ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tia, góc hình học cung hình học: x B O  Tia hình gồm điểm O phần đường thẳng bò chia điểm O gọi tia gốc O A O  Hai điểm A, B nằm đường tròn tâm O tạo thành hai cung hình học: cung lớn AB cung nhỏ AB O x  Đơn vò đo cung "độ"  Hai tia Ox, Oy tạo thành góc xOy  Cung nửa đường tròn có số đo  Đơn vò đo góc "độ" 1800 y Giá trò lượng giác góc từ 00 đến 1800: Với góc  (00    1800) ta xác đònh điểm M nửa đường tròn đơn vò cho góc xOM và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi ta đònh nghóa:  sin góc  x0, kí hiệu sin = y0;  côsin góc  x0, kí hiệu cos = x0;  tang góc  y0 x0  côtang góc  y M y0  -1 x0 O x R=1 y0 ; x0 x cot = y0 (x0 ≠ 0), kí hiệu tan = x0 y0 (y0≠0), kí hiệu NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC I- KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC Đường tròn đònh hướng cung lượng giác: Đường tròn đònh hướng đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ làm chiều dương + A - Trên đường tròn đònh hướng cho hai điểm A B Một điểm M động đường tròn theo chiều (âm dương) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với hai điểm A, B cho đường tròn đònh hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung kí hiệu AB * Chú ý: Trên đường tròn đònh hướng, lấy hai điểm A B thì:  Kí hiệu AB cung hình học (cung lớn cung bé) hoàn toàn xác đònh  Kí hiệu AB cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Góc lượng giác: Trên đường tròn đònh hướng cho điểm M chuyển động từ C tới D tạo cung lượng giác CD Khi tia OM quay xung quanh gốc O từ vò trí OC tới vò trí OD tạo nên góc lượng giác, có tia đầu OC, tia cuối OD D O M C Kí hiệu góc lượng giác (OC, OD) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com Đường tròn lượng giác: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn đònh hướng tâm O bán kính R = y B(0; 1) + Đường tròn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A(1 ; 0), A’(-1 ; 0), B(0 ; 1), B’(0 ; -1) Ta lấy A(1 ; 0) làm điểm gốc đường tròn A(1; 0) A'(-1; 0) O x B'(0; -1) Đường tròn xác đònh gọi đường tròn lượng giác (gốc A) II- SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC Độ rian: a) Đơn vò rian: đơn vò độ thường sử dụng, Toán học Vật lý ta sử dụng đơn vò đo cung góc khác rian (đọc ra–đi-an) Viết tắc rad Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo rad b) Quan hệ độ rian: 10   180 rad và1 rad   180      Với   3,14 10  0,01745 rad  57 017'45" * Chú ý: Khi viết số đo góc (hay cung) theo đơn vò rian, ta thường không viết chữ rad sau số đo Chẳng hạn cung Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 300 450 600 Rian      hiểu cung rad 2 900  1200 2 1350 3 1500 5 1800  c) Độ dài cung tròn: Cung có số đo  rad đường tròn bán kính R có độ dài: l = R Số đo cung lượng giác: Số đo cung lượng giác AM (A ≠ M) số thực, âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđAM NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com * Chú ý: Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội 2 M  Ta viết: SđAM =  + 2k, k  Z , đó số đo O cung lượng giác tùy ý có điểm đầu A điểm cuối M A Khi M trùng A ta có: sđAA = k2, k  Z; k = sđAA =  Nếu viết số đo độ ta có: SđAM = a  k 360 , k  Z a0 số đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu A điểm cuối M Số đo góc lượng giác: Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng * Chú ý: Vì cung lượng giác ứng với góc lượng giác ngược lại, đồng thời số đo cung lượng giác góc lượng giác tương ứng trùng nhau, nên từ sau nói cung điều với góc ngược lại y y B P D O A x A' O A x E B' Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác: Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1 ; 0) làm điểm đầu cung, cần xác đònh điểm cuối M đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM =  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I- GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA CUNG  Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđAM =  y B M K  A' H A x O  Tung độ y = OK điểm M gọi sin  kí hiệu sin sin = OK  Hoành độ x = OH điểm M gọi côsin  kí hiệu cos cos = OH  Nếu cos ≠ tỉ số sin  cos  gọi tang  kí hiệu tan (hoặc tg) sin  cos  cos  gọi sin  tan = B'  Nếu sin ≠ tỉ số côtang  kí hiệu cot (hoặc cotg) cot = cos  sin  Các giá trò sin, cos, tan, cot gọi giá trò lượng giác cung  Trục tung gọi trục sin, trục hoành gọi trục côsin * Chú ý: Các đònh nghóa áp dụng cho góc lượng giác Nếu 01800 giá trò lượng giác góc  giá trò lượng giác góc nêu SGK hình học 10 Hệ quả:  sin cos xác đònh  R, sin( + k2) = sincos( + k2) = cos  Vì -1  OK  1, -1  OH  nên ta có: -  sin  (sin 1) -  cos  (cos  1)  Với mR mà -1m1 tồn   cho sin= m cos  = m   tan xác đònh    k ; cot xác đònh   k NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com  Dấu giá trò lượng giác góc  phụ thuộc vào vò trí điểm cuối cung AM y Phần tư Giá trò lượng giác sin cos tan cot B II I II III IV + + + + + - + + + - I + + + + +++++ A A' O  H -K M III IV B' x Giá trò lượng giác cung đặc biệt:  (00)  (300) sin cos tan cot kxđ 3  (450) 2 2  (600) 3  (900) 1 kxđ 1 II- Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG B K K  H A x O S B s' i M A' y t y A' s M O A  H x T T B' B' t' cot = BS tan = AT  cot biểu diễn độ dài  tan biểu diễn độ dài đại số đại số vectơ BS trục s'As vectơ AT trục t'At  Trục s'As gọi trục côtang  Trục t'At gọi trục tang * Chú ý:  tan( + k) = tank  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309    cot( + k) = cotk SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com III- QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC Công thức lượng giác bản:  sin2 + cos2 =   cot   sin    tan   (  k, k  Z) cos   (   k , k  Z)   tan.cot = (   k , k  Z) 2 Giá trò lượng giác cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: - : Ta có: M M' đối xứng qua trục x'Ox và: sin(-) = -sin cos(-) = cos tan(-) = -tan cot(-) = -cot y B M A' B' M K sđAM =  - A' A x  O B' y sđAM'= + B M sđAM =  A' H' + A x  O H M' B' d) Cung phụ (900 -  ): Ta có: M M' đối xứng qua đường phân giác y=x, và: - ) = cot B M' sin( + ) = -sin cos( + ) = -cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot - ) = sin sđAM'= - y sđAM'= - c) Cung  ( +  ): Ta có: M M' đối xứng qua gốc O, và: - ) = cos A x H M' sin( - ) = sin cos( - ) = -cos tan( - ) = -tan cot( - ) = -cot   cos(  tan(  cot(  - O b) Cung bù ( -  ): Ta có: M M' đối xứng qua trục y'Oy, và: sin( sđAM =  y B sđAM'= M' K'  - M K sđAM =  A' O A x  H' H B' - ) = tan NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com cos   x  OH sin   y  OK sin  tan    AT cos  cos  cot    BS sin  sin Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA, OM )   Giả sử M ( x; y ) tang LÝ THUYẾT & BÀI TẬP K        k    O   k  B T cotang S M  H A cosin Nhận xét:   ,   cos   1;   sin     tan xác định    k , k  Z  cot xác định   k , k  Z  sin(  k 2 )  sin   tan(  k )  tan  cos(  k 2 )  cos  cot(  k )  cot  Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00  300    2 3  3 2 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 –1 –1 sin 2 cos 2 2 tan 3 3 3 cot NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309   2  –1 3 –1  0 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com Hệ thức bản: sin2  cos2  ; tan cot  ;  tan2   cos2  ;  cot   sin2  Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù cos( )  cos  sin(   )  sin  sin( )   sin  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Góc  Góc phụ   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Góc  sin(   )   sin    sin      cos  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  VẤN ĐỀ 1: Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm nhọn cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu GTLG VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Ta sử dụng hệ thức liên quan giá trị lượng giác góc, để từ giá trị lượng giác biết suy giá trị lượng giác chưa biết I Cho biết GTLG, tính GTLG lại Cho biết sin, tính cos, tan, cot  Từ sin2   cos2    cos     sin2  – Nếu  thuộc góc phần tư I IV cos   sin2  – Nếu  thuộc góc phần tư II III cos     sin2   Tính tan   sin  cos  ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 cot   tan  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com Cho biết cos, tính sin, tan, cot  Từ sin2   cos2    sin     cos2  – Nếu  thuộc góc phần tư I II sin    cos2  – Nếu  thuộc góc phần tư III IV sin     cos2   Tính tan   sin  cos  ; tan  cot   tan  Cho biết tan, tính sin, cos, cot  Tính cot    Từ cos2    tan2   cos     tan  – Nếu  thuộc góc phần tư I IV cos   – Nếu  thuộc góc phần tư II III  Tính sin   tan  cos   Tính tan    Từ  tan2  cos     tan2  Cho biết cot, tính sin, cos, tan sin  cot    cot   sin    1  cot  – Nếu  thuộc góc phần tư I II sin   - Nếu  thuộc góc phần tư III IV  cot  sin     cot  II Cho biết giá trị lượng giác, tính giá trị biểu thức  Cách 1: Từ GTLG biết, tính GTLG có biểu thức, thay vào biểu thức  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG biết III Tính giá trị biểu thức lượng giác biết tổng – hiệu GTLG Ta thường sử dụng đẳng thức để biến đổi: A2  B2  ( A  B)2  AB A4  B4  ( A2  B2 )2  A2 B2 A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B2 ) A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B2 ) IV Tính giá trị biểu thức cách giải phương trình  Đặt t  sin2 x,  t   cos2 x  t Thế vào giả thiết, tìm t Biểu diễn biểu thức cần tính theo t thay giá trị t vào để tính  Thiết lập phương trình bậc hai: t2  St  P  với S  x  y; P  xy Từ tìm x, y VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác biểu thức cung liên kết Sử dụng cơng thức góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng hệ thức bản, cơng thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng đẳng thức Chú ý: Nếu biểu thức lượng giác góc A, B, C tam giác ABC thì: A B C  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A B C     2 2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- CÔNG THỨC CỘNG Với số thực a, b biểu thức có nghóa, ta có: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tan a  tan b  tan a tan b tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b tan( a  b)  II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI Với số thực a, ta có: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = cos2a - = - 2sin2a tan 2a  2tana  tan a  Công thức hạ bậc: cos a   cos 2a sin a   cos 2a tan a   cos 2a  cos 2a III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Công thức biến đổi tích thành tổng: sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 uv uv 2sin cos 2 uv uv sin 2 uv uv 2cos sin 2 cosu + cosv = 2cos cosu - cosv = -2sin sinu + sinv = sinu - sinu = NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ [...]...ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, cơng thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C  NGUYỄN VĂN LỰC... Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- CÔNG THỨC CỘNG Với mọi số thực a, b và các biểu thức đều có nghóa, ta có: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tan a  tan b 1  tan a tan b tan a  tan b tan( a  b)  1  tan a tan b tan( a  b)  II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI Với mọi số thực a,