên a chia hết cho số nguyên b 0, hay a bội b, kí hiệu a b, có số nguyên c để a = bc Trong trường hợp ta nói b chia hết a, hay b ước (thừa số) a, kí hiệu b | a Ngược lại ta nói a không chia hết cho b, hay b không chia hết a Ví dụ : | 14 ; -8 | 24 ; | -30 ; 15 | ; không chia hết ; không chia hết -13 Định lí 1.1.1 Giả sử a, b số nguyên Khi : Nếu b | a a > 0, b > Nếu b | a c | b c | a Nếu b | a c bc | ac Nếu c | a c | b c | (ma + nb) với số nguyên m, n Định lí 1.1.2 Giả sử a, b số nguyên, b số nguyên q, r thỏa mãn : a = bq + r Khi a = bq + r, Khi tồn ta nói q thương r phần dư phép chia a cho b Hiển nhiên b | a r = Định lí 1.1.3 Nếu số a1, a2, …, an chia hết cho m a1 + a2 + …+ an chia hết cho m Hệ 1.1.1 Nếu tổng số số hạng chia hết cho m trừ số hạng, tất số khác chia hết cho m số hạng chia hết cho m Định lí 1.1.4 Nếu số chia hết cho mi (1 ) tích a1a2…an chia hết cho tích m1m2…mn Hệ 1.1.2 Nếu a chia hết cho m với số tự nhiên n tùy ý an chia hết cho mn Hệ 1.1.3 Nếu thừa số chia hết cho m tích chia hết cho m Định lí 1.1.5 Với cặp số nguyên a, b mà a + b khác với số nguyên không âm n tổng a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b Hệ 1.1.4 Với cặp số nguyên a, b với số tự nhiên n có: an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn) Định lí 1.1.6 Với cặp số nguyên a, b mà a – b khác với số tự nhiên n, số an – bn chia hết cho a – b Hệ 1.1.5 Với cặp số nguyên a, b mà a2 – b2 khác với số nguyên dương n, số a2n – b2n chia hết cho a + b 1.1.2 Số nguyên tố Định nghĩa: Số tự nhiên p > gọi số nguyên tố, p không ước tự nhiên khác Số tự nhiên lớn có nhiều ước tự nhiên gọi hợp số Số có ước số tự nhiên Số số tự nhiên hợp số Bổ đề Mọi số tự nhiên lớn có ước số nguyên tố Định lí 1.1.7 Nếu số tự nhiên a lớn không chia hết cho số nguyên tố bé √ a số nguyên tố Chứng minh: Giả sử a hợp số, đặt a = mn, với m cho m m √ n Khi a chia hết Giả sử m có ước nguyên tố p p m Suy a chia hết p p √ , điều trái với giả thiết a không chia hết cho số nguyên tố bé √ Vậy a số nguyên tố 1.1.3 Ước chung lớn bội chung nhỏ Nếu a, b số nguyên không đồng thời không, tập ước chung a b hữu hạn chứa số +1 -1 Chúng ta quan tâm đến số nguyên lớn nằm ước chung Ước chung lớn hai số nguyên không đồng thời không a b số nguyên lớn chia hết đồng thời a b Ước chung lớn hai số nguyên a b kí hiệu (a, b) Khái niệm ước chung lớn số nguyên không đồng thời không a1 , a2 , , an hiểu hoàn toàn tương tự khái niệm ước chung lớn số nguyên Đó số nguyên lớn chia hết đồng thời tất Ước chung lớn số nguyên a1 , a2 , , an kí hiệu  a1 , a2 , , an  Chúng ta quan tâm đến cặp số nguyên mà chúng ước chung Các cặp số nguyên gọi nguyên tố Hiển nhiên (a, b) = (b, a) (a, b) = (|a|, |b|) Định lí 1.1.8 Nếu a, b, c số nguyên (a, b) = d : ( )=1 (a + cb, b) = (a, b) Nếu a, b số nguyên, ta nói số nguyên dạng ma + nb tổ hợp tuyến tính a b, m, n số nguyên Một tập M số nguyên gọi modulo có tính chất: m, n ∊ M m – n ∊ M Từ định nghĩa modulo suy rằng, m, n ∊ M, = m – m ∊ M, - n = – n ∊ M, m + n = m – (- n) ∊ M Nói cách khác, a, b ∊ M tổ hợp tuyến tính a b thuộc M Modulo M = {0} gọi modulo tầm thường Định lí 1.1.9 Mỗi modulo không tầm thường M tập tất bội số nguyên dương Định lí 1.1.10 Giả sử a, b số nguyên không đồng thời d = (a, b) Khi modulo M = {ax + by : x, y ∊ } tập tất bội d Hệ 1.1.6 Giả sử d = (a, b) ước chung lớn hai số nguyên a b Khi đó: d số nguyên dương nhỏ tổ hợp tuyến tính a b Mỗi ước chung a b ước d Định lí 1.1.11 Nếu a1, a2, …, an, an+1 số nguyên khác không, n (a1, a2, …, an, an+1) = (a1, a2, …, an-1, (an, an+1)) *) Thuật toán Euclid 2, Định lí 1.1.12 Giả sử r0 = a r1 = b số nguyên với a b Nếu thuật toán chia thực liên tiếp rj  rj 1q j 1  rj 2 , < rj+2 < rj+1 với j = 0, 1, 2, …, n – rn+1 = 0, (a, b) = rn , số dư khác không cuối Chứng minh: Từ định lí 1.1.8 ta có nhận xét là: c = dq + r (c, d) = (c – qd, d) = (r, d) = (d, r) Với a = r0, b = r1 tồn hai số nguyên q1, r2, cho: r0 = r1q1 + r2 < r < r1 tồn q2, r3 cho: r1 = r2q2 + r3 < r < r2 … rj-2 = rj-1qj-1 + rj < rj < rj-1 … rn-2 = rn-1qn-1 + rn < rn < rn-1 rn-1 = rnqn + Từ nhận xét trên, ta có: (a, b) = (r0, r1) = (r1, r2) = …= (rn-2, rn-1) = (rn-1, rn) = (rn, rn+1) = (rn, 0) = rn Quá trình gọi thuật toán Euclid tìm ước chung lớn hai số a, b Định lí 1.1.13 Định lí số học: Mọi số nguyên lớn viết cách thành tích thừa số nguyên tố theo thứ tự không giảm Bổ đề 1.1.13.a Nếu a, b, c số nguyên dương cho (a, b) = a | bc a | c Bổ đề 1.1.13.b Nếu p ước nguyên tố tích a 1, a2, …, ak, a1, a2, …, ak số nguyên, có i, i k để p | Chứng minh định lí 1.1.13: Trước hết ta chứng minh quy nạp theo n số nguyên lớn viết thành tích thừa số nguyên tố Trường hợp n = tầm thường Số nguyên n + > số nguyên tố phải chứng minh Ngược lại, ta có n + = ab, với a > 1, b < n + 1; theo giả thiết quy nạp a, b tích số nguyên tố Bây ta chứng minh tính biểu diễn Giả sử n = p1p2…pr = q1q2…qs ; với p1 … p2 pr , q1 … q2 qs số nguyên tố Từ bổ đề 1.1.13.b suy r = s p = q1,…, pr = qs Chú ý: Mọi số nguyên n > có biểu diễn , với = k, < Nếu dãy tất số nguyên tố theo thứ tự tăng dần : p1 = < p2 = < p3 = < p4 = < p5 = 11 < … số nguyên dương viết dạng = với hầu hết, trừ số hữu hạn giá trị k Bội chung nhỏ hai số nguyên , kí hiệu [a, b], hiểu số nguyên dương nhỏ chia hết cho a b Dễ dàng thấy [a, b] = [b, a] [a, b] = [|a|, |b|] Bội chung nhỏ số nguyên khác không a 1, a2, …,ak, kí hiệu [a1, a2, …,ak], số nguyên dương nhỏ chia hết tất số aj, Định lí 1.1.14 Nếu số a, b có phân tích thừa số nguyên tố = = { { } } { } { } { } { } (a, b) [a, b] = ab Chứng minh Dễ dàng thấy ∏ ∏ Từ dễ dàng suy ∏ { } ∏ { } Tài liệu tham khảo [1] Các đề thi Olympic toán nước [2] Các đề thi tuyển sinh THPT chuyên, 2000 – 2014 [3] Đặng Huy Ruận, Phương pháp giải toán chia hết, Nhà xuất khoa học kĩ thuật [4] Nguyễn Hữu Hoan, Lí thuyết số, Nhà xuất Đại học sư phạm [5] Nguyễn Vũ Thành, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Số học, Nhà xuất giáo dục [6] Website: diendantoanhoc.net 79