HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các điểm đặc biệt tam giác: A A A b c c G b H hb B a C M A R hc r C Trọng tâm G Trực tâm H tam giác giao tam giác ABC điểm ba đường trung giao điểm ba tuyến, AG  AM đường cao I C B a B b c O Tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC giao điểm ba đường trung trực a B C Tâm I đường tròn nội tiếp ABC giao điểm ba đường phân giác Tam giác vuông ABC vuông A:  Hệ thức lượng: A A B sin = tan =  AC BC AC AB B C cos = cot = AB BC AB AC  Đònh lí Pitago: BC2=AB2 + AC2  Diện tích: S = AB.AC  H M C 1   2 AH AB AC  Độ dài đường trung tuyến AM = BC  Công thức khác: AB.AC = AH.BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB Các công thức đặc biệt:  Diện tích tam giác đều: S=(cạnh)2  Chiều cao tam giác đều: h=cạnh   Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Diện tích hình đặc biệt khác:  Hình vuông: S = cạnh  cạnh  Hình thoi: S = (chép dài  chéo ngắn)  Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình thang: S = (đáy lớn+đáy bé) chiều cao  Hình tròn: S = R2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao Hai tam giác đồng dạng đònh lí Talet: B A N A C M M P  ABC ∽MNP chúng có hai góc tương ứng  Nếu ABC ∽MNPthì N B C AM AN MN   AB AC BC AB MN  AC MP NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 Đònh nghóa: Nửa đường tròn đơn vò: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trục hoành bán kính R = gọi nửa đường tròn đơn vò y x R=1 O -1 Với góc  (00    1800) ta xác đònh điểm M nửa đường tròn đơn vò cho góc xOM và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi ta đònh nghóa:  sin góc  x0, kí hiệu sin = y0; y M y0  x0 -1 x R=1 O  côsin góc  x0, kí hiệu cos = x0;  tang góc  y0 x0  côtang góc  (x0 ≠ 0), kí hiệu tan = x0 y0 y0 x0 (y0≠ 0), kí hiệu cot = ; x0 y0 Các số sin, cos, tan, cot gọi giá trò lượng giác góc  * Chú ý:  Nếu  góc tù cos, tancot  tan xác đònh  ≠ 900, cot xác đònh  ≠ 00  ≠ 1800 Tính chất: y sin(1800 -  = sin cos(1800 -  = -cos tan(1800 -  = -tan cot(1800 -  = -cot NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 N -x0 M y0 O  x0 x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Giá trò lượng giác góc đặc biệt: Giá trò lượng giác sin cos  00 300 450 600 900 2 2 2 1  1 3 tan cot  Góc hai vectơ:  Đònh nghóa: Cho hai vectơ a b khác   vectơ Từ điểm O ta vẽ OA  a  OB  b Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800  gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu    góc hai vectơ a b (a, b )   A b a B a b O  Nếu (a, b ) = 900 ta nói a b vuông     góc với nhau, kí hiệu a  b b  a     * Chú ý: Từ đònh nghóa ta có (a, b ) = (b , a ) Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trò lượng giác góc:  Tính giá trò lượng giác góc : Deg Rad Gra Ấn MODE hình xuất đo góc "độ" "Độ" ấn để chọn đơn vò "Radian" Để tính sin, cos, tan góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc  Ví dụ: Tính sin góc  = 63052'41'' ta thực hiện: Ấn sin  ấn 63  ấn o'''  ấn 52 ấn o'''  ấn 41 ấn o'''  ấn = ta kết  0.897859012 * Chú ý: = 60', 1' = 60''  Xác đònh độ lớn góc biết giá trò lượng giác góc đó: Để xác đònh xem giá trò a sin, cos, tan góc  độ ta thực hiện: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com  Chọn đơn vò cho máy "Deg" ấn sin-1, cos-1 hay tan-1  ấn số a  ấn = Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện: Ấn sin-1  ấn 0.3502  ấn =   SHIFT  ấn o''' ta kết 20029'58'' Công thức sin2 + cos2: y Với góc  ta có: sin2 + cos2 * Chú ý: (sin)2 kí hiệu sin2 M K R  O H x LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Định nghĩa Lấy M nửa đường tròn đơn vò tâm O Xét góc nhọn  = sin = y (tung độ) y cos = x (hoành độ) tan = cot = y  tung độ    x  hoành độ  x  hoành độ    y  tung độ  (x  0) y -1 O  xOM Giả sử M(x; y) M x1 x (y  0) Chú ý: – Nếu  tù cos < 0, tan < 0, cot < – tan xác định   900, cot xác định   00   1800 Tính chất  Góc phụ  Góc bù sin(900   )  cos  cos(900   )  sin  tan(900   )  cot  cot(900   )  tan  sin(180   )  sin  cos(180   )   cos  tan(1800   )   tan  cot(180   )   cot  Các hệ thức sin  (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  tan  cot   (sin  cos   0) tan   Chú ý: sin2   cos2   1  tan2   (cos   0) cos2  1  cot   (sin   0) sin2   sin   1;   cos   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Đònh nghóa:   Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vô hướng  hiệu a.b , xác đònh công thức sau:  a  b số, kí      a.b  a b cos(a, b )     * Chú ý:  Nếu a = b = ta quy ước a.b =       Với a b khác vectơ ta có a.b   a  b       Khi a  b tích vô hướng a.a = a a cos 0 kí hiệu a số gọi bình phương vô hướng vectơ a   Ta có: a  a (bình phương vô hướng vectơ bình phương độ dài nó) Các tính chất tích vô hướng:    Với ba vectơ a, b , c số k ta có:   a.b  b.a      a.(b  c )  a.b  a.c      (ka).b  k (a.b )  a.(kb )     a  0, a   a  (tính chất giao hoán) (tính chất phân phối) Từ tính chất tích vô hướng, ta có:            (a  b )2  a  2a.b  b  (a  b )2  a  2a.b  b        (a  b )(a  b )  a  b Biểu thức tọa độ tích vô hướng:     Trên mặt phẳng tọa độ (O, i , j ) , cho hai vectơ a  (a1; a2 ) , b  (b1; b2 ) Khi đó:  a.b  a1b1  a2 b2    * Nhận xét: Cho hai vectơ a  (a1; a2 ) , b  (b1; b2 ) khác vectơ Ta có:    a  b  a.b  Ứng dụng:  a) Độ dài vectơ: Độ dài vectơ a  (a1; a2 ) tính theo công thức:  2 a  a1  a2    b) Góc hai vectơ: Cho hai vectơ a  (a1; a2 ) , b  (b1; b2 ) khác ta có:  a1b1  a2 b2 a.b   cos(a, b )     ab a12  a22 b12  b22 c) Khoảng cách hai điểm: Khoảng cách hai điểm A xA ; y A ; B xB ; yB tính: AB  AB  ( x B  x A )2  ( y B  y A )2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Góc hai vectơ Cho a , b  Từ điểm O vẽ OA  a, OB  b Khi  a, b   AOB với 00  AOB  1800 Chú ý: +  a, b  = 900  a  b +  a, b  = 00  a , b hướng +  a, b  = 1800  a , b ngược hướng +  a, b    b , a  a a b A O b B Tích vơ hướng hai vectơ a.b  a b cos  a, b   Định nghĩa: Đặc biệt: a.a  a  a  Tính chất: Với a , b , c kR, ta có: a  b  c   a.b  a.c ; + a.b  b.a ;  ka  b  k  a.b   a  kb  ; a  0; a   a  +  a  b   a2  2a.b  b ; a  b   a  b  a  b  + a.b >   a, b  nhọn + a.b <   a, b  tù a.b =   a, b  vuông  a  b 2  a2  2a.b  b ; Biểu thức toạ độ tích vơ hướng  Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó:  a  a12  a22 ; cos(a , b )   Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) Khi đó: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 a.b  a1b1  a2b2 a1b1  a2 b2 a12  a22 b12  b22 ; a  b  a1b1  a2b2  AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Đònh lí côsin: a) Đònh lí: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 2 A a = b + c - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC b c a B C b) Hệ quả:  cos A  b2  c2  a2 2bc  cos B  a2  c2  b2 2ac  cos C  a2  b2  c2 2ab c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B C Ta có: A b2  c2 a2  2 a c b2 mb   2 a b c2 mc2   m a2  mb B Đònh lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có: a b c    2R sin A sin B sin C ma c b mc a M C A b c O R B a C Công thức tính diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ABC Gọi p = abc nửa chu vi ABC Kí hiệu ha, hb, hc chiều cao ABC ứng với đỉnh A, B, C S diện tích ABC Ta có: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 S= S= S= www.TOANTUYENSINH.com 1 aha  bhb  chc phần hai cạnh 2 đá y nhân chiều cao 1 ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 abc nửa tích số hai cạnh 4R A c b O R r nhân sin góc xen S = pr S = p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê-rông) B a C Giải tam giác ứng dụng vào việc đo đạc: a) Giải tam giác: Giải tam giác tìm số yếu tố tam giác cho biết yêu tố khác b) Ứng dụng vào việc đo đạc:  Vấn đề 1: Để đo chiều cao sân (không leo lên cây) ta làm nào?  Vấn đề 2: Muốn biết sông rộng ta làm sao? (không có phương tiện qua sông) LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí cơsin a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c2  a2  2ca.cos B ; c2  a2  b2  2ab.cos C Định lí sin a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến ma2 2(b2  c2 )  a2  ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 mb2 2(a2  c2 )  b2  ; mc2 2(a2  b2 )  c2  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Diện tích tam giác S= = = = = 1 aha  bhb  chc 2 1 bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc 4R pr (cơng thức Hê–rơng) p( p  a)( p  b)( p  c) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vng (nhắc lại) Cho ABC vng A, AH đường cao  BC  AB2  AC (định lí Pi–ta–go)  AB2  BC.BH , AC  BC.CH  AH  BH CH , AH  AB  AC B A H C  AH BC  AB.AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2  Nếu M ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT PM/(O) = MT  MO2  R2 T B A R O M C D NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ