Thông tin tài liệu
ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) a2 b2 c2 ab ac 2bc e) a4 b4 c2 2a(ab2 a c 1) f) g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) i) 1 1 1 với a, b, c > a b c ab bc ca k) a b c ab bc ca với a, b, c HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 d) (a b c)2 e) (a b ) (a c) (a 1) 2 2 f) a (b c) 2 g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 h) a a a a b c d e 2 2 2 2 i) 1 1 1 0 b b c c a a k) 2 2 2 a b b c c a Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3 b a b ; với a, b c) a4 4a e) a4 b4 a6 b2 b) a4 b4 a3b ab3 d) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > b6 a2 ; với a, b NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 f) 1 a2 1 b2 ; ab với ab SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố g) FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a2 a 2 h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > 2 HD: a) (a b)(a b)2 b) (a3 b3 )(a b) c) (a 1)2 (a2 2a 3) d) Sử dụng đẳng thức a3 b3 (a b)3 3a2b 3ab2 BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) (b a)2 (ab 1) e) (a b ) (a a b b ) f) g) (a2 1)2 h) ab(a b)(a3 b3 ) 2 2 (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) 0 Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a4 b4 c4 d 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 4) 256abcd HD: a) a4 b4 2a2b2 ; c2 d 2c2d ; a2b2 c2d 2abcd b) a2 2a; b2 2b; c2 2c c) a2 4a; b2 4b; c2 4c; d 4d Cho a, b, c, d > Chứng minh a 1 b a ac b bc (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) b) c) a b c 2 ab bc ca a b c d 1 2 abc bcd cd a d ab ab bc cd da 2 3 abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1) (a – b)c < a) Sử dụng (1), ta được: a ac ab abc , b ba c cb , bc abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tương tự, a a a abcd abc ac b b b abcd bcd bd c c c abcd cd a ac d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: ab ab abd abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 2 2 a2 b2 c2 a b c a) (a b c) 3(a b c ) b) c) (a b c)2 3(ab bc ca) d) a4 b4 c4 abc(a b c) abc ab bc ca với a,b,c>0 3 f) a4 b4 c4 abc a b c HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) e) Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 a2b b2a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) b) c) 3 a b abc b c abc c a abc 1 ; với a3 b3 b3 c c a 1 1 1; với a b 1 b c 1 c a 1 ; abc với a, b, c > a, b, c > abc = a, b, c > abc = d) 4(a3 b3 ) 4(b3 c3 ) 4(c3 a3 ) 2(a b c) ; với a, b, c A B e*) sin A sin B sin C cos cos cos C ; với ABC tam giác HD: (1) (a2 b2 )(a b) a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) 3 a b abc ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) d) Từ (1) 3(a3 b3 ) 3(a2b ab2 ) 4(a3 b3 ) (a b)3 (2) (a b) (b c) (c a) 2(a b c) Từ đó: VT e) Ta có: sin A sin B cos C AB C cos cos 2 Sử dụng (2) ta được: a b 4(a3 b3 ) sin A sin B 4(sin A sin B) 4.2.cos Tương tự, sin B sin C cos A , C C cos 2 sin C sin A cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 x b2 y (a b)2 ( x y )2 (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b thoả a b Chứng minh: a2 b2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) Tìm GTNN biểu thức P = a2 12 b2 12 b a c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Chứng minh: x2 x2 y2 y2 z2 z2 82 d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm GTNN biểu thức: P = 223 x 223 y2 223 z2 HD: Bình phương vế ta được: (1) (a2 b2 )( x y ) ab xy (*) Nếu ab xy (*) hiển nhiên Nếu ab xy bình phương vế ta được: (*) (bx ay)2 (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: a2 b2 (1 1)2 (a b)2 b) Sử dụng (1) P Chú ý: 1 a b ab 2 1 1 (a b) (a b)2 17 a b ab (với a, b > 0) c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 1 1 x y z ( x y z) 2 x y z x y z 2 2 Chú ý: 1 (với x y z xyz d) Tương tự câu c) Ta có: P 2 ( x y z) 82 xyz x, y, z > 0) 3 223 ( x y z)2 2010 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 e) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc f) g) ab bc ca abc ; với a, b, c ab bc ca a b c ; với a, b, c > bc ca ab > HD: a) a b ab; b c bc; c a ca đpcm b) a b c 33 abc; a2 b2 c2 33 a2b2c2 đpcm c) (1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca abc a b c 33 abc ab bc ca a2 b2c2 (1 a)(1 b)(1 c) 33 abc a2 b2c2 abc 1 abc d) bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac e) VT 2(a2 b b2c c2a) a3b3c3 6abc f) Vì a b ab nên bc bc ca ca ab ab ab ; Tương tự: bc ca a b ab ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca 2 (vì ab bc ca a b c ) a b c 1 1 1 bc ca ab 1 = (a b) (b c) (c a) 3 3 2 bc ca ab g) VT = Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b Khi đó, VT = x y z x z y 3 y x x z y z (2 3) 2 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a b 1 c a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3 a3 HD: a) VT = a2 b2 c2 b Chú ý: b3 b3 c c a3 a c b a c a b a2 b2 2ab b a Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2c bc2 c2 a ca2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Chú ý: a3 b3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3 ) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm 1 a b ab Cho a, b > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1 1 1 2 ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > ab bc ca 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: 2a b c a 2b c a b 2c a b c ab bc ca abc d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x y z 12 Chứng minh: x y y 4z 4z x a) f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: HD: 1 1 1 2 pa pb pc a b c 1 1 (1) (a b) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 ; ; a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 4 a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab 1 11 1 (a b) d) Theo (1): ab ab 4a b c) Áp dụng a) b) ta được: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4 p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Cho a, b, c > Chứng minh 1 a b c abc (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1 (a b c ) ab bc ca b) Cho x, y, z > thoả x y z a) (a2 b2 c2 ) Tìm GTLN biểu thức: P = x y z x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 P= a 2bc b 2ac c 2ab d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: 1 30 ab bc ca a2 b2 c 1 cos A cos B cos 2C 1 a 1 b c 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) HD: Ta có: (1) (a b c) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si VT 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) (a b c) 2(a b c) abc Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= Ta có: x 11 y 11 z 11 x 1 y 1 z 1 1 = 3 x 1 y 1 z 1 1 9 x 1 y 1 z 1 x y z 4 Suy ra: P Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P = c) Ta có: P d) VT x y z kx ky kz 2 a 2bc b 2ca c 2ab 2 ab bc ca a b c = 2 (a b c)2 1 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 9 30 ab bc ca 1 (a b c ) 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 3 1 e) Áp dụng (1): cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C 6 6 Chú ý: cos A cos B cos 2C Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 ; x x 3x y ; x 1 x 1 x ; x x 1 x y ;x 2x 1 a) y b) y c) d) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x3 e) y x ; x 1 1 x x f) y g) y x2 4x ; x0 x h) y x HD: a) Miny = x = x2 ; x0 x3 ; x0 x = 1 d) Miny = e) Miny = x 5 f) Miny = c) Miny = b) Miny = g) Miny = x = x = 30 3 h) Miny = 5 x = 30 x = 27 x = Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x ); x b) y x (6 x ); x c) y ( x 3)(5 x ); x e) y (6 x 3)(5 x ); x g) y d) y (2 x 5)(5 x ); x 5 f) y x x 2 ; x0 x2 x 3 HD: a) Maxy = 16 x = c) Maxy = 121 x = e) Maxy = x = b) Maxy = x = d) Maxy = f) Maxy = 625 2 g) Ta có: x x 33 x ( x 2)3 27x2 Maxy = 27 x = x = ( x 2 x ) x2 ( x 2)3 27 x = 1 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Chứng minh bất đẳng thức sau: b) 3a2 5b2 a) 3a2 4b2 , với 3a 4b c) 7a2 11b2 2464 , 137 735 , 47 với 2a 3b d) a2 b2 , với a 2b với 3a 5b f) ( x y 1)2 (2 x y 5)2 e) 2a2 3b2 , với 2a 3b HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 , , 3a, 5b SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b , 7a, 11b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a–b=–3 BĐT a2 b2 Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Chứng minh bất đẳng thức sau: a4 b4 , a) a2 b2 , với a b b) a3 b3 , với a b với a b d) a4 b4 , với a b c) HD: a) (1a 1b)2 (12 12 )(a2 b2 ) đpcm b) a b b a b3 (1 a)3 3a 3a2 a3 1 1 b a 3 a 2 4 c) (12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 3 đpcm d) (12 12 )(a2 b2 ) (a b)2 a2 b2 (12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 Cho x, y, z ba số dương a4 b4 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P (1 x ) (1 y) (1 z) Dấu "=" xảy x y z x y z Vậy Max P = x y z Cho x, y, z ba số dương x2 x2 y2 y2 x y z z2 z2 Chứng minh rằng: 82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 9 x (1 ) x x x Tương tự ta có: y2 y 9 y y 82 x2 x2 (2), 9 x x 82 z2 z2 (1) 9 z z 82 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: P 1 1 80 1 ( x y z) = ( x y z) x y z x y z 82 82 x y z 1 80 2 ( x y z) 82 82 x y z x y z Dấu "=" xảy xyz NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho a, b, c thoả a b c Chứng minh: (1) (2) 4a 4b 4c 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) Chú ý: x y z x y z Dấu "=" xảy x = y = z = Từ (1) Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: x a) A , 4y với x + y = b) B x y , với HD: a) Chú ý: A = x y 6 x y Áp dụng BĐT (B) với số: x; x ; y; y ta được: 4 25 x y ( x y) x y x 4y 5 Dấu "=" xảy x ; y Vậy minA = 25 4 5 x ; y 2 2 3 b) Chú ý: x y x y Áp dụng BĐT (B) với số: ; x x ; y; ta được: y 2 2 3 3 ( x y) x y x y x y Dấu "=" xảy x 3 ; y 3 xy 2 3 Vậy minB = 2 3 Tìm GTLN biểu thức sau: a) A x y y x , với x, y thoả x y2 HD: a) Chú ý: x y 2( x y ) A ( x y )(1 y x ) x y Dấu "=" xảy x y Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A x x , với –2 x b) B x x , với x c) C y x , với 36 x 16y2 HD: a) A (12 12 )(7 x x 2) Dấu "=" xảy A (7 x ) ( x 2) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 x2 y2 x d) D x y , với Dấu "=" xảy x = –2 x = SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 maxA = x ; minA = x = –2 x = b) B (62 82 )( x x ) 10 Dấu "=" xảy x = B ( x 1) (3 x ) x maxB = 10 x = Dấu "=" xảy 43 ; 25 43 25 x = minB = x = c) Chú ý: 36 x 16y2 (6 x)2 (4y)2 Từ đó: y x y x 1 1 y x 16 y 36 x 4 16 5 15 25 C y 2x y 2x 4 4 15 25 minC = x , y ; maxC = x , y 20 20 4 2 x y (3 x )2 (2 y)2 Từ đó: x y x y d) Chú ý: 36 y 2x 4 1 3x y x y 9 4 2x y 5 x y minD = –7 7 D x y x , y ; 5 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 maxD = x , y SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax+b
Ngày đăng: 04/09/2016, 18:04
Xem thêm: BT đại số 10 CHƯƠNG IV bđt BPT , BT đại số 10 CHƯƠNG IV bđt BPT
