Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÔNG THỨC Công thức tính diện tích hình phẳng y y xb (C1 ) : y  f ( x) xa (C1 ) : y  f ( x) (C ) : y  g ( x)  (H ) :   1 : x  a   : x  b (H ) x a O (C ) : y  g ( x) b (C ) : x  g ( y) yb b (H ) x O (C1 ) : x  f ( y) b S ya a (C1 ) : x  f ( y ) (C ) : x  g ( y )  (H ) :   : y  a   : y  b b f ( x) S g ( x) dx f ( y) g ( y ) dy a a Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay xb (C ) : y  f ( x) y xa O a y0 x b V     f ( x) dx b a NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 y yb (C ) : x  f ( y ) b x0 ya a x O V     f ( y ) dy b a SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y thẳng y x2 x đường x Bài giải ♥ Phương trình hoành độ giao điểm hai đường x2 x x2 2x 3x x x  ♥ Diện tích hình phẳng cần tìm x2 S 3x dx x 3x x3 3x 2 2x Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn , y  0, x    3x đường y  x 1 xung quanh trục hoành Bài giải ♥ Thể tích khối tròn xoay V  ♥ Đặt t   3x , Khi ta có  ta có x0 dx 1   3x t  2,  x 1 t 1 x  t2 nên dx   2t dt 2t 2 t 2  1  V  dt  dt     dt 2   (t  1)  t  (t  1)  (1  t ) 2 2   2      ln | t  1|      ln     6ln  1   t 1  6   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x  ,trục hoành, x = ln3 x = ln8 Diện tích S  ln8  e x  1dx ; Đặt t  e x   t  e x   e x  t  ln Khi x = ln3 t = ; Khi x = ln8 t = 3; Ta có 2tdt = e xdx  dx  2t dt t 1 2t 2 t 1    3 Do S   dt      dt   2t  ln   ln   (đvdt)  t 1 t 1 t 1  2  2 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  Đồ thị hàm số cắt trục hoành (-1; 0) Do S   1 x 1 1 x  2dx = Ta có S   (1  x  )dx  ( x  3ln x  )| 1 1 x 1 trục tọa độ x2 x 1 dx x2   3ln  3ln  Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  ( x  1) ln x đường thẳng y  x  +) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 + Diện tích cần tìm là: y x -8 -6 -4 -2 -5 x = x = e e e e 1 x2 S   ( x  1)(ln x  1) dx   ( x  1)(ln x  1)dx   (ln x  1)d (  x )  e x2 x 1   (  x )(ln x  1) |1e   (  1)dx     x  x  |1e 2 4   e  4e  (đvdt) Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x2 , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 y  x2 , trục hoành hai đường thẳng x= 0, x=2 Trên [0; 2] ta có x2   x   [0;2] Diện tích hình phẳng cho: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 S   x dx  x  3 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x2 , y  2 x  hai đường thẳng x =0, x=2 Đặt f1 ( x)  x , f ( x)  2 x   x  1 [0;2] Ta có: f1 ( x)  f ( x)   x  (2 x  3)   x  x      x  3  [0;2] Diện tích hình phẳng cho S   | x  x  | dx   ( x  x  3)dx   ( x  x  3)dx 1  x3   x3     x  3x     x  3x   0  1      1    3 3  Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x , y  x   x  1 Ta có: x  ( x  2)   x  x     x  Diện tích hình phẳng  x3 x  1 S   | x  x  | dx     2x         2   1 1 2 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây: y x 4x 3x y 2x Cho x 4x 3x 2x 1  Diện tích cần tìm là: S hay S (x 4x 5x 2)dx x3 4x x3 x4 5x 4x 5x 4x 3 5x 2 x x 2 dx 2x 1 12 (đvdt) 12 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C : y  x  3x  đường thẳng : y   x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình hoành độ giao điểm C   là:  x  3x   x   x  3x  x    x  1   x   x  Diện tích hình phẳng phải tìm: S   x 3  3x  4   x  1 dx  1  1    x  x  3x  x  dx 1  x 3  3x  x  dx    x  3x  x  dx  3x  x  3dx  1   x 3  3x  x  3dx 1  x4   x4  x2 x2 3    x   3x     x   3x  2   1  1     (đvdt) Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ( x  1).( x  x) với trục hoành Ta có x  ( x  1).( x  x)    x    x  Do diện tích cần tìm S   ( x  1).( x  x) dx   ( x  1).( x  x) dx   ( x  1).( x  x) dx 1   ( x  1).( x  x)dx   ( x  1).( x  x)dx 1 1   ( x  x)d ( x  x)   ( x  x)d ( x  x) 20 21 1    ( x  x)  ( x  x)    1  (0  1)   Câu 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn y   x , y  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ta có:  x2   x  1 b Áp dụng công thức: V    f ( x)dx a  2x x5  2 Ta có: V    (1  x ) dx    1  2x  x  dx    x     1  1 1 1      16    1      1              15     Câu 11 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị (C): y  x sin x , trục Ox, Oy đường thẳng x   Tính thể tích khối tròn xoay sinh cho (H) quay quanh Ox Thể tích khối tròn xoay cần tính    V=   ( x sin x) dx =  04 x.sin xdx   04 x   4 x +  xdx = +    2    cos x   dx    xdx   x cos xdx  2  32 x cos xdx Đặt phần u = x, dv = cos 2xdx Ta có du = dx, v = Từ đó, tính   x cos xdx = sin 2x   (  4  8)  Do đó, V = 64 Câu 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x =  quanh trục Ox Gọi V thể tích vật thể cần tìm:       (  1) dx   (tan x  1) 04   (1  ) cos x V    tan xdx Câu 13 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y  x3  ,y =0,x =0,x =1 quay xung quanh trục Ox Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y  x3  y=0: x3    x  1  0;1 Gọi V thể tích vật thể cần tìm:  x7   1  23   V    ( x  1) dx    ( x  x  1)dx   x  x       1   (đvtt )   14  0 0 1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ