GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1) Đạo hàm hàm số sơ cấp: Đạo hàm số sơ cấp (C)' = (x)' = x-1(  R, x > 0) ( x )'  (x > 0) x 1 ( )'   (x x x (cotx)' = x (log a x )' = (x    k , k  Z) (x  k, k  Z)  0) (tanu)' = (cotu)' = u'  (u   k , k  Z) 2 cos u u' - (u  k, k  Z) sin u (eu)' = u'.eu (au)' = u'.au (x ≠ 0) x ln a (u > 0) (sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (ex)' = ex (ax)' = ax.lna (ln x )'  u' u u' ( )'   (u u u  0) cos x - sin x (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) ( u )'  (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (tanx)' = Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (ln u )'  (x ≠ 0) u' (u u (log a u )' = ≠ 0) u' u ln a (u ≠ 0) 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh (a; b) có đạo hàm x  (a; b) dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:  tanx = sin x cos x  sin2a = 2sinacosa     tan x cos x sinasinb=- [cos(a cos x sin x  cos 2a  cos a     cot x sin x  cotx = + b)-cos(a - b)] NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  tanx.cotx = 1  cos 2a cosacosb= [cos(a+b)+cos(a-b)]  sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]  sin a  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 NGUN HÀM I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R Cho hàm số f(x) xác đònh K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F'(x) = f(x) với x  K * Chú ý: 1) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K F(x) + C, C  R họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu  f ( x )dx = F(x) + C 2) Trong kí hiệu  f ( x )dx "d " gắn với biến tương ứng hàm f Ví dụ:  s ds ,  cos tdt , 3) Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x)=F'(x)dx = f(x) Các tính chất nguyên hàm: Tính chất 1:  f ' ( x )dx  f ( x )  C Tính chất 2:  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k số khác 0) Tính chất 3:  [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx Sự tồn nguyên hàm: Đònh lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp:  0dx  C  dx  x  C   x dx  x 1  C(  1)  1  e dx  e x x  a dx  dx  x  ln x  C(x  0) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x C ax  C(0  a  1) ln a  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C dx  cos dx  sin x x  tgx  C   cot gx  C SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số: Đònh lí: Nếu  f (u)du  F(u)  C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục  f [u( x )]u' ( x )dx  F[u( x )]  C a Hệ quả: Nếu  f ( x )dx  F ( x )  C  f (ax  b)dx  F (ax  b)  C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Đònh lí: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K  u( x)v' ( x)dx  u( x).v( x)   u' ( x)v( x)dx * Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên  udv  uv   vdu Phương pháp: Tính  u ( x)v' ( x)dx Lấy vi phân: lấy đạo hàm nhân thêm d biến tương ứng vi phân hai vế Đặt u   du  dx dv  dx  v  Khi ta có  u ( x)v' ( x)dx = uv   vdu nguyên hàm hai vế LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x )dx phương pháp đổi biến số  Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: Khi đó: f(x) = g u( x ) u '( x ) ta đặt t  u( x )  dt  u '( x )dx  f ( x )dx =  g(t )dt ,  g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính  g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a2  x 2 a x Cách đổi biến   x  a sin t,  t 2 x  a cos t, 0t  x  a tan t, x  a cot t,   t  2 0t  VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau:  P( x ).e u dv x dx  P( x ).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).ln xdx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) P(x) x e dx VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức là:  F( x )  G( x )  A( x )  C1   F( x )  G( x )  B( x )  C2 (*) Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x )   A( x )  B( x )  C nguyên hàm f(x) VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x )  P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh) Chẳng hạn: A B   ( x  a)( x  b) x  a x  b ( x  m)(ax  bx  c) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  A Bx  C  , với   b2  4ac  x  m ax  bx  c SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 ( x  a) ( x  b)  A B C D    x  a ( x  a) x  b ( x  b)2 f(x) hàm vô tỉ   ax  b   cx  d   + f(x) = R  x, m  đặt tm ax  b cx  d    đặt t  x  a  x  b ( x  a )( x  b )   + f(x) = R   f(x) hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: + sin ( x  a)  ( x  b) 1 ,  sin( x  a).sin( x  b) sin(a  b) sin( x  a).sin( x  b)  sin(a  b)   sử dụng   sin(a  b)   + sin ( x  a)  ( x  b) 1 ,  cos( x  a).cos( x  b) sin(a  b) cos( x  a).cos( x  b)  sin(a  b)   sử dụng   sin(a  b)   + cos ( x  a)  ( x  b) 1 ,  sin( x  a).cos( x  b) cos(a  b) sin( x  a).cos( x  b)  cos(a  b)   sử dụng   cos(a  b)   + Nếu R( sin x , cos x )   R(sin x , cos x ) đặt t = cosx + Nếu R(sin x ,  cos x )   R(sin x , cos x ) đặt t = sinx + Nếu R( sin x,  cos x )   R(sin x, cos x ) đặt t = tanx (hoặc t = cotx) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 TÍCH PHÂN I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: Diện tích hình thang cong: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong y Với hình phẳng D giới hạn đường cong kín ta B y = f(x) chia nhỏ thành hình thang A cong cách kẻ đường song song với trục tọa độ x O a b Diện tích hình thang cong aABb: S=F(b)-F(a), F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x) Đònh nghóa tích phân: Cho y = f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác đònh đoạn [a; b]) hàm số f(x), kí hiệu b  f ( x)dx a b Dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số F(b) - F(a), ta có: b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) (NewTon - Lebniz) a a * Chú ý: i) Ta quy ước  f ( x)dx  (a = b), a b  a a f ( x)dx    f ( x)dx (a > b) b ii) Tích phân hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, phụ thuộc vào hàm số cận a, b nên ta kí hiệu NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b b a a  f ( x)dx  f (t)dt SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 iii) Ý nghóa hình học tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b], tích phân b  f ( x)dx diện tích S hình thang cong a b giới hạn đồ thò hàm số f(x), trục Ox hai đường thẳng x=a, x=b Vậy S=  f ( x )dx a II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: b b a a * Tính chất 1:  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k số) b b b a a a * Tính chất 2:   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx * Tính chất 3: b  c b a c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a (a < c < b) III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số: Đònh lí: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn a; b Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm liên tục đoạn  ;   cho  (  )  a, ()=b a   (t )  b , t   ;   ta b  a  có:  f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt b a) Đổi biến số dạng 1: Tính I =  f ( x)dx cách đặt x =  (t ) a b b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =  f ( x)dx cách đặt t = (x) a Đặt t = (x)  dt = '(x)dx Đổi cận: x = a  t1 = (a) x = b  t2 = (b) Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C số) b t2 t2 a t1 t1 Khi ta có: I =  f ( x )dx   C f [ ( x )]. ' ( x )dx   C f (t)dt Phương pháp tính tích phân phần: Đònh lí: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a; b : b b  u( x)v' ( x)dx  (u( x)v( x)) a   u' ( x)v( x)dx b a a NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b b  udv  uv a   vdu b hay a a SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 vi phân hai vế b * Chú ý: Tính I =  u ( x)v' ( x)dx Đặt u   du  dx a dv  dx  v  b b , đó: I = (uv)   vdu a a nguyên hàm hai vế VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: b  f ( x )dx  F(b)  F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x )  f u( x ) u '( x ) b u(b ) a u(a )  g( x )dx   f (u)du  Dạng 2: Giả sử ta cần tính  f ( x )dx  Đặt x = x(t) (t  K) a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)  b b  a a  f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt  g(t)  f  x(t).x '(t) Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a2  x a2  x x  a2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 hoặc Cách đổi biến   x  a sin t,  t 2 x  a cos t, 0t    x  a tan t,  t 2 x  a cot t, 0t     a x , t    ;  \ 0 sin t  2   a x , t   0;   \   cos t 2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b b b b a a a a x  P( x ).e dx u dv  P( x ).cos xdx P(x)  P( x ).sin xdx P(x) cos xdx e x dx  P( x ).l n xdx P(x) sin xdx lnx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trò tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ  Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số lẻ [-a; a] a  f ( x )dx  a  Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn a  a [-a; a] a f ( x )dx   f ( x )dx Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: a a a a Bước 1: Phân tích I   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 a    J   f ( x )dx; K   f ( x )dx    a   SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bước 2: Tính tích phân J   f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a – Nếu f(x) hàm số lẻ J = –K  I = J + K = – Nếu f(x) hàm số chẵn J = K  I = J + K = 2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì:   f ( x) (với   R+ a > 0)  x dx   f ( x )dx  a  Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự I   f (x) f (x)  J   dx; K   dx  x x   a  a      f (x) f (x) dx  dx   x  x  x dx  a   a  a 1  f (x) Để tính J ta đặt: t = –x    Dạng Nếu f(x) liên tục  0;   2   f (sin x )dx   f (cos x )dx  Để chứng minh tính chất ta đặt: t   x Dạng Nếu f(x) liên tục f (a  b  x )  f ( x ) f (a  b  x )   f ( x ) đặt: t=a+b–x Đặc biệt, a + b =  đặt t=–x a + b = 2 đặt t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)  g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức là:  F( x )  G( x )  A( x )  C1   F( x )  G( x )  B( x )  C2 (*) Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x )   A( x )  B( x )  C nguyên hàm f(x) VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n   f ( x, n)dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n a Ta thường gặp số yêu cầu sau:  Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn In theo In-k (1  k  n)  Chứng minh công thức truy hồi cho trước  Tính giá trò I n cụ thể NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Hình phẳng giới hạn giới hạn đường cong trục hoành: y Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thò hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo công thức: b S   f ( x ) dx x a a O b Hình phẳng giới hạn hai đường cong: y Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thò hai hàm số đường thẳng x = a, x = b Khi diện O tích hình phẳng D là: y  f1 ( x) y  f2 ( x ) a b x b S   f1 ( x )  f2 ( x ) dx a * Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f1(x) = f2(x) có hai nghiệm x1 x1, x2  (a; b) với (x1 < x2) x1  f ( x)  f ( x) dx   [ f ( x)  f ( x)]dx Khi đó: a a b x1 x2 b a a x1 x2 S   f1 ( x )  f2 ( x ) dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx II- TÍNH THỂ TÍCH: Thể tích vật thể: Cắt vật thể (T) hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc trục Ox x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox x  [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi thể tích vật thể (T) là: b V =  S( x )dx a NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B, B' có chiều cao h Khi thể tích khối chóp cụt V = h ( B  BB '  B' ) III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: Hình thang cong giới hạn đồ thò hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay là: b V    [ f ( x )]2 dx a LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b là: (1) S   f ( x ) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] b – Hai đường thẳng x = a, x = b là: S   f ( x )  g( x ) dx (2) a Chú ý:  Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b  f ( x ) dx  a b  f ( x )dx a  Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b  a c d b a c d f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx c d b a c d =  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 – Hai đường thẳng x = c, x = d d S   g( y )  h( y ) dy c VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bò cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b Thể tích B là: V   S( x )dx a  Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox: b V    f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là: d V    g2 ( y )dy c NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ