Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  1) x  (m  1) x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x  2(m  1) x  y' (m  1) x  2(m  1) x   ♣ Hàm số có hai điểm cực trị y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m (m 1)2 m m m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3(m2 1) 2m 2m 1 m m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  x.(2mx  m2  9) y' x 0 2mx m2 (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị y' m có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m2 9) m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 m m m 3 m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1)x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x   m  m   x  (3m  1) x  m  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x   m2  m   x  3m2  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x x , y ' x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m không thỏa ♣ Với m , ta có: y ' x 16 x 28 , y ' x 14 x Bảng biến thiên 14 x y' y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  3x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Đáp số: m 15 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x  (2m  1)x  (2  m)x  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x  2(2m  1) x   m y' 3x  2(2m  1) x   m  0 ♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương ' y' có hai nghiệm dương phân biệt P S 4m 2 m 2m m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m m m m 5 m (2m 1) 3(2 m) m 2(2m 1) 2  3 Ví dụ Cho hàm số y  x  mx  2(3m  1) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 2( x1 x2 ) Bài giải ♦ Tập xác định: D  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Đạo hàm: y '  x  2mx  2(3m  1) y' 2 x  2mx  2(3m  1)  0 (1) ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' 13m2 4(3m 1) 13 13 m 13 13 m (*) x1 Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: Do đó: x1 x2 2( x1 x2 ) 1 3m 2m 3m ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m 2m x2 x1 x2 m m m 3m2 (**)  3 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  mx  2(m  1) x  3(m  2) y' mx  2(m  1) x  3(m  2)  0 ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 m y' 2m có hai nghiệm phân biệt m ' (1) 4m 0 m (*) Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: x1 x1 x2 x2 2(m 1) m 3(m 2) m Theo đề : x1 x2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (2) (3) (4) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3m m (5) Thay (5) (3) ta được: m m x1 Từ (2) (4) suy x2 3m m m m 3(m 2) m 6m 16m m m ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m (**) m  Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  (1), với m tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C cho tam giác ABC cân A Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x  3m y' 3x  3m  (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C y' m Khi y ' có hai nghiệm phân biệt x ♣ Với x m ♣ Với x y m y m3 m3 Tọa độ điểm cực trị B C B ♦ Tam giác ABC cân A 2 m 2 m AB m AB AC 2 m có hai nghiệm phân biệt (*) m m ; m3 2 m ; m3 ,C AC 2 ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m m m m m (**)  Ví dụ Cho hàm số y  x  2mx  2m  m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông Bài giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x3  4mx  x( x  m) y' x   x  m (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C y' có ba nghiệm phân biệt m (*) Khi y ' có ba nghiệm phân biệt x , x ♣ Với x ♣ Với x y m 2m m4 m4 y m m2 2m Tọa độ điểm cực trị A, B, C A 0; 2m Suy ra: AB m4 ; B m ; m ; AC ♦ Tam giác ABC vuông m ; m4 m2 2m ; C m ; m4 m2 2m m ; m2 Tam giác ABC vuông A AB AC m m4 m m (**) ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm cực trị của hàm số y  x3  x  x  Cách * Tập xác định:R  x  1 x  Ta có: y '  x  x  2; y '    * Bảng biến thiên: x  –1  y’ y + – + Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ  y  1  19 Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT  y    4 Cách * Tập xác định:  x  1 x   Ta có: y '  x  x  2; y '    * y ''  x  1, y ''  1  3  nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 giá trị cực đại yCĐ  y  1  19 * y ''     nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu Câu Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  * Tập xác định: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x  y '  3x  x, y '    x  Bảng xét dấu đạo hàm x y  +  - + Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có Hàm sớ đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x  và giá tri ̣ cực đa ̣i y  ; đa ̣t cực tiể u ta ̣i x  và giá tri ̣ cực tiể u y  Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số M  0;  , điểm cực tiểu đồ thị hàm số N  2;  Câu Tìm điểm cực trị hàm số y  x  x  TXĐ: D  y '  x -8x  x ( x -1) x  D x  y'     x  1 Bảng xét dấu y’: x - + y’ + -1 0 + - Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = ycd  y (0)  1 Hàm số đạt cực tiểu x = ± yct  y ( 1)  3 Câu Cho hàm số y  x3  3mx   m2  1 x  2, m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số cho đạt cực tiểu x 2 Ta có: y '  3x  6mx  m  1; y ''  x  6m  y '(2)   y ''(2)  Hàm số cho đạt cực tiểu x    m2  12m  11   m 1  12  6m  Vậy với m = thỏa mãn yêu cầu toán NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m  m 2 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Ta có y  3x  6mx  3(m2  1) Hàm số (1) có cực trị PT y  có nghiệm phân biệt  x2  2mx  m2   có nhiệm phân biệt     0, m Khi đó, điểm cực đại A(m  1;2  2m) điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)  m  3  2 Ta có OA  2OB  m2  6m      m  3  2 Câu Tìm m để hàm số y m x m x đạt cực tiểu điểm x = y '  m  x  1  m  Điều kiện cần y ' 1   m  Thử lại m = : y '   x  1 đổi dấu từ âm sang dương qua x = Vậy nhận m = Câu Cho hàm số y  x  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x2  Ta có: y'  3x  6(m  1) x  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2  Phương trình y '  có hai nghiệm pb x1 , x2  Pt x  2(m  1) x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x   '  (m  1)    m  1   (1)  m  1  Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  x1  x2    x1  x2   x1 x2    m  1  12  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  (m  1)   m  3  m  (2)  m  3  Từ (1) (2) ta được:  m  TMYCBT Câu Cho hàm số: y  x3  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x2   Ta có y '  3x2  6(m  1) x   Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2  PT y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x  2(m  1) x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '  (m  1)    m  1   m  1  (1) Theo đề ta có: x1  x2    x1  x2   x1x2  (*) Theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  (*)   m  1  12   (m  1)2   3  m  (2) Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm là: 3  m  1  1   m  Câu Cho hàm số: y  x4  2(m2  1) x2  (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn y’ = 4x3 – 4(m2+1)x x  y’ =    x   m   hàm số (1) ln có điểm cực trị với m xCT   m2   giá trị cực tiểu yCT  (m2  1)2  Vì (m  1)   yCT  max( yCT )   m2    m  Câu 10 Cho hàm số y   x3  3mx  cực trị A, B cho tam giác OAB (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm vng O ( với O gốc tọa độ ) y '  3x  3m  3  x  m  y '   x  m   * Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị  PT (*) có nghiệm phân biệt  m  ** NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi điểm cực trị A   m ;1  2m m  , B  m ;1  2m m  Tam giác OAB vuông O  OA.OB   4m3  m    m  ( TM (**) ) Vậy m  Câu 11 Cho hàm số f ( x)  x4  2(m  2) x2  m2  5m  (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Hàm số có CĐ, CT m < Toạ độ điểm cực trị là: A(0; m  5m  5), B(  m ;1  m), C (  m ;1  m) Tam giác ABC cân A  ABC vuông A m = Câu 12 Cho hàm số y 2x 3x 1 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d : y với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm 2x M thuộc d với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M Xét phương trình hồnh độ giao điểm d : y  x  đồ thị (C) là: x  x   x   x  x  x  (*) Giải phương trình (*) ta ba nghiệm phân biệt x1  0, x  2, x       Vậy d cắt (C) ba điểm phân biệt A(0;1), B(2;5),C   ;  M  d : y  2x   M (t;2t  1) , tọa độ điểm cực trị (C) D(0;1),T (1; 0) M với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M  DM TM  0(**) , mặt khác ta có DM  (t;2t ),TM  (t  1;2t  1)  (**)  5t  t   t  t   M (0;1)  D (loại);  3 t    M  ;   5 t   Câu 13 Cho hàm số y  x4  2m2 x2  Cm  (1) Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân x  Ta có: y '  x3  4m x  x  x  m     2 x  m  m  (*) Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m  Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác 4 vng cân, đỉnh A Do tính chất hàm số trùng phương, tam giác ABC tam giác cân rồi, để thỏa mãn điều kiện tam giác vng, AB vng góc với AC  AB   m; m4  ; AC   m; m  ; BC   2m;0  Tam giác ABC vuông khi: BC  AB  AC  4m2  m2  m8   m2  m8   2m2  m4  1  0;  m4   m  1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 14 Cho hàm số y  x4  2m2 x2  (1).Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 (đơn vị diện tích) x  +) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ =   2 x  m ; ĐK có điểm cực trị: m  +) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; – m4), C(m ; – m4) ; +) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I BC I(0 ; – m4) +) S ABC  AI BC  m4 m  m  32  m  2 (tm) Câu 15 Cho hàm số y  x4  2mx  m  (1), với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp x  y '  x3  4mx  x  x  m     x  m Hàm số cho có ba điểm cực trị  pt y '  có ba nghiệm phân biệt y ' đổi dấu x qua nghiệm  m   Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:    A  0; m  1 , B  m ; m  m  , C  m ; m  m  1 yB  y A xC  xB  m2 m ; AB  AC  m4  m , BC  m m  m4  m m AB AC.BC R 1   m  2m     m   4S ABC 4m m   S ABC    Câu 16 Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;1) có hệ số góc Tìm điểm M thuộc đường thẳng d tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ + d: y=3x-2 + Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm (0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d Từ đây, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng + Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2  x   y  3x   + Tọa độ điểm M nghiệm hệ:   y   x   y   Câu 17 Cho hàm số y  x  x  x  (1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1  vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1  vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Đuờng thẳng qua c ực trị A(1;2) B(3;-2) y=-2x+4 Ta có pt đt vng góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½ Vậy PT đ ờng thẳng cần tìm y  x  Câu 18 Cho hàm số y  x3  3mx  4m2  (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho điểm I (1; 0) trung điểm đoạn AB Ta có y '  3x  6mx x  y '   3x  6mx     x  2m Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị y '  có hai nghiệm phân biệt Tọa độ điểm cực trị A(0; 4m2  2), B(2m; 4m3  4m  2)  m0 m  Điểm I (1; 0) trung điểm đoạn AB  2m  4m   Giải hệ, ta m  Vậy m 1 giá trị cần tìm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 19 Cho hàm số y   x  (2m  1) x  (m  3m  2) x  (m tham số) có đồ thị 2 (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung y  3x  2(2m  1) x  (m2  3m  2) (Cm) có điểm CĐ CT nằm hai phía trục tung  PT y  có nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)    m  Câu 20 Cho hàm số y  x3  3mx2  4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x x  Ta có: y’ = 3x2  6mx =    x  2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m  Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vng góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y = x   2m  4m     2m  m Giải hệ phương trình ta m   Kết hợp với điều kiện ta có: m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ;m=0 2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ