ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Bất đẳng thức:  Hệ thức dạng a < b (hay a > b, a  b, a  b) bất đẳng thức  Tính chất: a) Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho b) Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho Bất phương trình bậc ẩn: a) Dạng: ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b  0), a, b số cho, a ≠ b) Hai quy tắc biến đối bất phương trình:  Khi chuyển vế hạng tử bất phương trình từ vế sang vế phải đổi dấu hạng tử  Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, phải:  Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương  Đổi chiều bất phương trình số âm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 BẤT ĐẲNG THỨC I- ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng "a < b" "a > b" gọi bất đẳng thức * Chú ý: Các mệnh đề dạng "a < b" "a > b" gọi bất đẳng thức ngặt Các mệnh đề dạng "a  b" "a  b" gọi bất đẳng thức không ngặt Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: Nếu mệnh đề "a < b  c < d" ta nói bất đẳng thức c < d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a < b viết a < b  c < d Nếu bất đẳng thức a < b hệ bất đẳng thức c < d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a < b  c < d Để chứng minh bất đẳng thức a < b ta cần chứng minh a - b < Tính chất bất đẳng thức: Tính chất Điều kiện Nội dung a0 n nguyên dương a  b  ac < bd  c  d  a < b  a2n + < b2n + < a < b  a2n < b2n NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Phát biểu Cộng hai vế bất đẳng thức cho số ta bất đẳng thức tương đương chiều Nhân hai vế bất đẳng thức cho số dương ta bất đẳng thức tương đương chiều Nhân hai vế bất đẳng thức cho số âm ta bất đẳng thức tương đương ngược chiều Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa lẻ ta bất đẳng thức tương đương chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa chẵn ta bất đẳng thức chiều SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 a>0 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khai bậc chẵn hai vế bất đẳng thức dương ta bất đẳng thức tương đương chiều Khai bậc lẻ hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức tương đương chiều a0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Nội dung x  0, x  x, x  -x x  a  -a  x  a x  a  x  -a x  a a - b  a + b  a + b SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n ngun dương Nội dung a có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a  x  a a>0  x  a x a   x  a a  b  ab  a  b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab  c  ab ; bc  a  bc ; ca  b  ca e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất  Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh  Một số BĐT thường dùng: + A2  + A2  B  + A.B  với A, B  + A2  B  AB Chú ý: – Trong q trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cơ–si Bất đẳng thức Cơ–si: + Với a, b  0, ta có: + Với a, b, c  0, ta có: 2 Hệ quả: ab   ab   + ab  ab Dấu "=" xảy  a = b abc  abc Dấu "=" xảy  a = b = c abc   abc   + Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)  Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x2  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx  Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x2  y2  z2 ) Hệ quả:  (a  b)2  2(a2  b2 ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bất phương trình ẩn: Bất phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến dạng f(x) f(x) g(x)  f(x) Điều kiện bất phương trình: Điều kiện ẩn số x để f(x) g(x) có nghóa điều kiện xác đònh (hay gọi tắt điều kiện) bất phương trình (1) Bất phương trình chứa tham số: Trong bất phương trình, chữ đóng vai trò ẩn số có chữ khác xem số gọi tham số Giải biện luận bất phương trình chứa tham số xét xem với giá trò tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm tìm nghiệm II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn a gồm số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi giá trò x đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Giải hệ bất phương trình tìm tập nghiệm Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình có tập nghiệm (có thể rỗng) hai bất phương trình tương đương dùng kí hiệu "" để tương đương hai bất phương trình Khi hai hệ bất phương trình có tập nghiệm ta nói chúng tương đương với dùng kí hiệu "" để tương đương Phép biến đổi tương đương: Để giải bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi thành bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta viết tập nghiệm Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương Cộng (trừ): Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình ta bất phương trình tương đương P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) * Nhận xét: Nếu cộng hai vế bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x) Do đó: P(x) < Q(x) + f(x)  P(x) - f(x) < Q(x) (Chuyển vế đổi dấu hạng tử f(x) ta bất phương trình tương đương) * Chú ý: Trước giải bất phương trình ta phải tìm điều kiện bất phương trình Nhân (chia): Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức nhận giá trò dương (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) ta bất phương trình tương đương Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức nhận giá trò âm (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) đổi chiều bất phương trình ta bất phương trình tương đương P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x) f(x) > 0, x P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x) f(x) < 0, x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chú ý: Khi nhân hai vế bất phương trình cho f(x), biểu thức f(x) nhận hai giá trò dương lẫn âm ta phải xét hai trường hợp f(x)0 Bình phương: Bình phương hai vế bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện ta bất phương trình tương đương P(x) < Q(x)  [P(x)]2 < [Q(x)]2 * Chú ý: Khi bình phương hai vế bất phương trình ta phải xét hai trường hợp:  P(x), Q(x) có giá trò không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình  P(x), Q(x) giá trò âm, ta biến đối P(x) < Q(x)  -P(x) > -Q(x) bình phương NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT Nhò thức bậc nhất:  Nhò thức bậc x biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c hai số cho, a ≠  Nghiệm nhò thức: f(x)= ax+b x0=  b a (nghiệm phương trình ax+ b = 0) Dấu nhò thức bậc nhất: Đònh lí: Nhò thức f(x)=ax+b có giá trò dấu với hệ số a x lấy giá trò b a b a khoảng (  ;+) trái dấu với hệ số a x lấy giá trò khoảng (-;  ) x Bảng xét dấu - ax + b  Nghiệm x0 =  - trái dấu a b a b a + dấu a nhò thức chia trục số thành hai khoảng: bên trái số x0 - f(x) trái dấu a f(x) dấu a x0 + bên phải số x0  Minh họa đồ thò: a>0 a 0, ta có: f(x)  a  -a  f(x)  a f(x)  a  f(x)  -a f(x)  a NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc ẩn VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình tích  Dạng: P(x).Q(x) > (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu  Dạng: P( x ) 0 Q( x ) (2) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu P( x ) Q( x ) Từ suy tập nghiệm (2) Chú ý: Khơng nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ  Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ  Dạng 1:  Dạng 2:  g( x )  f ( x )  g( x )    g( x )  f ( x )  g( x )   g( x )    f ( x ) có nghóa  f ( x )  g( x )    g( x )      f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )  Chú ý: Với B > ta có: A  B  B  A  B ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  A  B A B A  B SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát ax + by  c (1) (ax + by < c, ax + by  c, ax + by > c) a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0, x y ẩn số II- BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình (1) gọi miền nghiệm Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm (hay miền nghiệm) bất phương trình ax + by  c (1): Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax + by = c Bước 2: Xét điểm M(x0;y0) không nằm  (thường lấy O(0; 0) O ) Bước 3: Thay x0 yo vào biểu thức ax + by Bước 4: Kết luận:  Nếu ax0+by0  c mệnh đề nửa mặt phẳng (kể bờ ) chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình ax + by + c   Nếu ax0+by0  c mệnh đề sai nửa mặt phẳng (kể bờ ) không chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình ax + by + c  * Lưu ý: Miền nghiệm bất phương trình ax + by  c bỏ đường thẳng ax + by = c miền nghiệm bất phương trình ax + by < c III- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn IV- ÁP DỤNG VÀ BÀI TOÁN KINH TẾ y Ví dụ toán: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản C xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M1 I máy máy M2 Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy M1 máy M2 Một máy dùng x A O để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M làm việc không ngày, máy M ngày làm việc không Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lãi cao 3x + y = L = 2x + 1,6y x+y=4 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Tam thức bậc hai:  Tam thức bậc hai x biểu thức có dạng f(x) = ax + bx + c, a, b, c số thực cho trước gọi hệ số với a ≠  Nghiệm tam thức bậc hai nghiệm phương trình ax + bx + c = Dấu tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0),  = b2 - 4ac  Nếu  < f(x) dấu với hệ số a, với x  R b a  Nếu  = f(x) dấu với hệ số a, trừ x = -  Nếu  > f(x) có hai nghiệm x x (x1 < x2) Khi f(x) trái dấu với hế số a với x nằm khoảng (x 1; x2) f(x) dấu với hế số a với x nằm đoạn [x1; x2] * Chú ý: Khi hệ số b chẵn ta thay  ' = b'2 - ac Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)  Tính  = b2 - 4ac  Nếu  < f(x) vô nghiệm x - ax + bx + c + dấu với a b a  Nếu  = f(x) có nghiệm kép x = - x ax2 + bx + c - dấu với a b a + dấu với a  Nếu  > f(x) có nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) x ax2 + bx + c - dấu với a NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x1 x2 + trái dấu với a dấu với a SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Minh họa hình học: 0 + + + + + + y + + + + + + + + + + + x + O - 0 y x - x1 + + + + 2a y O O =0 y - + + + + + + O a0 - - - b x 2a - - - - - + + + + + O - x II- ÁP DỤNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bất phương trình bậc hai: Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng ax + bx + c < (hoặc ax2 + bx + c  ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c  0), a, b, c số thực cho với a ≠ Giải bất phương trình bậc hai: Giải bất phương trình bậc hai tìm giá trò x để ax + bx + c âm (dương, không âm, không dương) tương ứng với < (> 0,  0,  0) bất phương trình NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Dấu tam thức bậc hai f(x) = ax  bx  c (a  0)  0, x  R  b a.f(x) > 0, x  R \    2a  a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) =0 >0 Nhận xét:   a  ax  bx  c  0, x  R     a  ax  bx  c  0, x  R     Bất phương trình bậc hai ẩn ax  bx  c  (hoặc  0; < 0;  0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ  Dạng 1:  Dạng 2:  Dạng 3:  Dạng 4: Chú ý:  f ( x)   g( x )  C2   f ( x )  g( x )  f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )      f ( x )   g( x )   f ( x )    f ( x )   g( x )  f ( x )  g( x ) f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x )  g( x )  f ( x )  g( x )    g( x )  f ( x )  g( x ) C1   g( x )    f ( x ) có nghóa  f ( x )  g( x )    g( x )      f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )   A  A A0;  Với B > ta có:  A  A  A  A  B  A  B  AB  ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  A  B A B A  B A  B  A  B  AB  A  B  B  A  B ; SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu  Dạng 1:  Dạng 2:  Dạng 3:  g( x )  f ( x )  g( x )     f ( x )   g( x )  f ( x )  (hoặc g( x )  0) f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  t  f ( x ), t  a f ( x )  b f ( x )  c     at  bt  c   Đặt u  f ( x ) ; u, v  đưa hệ u, v  Dạng 4: f ( x )  g( x )  h( x )  Dạng 5:  f ( x)  f ( x )  g( x )   g( x )   f ( x )   g( x )2   Dạng 6:   g( x )   f ( x)   f ( x )  g( x )    g( x )     f ( x )   g( x )2   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 v  g( x ) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ