FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT III BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chuyên đề: PT – BPT - HPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI Ví dụ (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình: x  3x  2x  3x   0, x  R Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau: f (x) g(x)  , với f(x) g(x) có nghĩa g(x)     g(x)   f (x)   Giải Bất phương trình tương đương với:  x   x     2x  3x   x   x      x   2x  3x       x  1/     x  3x   x  1/   x        x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình  ;    2  3;    2  Ví dụ Giải bất phương trình: (x  1) 2x   3(x  1), x  R  Giải Điều kiện: 2x1   x  Đặt t = 2x  , t0x= (*) (t + 1) Khi đó, bất phương trình có dạng: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT [ (t2 + 1)1]t  3[ (t2 + 1)1]  t33t2t +  2  (t + 1)(t1)(t3)    t    2x     x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 5]  Chú ý: Ta khơng thể bình phương hai vế bất phương trình ban đầu chưa khẳng định dấu hai vế Hồn tồn sử dụng phép biến đổi tương đương để thực thí dụ trên, cụ thể: (x1)( 2x  3)    x     x     2x     2x          x     x     2x      2x      x    0  2x   x     2x     x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 5] Ví dụ Giải bất phương trình: (x  1)  (x  1)  3x x   0, x  R Hướng dẫn: Điều kiện x  1 Biến đổi tương đương bất phương trình: x2(x + 1) + 3x x  + > Đặt t = x x  Từ đó, ta nhận nghiệm x  1 DẠNG CƠ BẢN Với bất phương trình f(x)  g(x) ta có phép biến đổi tương đương: f(x)   g(x)  f(x)  g (x)  (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải bất phương trình (*) Ví dụ Giải bất phương trình: x   2(x  1), x  R Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc hai  Giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PT – BPT – HPT FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Giải Bất phương trình tương đương với:  x 1  x 1 2(x  1)       x  1   x  1  x   2(x  1)  (x  1)  x  2x   1  x      x  1 1  x   Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3]  {1} Ví dụ Giải bất phương trình: x  3x  10  x  2, x  R Bất phương trình tương đương với hệ:  x  3x  10  (x  2)(x  5)  x      x    x  x    x  3x  10  (x  2)  x  14   x  14      x < 14 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [5; 14) Ví dụ Giải bất phương trình: x  2x  15  x  3, x  R  Giải Bất phương trình tương đương với hệ:  x  2x  15   x  2x  15   x  hoac x  3     x    x  x    x  2x  15  (x  3) 4x  24  x       x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [5; 6] Ví dụ Giải bất phương trình: x2   3x2  1, x  R Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình trùng phương  Giải Ngồi ra, bất phương trình cịn giải theo cách khác:  Nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể: o Nhận xét x0 = nghiệm bất phương trình NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT o Biến đổi bất phương trình dạng: x2   x    3x   x 3 2    (x2  1)      x 3 2    x2    Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t  x2  3, t   Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Với điều kiện 3x2   tức  x   3x   x  ,  ta biến đổi phương trình dạng:    9x4  7x2    x2  9x2    x    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 2: Biến đổi phương trình dạng: x    3x   x2   x 3 2    (x2  1)      x 3 2    x2   (*) Nhận xét rằng: x 3 2   x 3 2 3 nên (*) biến đổi dạng: x    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 3: Đặt t  x2  3, t  Suy x2 = t2  Bất phương trình có dạng: t  3(t2  3)   3t2  t  10   (3t + 5)(t  2)  t  t    x2    x2 +   x2   x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Ví dụ Giải bất phương trình: x2   4x2  1, x  R  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Với điều kiện 4x2   tức  x   4x   x  , ta biến đổi bất phương trình dạng:     16x4  9x2    x2  16x2    x    x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 2: Biến đổi bất phương trình dạng: x2   x    4x   x 8 3    (x2  1)      x 8 3    x2   (*) Nhận xét rằng: x 8 3   x 8 3 40 nên (*) biến đổi dạng: x    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 3: Đặt t  x2  8, t  2 Suy x2 = t2  Bất phương trình có dạng: t  4(t2  8)   4t2  t  33   (4t + 11)(t  3)  t 2  t    x2    x2 +   x2   x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Ví dụ Giải bất phương trình: x    x, x  R  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng: x   x  1  1  x      x    x  5  x   x  x  11x  24     x     x  1  x < Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Cách 2: Với điều kiện x +  tức x  1, ta biến đổi bất phương trình dạng: x 1    x  x 1  3x  x 1      x  3   1    x 1   x 3 x 1   x3 x  <  x < 1 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Cách 3: Điều kiện x +  tức x  1 Đặt t  x  1, (t  0) Suy x = t2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Bất phương trình có dạng: t <  (t2  1)  t2 + t  <  3 < t <  x    x + <  x < Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Cách 4: Điều kiện x +  tức x  1 Nhận xét rằng:  VT hàm đồng biến  VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hồnh độ x = Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Ví dụ Giải bất phương trình:  x3  x  5, x  R Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc ba  Giải Ngồi ra, bất phương trình cịn giải theo cách:  Nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể: o Nhận xét x0 = 2 thoả mãn VT = VP o Biến đổi bất phương trình dạng:  x3   x    x2  x3   x3  x2  x2  x     (x  2)   0  x3   x3    x3   Sử dụng phương pháp hàm số, với điều kiện x  nhận xét: o VP hàm đồng biến o VT hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hồnh độ x = 2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1]  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với: 1  x3  x3  x      x    x  5 x   1  x3  (x  5)2 x3  x  10x  24  (x  2)(x  x  12)     NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT x  x      x     x  5 x  2 x      2  x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1] Cách 2: Với điều kiện  x3  tức x  1, ta biến đổi bất phương trình dạng:  x3   x    x3  x2  x2  x3   x2  x    (x  2)    0  x3    x3   x3  0 x +   x  2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1] Cách 3: Với điều kiện x  nhận xét:  VP hàm đồng biến  VT hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = 2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1]  Nhận xét: Như vậy, để giải bất phương trình chứa ta lựa chọn cách: Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp, nhiều trường hợp nhận cách giải hay Cách 2: Đặt ẩn phụ Một nhiều ẩn phụ Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánhgiá Ví dụ Giải bất phương trình: x3   3x  1, x  R  Giải Bất bất phương trình tương đương với: x3   x3   x3       3x    3x   3x   x   (3x  1)2 x3  9x  6x   (x  1)(x  8x  2)     x      x    x   3  x   hoac  x    Vậy, tập nghiệm bất phương trình NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 1;     SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Ví dụ Giải bất phương trình: x   3x  4, x  R  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng:  x  x   x  2     3x   x  3x   x   (3x  4)2 9x  25x  14     x    x > Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 2: Với điều kiện x +  tức x  2 , ta biến đổi bất phương trình dạng: x    3x   x24 x2 2    (x  2)      x2 2   3x  (*) Nhận xét rằng: x2 2  1  3 x2 2 nên (*) biến đổi dạng: x  >  x > Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 3: Điều kiện x +  tức x  2 Đặt t  x  2, (t  0) Suy x = t2  Phương trình có dạng: t < 3(t2  2)   3t2  t  10 > t     t   (loai)  x    x > Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Ví dụ 10 Với a > 0, giải bất phương trình: x  a  x2  a, x  R Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc hai  Giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Ngoài ra, bất phương trình cịn giải theo cách lượng giác hoá với: x = a.cost, t  [0; ]  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng: a x 2  ax  a  x   2 a  x   a  x  (a  x)2   a  x  a xa    x  a  a  x  x   Vậy, nghiệm bất phương trình a  x  x = a Cách 2: Điều kiện a  x  a Đặt x = a.cost, với t  [0, ]  a2  x2 = a.sint Khi đó, bất phương trình có dạng: a.cost + a.sint  a  cost + sint   cos(t  )    2  t    t     cos t   cos t    a  a cos t   a cos t  a   a  x   x  a Vậy, nghiệm bất phương trình a  x  x = a Ví dụ 11 Giải bất phương trình: x2  a2  x  2a x2  a2 , x  R  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt x = atgt, với t  (  ,  ) suy ra: x2  a = |a| cos t Khi đó, bất phương trình có dạng: |a| cos t  atgt + 2a cos t |a|   sint + 2cos2t  2sin2tsint1     sint   tgt   x  | a | Vậy, nghiệm bất phương trình x  |a| Cách 2: Biến đổi bất phương trình dạng: x2 + a2  x x2  a2 + 2a2  x2a2  x x2  a2 Xét hai trường hợp:  Nếu x  0, (2) viết lại dạng: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (2) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT x2a2  x  a   x  a   ( x  a )2  x ( x  a ) x (x  a )   | x || a |  | x || a |  |a| | x |  x x   Nếu x < 0, (2) viết lại dạng:  x  a    (x  a )2  x (x  a )  | a | x | a | x0  |a|   |a|   x    | a |  x < Vậy, nghiệm bất phương trình x  | a | NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI Ví dụ (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x   x   2x  4, x  R Đây bất phương trình vơ tỉ nhận thấy sau phép chuyển vế bất phương trình dạng f (x) > g(x) + h(x) , bước thực bao gồm:  Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình (*)  Biến đổi bất phương trình dạng: f(x) > g(x) + h(x) + g(x).h(x) p(x)   g(x).h(x) < p(x)   g(x).h(x)  p (x)  nghiệm  Kết hợp với (*), nhận nghiệm bất phương trình  Giải Điều kiện: 5x    x    2x     x  (*) Biến đổi bất phương trình dạng: 5x  > 2x  + x   5x  > 2x  + x  + (2x  4)(x  1) (*)  (2x  4)(x  1) < x +  (2x  4)(x  1) < (x + 2)2  x2  10x <  < x < 10 Kết hợp với (*), ta nghiệm bất phương trình  x < 10 Ví dụ Giải bất phương trình: x  3x   x  4x   x  5x  4, x  R (1) Dể thấy sử dụng phép khai phương để giải bất phương trình Nhận thấy nhân tử chung x  , nên ta thực theo bước:  Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình  Sử dụng phương pháp chia khoảng  Giải Điều kiện: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  x  3x     x  4x     x  5x   x   x  Trường hợp 1: Với x  thì: (1)  (x  1)(x  2)  (x  1)(x  3)  (x  1)(x  4)  x 2  x 3  x 4  x 2  x 4  x 4  x 3 ln với x  ta VT > VP < Vậy x  nghiệm bất phương trình Trường hợp 2: Với x  thì: (1)  (1  x)(2  x)  (1  x)(3  x)  (1  x)(4  x) Với x = 1, bất phương trình nghiệm Với x < 1, bất phương trình có dạng:  2 x  3 x  4 x  2 x  4 x  4 x  3 x Nhận xét với x < VT < VP > 0, phương trình vơ nghiệm Vậy, bất phương trình có nghiệm x = x  Ví dụ Giải bấ t phương trình: x 11 ● Điề u kiê ̣n: x x 11 x 2x x 11 x x 3x 2x x 11 x x x 0, 2x 2x x x x2 x x 2x 7x 60 x 12 x ● Kế t hơp̣ với điề u kiê ̣n, tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trình là: S 4;5 Ví dụ Giải bấ t phương trình: x x 2x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT ● Điề u kiê ̣n: x x 2x x x x x 2x 5x 3 x 2x x 3 x x 3x 3 2x x2 4x2 ; 5x x x x x ● Tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trình là x ;2 Ví dụ Giải bấ t phương trình: 5x 4x 1 Điề u kiê ̣n: 4x 5x ● x 5x 4x2 x 4x 8x x x x 5x 9x 4x ● Do x ● Vâ ̣y tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trình là x 8x x ln thỏa Ví dụ Giải bấ t phương trình: x x 2x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT x ● Điề u kiê ̣n: x x 2x x x 2x x x 2x 3 x x x 2x2 2x 2x x 2x 2x 3 3x x x 2x x 2x x x x 2x 3 2 x x 2 ● Kế t hơp̣ với điề u kiê ̣n, tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trình là x 2;2 Ví dụ Giải bấ t phương trình: x2 8x x2 ● Điề u kiê ̣n: x2 4x ● Với x x ● Với x x x2 5 25 x 17 2x 8x 15 x x 2x 15 x x x x 18x 18 x x hay x 4x x x2 25 2x x2 18x 18 x 5 x x 3 là mô ̣t nghiê ̣m của bấ t phương trình x x x 4x2 15 đươc̣ thỏa thì x x2 15 x 3 4x thì x2 6x 25 x 4x 17 3 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT ● Với x 5 x2 x x x x 25 ● Từ , , x x x x hay x x 4x x2 25 2x x2 6x x x x x thì 4x x 4x 17 tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trình là x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ; 5; 17 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Giải bất phương trình: (4x  x  7) x   10  4x  8x Điều kiện: x  2 , bất phương trình cho tương đương: (4 x2  x  7) x   2(4 x  x  7)  ( x  2)  4 (4 x2  x  7)( x   2)  2( x   2)( x   2)  x  x   x    x  ( x  2)  x    (2 x)  ( x   1)  ( x    x)( x    x)   x   x    x   2 x   2  x    x   2x 1    x   2 x   41   41  T   2; 1   ;      x  Vậy tập nghiệm Câu Giải bất phương trình: 2x    x  3x  + ĐK:  x  Biến đổi bất phương trình dạng x   3x    x + Bình phương hai vế, đưa 3x  17 x  14  + Giải x  x  14 + Kết hợp với điều kiện, nhận 14  x   x  3 Câu Giải bất phương trình: x  1  x  1  3x x   + x        x   3x x    x  x  x  x   + Đặt t  x x    Bất phương trình  t  3t   + Giải x  x  14 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT +  t   2    t    x x     x  1 t  1 3    t  2 Câu Giải bất phương trình: 3x   x   2x  3x   x   x  ĐK: x    3x   x   ( 3x   x  3)( 3x   x  3)   3x   x  (vì 3x   x  >0)   x   3x    x   x   3x   x   x 1   x 1    x 1      x   x  x  x 1   1  x   17  2 So sánh với điều kiện , ta có nghiệm bất phương trình   x    17  Câu Giải bất phương trình: x  5x   x (x  2x  4) (x R)  1   x  ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥    x  1  Khi (*)  x( x2  x  4)  x2  5x   x( x2  x  4)  ( x2  x  4)  3x (**) TH 1: x  1  , chia hai vế cho x > 0, ta có: x2  x  x2  x   3 (**)  x x x2  x  , t  , ta có bpt: t  4t     t  x  x  x   x2  x  1  17  65 1 3   x x 2  x  x   TH 2: 1   x  , x2  x   , (**) thỏa Đặt t  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  1  17  65  ;  2   Vậy tập nghiệm bất phương trình (*) S   1  5;0   Câu Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm x  2x   m   x  x  , x  R  Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x3  x2   m   x  x  8  x  x    8m  x  x2   Xét hàm số f  x   x  x    x  x  có f '  x   0, x  nên hàm số f  x  đồng biến 2;  Bất phương trình f  x   8m có nghiệm  8m  m in f  x   f    16 x 2;  Vậy m  2 Câu Giải bất phương trình: x   x   3x  4x x  0  x  3  41     3  41 Điềukiện: 1  x  3  41   x  x   8  2  3x  x  (*) Bất phương trình cho tương đương với x   x  x(1  x )   3x  x  3( x  x)  (1  x)  ( x  x )(1  x)  3 x x x x 2 1   1 x 1 x 2  5  34 x  x x   x  10 x     1 x  5  34 x   Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình 5  34 3  41 x  Câu Giải bất phương trình:  x  1 x   x  x   x  : loại  x  1: x   x2  x  1  x2   x   x2   x  x 1 x 1 x 1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT     x  1  x   x  4x   x  x 1 x2   x  x    x  Vậy x  15x  40x  20   Câu Giải bất phương trình (x Điều kiện xác định: x   2)(x 2x 5) (x 2)(3 x x2 12) 5x Khi ta có (1)  x  3x  14x  15  2(x  2) 2x   3(x  2) x   5x    x  3x  x  18  2(x  2)( 2x   3)  3(x  2)( x   3)   5x   2(x  2)(2x  4) 3(x  2)(x  4) 5(4  x )  (x  2)(x  5x  9)    2x   x2    3 5x   5x     4(x  2) 3(x  2)2 5(x  2)  (x  2)  x  5x      2x   x    3 5x   5x     Ta có với  0     0(*)      4(x  2) 3(x  2)2  (x  2);  (x  2)2  x2    2x   3 x   5(x  2) 5(x  2)     3 5x   5x     x  5x   4(x  2) 2x    3(x  2)2 x2    5(x  2)   3 5x    5x   Do (*)  x    x  , kết hợp với điều kiện x   18x  57x  127 0  45 ta suy bất phương trình cho có nghiệm   x  Câu 10: Giải bất phương trình: 2x   3x   4x   5x  BPT  2x   4x   3x   5x    (2x  4)[ 2x   4x   3x   5x  ]0 x 2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Câu 11 Giải bất phương trình: 3x (2  9x  3)  (4x  2)(1   x  x )  1 Viết lại phương trình dạng: 3x(2  (3x)  3)  (2 x  1)(2  [(2 x  1) ]  Xét hàm số f  t   t (2  t  3),  t   ; f (t )   t   ' t2 t2  0 hàm số f  t  đồng biến Do (1)  f  3x   f  2 x  1  3x  2 x   x   Vậy tập nghiệm bất phương trình T    ;     Câu 12 Giải bất phương trình: Điều kiện bất phương trình: 2 x 2x x x  x       x  2  x   x     x  2 x    x     2  x  x   Với 2  x   bất phương trình cho ln Với x   bất phương trình cho  x   2( x  2)( x  2)  x x  4( x  2)  2( x  4)  ( x  2)2 ( x  2)  x3  x3  x  x  16  2( x3  x  x  8)   2( x3  x  x  8)  2( x3  x  x  8)  16    2( x3  x  x  8)    2( x3  x  x  8)  x    x3  x  x    x    x   x  1  (do x  )   Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm T   2;0    Câu 13 Giải bất phương trình: x2 x  2 x2   tập số thực x 3 x2 3 Điều kiện x  3 Bất phương trình cho tương đương với NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT x x2  x3 x 2 x 3  x2 1    1 x  x    x  3  x  3  x2  x   x3 x   x2 1  x x2  x3 x 3 x x2  x3  x2 1  x 3       x  x    x  1   1  2    x  x2   x  x             x  x       x    1  x  (Với x  3 biểu thức ngoặc nghiệm bất phương trình S   1;1 vng ln dương) Vậy tập Câu 14 Giải bất phương trình:  4x  20  x  4x  Giải bất phương trình:  x  20  x  x  (1) Bất phương trình cho tương đương với: x  16 x     x  20  x    16  x   x20 x    x  20  4x   4x    x  2    1  2  x    x  20  Từ (1) suy x   x  20  x    x  Do 4x  x2    4x   x  20    x  8   x  20  x   x    x  20  1  Vậy nghiệm bất phương trình x  Câu 15 Giải bất phương trình: 9x   9x   9x  15 Nhận xét : x   x  15  x    x  bpt    9x     3(3x  1)  x  15  9x  9x    3(3x  1)  9x  x  15  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 0 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT  3x  3x  1  9x   2    3  x  15   3x      9x   3x  13x  1      3   3x    x  x  15    Kết hợp điều kiện suy nghiệm bất phương trình x  nghiệm bất phương trình Câu 16 Giải bất phương trình x 1  3x  +) Đặt t = x2 – 2, bất phương trình trở thành:  x  1 tập số thực 1   ĐK: t  với đk trên, t 3 3t  t 1 bất phương trình tương đương ( t  1)( 1  )  Theo Cơ-si ta có: t 3 3t  t t t 1  t t 1       t 1 t   t 1 t   t 3 1 11       t 3 2 t 3 t 3 t 2t 11 2t       3t   3t   3t  1 t 1  t 1       t  3t   t  3t   3t   VT  2t  +) Thay ẩn x x2   x  (;  2]  [ 2; )  T  (;  2]  [ 2; ) Câu 17 Giải bất phương trình x   x  x  2x  2x   tập hợp số thực - ĐK: x  1, x  13 - Khi đó:    x  2 x   x2  x  2x  x2  x    ,  * x 1   x    3 2x 1  2x 1  2x 1  - Nếu x     x  13 (1) (*)   x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t hàm đồng biến NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 , mà (*): SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT f    2x 1  f   x   x   x   x3  x  x  1   1  DK(1) Suy ra: x   ;  VN   0;       - Nếu x     1  x  13 (2) (*)   x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t hàm đồng biến f    2x 1  f , mà (*):   1  x    x   x   x      x  13     x  1   x  1  Suy ra: 1   DK(2) 1   1    x   1;0   x   1;0   ;    ;13  KL: x   1;0   ;13        Câu 18 Giải bất phương trình sau tập 5x  13  57  10x  3x x   19  3x Điều kiện  x  2x   19  3  x   x   Bất phương trình tương đương  : x   19  3x 2 x   19  3x x   19  3x  x  2x   x   19  3x  x  2x   x  5  13  x   2 x      19  3x    x x 2      x  x    x  x   x2  x      x 5 13  x 9 x     19  3x           2  0  x x 2     x  5 13  x   9  x     19  3x            NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 * SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT Vì  x  5 9 x        13  x   19  3x     0  với x   3;  19  \ 3  Do *  x  x    2  x  (thoả mãn) Vậy tập nghiệm bất phương trình S   2;1 Câu 19 Giải bất phương trình sau tập R x 1 x 1  1  x x x Gọi bất phương trình cho (1) + ĐK: x  [-1; 0)  [1; +  ) Lúc đó:VP (1) khơng âm nên (1) có nghiệm khi: x 1 1    x     x  Vậy (1) có nghiệm (1; +  ) x x x x Trên (1; +  ): (1) Do x   (1) x 1 1  x 1 x 1  x 1  1 x x x 1 x2    x > nên: x x  x 1 x 1 x2 1 x2 1 2 1 x   1  x x x x x2  x2 1 x2 1 1  2 1   (  1)2   x  x x x x   Vậy nghiệm bất phương trình là:   x   Câu 20 Giải bất phương trình: 2(x  16) x 3  x 3  x x 3 ĐK: x  Bất phương trình   x  16    10  x  2   2( x  16)  x    x  2( x  16)  10  x   10  x   2  2( x  16)  (10  x) x5    x  10  34 10  34  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PT – BPT – HPT VT(*) < (do x  ) nên (*) vơ nghiệm Câu 21 Giải bất phương trình: 2x  (1  2x  3x ) 2x  y  Đặt y  x     y  2x  , ta bất phương trình x3   y  3x  y  x3  3x y  y  (2) *TH1: Xét y =  x   1 thay vào bất phương trình thỏa mãn  x   2 nghiệm  x  x *TH2: Xét y > Bất phương trình (2)          y  y  x  x  x    1  1     y  x y  y  y  suy  x      x  2x   2x   2x     x  1   0  x   2 x   x  1     Vậy tập nghiệm bất phương trình S =   ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ