Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Biên soạn: CAO VĂN TUẤN SĐT: 0975306275 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A KIẾN THỨC CẦN NHỚ VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Để xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  , ta tiến hành theo bước sau:  Bước 1: Tìm TXĐ hàm số  Bước 2: Tính đạo hàm y ' hàm số  Bước 3: Tìm điểm tới hạn hàm số, tức là: - Tìm x  TXĐ để y  - Tìm x cho hàm số y  f  x  khơng xác định  Bước 4: Tính giới hạn  Bước 5: Lập bảng biến thiên (hoặc bảng xét dấu y  ) Dựa vào bảng biến thiên suy kết luận SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ Bài tốn 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu - Hàm số f đồng biến khoảng  a, b   f   x   với x   a, b  dấu xảy số hữu hạn điểm - Hàm số f nghịch biến khoảng  a, b   f   x   với x   a, b  dấu xảy số hữu hạn điểm Chú ý: Trong tốn cịn sử dụng: Hệ “định lí dấu tam thức bậc hai” Cho tam thức bậc hai: ax2  bx  c  với a     f  x   với x    a   - f  x   với x     a  Bài tốn 2: Tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu (a ; b) (trong a b hữa hạn) Bước 1: Đặt điều kiện: Hàm số y  f  x  có tập xác định D  Hàm số f đồng biến khoảng  a, b   f   x   với x   a, b  dấu xảy số hữu hạn điểm  Hàm số f nghịch biến khoảng  a, b   f   x   với x   a, b  dấu xảy số hữu hạn điểm https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Lưu ý: Trong nội dung chương trình điều kiện dấu xảy số hữu hạn điểm ln nên chất tốn chủ yếu xử lí điều kiện “ f   x   với x   a, b  ” “ f '  x   với x   a, b  ” - - - Bước 2: Biến đổi bất phương trình f   x   (hoặc f   x   ) bất phương trình mà vế chứa ẩn (giả sử vế trái) vế chứa tham số (giả sử vế phải) (nói ngắn gọn “cơ lập tham số”) Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số vế trái (vế chứa ẩn) với điều kiện ẩn xét Lưu ý: Tính hết tất đầu cuối mũi tên cách tính trực tiếp hay thông qua giới hạn Bước 4: Sử dụng định lí sau để suy yêu cầu toán: Cho hàm số y  f  x  liên tục miền D đạt GTLN, GTNN tương ứng max f  x  , f  x  xD  f  x   g  m  với x  D  f  x   g  m   f  x   g  m  với x  D  max f  x   g  m  xD xD xD Chú ý: Ngoài việc sử dụng cách làm số ta phải sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai (khi khơng lập tham số) Bài toán 3: Xác định giá trị tham số để hàm số y  f  x  đơn điệu khoảng có độ dài K cho trƣớc Loại toán thường xảy hàm số bậc ba: y  ax3  bx  cx  d 1 Ta có: y '  3ax2  2bx  c - Hàm số 1 đồng biến khoảng  x1 ; x2  có độ dài K  y '  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 y '  khoảng  x1 ; x2  (hoặc y '  đoạn a  a        x1; x2  ) x2  x1  K    x x K  2   x1  x2   x1 x2  K - Hàm số 1 nghịch biến khoảng  x1 ; x2  có độ dài K  y '  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 y '  khoảng  x1 ; x2  (hoặc y '  đoạn a  a        x1; x2  ) x2  x1  K    x x K  2   x1  x2   x1 x2  K SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cách (thường dùng cho BĐT biến):  Bước 1: Biến đổi BĐT cho dạng f  x   ,   0,  với x  D  Bước 2: Lập bảng biến thiên f  x  với x  D Từ suy điều phải chứng minh Cách 2: (thường dùng cho BĐT biến):  Bước 1: Biến đổi BĐT cho dạng f  a   f  b   Bước 2: Nếu a  b ta chứng minh hàm số đồng biến  a; b Nếu a  b ta chứng minh hàm số nghịch biến  a; b https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Chú ý 1: Khi ta chứng minh BĐT có dạng f  x   k với x   a; b :  Nếu k  f  a  ta chứng minh hàm f đồng biến  a; b   Nếu k  f  b  ta chứng minh hàm f nghịch biến  a; b  Chú ý 2: Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi là:  Đồng biến K với x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2   Nghịch biến K với x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cách (Sử dụng quy tắc 1):  Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tìm điểm tới hạn (tìm nghiệm phương trình f   x   điểm x0  D mà hàm f liên tục f   x0  không tồn  Bước 3: Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy kết luận Cách (Sử dụng quy tắc – thường dùng hàm lượng giác): Sử dụng kết sau:  f   x0    Nếu  hàm số f  x  đạt cực đại x0  f   x0    f   x0    Nếu  hàm số f  x  đạt cực tiểu x0  f   x0   Chú ý:  Hàm số f  x  phải liên tục x0 đạt cực trị x0  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm  f   x0   Trong cách  quay trở lại làm theo cách không tùy tiện kết luận có  f   x0   hay khơng có cực trị Do đó, trước định làm theo cách học sinh nên thử xem có xảy f   x0   hay không? https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI x0 Cao Văn Tuấn – 0975306275 Bài tốn: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x0 :  Bước 1: Điều kiện cần Giả sử hàm số đạt cực trị x0  f   x0    * Giải phương trình * tìm giá trị tham số m  Bước 2: Điều kiện đủ Với giá trị tham số m vừa tìm bước thử lại xem x0 có điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu toán không?  Bước 3: Kết luận Chú ý: Không dùng trực tiếp kết sau để giải toán mà dùng để thử lại (tức dùng bước 2)   f   x0    Hàm số f đạt cực đại điểm x0    f x        f   x0    Hàm số f đạt cực tiểu điểm x0     f   x0   Ví dụ: Hàm số y  x đạt cực tiểu x  f     f     Từ ý ví dụ trên, ta nhân thấy rằng:  Chúng ta sử dụng kết chứng minh f   x0    Ngồi việc khơng dùng kết để giải ta cịn khơng dùng quy tắc để thử lại bước trường hợp f   x0   TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC Loại 1: Cực trị hàm đa thức bậc ba: y  ax3  bx  cx  d  a  0 Đạo hàm: y  3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  A  a   Hàm số đa thức bậc ba xảy trường hợp khơng có cực trị có hai cực trị  Hàm số có cực trị (hay có cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y  có hai nghiệm phân biệt y  đổi dấu qua nghiệm  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt A  a    y '  (nếu hệ số A có tham số ĐK  )  y '  B 2b  x  x      A 3a Khi x1 , x2 nghiệm phương trình y    C c  x x    A 3a  Hàm số khơng có cực trị  y khơng đổi dấu với x   y  b2  3ac  2 Bài tốn 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trƣớc  Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn hệ thức cho trước  Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  Bước 2: Phân tích hệ thức đề cho để áp dụng định lí Vi – ét  Tìm điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu  Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt trái dấu  A.C  3ac  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”  Hàm số có hai cực trị dấu dương Cao Văn Tuấn – 0975306275   y   B   phương trình y '  có hai nghiệm dương phân biệt  S  x1  x2    A  C  P  x1.x2  A   Hàm số có hai cực trị dấu âm   y '   B   phương trình y '  có hai nghiệm dương phân biệt  S  x1  x2    A  C  P  x1.x2  A   Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2   x1    x2   x1  x2  Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị x1 , x2 B  S  x1  x2   A Khi đó, áp dụng định lí Vi – ét ta có:   P  x x  C  A  Bước 2: Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1    x2   x1    x2      x1.x2    x1  x2     Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn:  x1.x2    x1  x2       x1    x2      x1  x2         x1  x2  2  x1  x2  2 Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn:  x x    x1  x2       x1    x2      x2  x1         x1  x2  2  x1  x2  2 Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía với trục tọa độ  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị dấu  y '   phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt dấu   P  x1  x2   Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y '  có hai nghiệm trái dấu  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt ycđ yct  (hoặc đồ thị cắt trục Ox điểm) Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y '  có hai  ycđ  yct  nghiệm phân biệt   ycđ yct  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt ycđ yct  (hoặc đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt)  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y '  có hai  ycđ  yct  nghiệm phân biệt   ycđ yct  Bài tốn 3: Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm cực trị ứng dụng Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d  Bước 1: Tìm TXĐ  Bước 2: Tính y '  Bước (Tìm điều kiện để đồ hàm số có điểm cực đại, cực tiểu): Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu  Hàm số có cực đại, cực tiểu a   Phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt      y '  x1    Bước 4: Khi đó, hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2    y '  x2    Bước 5: Thực phép chia y cho y ' (làm nháp khơng trình bày vào giải)   y  x1   y '  x1  g  x1   h  x1   h  x1  Ta có: y  y '.g  x   h  x  Suy ra:    y  x2   y '  x2  g  x2   h  x2   h  x2  Hay điểm cực đại, cực tiểu  x1 , y  x1    x2 , y  x2   thuộc đường thẳng y  h  x  Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số là: y  h  x  Bài tốn 4: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị thỏa mãn tính chất hình học Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x  m (m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị  Cm  có hai điểm cực đại, cực tiểu A, B cho AOB  1200 Ví dụ [ĐH, khối B – 2012]: Cho hàm số y  x3  3mx2  3m3 1 với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Ví dụ 3: Cho hàm số y  x3  3x2  mx  1 Xác định m để hàm số 1 có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số 1 tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Loại 2: Cực trị hàm đa thức bậc bốn trùng phƣơng: y  ax  bx  c  a  0 Bài tốn 1: Tìm điều kiện số cực trị hàm số Hàm số có cực trị  y ' đổi dấu lần b  phương trình y '  có nghiệm   0 2a Hàm số có ba cực trị  y ' đổi dấu lần  phương trình y '  có ba nghiệm phân biệt   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan b 0 2a Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Bài toán 2: Các tốn liên quan đến tính chất cực trị hàm số y  ax  bx  c  a   Trường hợp mà hàm số có ba cực trị b   * 2a  x   x   b  Với điều kiện * ta có: y '     x   b x   2a  2a   b x    2a   Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị:      b b Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị: A  0; yA  ; B   ; yB  ; C    ; yC  2a 2a     Vì hàm số cho: y  ax  bx  c hàm chẵn nên với xB   xC yB  yC Do đó, hai điểm B, C đối xứng với qua Oy Mà A  Ox nên tam giác ABC tam giác cân A Một số trƣờng hợp hay gặp giải tốn Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân (hoặc vng)  Vì tam giác ABC ln cân A nên tam giác ABC vng cân A Do đó, tam giác ABC vuông cân   ABC vuông cân A  AB.AC  1     b b  Ta có: AB    ; yB  yA  AC     ; yC  yA  2a 2a     b  b  Khi đó: 1         yB  yA  yC  yA   2a  2a  b    yB  yA  yB  yA   (vì yB  yC ) 2a b    yB  yA    m  2a Với m tìm đối chiếu với điều kiện * để suy giá trị m cần tìm Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác  Vì tam giác ABC ln cân A nên tam giác ABC  AB  BC  AB2  BC2      b b   Ta có: AB    ; yB  yA  BC   2  ;0  2a 2a     2   b  b  2 Khi đó:         yB  yA    2    2a  2a    https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 b 4b b 2b 2     yB  yA        yB  yA     m  2a 2a 2a a Với m tìm đối chiếu với điều kiện * để suy giá trị m cần tìm Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200  Vì tam giác ABC ln cân A nên tam giác ABC có góc 1200  BAC  1200  Gọi H trung điểm BC  H  0; yB  HAB  300 AH AH  cos 600   AB  2AH  AB2  4AH AB AB  b  ; yB  yA  AH   0; yB  yA  2a   3 Ta có: cos HAB   Với AB    2   b  b  2 Do đó:  3       yB  yA    yB  yA        yB  yA   m  2a  2a    Với m tìm đối chiếu với điều kiện * để suy giá trị m cần tìm  Gọi H trung điểm BC  H  0; yB  HAB  300 AH AH  cos 600   AB  2AH  AB2  4AH AB AB  b  ; yB  yA  AH   0; yB  yA  2a   3 Ta có: cos HAB   Với AB    2   b  b  2 Do đó:  3       yB  yA    yB  yA        yB  yA   m  2a  2a    Với m tìm đối chiếu với điều kiện * để suy giá trị m cần tìm Loại 3: Cực trị hàm y  ax  bx  c mx  n  n \    m amx  2anx  bn  cm Ax  2Bx  C Đạo hàm: y   2  mx  n   mx  n   a, m   TXĐ: D  ( A  a, m  ) Phương trình y   g  x   Ax  2Bx  C  Điều kiện để tồn cực trị Hàm số có cực trị (hay hàm số có cực đại, cực tiểu)  phương trình y '  có nghiệm phân biệt  phương trình g  x   Ax  2Bx  C  có nghiệm phân biệt khác  n m  g     n g   m      Cơng thức tính nhanh cực trị Đường thẳng qua điểm cực trị  f '  x   u  x u  x0  u '  x0   Bổ đề: “Nếu f  x   có  f  x0   ” v  x v  x0  v '  x0  v  x   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Áp dụng: Cho hàm số y  Cao Văn Tuấn – 0975306275 ax  bx  c Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực mx  n tiểu đồ thị hàm số Giải:  Bước 1: Tìm TXĐ: D  Bước 2: Tính y ' , thiết lập phương trình y '    y '  x1    Bước 3: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2     y '  x2   2ax1  b   y  x1   m Áp dụng kết bổ đề trên, ta có:   y  x   2ax2  b  m 2ax  b Suy đường thẳng qua điểm cực trị  x1 , y  x1    x2 , y  x2   là: y  m VẤN ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP Để tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  D, ta làm sau:  Bước 1: Tính y  tìm điểm tới hạn hàm số thuộc D (tức tìm điểm x1 , x2 , , xn mà y  hàm số khơng có đạo hàm)  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy GTLN, GTNN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Nếu hàm số y  f  x  đồng biến nghịch biến  a, b thì: max f  x   max  f  a  , f  b   a ,b   a ,b  f  x    f  a  , f  b   a ,b   a ,b  Nếu hàm số y  f  x  liên tục  a, b có đạo hàm khoảng  a, b  ln có GTLN, GTNN đoạn  a, b để tìm GTLN, GTNN ta làm sau:  Bước 1: Hàm số y  f  x  xác định liên tục  a, b  Bước 2: Tính y  tìm điểm tới hạn hàm số thuộc  a, b  (tức tìm điểm x1 , x2 , , xn mà y  hàm số khơng có đạo hàm  Bước 3: Tính f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b  Khi đó: max f  x   max  f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b   a ,b  f  x    f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b   a ,b  TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHẢO SÁT GIÁN TIẾP Tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  D  Bước 1: Biến đổi hàm số cho dạng y  F  u  x    Bước 2: Đặt t  u  x  Khi đó, ta tìm t  E với x  D  Bước 3: Việc tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  D quy việc tìm GTLN, GTNN hàm số y  F  t  E https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 SỬ DỤNG ĐƠN ĐIỆU VÀ GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bài tốn 1: Tìm m để f(x;m) = có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D?  Bước 1: Tách m khỏi biến số x đưa dạng f  x   A  m   Bước 2: Khảo sát biến thiên hàm số f  x  D  Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x   Bước 4: Kết luận giá trị A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D Chú ý: - Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn giá trị nhỏ D phương trình f  x   A  m   f  x   A  m   max f  x  xD - xD Nếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  k điểm phân biệt Bài tốn 2: Tìm m để bất phương trình F(x;m)  F(x;m)  có nghiệm miền D?  Bước 1: Tách tham số m khỏi biến số x đưa dạng A  m   f  x  A  m   f  x   Bước 2: Khảo sát biến thiên hàm số f  x  D  Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số nghiệm: o A  m   f  x  có nghiệm D  A  m   max f  x  m để bất phương trình có xD o A  m   f  x  có nghiệm D  A  m   f  x  xD Chú ý: - Bất phương trình A  m   f  x  nghiệm x  D  A  m   f  x  xD - Bất phương trình A  m   f  x  nghiệm x  D  A  m   max f  x  - Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến xác, khơng làm thay đổi kết toán đổi miền giá trị nó, dẫn đến kết sai lầm hiển nhiên xD VẤN ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MỘT SỐ SAI LẦM HAY MẮC PHẢI  Quên ghi tập xác định  Tính sai đạo hàm; giải sai phương trình đạo hàm; kết luận sai tính đồng biến nghịch biến  Vẽ đồ thị bút chì CÁC BƢỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f  x  TXĐ  D=  D= (đối với hàm bậc ba, trùng phương) \  x0  (đối với hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất) https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 10 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Sự biến thiên hàm số a) Giới hạn hàm số vô cực: Đối với hàm bậc ba, trùng phương Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: Đối với hàm phân thức bậc nhất/bậc b) Bảng biến thiên  Tính y   Xét phương trình y  : Đối với hàm bậc ba, trùng phương ax  b Riêng hàm phân thức bậc nhất/bậc y  thường đánh giá y  cx  d y   Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy kết luận tính đơn điệu cực trị (đối với hàm bậc ba, trùng phương) Đồ thị a) Điểm uốn: Đối với hàm bậc ba, trùng phương b) Giao với trục tọa độ (ta làm bước tọa độ giao điểm đẹp) Lấy thêm điểm cần c) Kết luận  Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d nhận điểm uốn làm tâm đối xứng  Đồ thị hàm số trùng phương y  ax  bx  c nhận trục tung làm đối xứng ax  b  Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc y  nhận giao điểm I đường cx  d tiệm cận làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm bậc ba: y  ax3  bx  cx  d y  3ax2  2bx  c a0 a0 y y  có nghiệm phân biệt    b – 3ac  y I x I x y  có nghiệm kép    b2 – 3ac  y y  vô nghiệm    b2 – 3ac  y I https://www.facebook.com/ThayCaoTuan I x x 11 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Các dạng đồ thị hàm trùng phƣơng: y  ax  bx  c y  4ax3  2bx  x  2ax  b  a0 a0 y  có nghiệm phân biệt  ab  y  có nghiệm phân biệt  ab  Các dạng đồ thị hàm: y  y  ax  b cx  d ad  bc  cx  d  y y x ad – bc > 0 x ad – bc < VẤN ĐỀ 5: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị  C  hàm số điểm M  x0 , f  x0   Khi đó, phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 , f  x0   là: y  f   x0  x  x0   f  x0  Nguyên tắc chung để lập phương trình tiếp tuyến ta phải tìm hồnh độ tiếp điểm x0 VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM (TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  f  x  điểm M  x0 , f  x0   là: y  f   x0  x  x0   f  x0  Chú ý: - Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm) x0 tìm y0  f  x0  - Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm) y0 tìm x0 cách giải phương trình f  x0   y0 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 12 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 TIẾP TUYẾN KHI BIẾT PHƢƠNG Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  với hệ số góc k cho trước - Bước 1: Gọi M  x0 ; f  x0   tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị  C  - Bước 2: Theo ý nghĩa hình học đạo hàm, ta có hệ số góc tiếp tuyến k  f   x0  - Bước 3: Giải phương trình k  f   x0  suy nghiệm x0  f  x0   Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần lập có phương trình là: y  f   x0  x  x0   f  x0  Chú ý 1: Hệ số góc k cho dạng số trường hợp sau: - Tiếp tuyến  C  M  x0 ; f  x0   vng góc với đường thẳng  d  : y  ax  b  a    f   x0  a  1 - Tiếp tuyến  C  M  x0 ; f  x0   song song với đường thẳng  d  : y  ax  b  a    f   x0   a Sau lập phương trình tiếp tuyến nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng với đường thẳng  d  hay khơng? Nếu trùng phải loại kết - Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc   hệ số góc tiếp tuyến k  f   x0   tan  Tiếp tuyến tạo với trục Ox góc   hệ số góc tiếp tuyến k  f   x0   tan  Chú ý 2: Cho hai đường thẳng  d  : y  ax  b  d ' : y  ax  b   Ta có: cos  d , d    cos n d  , n d   n d  n d  n d  n d   a   có VTPT n d    a; 1  a '  0 có VTPT n d '   a; 1  a.a  a  a2  TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƢỚC Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  , biết tiếp tuyến qua điểm A  xA ; yA  - Cách Bước 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm x0  y  f '  x0  x  x0   f  x0  - Bước 2: Tiếp tuyến qua điểm A  xA ; yA   yA  f '  x0  xA  x0   f  x0  - Bước 3: Giải phương trình    x0 - Bước 4: Từ x0 tìm bước thay vào 1  phương trình tiếp tuyến 1  2 Chú ý 1: Thơng thường số nghiệm phương trình   số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị  C  Từ giải tốn “Tìm điều kiện để qua điểm A kể tới  C  n tiếp tuyến” - Cách Bước 1: Phương trình đường thẳng  d  có hệ số góc k qua điểm A  xA ; yA  có dạng:  d  : y  k  x  xA   yA  * Bước 2: Đường thẳng  d  tiếp tuyến đồ thị  C    f  x   k  x  xA   yA  3 có nghiệm  hệ  f ' x  k       https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 13 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 - Bước 3: Thế   vào  3 phương trình f  x   f '  x  x  xA   yA **  x  - Bước 4: Với x tìm bước thay vào   để suy k  phương trình tiếp tuyến  d  (bằng cách thay k vào * ) Chú ý 2: Thơng thường số nghiệm phương trình ** số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị  C  VẤN ĐỀ 6: SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH Bài tốn: Biện luận số nghiệm phương trình F  x, m   theo m  Bước 1: Biến đổi phương trình F  x, m   dạng f  x   g  m   *  Bước 2: Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x   Bước 3: Lập luận: - Đồ thị  C  hàm số y  f  x  vữa vẽ - Đồ thị hàm số y  g  m  đường thẳng d phương với trục hoành (song song cắt trục hồnh) cắt trục tung điểm có tung độ g  m  Suy phương trình * phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C  đường thẳng d Do đó, số giao điểm đồ thị  C  đường thẳng d số nghiệm phương trình  *  Bước 4: Dựa vào đồ thị suy kết luận ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán 1: Vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x  Từ vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x    f  x  f  x   Ta có: y  f  x      f  x  f  x   Đồ thị  C  hàm số y  f  x  hợp hai phần sau:  Phần 1: Phần đồ thị  C  phía trục hồnh (lấy điểm thuộc trục hoành)  Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị  C  phía trục hồnh qua trục hồnh Ví dụ: https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 14 Ơn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Bài toán 2: Vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x  Từ vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x    f  x  x  Ta có: y  f  x    f  x f x        Đồ thị  C  hàm số y  f  x  hợp hai phần sau:  Phần 1: Phần đồ thị  C  bên phải trục tung (lấy điểm trục tung bỏ phần bên trái trục tung)  Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục tung Ví dụ: Bài tốn 3: Vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x f  x Từ vẽ đồ thị  C  hàm số y  g  x g  x  f  x g  x    f  x  g  x Ta có: y   g  x  f  x  g  x    g  x  f  x Đồ thị  C  hàm số y  hợp hai phần sau: g  x  Phần 1: Phần đồ thị  C  miền g  x    Phần 2: Lấy đối xứng phần cịn lại  C  qua trục hồnh (trừ điểm làm cho g  x   ) SỬ DỤNG PHƢƠNG TRÌNH ĐỂ BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị:  C1  : y  f  x   C2  : y  g  x  Phương trình hồnh độ giao điểm  C1   C2  là: f  x   g  x   * Do đó, số nghiệm phương trình * số giao điểm  C1   C2  VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Khoảng cách giữ hai điểm A  xA , yA  B  xB , yB  là: AB   xB  xA    yB  yA  2  Khoảng cách từ điểm M  xM , yM  đến đường thẳng  : Ax  By  C  là: d  M,    https://www.facebook.com/ThayCaoTuan AxM  ByM  C A  B2 15 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ax  b ĐỒ THỊ  C  CỦA HÀM SỐ y  cx  d a a Đồ thị  C  có tiệm cận ngang đường thẳng y   y   tiệm cận đứng đường thẳng c c d d x    y   c c  ax  b  Lấy điểm M  x0 ;   cx0  d   Khoảng cách từ M đến trục Ox là: d1  yM  ax0  b cx0  d  Khoảng cách từ M đến trục Oy là: d2  xM  x0  Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d3  x0  d c  Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: d  y0  ax  b a a    c cx0  d c k d c Bài tốn 1: Tìm điểm M thuộc  C  để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Tổng khoảng cách đến tiệm cận là: d  d3  d  x0  Khi đó: d d  k , xảy x0   c d  c k d x0  c Cauchy  x0  d c k d x0  c d d    x0    k  x0   d c c  x0  c k x0  k  x0  2 k d  c k  ax  b  Thay x0 tìm vào M  x0 ;  để suy tọa độ điểm M  cx0  d  Bài toán 2: Tìm điểm M thuộc  C  để tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ nhỏ Ta có tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ là: d  d1  d  ax0  b  x0 cx0  d Tìm điểm A  a;  giao điểm đồ thị  C  với trục Ox (hoặc tìm giao điểm  C  với Oy)  Xét trường hợp x0  a  d  a   Xét trường hợp x0  a ax0  b  a để suy d  k cx0  d  x0  a  man Do đó, để tìm GTNN d, ta cần xét  ax0  b  a  cx  d  Với m  a  n phá dấu giá trị tuyệt đối biểu thức có d Sau đó, ta biến đổi d áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương suy GTNN d Bài tốn 3: Tìm hai điểm thuộc hai nhánh  C  để khoảng cách chúng ngắn d  m (m số) c Phần đồ thị nằm bên phải tiệm cận đứng gọi nhánh phải đồ thị, phần đồ thị nằm bên trái tiệm cận đứng gọi nhánh trái đồ thị Tiệm cận đứng đồ thị  C  đường thẳng x   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 16 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Gọi A  m  a; f  m  a   B  m  b; f  m  b   với a, b  thuộc hai nhánh đồ thị Khi đó, khoảng cách giữ hai điểm A B là: k k AB   a  b    f  m  b   f  m  a     a  b       a b Áp dụng BĐT Cô si cho số dương, ta có: 2  k2   a  b  1  2   ab  a  b  ab   a  b   4ab 2k k2 k2  2  2  ab ab ab 2k k  2 Suy ra:  a  b  1  2   4ab  k  AB  k ab  ab  a  b a  b  k   a  b ab Do đó: AB nhỏ k  1  2  a 2b  k   ab  k a b      a, b  a, b  k VẤN ĐỀ 8: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ Bài tốn: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện * cho trước Phương pháp giải:  Bước 1: Vì M thuộc đồ thị  C  : y  f  x  nên gọi M  m; f  m    Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện * để thiết lập phương trình: F  m    m  tọa độ điểm M Sơ đồ phương pháp giải M  m; f  m   ĐK *  C : y  f  x  M m; f m  M   C   F  m    m  M    Một số tốn tìm điểm đặc biệt thường gặp: Bài tốn 1: Tìm điểm đồ thị  C  : y   Phân tích y  P  x có toạ độ nguyên Q  x P  x a thành dạng y  A  x   , với A  x  đa thức, a số nguyên Q  x Q  x x   Q  x  ước số a  Khi  y Từ ta tìm giá trị x ngun để Q  x  ước số a  Thử lại giá trị tìm kết luận Bài tốn 2: Tìm cặp điểm đồ thị  C  : y  f  x  đối xứng qua đường thẳng d : y  ax  b Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua d  d trung trực đoạn AB  Phương trình đường thẳng  vng góc với d : y  ax  b có dạng:  : y   x  m a  Phương trình hồnh độ giao điểm   C  là: f  x   x  m a (C) (d) () B A I  * https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 17 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275  Tìm điều kiện m để  cắt  C  điểm phân biệt A, B Khi xA, xB nghiệm *  Tìm toạ độ trung điểm I AB  Lập luận: Vì AB vng góc với d nên A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm m  xA, xB  yA, yB  A, B Chú ý:  xA  xB  A, B đối xứng qua trục hoành    yA   yB  xA   xB  A, B đối xứng qua trục tung    yA  yB  xA  xB  A, B đối xứng qua đường thẳng y  b    yA  yB  2b  xA  xB  2a  A, B đối xứng qua đường thẳng x  a    yA  yB Bài tốn 3: Tìm cặp điểm đồ thị  C  : y  f  x  đối xứng qua điểm I  a; b  Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB  Phương trình đường thẳng d qua I  a; b  , có hệ số góc k có I dạng: y  k  x  a   b A B  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d là: f  x  k  x  a  b  *  Tìm điều kiện để d cắt (C) điểm phân biệt A, B xA, xB nghiệm *  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB, ta tìm k  xA, xB  xA   xB Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O    yA   yB B MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP ĐỀ ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 90 phút Biên soạn: Cao Văn Tuấn Câu (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số y   x  x Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x    x   x  đoạn 0;3 Câu (3,0 điểm) a) Tìm giá trị tham số m để x  điểm cực tiểu hàm số y  m  1 x3  x  2mx  b) Tìm m để hàm số f  x   x3  3x  mx  đạt cực trị hai điểm x1 , x2 cho x12  x22  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 18 Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”    Cao Văn Tuấn – 0975306275  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình:  x  1  x  x   3x  x   tập số thực  x  y 1  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  với x, y     x   x  y y   Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình mx   x  x có hai nghiệm phân biệt đoạn  0; 4 Biên soạn: CAO VĂN TUẤN SĐT: 0975 306 275 Dạy luyện thi Tốn – Lí Địa lớp học: Số nhà 93, ngõ 173 Hồng Hoa Thám, Ba Đình, Hà Nội https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 19