ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— Trương Thị Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– Trương Thị Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN THANH TUẤN Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời em muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy hướng dẫn Trần Thanh Tuấn - người truyền cho em niềm đam mê khoa học hướng dẫn em tỉ mỉ, tận tình suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới nhóm Seminar môn Cơ học GS TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, thầy anh chị trang bị cho em kiến thức tảng nguồn động lực để chúng em theo đuổi nghiên cứu khoa học Đặc biệt, công thức mục 2.1 học viên thu nhận từ giảng nhóm seminar thầy Phạm Chí Vĩnh trình bày Em xin cảm ơn toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội truyền đạt kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, em cảm ơn gia đình động viên, tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Trương Thị Thùy Dung Mục lục Lời mở đầu Phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T 1.1 Dạng ma trận phương trình 1.2 Ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa 15 1.3 1.2.1 Sóng qSH 15 1.2.2 Sóng qP-SV 20 Phương trình tán sắc sóng Rayleigh 23 Phương pháp hệ số R/T toán tìm band-gaps sóng mặt 26 2.1 Công thức tính vận tốc sóng môi trường trực hướng 27 2.2 Bài toán phổ band-gaps 30 2.3 Band-gaps sóng qSH sóng qP-SV 32 2.4 Tính toán số phổ band-gaps sóng qP 34 Kết luận 37 Danh mục báo khoa học 38 MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 38 Lời mở đầu Trong lớp toán phản xạ khúc xạ sóng mặt truyền qua môi trường phân lớp, hệ số phản xạ khúc xạ cần tìm tìm thông qua hệ số phản xạ khúc xạ sóng tới qua mặt phân cách lớp cách sử dụng điều kiện biên liên tục chuyển dịch ứng suất Cách làm tương tự phương pháp ma trận chuyển giới thiệu số sách chuyên khảo sóng Achenbach (1975) [11], Brekhovskikh (1973) [2] Cách làm thuận tiện lập trình tính toán số môi trường đẳng hướng gọi phương pháp ma trận chuyển hay "T-matrix" sử dụng nghiên cứu hệ số phản xạ khúc xạ Golub cộng (2012) [7, 8] khảo sát phổ band-gaps sóng thành phần SH , sóng hai thành phần P − SV Tuy nhiên, phương pháp có nhược điểm cố hữu phương pháp ma trận chuyển kết tính toán số không ổn định sóng tới có tần số cao phân tích kỹ báo Chen (1993) [21], phương pháp không phản ánh rõ ràng tính chất vật lý toán phản xạ khúc xạ đặc trưng sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ (ví dụ biên độ, góc tới, góc phản xạ, khúc xạ) chuyển qua đại lượng chuyển dịch ứng suất bề mặt để áp dụng điều kiện biên liên tục Điều làm cho hình ảnh vật lý tính phản xạ khúc xạ sóng lớp không tường minh Trong báo Chen (1993) [21] phương pháp phản xạ khúc xạ tổng quát hóa, hai nhược điểm đề cập khắc phục Phương pháp Chen sử dụng trực tiếp hệ số phản xạ khúc xạ tổng quát hóa (là hệ số phản xạ, khúc xạ mặt phân cách hai bán không gian thông qua sóng tới) cách sử dụng trực tiếp tham số biên MỤC LỤC độ sóng lớp, tương tự Kennett (1983) [12] sử dụng công thức Luco Apsel (1983) [14] để loại trừ hệ số tăng theo hàm mũ, hệ số gây ổn định tính toán số tần số cao Do đó, phương pháp khắc phục nhược điểm ổn định số miền tần số cao mà cung cấp hình ảnh rõ ràng phản xạ khúc xạ lớp Với ưu điểm này, phương pháp Chen viết thành phần mềm tính toán sóng sử dụng cách rộng rãi Trong luận văn này, phương pháp Chen nghiên cứu phát triển cho lớp vật liệu bất đẳng hướng, cụ thể vật liệu trực hướng Các phương trình Chen, ví dụ công thức hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa, công thức truy hồi để tính toán chúng, viết lại phù hợp môi trường vật liệu trực hướng Các phương trình sử dụng để thiết lập phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền môi trường phân lớp, sử dụng để nghiên cứu toán phản xạ, khúc xạ sóng truyền môi trường Luận văn tập trung vào tính toán số phổ band-gaps sóng qSH (kí hiệu q quasi) sóng qP − SV , (hay gọi sóng tựa SH sóng tựa P − SV ), sóng tương tự sóng SH P − SV môi trường đẳng hướng, truyền qua môi trường phân lớp trực hướng Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận gồm hai chương Chương thiết lập phương trình phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T thiết lập phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền môi trường phân lớp trực hướng Chương sử dụng kết Chương để khảo sát toán tìm phổ band-gaps sóng mặt qSH qP − SV truyền qua môi trường phân lớp trực hướng Chương Phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T Mô hình tổng quát môi trường phân lớp nghiên cứu luận văn bao gồm N lớp song song đồng nhất, trực hướng đặt hai bán không gian (Hình vẽ 1) Các trục bán không gian lớp giả thiết phương Sóng phẳng truyền mô hình có tần số góc ω có số sóng theo phương ngang k Chọn hệ trục tọa độ cho trục Ox song song với lớp có chiều hướng theo phương truyền sóng phương hướng vật liệu Trục Oz có chiều dương hướng xuống có gốc tọa độ nằm mặt biên lớp Trong số trường hợp, công thức đơn giản hệ tọa độ (x, y, z) thay (x1 , x2 , x3 ) Các lớp có tham (j) (j) (j) (j) (j) (j) số vật liệu c(j) 11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 ρ , j = 1, , N số thứ tự lớp Bán không gian bên coi lớp thứ (0) bán không gian bên coi lớp thứ (N + 1) Chương trình bày hệ thức phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa mô hình phân lớp xét Cụ thể hệ số phản xạ khúc xạ tổng quát hóa nhận mặt phân cách hai lớp thứ (j) thứ (j + 1) Các công thức hệ số sử dụng để khảo sát toán truyền sóng mặt Rayleigh toán phản xạ, khúc xạ trình bày chương lại Các nội dung chương thực tương tự báo Chen (1993) [21] phát triển cho vật liệu trực hướng, thay vật liệu đẳng hướng, với biến đổi chi tiết CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T 1.1 Dạng ma trận phương trình Xét môi trường đàn hồi trực hướng đặc trưng số vật liệu c11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 mật độ khối môi trường ρ Giả thiết sóng phẳng truyền môi trường nằm mặt phẳng (0, x1 , x3 ) Do Hình 1.1: Mô hình hệ tọa độ môi trường trực hướng phân lớp Các lớp bán không gian có hướng vật liệu trùng thành phần chuyển dịch sóng phẳng môi trường xét hàm phụ thuộc vào (x, z, t) hay (x1 , x3 , t) có dạng (1.1) ui = ui (x1 , x3 , t) đó, i = 1, 2, 3, ui thành phần vector chuyển dịch Đối với sóng phẳng qP − SV ta có uj = uj (x1 , x3 , t) u2 (x1 , x3 , t) = (1.2) đó, j = 1, Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ thành phần ứng suất thành phần gradient chuyển dịch (ui,j = ∂ui ) môi ∂xj Tài liệu tham khảo [1] Aki, K and Richards, P G (1980), Quantitative Seismology: Theory and Methods, W H Freeman, San Francisco [2] Brekhovskikh, L M Waves in stratified media Izd Akad Nauk SSSR, Mos (1973) [3] Brillouin, L (1946) "Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, ser" International Series in Pure and Applied Physics [4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006) "Reflection and refraction of waves at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium", Acta Geophysica, 54 (3), pp 239-249 [5] Fomenko, S I., Golub, M V., Zhang, C., Bui, T Q., and Wang, Y S (2014) "In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals" International Journal of Solids and Structures, 51 (13), 2491-2503 [6] Goffaux, C., Vigneron, J.P (2001) "Theoretical study of a tunable phononic band gap system" Physical Review B 64, 075118 [7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "Trans-mission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded periodic laminates" International Journal of Solids and Structures 49, 344–354 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] Golub, M.V., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "SH-wave propagation and scattering in periodically layered composites with a damaged layer" Journal of Sound and Vibration 331, 1829–1843 [9] G R Liu and Z C Xi (2002) Elastic waves in anisotropic laminates CRC press [10] Haskell, N A., (1953) "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bull seism Soc Am., 43, 17-34 [11] J D Achenbach (1975) Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland publishing company Amsterdam, New York, Oxford [12] Kennett, B L N (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, New York [13] Kushwaha, M.S (1999) "Band gap engineering in phononic crystals" Recent Research Developments in Applied Physics 2, 743–855 [14] Luco, J E and Apscl, R J., (1983) "On the Green’s function for a layered half-space, Part I", Bull seism SOC Am., 73, 909-929 [15] Maldovan, M., Thomas, E.L (2009) Periodic Materials and Interference Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics Wiley-VCH Verlag GmbH and Co KGaA, Weinheim, Germany [16] Thomson, W T., (1950) "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", J uppl Phys., 21, 89-93 [17] Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork [18] Vinh, P C., Tung, D X (2010) "Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces" Mech Res Comm 37, pp 285-288 [19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H (2009) "Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals" Wave Motion 46, pp 47–56 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [20] Wu, M.L., Wu, L.Y., Chen, L.W (2009) "Elastic wave band gaps of onedimensional phononic crystals with functionally graded materials" Smart Materials and Structures 18, 115013 [21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophys J Int 115, pp 391-409 41