FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chuyên đề: PT – BPT - HPT § PHÂN TÍCH ĐA THỨC HAI BIẾN THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Kiến thức  Nếu tam thức bậc hai f(x) ax2 phân tích thành bx ax2 f(x) bx c (a c 0) a(x có hai nghiệm x1, x2 tam thức x1 )(x x2 ) VD: f ( x ; y ) x y x y 15 ♥ Xem (1) tam thức bậc hai theo x : f ( x; y ) x x y y 15 ' 16 ( y y 15) y y (2 y 1) Ta có: Suy (1) có hai nghiệm: x 2y x 2y ♥ Vậy: f ( x; y ) ( x y )( x y)  Thực hành kỹ giải toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 2) 3) 4) f ( x; y ) f ( x; y ) f ( x; y ) f ( x; y ) y2 5x2 xy 3y 2x xy 2x 2 y xy 16 x y 16 x y 4y xy 5x y y 5x Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) f ( x; y ) x 3xy x y 2) f ( x; y ) x xy y2 5x y 3) f ( x; y ) ( x y )(2 x y ) x y 4) f ( x; y )  ( x  y )( x  y  y )  y NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT § CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Yêu cầu: Học sinh thành thạo việc giải hệ bản: bậc hai ẩn, đối xứng loại 1, đối xứng loại 2, đẳng cấp Các phương trình ẩn: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn đặc biệt, Thành thạo phép biến đổi tương đương phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay biểu thức, bình phương hai vế, Chú ý: Các toán giải hệ ẩn đa phần quy việc tìm pt ẩn giải PHƯƠNG PHÁP THẾ Kỹ thuật 1: Rút biến để Cụ thể: Rút ẩn từ phương trình nầy, thay vào phương trình để phương trình ẩn giải Kỹ thuật 2: Rút biểu thức để Cụ thể: Rút biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình để phương trình ẩn giải Kỹ thuật 3: Thế số biểu thức PHƯƠNG PHÁP CỘNG Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế nhân cho số thích hợp cộng trừ vế với vế mục đích để tạo phương trình hỗ trợ cho việc giải hệ cho như: pt ẩn, pt bậc hai ẩn, phương trình tích số, Kỹ thuật 1: Tạo pt ẩn Kỹ thuật 2: Tạo pt bậc hai ẩn Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp cộng trừ vế với vế để tạo pt bậc hai ẩn Chú ý: Các đẳng thức sau   a  b   a  2ab  b   a  b   a3  3a 2b  3ab  b3   a  b   a3  3a 2b  3ab  b3 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤC Kỹ thuật: Biến đổi hệ cho có hai biểu thức giống Chú ý: Các phép biến đổi tương đương phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay biểu thức, NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PT – BPT – HPT FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH SỐ Chú ý: Các phép biến đổi: tạo biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai thành thừa số, bình phương, Kỹ thuật 1: Biến đổi pt hệ thành tích số Kỹ thuật 2: Cộng trừ vế với vế để biến đổi pt tích số PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Kỹ thuật 1: Sử dụng tính đơn điệu kết hợp nhẩm nghiệm Kỹ thuật 2: Tìm hàm đặc trưng sử dụng tính chất f(u) = f(v) KẾT HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT I PHƯƠNG PHÁP TÍCH SỐ (PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Biến đổi phương trình hệ dạng phương trình tích số để hệ thức đơn giản chứa x,y Các kỹ thuật thường sử dụng: + Nhóm nhân tử chung + Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử + Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ôn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn) Ví dụ Giải hệ phương trình 2x2 y2 xy 4x2 y2 x 3x 2y 2x y x (1) 4y (2) (Khối B – 2013) Bài giải ♥ Điều kiện: 2x x y 4y (*) ♥ Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Xem (1) phương trình bậc hai theo ẩn y, phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta (1) y2 (3x 2) y 2x2 3x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 y ( x 1) y (2 x 1) y x y 2x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT (các hệ thức đơn giản chứa x, y) ♥ Thế y x 1, thay vào (2) ta phương trình ẩn: 3x x 3x 5x (3) ♣ Do phương trình (3) có hai nghiệm x x nên ta định hướng phân tích (3) thành dạng ( x x) f ( x) (biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp) 3( x2 x) 3( x x) ( x2 x) (x 3x 1) (x x2 x x 3x 5x x2 x 5x x x (Tách thành biểu thức liên hợp) 4) 3x x 5x (Nhân liên hợp) 0 x2 ♥ Thế y x x x ♠ Với x y [thỏa (*)] ♠ Với x y [thỏa (*)] x 1, thay vào (2) ta phương trình ẩn: 3x 4x 9x (4) ♣ Do phương trình (4) có hai nghiệm x nên ta định hướng phân tích (4) thành dạng x f ( x) (biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp) 3x ( x 1) 3x 4x 4x 1 ( 9x 9x 9x 4 x 2) 4x 1 9x (Nhân liên hợp) (Tách thành biểu thức liên hợp) 0 x [thỏa (*)] ♠ Với x y [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (0;1) (1; 2)  (Xem lại phần kỹ thuật nhân liên hợp) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình 2x2 x x2 y2 y 2x x 3y 2y 4x 2y Ví dụ Giải hệ phương trình (1 y) x y2 3x y x 6y (x x y 1) y 2y (1) 4x y (2) (Khối B – 2014) Bài giải y ♥ Điều kiện : x y 4x (*) 5y ♥ Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Do y thỏa (1) nên định hướng phân tích theo nhân tử y y Ta được: (1 y)( x (1 y )( x y 1) (x y 1)(1 x y y 1) y) 1 y 0 y y x ♥ Thế y , thay vào (2) ta phương trình ẩn: 3x ♥ Thế y x 1, x [thỏa (*)] thay vào (2) ta phương trình ẩn: x x (3) x Điều kiện: x 2 x2 Khi đó: (3) (2 x x x x ♠ Với x x y x 3)2 x x x x x x x4 x3 11x x 7x ( x2 x 1)(4 x x 7) So với điều kiện (*) ta nhận x [thỏa (*)] NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (3;1) ;  (Xem lại phần giải phương trình bậc bốn) Ví dụ Giải hệ phương trình ( y 1) x 3x 2)3 ( 3x 12 x y (3 x 1) y 3x xy (1) (2) (Thi thử Sở Giáo Dục Bắc Ninh) Bài giải ♥ Điều kiện : x (*) ♥ Biến đổi phương trình (1) dạng tích số y2 (1) y (3x y( y 3x (y ♥ Thế y 3x 2, 3x 2) 2) ( y 2)( y 3x 3x 2) y 3x 3x 2) 3x y 3xy 3x y 3x thay vào (2) ta phương trình ẩn: x3 12 x 15 x x ( x 1)( x 11x 4) 11 x So với điều kiện (*) ta chọn x ♠ Với x ♠ Với x 11 ♥ Thế y y 11 105 105 1; x 105 y 29 105 3x , thay vào (2) ta phương trình ẩn: x3 3x ( 3x 2) ( NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 12 x (3x 1) 3x 3x 1)3 3x 3( 3x 2) 3x 1 x3 3x 3x ( x 1)3 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT 3x ♠ Với x y ♠ Với x y 2 x x x 3x ♥ Vậy hệ phương trình có ba nghiệm ( x; y ) ( 1;1) , ( 2; 2) , Ví dụ Giải hệ phương trình x y 2( x x y2 y) 111 105 2 ; x x 11 105  (1) y xy 2y 34 15 x (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) Bài giải ♥ Điề u kiê ̣n: –2 ≤ x ≤ và y ≥ ♥ Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Xem (1) phương trình bậc hai theo ẩn x , phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được:  2x  y (1)  (2  x)   x.y  2y2      x  2y ♥ Thế y x , thay vào (2) ta phương trình ẩn: 2( x    x )   x2  34  15x (3) ♦ Đă ̣t t = x    x  t  34  15x   x2 t  Do đó: (3)  2t = t2   t   x2 4 2x  Suy ra:   x    x  4  x  x      x   x  30  16(2  x)  x  17x  30 x      17  16(2  x)   16  x  x  16  x  17(x  2) x  30 17 Khi x = y= và x =  y = 17 17 ♥ Với  x  2y ≤ mà y ≥  y = và x = Thử la ̣i ta có x = 2, y = là nghiê ̣m  30 17  ;    17 17  ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (2; 0),  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Ví dụ Giải hệ phương trình x2 ( y2 y 1) x 2x xy (x y3 2) y 4x y (1) (2) Bài giải ♥ Điều kiện: y x ♥ Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Xem (1) phương trình bậc hai theo ẩn x 2 , phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được: x2 ( y2 ( x2 ♥ Thế y y )( x 2 x2 y y 1) x (vì y3 y y2 1) x2 y2 0) , thay vào (2) ta phương trình ẩn: x2 x x2 2x x x x2 (x 2) 2 (x x 2) x (x (x 2) ( x 4x 2)2 2) ( x 2)2 ( x) ( x) ( x) (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f (t ) t t t 2 với t Ta có: f '(t ) t2 Nên: ♦ Với x t2 t2 f (x 2) 0, t f ( x) x f t  đồng biến x x (thỏa điều kiện (*)) y ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (5; )  BÀI TẬP Giải hệ phương trình 1) 3) 5) y2 (5 x 4)(4 5x x2 3x (x y) x2 y 2x (x y )( x x) xy 16 x y 16 y2 y 4x 2y y) 3x (2 (x x) ( x xy 2) y)2 4) y)2 2y NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 6) 2x x x y x2 y2 xy x3 18 x y 1( y 19) x3 x2 7y x3 y2 x2 xy x2 y 2y y 0 12 xy y 14 x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ôn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)  Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y   y   x   x  1 y  (1) (2) Bài giải   Điều kiện 00  xy  11  Khi đó: 1  x   x  y   y (a)  Xét hàm đặc trưng: f  t   t   t với t  0;1  t   0;1 t 1 t f  t  đồng biến đoạn  0;1 Ta có: f '  t   Suy ra:  Do đó:  f liên tục đoạn  0;1 a   f  x   f  y  x  y  Thay x  y vào phương trình (2) ta phương trình: x   x   x   x  x(1  x)   x(1  x)   x  1  Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y)   ;   2 2 Ví dụ Giải hệ phương trình 8 x  y  y  x  y    2 4 x   x  ( y  1)(3  y )   (1) (2) Bài giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Hay 0  x  x 4 6  2(4  x )    32  x  y 3 x    Vậy hệ phương trình có nghiệm x  4 6 , y 3 (4 y  1) x   x  y  Câu 34 Giải hệ phương trình:   x  x y  y  Xét phương trình: (4y-1) x   x  y  Đặt: t = x   , ta pt: 2t2 – (4y-1)t + 2y – = Giải được:  t   1(loai)  t  y  y  thay vào phương trình (2) ta được: 16y2(y -1)2+4y2(y- 1) +y2–1=  2 x  y  y   y = 1(do y  )  x=0 Vậy nghiệm phương trình x  0, y   x3  y  x y  xy 1 Câu 35 Giải hệ phương trình:  2 x  y   y  14  x    ĐK x  y   Từ (1) ta có x=y x2 = 2y (Loại) x = y, thay vào phương trình ta có: x  x   x3  14  x   x  x   x  14   x      x  x  1      0   x  14  x     x     x2  2x  x  14  x  1  x2  2x     x        Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x ; y    2;1  , x ; y    2;1  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT x   x  x    y    x  1 y  1  3x  x    x  1 y   Câu 36 Giải ̣ phương trình:  x, y    x  1 Điều kiện:   y  1 x3  x  x   y  2 1  x 1 x  x      x 1  x 1    x  1 y  1     y  2 y    x 1   có f   t   3t   0t  suy f(t) đồ ng biế n Nên x  y  Thay vào (2) ta đươ ̣c x  x   x x  x 1 y 1    x  1  x  x   x  1 y 1  y 1 Xét hàm số f  t   t  t  x  f  f  x 1  x3  x  x  1   x 1    x  3  x  6x    x 1  x 1       13 x  x  x    x     9 x  10 x   x2 43  13 41  13  Với x    y  Ta có y  Với x   y x 1 72 Các nghiê ̣m này đề u thỏa mãn điề u kiê ̣n KL: Hê ̣ phương trình có hai nghiê ̣m  x ; y      3;   13 41  13  43  ;  ,  x ; y      72    x  xy  y  y  x (1) Câu 37 Giải hệ phương trình:  (2)  y x  y   x  ĐK: x  y   (3) x  y (1)  x  y  xy  y  y  x   ( x  y )( x  y  2)     x   y (4)  Từ (3) & (2) ta có x=y=1  y  0; x   x   y  Từ (4) & (2) ta có   y   1; x  y  y  y   3  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x ; y   1;1 , x ; y    2;  , x ; y    ;   3 3 xy  2  x  y  x  y  (1) Câu 38 Giải hệ phương trình:   x  y  x2  y (2)  ĐK: x  y  Ta có (1)  x  xy  y  xy x  y 1  xy   ( x  y )2   xy 0 x y x y (3) x  1 y  xy   2  ( x  y  1)  x  y       x  y  x  y  (4) x y   x y Vì x  y  nên phương trình (4) vô nghiệm  y  0; x   y  3; x  2 Từ (3) (2) ta có y  y    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x ; y   1;0 , x ; y    2;3  x (1  )2 (1)  x y  Câu 39 Giải hệ phương trình:   y (1  )  (2)  x y ĐK x  0; y  Dễ thấy x = y = không thõa mãn hệ Với x >0, y >0 ta có  2     1   x y 3x 3x 7y 1       ( nhân vế với vế)   x  y x y 1 2 1     x  y  x  y  3x  y 7y   21xy  (7 y  24 x)( x  y)  24 x  38xy  y   y  x (vì x, y dương) Thay vào phương trình (1) ta 1    1    7   7x x x 21   Từ suy x y NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT 2 x  x  x y  y Câu 40 Giải hệ phương trình :   x, y  x  12 x  12 y   y  x    ĐK: x  0; y  Phương trình (1)  x  x2  1  y  x2  1   x  y   x  1   x  y (Vì x   0, x  ) Thế vào phương trình (2) ta có     x  12 x  12 x   3x  x   x  x   x  x  x  3a  x  a  x2  3a  x2  6ax  a Đặt a  x  1, a  , ta có phương trình a  x  x2  3a  x2  6ax  a  x  6ax  2a     a  4 x  L   x  1 Khi a  x , ta có x  x   x  x      x    L   y   2 Thử lại thấy thỏa mãn   x  3 2  Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y    2;3  2 2  x  x y  x  x  y 1 Câu 41 Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y  15  x      1  x3  x2 y  x2  x  y   x2  x  y    x  y   x2    x  y   x2  1  x2   x  y   (vì x   0, x ) Thế vào phương trình (2) ta có x3  x  x   3 x   x  1   x  1   x    3 x   3 Xét hàm số f  t   t  3t  f '  t   3t    t    f t  đồng biến Phương trình (3)  f  x  1  f   6x2   x   6x2   x3  x  3x     x  1   x  1  x    x  1  x  3 1 y 1 3 1  1  ;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x ; y      1 1  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT y  x  x  y     x y Câu 42 Giải hệ phương trình:  2 x  y  x   11     x   x  y  x  y  y 1  Hệ cho tương đương với  2 2  x  y   x   11  Từ (1) suy y  , y0, VT(1) > VP( 1) 1  x2   x  y     x  y 1  x  y 1  x2   x  y   x  y  x2   x  y   y   x  y 1  x2  x  y  y x2  x  y  y 0   x2   x  y  x y     x  y 1    x  y  1  2   x  y  x  y 1 x  x y  y   Thế y  x  vào phương trình (2) ta được: x3  x   x   11   x  1  x   10  Đặt t  x  1, t  , ta có t  3t  10    t  2  t  2t  4t  5   t  Khi 2x 1   x  5 3  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y    ;  2 2 2  x  y  xy   y (1) Câu 43 Giải hệ phương trình:  2  y ( x  y )  x  y  (2) Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ  x2   y x y 4  Với y khác không, chia hai vế (1) (2) cho y ta được:  ( x  y )  x    y a  x  y  Đặt  x  ta có b  y  a  b  b   a b   a  a  5, b       a  3, b  a  2b  a  2(4  a)  a  2a -15  Từ ta tìm x ; y   1; 2 , x ; y    2;5 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT   x  y  x y  xy  xy   Câu 44 Giải hệ phương trình:   x  y  xy (1  x)     2  x  y  xy ( x  y )  xy   Hệ cho tương đương với  ( x  y )  xy     x2  y  a Đặt  , ta hệ xy  b   a  ab  b    a  b     b    a  a  a  a   a    4 a    a  a    a  0; b     a   ; b   b    a   2   Từ ta tìm  x ; y    ;  25  3   ,  x ; y   1;   16  2  Câu 45 Giải hệ phương trình:    xy x    y   y   x, y   3   3x  1 x y  xy   x  3x y  x  ĐK: x y  xy  Xét phương trình (1) y   y  y  y  0, y ; y    x   x  0, x; y  x  Mà x2 y  xy   y  x  x    y  3 3 Khi ta có: x x   x      y y  y 1a  Xét hàm số f  t   t t   t , t   0;    f '  t   t   t2 t2 1   0, t   0;    Hàm số f  t  đồng biến  0;   3 3 Do phương trình 1a   f  x   f    x   y  y x  y Thay y  vào phương trình (2) ta có x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  3x  1 3x   x3  x  x    3x  1   3x  1   3x   x  x  12 x  x  x  3x  3x     x3  12 x  x   x  3x    x  0 3x   x 3x   x   x  3x  ( Vì x   x  3x      0, x  ) 3x   x x  Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y   1;3 , x ; y    2;   2 Câu 46 Giải hệ phương trình:  3x  5  x  1  y  x  3x  y   , x, y  (x; y  R)   y  y   y  x   Điều kiện :  y  y    3x  5 ( x2  1)  y ( x2  1)   3x  5  y   y  3x    3x   y  ( x   y )     y  x 1 Với y = 3x - thay vào (2) ta  y  y   1  vô nghiệm Với y  x2  thay vào (2) ta Điệu kiện   x   x  x  3x  (*) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1.1.1  x   x4  x4  x  x  12 x   2   x  1  x  x     x  Từ (3) ta có: x  3x   Thử lại x = thỏa mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm x  1, y   x x2  y  x2  x  y      Câu 47 Giải hệ phương trình:  76 x  20 y   x  x  1  Điều kiện: x  y Phương trình  x  x  y   x  x  y   0   x  x   x  y     x  y  x  x  y  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT      x  x  y  x x  x  y   x  y      x  x  y  y  x  x2 Khi phương trình (2) trở thành: 96 x  20 x   x 8 x  1  8 x  1  8x  8x  1  x  x  1 Sử du ̣ng BĐT Cô si cho số ta tìm đươ ̣c nghiệm nhấ t phương trình x  1 1   7  , x ; y    ;  8 8     Vậy hệ phương trình có nghiệm  x ; y    ; 2   x 5x  y    x  y  x  y Câu 48 Giải hệ phương trình:  y  x  x     1  x3  xy   x  y  x  y   4x3  x  x  y    x2  y  0 x  ( Vì x =y =0 không nghiệm hệ )  2x  x2  y   y  x  Thế vào phương trình (2) ta có y3  y  y   (*) Ta giải phương trình (*) tập    Thật vậy: xét y   2;2  , Đặt y  2sin t , t    ;  2 Pt(*) trở thành: ,  8sin t  4sin t  2sin t    4sin t 1  2sin t    4sin t  4sin t.cos 2t  4cos t   sin 4t  cos3t ( Do cos t  không nghiệm pt)  k 2  t     14  sin 4t  sin   3t    k   2  t    k 2     5 3   5 3 Vì t    ;   t   ; ;    y  2sin ;2sin ; 2sin  14 14 14   2  14 14 14   Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm nên pt(*) có nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT   2sin   14  y  2sin  x  14 Kết hợp với điều kiện y  ta có   3  2sin 14  y  2sin 5  x   14 Từ tìm nghiệm hệ phương trình      3 sin  sin    14 ; sin   ,  x ; y    14 ; sin 5  x ; y    14  14             3x   y   x3  x y  Câu 49 Giải hệ phương trình:   x, y   x  y    3x  ; y 3 ĐK   x  3 4 Nhận xét:  x; y     ;   không nghiệm hệ Do x   y    3 4 3 x  y     x2  x  y     x  y    x2    3x   y   3x   y    Thay x  y vào phương trình (2) ta có 1  x3  3x    3x   x3  x  1    x    3x     x  x  1  x      x    3x     , Vì 1  x  0,  3x   y   Ta có x 1 2  x   3x   x  x    x  1  3x 2  x   3x  x  1   x  1  3x  8  3x     2  x   3x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  x    3x    , với    x   3x  2  x 3 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  1 x  Do ta có  x  x      1 x   1 1  1 1  ; ;  , x ; y     2 2     Vậy hệ phương trình có nghiệm  x ; y     x  x   y3  y Câu 50 Giải hệ phương trình:   14 x  y  48   x  x   x, y   ĐK x  3; y  0;  14 x  y  48  Ta có: x  x    x  3  x      x  1  x     x  1 x  Mà  14 x  y  48   y  14 x  48   y  1   x  1   x  1    y 3 3 y 3 Xét hàm số f  t   t  3t , t  1;    f '  t   3t   t  1;    f  t  đồng biến 1;  Khi phương trình 1  f  x  1  f   y   x 1  y  Thế vào phương trình (2) ta có x  18 x  44   x  x    x     x  3   x    x    x    x     x   x   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm x  7, y  33 Câu 51 Giải hệ phương trình:       xy   x 4 y  y 8   x, y   3 x y  x y  26 x  x  14    xy   x  y  y  1   3 x y  x y  26 x  x  14    ĐK: y  Ta có  y  y  y  y  từ phương trình (1) suy x>0; y>0 1  xy 1  1 x2  4 y  y    4 y  y 8 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 4 y  y  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT     xy   x    y  y  x  x 1 x2         x  x 1 x    1     y  y  y        2  y y 1 y (3) Xét hàm số f  t   t  t  t  0;   Có f '  t     t  Suy hàm số f(t) đồng biến  0;   t2  t2  0t   0;     y   x  x y  y Mà phương trình (3) có dạng f  x   f  Thay y x vào phương trình (2) ta có 12 x  26 x   x  14  6 x  13 x   x  14   x     x     x  14   x  14   Xét hàm số g  u   u3  u R Có g '  u   3u2   0u  R Suy hàm số g(u) đồng biến R mà phương trình (4) có dạng:  x    nhaän  x  14  x   x  14  6 x  12 x      x    loaïi  y  12  g  x  2  g   => Vậy hệ có nghiệm x   2, y  12   x2  x    y2  y  Câu 52 Giải hệ phương trình:   6 x  y  11  10  x  x   y  4y   Điều kiện:  phương trình   2 x  x  10  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 4(10  x  x ) 14  x  x  2 Rút gọn ta được: 4( y  x  11)  14  x  x  x  10 x  y  15  (3) y  x  11  10  x  x  Tương tự phương trình (1) x  x    y  y    y2  y   x2  x  y2  y   (4) Cộng vế với vế (3) (4) ta được: x  3x  x  y  y  12   3( x  1)  ( y  3)     y  3 Kết hợp với điều kiện đề bài, suy nghiệm hệ phương trình x  1, y  3 Câu 53 Giải hệ phương trình: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT 4x 3xy 3x 3x ĐK: 4x 2xy y2 3xy 7y 10xy 7y x2 34y 47 5xy 6y 3x 2xy y2  x, y   Chuyển vế nhân liên hợp phương trình , ta được: x2 5xy Với x Với x 6y 4x 3xy 7y 3x y thay vào , ta được: x 6y thay 2xy y2 x 1 x y y 1;1 , 1; , 47 47 47 ; ; 82 82 47 47 ;6 82 82 x 6y 47 82 47 82 y KL: S y y vào , ta được: 82y x x 47 82 47 82 x ;  y  x  x   x  y Câu 54 Giải hệ phương trình:   y   x  xy  x Đk: 1  x  Hệ phương trình (I)   2 y  y   x   x    y   x  xy  x  y   x 1 , y    y   x  xy  x (Do hàm f  t   2t  t đồng biến)  2 Ta có (2)   x   x  x  x Đặt  2x2  2x  x2   x 1  x  cos t với t   0;   Ta có x  cos t   2s in t t   x  sin 2 t Nên phương trình (2) trở thành 2cos 2t  cos t sin t  sin    t   sin  2t    sin 4  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  k 4  t     t    k 4  5 k       x  cos  t   0;         y  sin  t    l   10  nghiệm hệ phương trình ìï x +12 y + x + = 8y +8y Câu 55 Giải hệ phương trình: í ïî x +8y + y = 5x ìï x +12 y + x + = 8y +8y(1) í îï x +8y + y = 5x(2) Ta có (1) Û x3 + x = (2y -1)3 +(2y -1)(*) Xét hàm số f (t) = t +t,"t Î » , f '(t) = 3t +1> 0,"t Î » Vậy hàm số f(t) đồng biến R Từ (*) ta có: f (x) = f (2y -1) Û x = 2y -1 Thế x=2y-1 vào (2) giải y=1 y=6 thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y   1;1 , x ; y   11;6   2(2 x  1)  x   (2 y  3) y  Câu 56 Giải hệ phương trình:  4x   y     Điều kiện xác định: x   , y  Xét hàm số: f (t )  2t  t t   0;   Suy f '(t )  6t   nên hàm số đồng biến Từ phương trình thứ hệ ta có f (2 x  1)  f ( y  2)  x   y  Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 y   y   (*) Xét hàm số g ( y )  4 y   y   6, y   2;   g '( y )  1   y   2;   nên g(y) đồng biến 4y 8 2y  Hơn g(6) = nên (*) có nghiệm y = Với y = ta có x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  x y   1  x xy Câu 57 Giải hệ phương trình:  y   x xy  y xy  78 ĐK: x, y>  x  y   xy (I)    xy  x  y   78 Đặt t  xy (ĐK: t>0) t  13  l  x  y   t   t  7t  78    n t  t  x  y   78 x  x   x  y  13 t=6    v  y  y   xy  36 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x ; y    4;9 , x ; y    9;  Câu 58 Giải hệ phương trình: (1  y )( x  y  3)  x  ( y  1)3 x  ( x, y  R )   x  y  x3   2( y  2)  x  y   x  y  ĐKXĐ:   x  1, y   x  0, y  Nhận xét x  1, y  không nghiệm hệ Xét y  phương trình (1) hệ (I) x  x( y  1)  3( y  1)  ( y  1) x( y  1)   x  x x  3 0   y 1  y 1  y 1 x t , t  Khi đó, phương trình y 1 (1) trở thành t  t  t     t  1  t  t  2t  3   t  Với t = 1, x   y  x 1 y 1 , vào pt(2), ta x  x   x3    x  1  x  x    x    x  1     NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT   x2  x     x  x 1   0 2 3 3   x      x  1 x    x  1     x  x  1    x      x  1 1 1 3 x y 2  x2  x 1   x  Với   0  x    x  1   x2  x   x  1 Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 1 3 , y 2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ