Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 CÂU TỔ HỢP XÁC SUẤT CẦN HỌC NHỮNG GÌ? Lời nói đầu Dưới nhận xét chủ quan câu tổ hợp – xác suất đề thi năm gần Học sinh cần ôn kỹ kiến thức quy tắc đếm, định nghĩa tổ hợp – hợp – hoán vị; tính xác suất biến cố đối Về điểm năm gần số điểm giảm dần, tăng tính ứng dụng xác suất thực tế Về mức độ khó phức tạp mức tăng nhẹ so với năm, yêu cầu học sinh cần tư cao, pháp phương pháp phù hợp để xác định số phần tử không gian mẫu biến cố Ngoài phương trình đại lượng tổ hợp, tìm hệ số, số hạng nhị thức Newton học sinh cần lưu ý Tài liệu chia hai phần chính: Phần A: BÀN VỀ CÂU TỔ HỢP XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI Phần B: NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP XÁC SUẤT Bài 1: QUI TẮC CỘNG, QUI TẮC NHÂN Bài 2: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP 11 Bài 3: NHỊ THỨC NEWTON 22 Bài 4: ÔN TẬP PHẦN TỔ HỢP 28 Bài 5: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 32 Phần A để học sinh định hình cần ôn lại cho câu Tổ hợp xác suất đề thi gần Giúp học sinh hình dung tổng quát kỳ thi, ôn tập cách hiệu Phần B đóng vai trò tham khảo cho ôn tập học sinh Hãy chọn phần trọng tâm nhất, phần mà bạn nắm chưa vững để đọc nghiên cứu tập Mọi ý kiến thắc mắc tài liệu xin gửi địa mail: cuong11102@gmail.com liên lạc theo FB: https://www.facebook.com/cuong.leeminh Sài Gòn, ngày 30 tháng năm 2016 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Phần A: BÀN VỀ CÂU TỔ HỢP XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI [THPTQG – 2016] (0,5 điểm) Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ tới hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa phòng học Nhận xét: Học sinh cần nắm rõ kiến thức xác suất công thức tính P  n  A Trong việc xác định n  không gian mẫu số lượng phần tử không gian mẫu toán quan trọng Ở quan sát kỹ phép thử: “nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển” Có hai cách để tính số phần tử không gian mẫu là: Cách 1: Sử dụng quy tắc đếm: Nút thứ có 10 cách chọn, nút thứ cách chọn, nút thứ ba cách chọn Vậy số phần tử  là: n     10.9.8  720 cách Cách 2: Sử dụng định nghĩa chỉnh hợp: Học sinh B chọn nút 10 nút, nút có kể đến thứ tự, thứ tự khác cách khác Vậy theo định nghĩa số phần tử không gian mẫu chỉnh hợp chập 10 phần tử là: n     A103  720 cách Số phần tử biến cố E: “B mở cửa phòng học” ta cần liệt kê đếm trường hợp mà số nút theo thứ tự thành dãy số tăng có tổng 10 Để liệt kê xác, đầy đủ học sinh cần có cách thức đếm ba: Bắt đầu ba dạng  0; a; b  với  a  b a  b  10 ta có số sau:  0;1;9  ,  0; 2;8  ,  0;3;7  ,  0; 4;6  Kế tiếp ba dạng 1; a; b  với  a  b a  b  ta có số sau: 1; 2;7  , 1;3;6  , 1; 4;5  Cứ ta có:  2;3;5  Vậy tất phần tử biến cố là: n  E   Tính xác suất theo quy tắc: P  nE  n    90 Lưu ý: Nhiều học sinh, thí sinh nhầm lẫn chỉnh hợp (có thứ tự) tổ hợp (không thứ tự) dẫn đến tính sai ý không gian mẫu Ngoài nhiều bạn liệt kê thiếu trường hợp biến cố dẫn đến sai kết [THPTQG – 2015] (0,5 điểm) Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động số đội trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội trung tâm y tế sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có đội Trung tâm y tế sở chọn Nhận xét: Phép thử chọn ngẫu nhiên đội tổng số 25 đội TT Y tế dự phòng thành phố TT Y tế sở Đến học sinh cần phân biệt đội chọn có kể đến thứ tự hay không? Nếu đổi vị trí đội chọn có hình thành kết hay không? Rõ ràng trường hợp này, theo định nghĩa số phần tử không gian mẫu là: n     C25 Biến cố E: “có đội Trung tâm y tế sở chọn” Ta thấy từ 2, hiểu xác nói có có đội chọn đội Trung tâm y tế sở Cách 1: Đếm trực tiếp: TH1 có TH2 có đội dùng quy tắc cộng Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Đối với TH1 chọn đội 20 đội sở là: C202 cách chọn chọn đội đội thành phố là: C51 cách chọn Vậy có: C25 C51 cách trường hợp Đối với TH2 chọn đội 20 đội sở là: C20 cách chọn  2090 Số lượng phần tử biến cố E là: n  E   C202 C51  C20 Cách 2: Đếm gián tiếp (hoặc cách tính xác suất biến cố đối): Đếm số cách chọn mà: “có đội chọn đội Trung tâm y tế sở” TH1: Có đội chọn đội Trung tâm y tế sở thì: C20 C52 cách chọn TH2: Không có đội chọn đội Trung tâm y tế sở thì: C53 cách chọn Số cách chọn mà: “có đội chọn đội Trung tâm y tế sở” là: 210 cách Suy số lượng phần tử biến cố E là: n  E   n     210  2090 Tính xác suất theo quy tắc: P  n  E  209  n    230 Lưu ý: Nhiều học sinh, thí sinh nhầm lẫn chỉnh hợp (có thứ tự) tổ hợp (không thứ tự) dẫn đến tính sai ý không gian mẫu Còn chưa xác định rõ cụm từ “ít nhất” để xác định đầy đủ trường hợp cần tính [THPTQG – MH – 2015] (0,5 điểm) Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán coi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hết nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống Nhận xét: Ở câu hỏi này, học sinh chưa kỹ kiến thức khó để nhận không gian mẫu gì? Ta theo quy tắc, muốn biết không gian mẫu xem phép thử gì? Phép thử hình dung lại sau: “ Học sinh A chọn ngẫu nhiên câu học sinh B chọn ngẫu nhiên câu” Chú ý, cách chọn học sinh không ảnh hưởng học sinh chọn 10 câu hỏi 10 phong bì Số phần tử không gian mẫu tính theo quy tắc nhân lấy số cách chọn học sinh A nhân với số cách chọn học sinh B Mỗi học sinh chọn 10 câu hỏi, không tính thứ tự câu hỏi nên theo định nghĩa số cách chọn tổ hợp chập 10: C103 cách Vậy n     C103 C103 cách Biến cố E: “bộ câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống nhau” ta cần nhận xét rằng: Với câu hỏi A có câu hỏi B giống A Từ ta suy số trường hợp câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống số câu hỏi mà A chọn, n  E   C103 Xác suất cần tính là: P  nE  n    120 Lưu ý: Ở này, nhiều thí sinh chưa định hướng không gian mẫu nên khó tìm số lượng phần tử theo quy tắc nhân Ngoài số bạn chưa đưa nhận xét để tính số phần tử biến cố Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 [THPTQG – DB – 2015] (0,5 điểm) Trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia 2015 có môn thi trắc nghiệm môn thi tự luận Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi môn Tính xác suất để giáo viên phụ trách coi thi môn thi trắc nghiệm Nhận xét: Phép thử bốc thăm ngẫu nhiên môn thi tất môn thi, không kể thứ tự môn thi Vậy theo định nghĩa số phần tử không gian mẫu tổ hợp chập phần tử: n     C85 Gọi E biến cố “giáo viên phụ trách coi thi môn thi trắc nghiệm” Học sinh cần hiểu từ đưa ba trường hợp sau: TH1: Giáo viên coi thi môn trắc nghiệm môn tự luận có: C42C43 cách chọn TH2: Giáo viên coi thi môn trắc nghiệm môn tự luận có: C43C42 cách chọn TH3: Giáo viên coi thi môn trắc nghiệm môn tự luận có: C44C41 cách chọn Dùng quy tắc cộng thu được: n  E   C42C43  C43C42  C44C41 Rồi tính xác suất: P  n  E  13  n    14 Lưu ý: Bài tương đồng với đề [THPTQG – 2015] [ĐH – A,A1 – 2014] (0,5 điểm) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất thẻ chọn đánh số chẵn Nhận xét: Phép thử chọn ngẫu nhiên thẻ 16 thẻ nên số phần tử không gian mẫu tính theo tổ hợp chập 16 phần tử: n     C164 Biến cố E “4 thẻ chọn đánh số chẵn” Để dễ dàng học sinh cần phải hiểu số kết thuận lợi cho biến cố chọn thể thẻ mang số chẵn 2; 4;6;8;10;12;14;16 Vậy số phần tử biến cố là: n  E   C84 Từ ta suy xác suất là: P  nE  n    26 Lưu ý: Đây liên quan đến số, học sinh cần phân biệt với chọn số thành lập số, nhiều em hiểu nhầm tính sai không gian mẫu chỉnh hợp [ĐH – B – 2014] (0,5 điểm) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu, hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Nhận xét: Tương tự câu trên, số phần tử không gian mẫu chọn tổng số 12 hộp sữa: n     C123 Biến cố E “3 hộp sữa chọn có loại” nghĩa loại ta chọn hộp Có cách chọn sữa cam, cách chọn sữa dâu, cách chọn sữa nho, theo quy tắc nhân ta có: n  E   5.4.3 Xác suất là: P  nE  n    11 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 [ĐH – D – 2014] (0,5 điểm) Cho đa giác n đỉnh, n  , n  Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo Nhận xét: Chúng ta cần thiết lập công thức tính số đường chéo đa giác lồi n đỉnh (đa giác đa giác lồi) Dựa vào định nghĩa đường chéo đường nối hai đỉnh không kề Có hai cách đếm rõ ràng sau: Cách 1: Sử dụng quy tắc đếm: Chọn đỉnh thứ đường chéo có n cách chọn, chọn đỉnh thứ hai đường chéo có  n  3 cách chọn trừ đỉnh chọn hai đỉnh kề định chọn Nhưng hai đỉnh đường chéo không kể đến thứ tự (AC đường chéo CA đường chéo) nên số n  n  3 đường chéo là: Cách 2: Sử dụng tổ hợp: Chọn hai đỉnh n đỉnh có Cn2 cách chọn Nhưng cách chọn có chứa n cạnh đa giác Vậy số đường chéo là: Cn2  n  Dựa vào giả thiết 27 đường chéo ta có: n  n  3 n  n  3 n   27    n  6 Theo điều kiện loại n  6 Lưu ý: Câu ngắn gọn học sinh cần đếm loại trường hợp trùng, phải kiểm soát số phương án đếm có bị trùng hay không [ĐH – A,A1 – 2013] (1 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất số chọn số chẵn Nhận xét: Xác định số phần tử S ta sử dụng phép đếm định nghĩa đại số tổ hợp Để ý toán thành lập số tự nhiên, có chữ số phân biệt chọn từ tập số cho trước (tập không chứa số đơn giản) nên số phần tử S S  A73 Ta tính tất số chẵn có S abc ta theo dõi bảng sau: Số cách chọn c b a Có cách chọn số chẵn Có cách chọn b  c a  b Có cách chọn  a  c Vậy có 3.6.5  90 số chẵn có S Phép thử chọn ngẫu nhiên số từ S nên suy ra: n     S  A73 Biến cố E “số chọn số chẵn” ta suy ra: n  E   90 Xác suất là: P  nE  n  [ĐH – B – 2013] (1 điểm) Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để hai bi lấy có màu Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Nhận xét: Phép thử lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, theo quy tắc nhân số phần tử không gian mẫu là: n     7.6  42 Biến cố E “hai bi lấy có màu” có trường hợp sau: TH1: Hai bi màu đỏ có: 4.2  cách chọn TH2: Hai bi màu trắng có: 3.4  12 cách chọn Vậy n  E    12  20 cách chọn Xác suất cần tính là: P  n  E  10  n    21 Lưu ý: Ở cần sử dụng quy tắc nhân để tính không gian mẫu biến cố Nhiều bạn sử dụng tổ hợp chỉnh hợp lúng túng dẫn đến sai lầm [ĐH – A,A1 – 2012] (1 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn1  Cn3 Tìm số hạng chứa x n  nx  khai triển nhị thức Newton    ,x   14 x  Nhận xét: Trước hết ta cần giải phương trình 5Cnn1  Cn3 để tìm n Các định nghĩa ký hiệu Pn , Ank , Cnk cần nhớ rõ Học sinh cần biết phép rút gọn giai thừa để giải: 5Cnn 1  Cn3  n  n  1 n   5n ! n!   5n   n  (vì n nguyên dương)  n  1! 3! n  3! 7  x2   x2  Thay vào ta có nhị thức Newton ta có:      C7k    x  k 0   7k  1 C7k x143k  1      7k  x  k 0 k k Để phân tích rút gọn nhị thức học sinh cần nhớ số tính chất số mũ, công thức tổng quát nhị thức Newton Để tìm số hạng chứa x ta cho tương ứng 14  3k   k  Thay vào ta có số hạng chứa x 35 x 16 Lưu ý: Một số học sinh chưa phân biệt rõ ràng số hạng hệ số [ĐH – B – 2012] (1 điểm) Trong lớp học có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Nhận xét: Xét phép thử “gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập” nên số phần tử không gian mẫu tổ hợp chập 35 phần tử là: n     C354 Số cách chọn học sinh có nam lẫn nữ là: Trường hợp Nam Nữ Số cách chọn C151 C103 Trường hợp 2 C152 C102 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Trường hợp Xác suất cần tính là: P  Thầy Cường – 01666658231 Tổng số cách C153 C101 11075 443 506 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Phần B: NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP XÁC SUẤT Ôn tập dấu hiệu chia hết (cấp THCS) Dấu hiệu Dấu hiệu chia hết cho chữ số tận 0; 2; 4;6;8 Ví dụ 12, 100, 48, … Dấu hiệu chia hết cho chữ số tận 0;5 5, 10, 1000, … 10, 527630, 430, … 3, 9, 123, 267, … 9, 1233, 297, … 4, 100, 312, 928, … 100, 350, 925, … 1000, 2016, 13824, … 4, 100, 312, 928, … Dấu hiệu chia hết cho 10 chữ số tận Dấu hiệu chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 25 hai chữ số tận 00; 25;50;75 Dấu hiệu chia hết cho ba chữ số tận chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho chia hết cho Ôn tập tính chất số mũ Công thức x m x n  x m  n xm  x mn n x x  m n Ví dụ x x  x x4  x2 x x   x m.n n m xn  x m  ab  m  x10 x2  x  ab   a m b m m  a b 3 a a    b b am a    bm b Bài 1: QUI TẮC CỘNG, QUI TẮC NHÂN Quy tắc cộng: Nếu công việc H hoàn thành theo k phương án H1 , H1 , , H k Trong có n1 cách thực phương án H1 , n2 cách thực phương án H ,… có nk cách thực phương án H k Khi số cách để hoàn thành công việc P là: n1  n2   nk Ví dụ 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giải: có   cách từ thành phố A đến thành phố B Ví dụ 2: Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giải: Có    13 cách chọn Quy tắc cộng: Nếu hai tập hữu hạn B1 , B2 không giao ta có: n  B1  B2   n  B1   n  B2  Hơn A1 , A2 , , Ak k tập hữu hạn, đôi không giao thì: n  A1  A2   Ak   n  A1   n  A2    n  Ak  Mở rộng quy tắc cộng: Nếu hai tập hữu hạn B1 , B2 giao khác rỗng ta có: n  B1  B2   n  B1   n  B2   n  B1  B2  Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Quy tắc nhân: Nếu công việc G hoàn thành ta phải làm qua k công đoạn G1 , G1 , , Gk Trong có n1 cách thực công đoạn G1 , n2 cách thực công đoạn G2 ,… có nk cách thực phương án Gk Khi số cách để hoàn thành công việc G là: n1n2 nk Ví dụ 1: Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt đường hàng không Hỏi có cách chọn phương tiện giao thông để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về? Giải: Có 3.3  cách Ví dụ 2: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ? Giải: Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký Vậy có : 15 14.13  2730 cách chọn Dạng 1.1: Đếm số phương án thực hành động Ví dụ 1.1.1: Có tuyến xe buýt A B Có tuyến xe buýt B C Hỏi : a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? c) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B cho tuyến xe buýt không lần? Giải: a) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Do đó, theo quy tắc nhân, có x = 12 cách từ A đến C, qua B b) Có 12 cách từ A đến C, qua B có 12 cách quay Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách từ A đến C, qua B c) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C; để tránh lại đường cũ, có cách từ C quay B cách từ B quay A Vậy có : x x x = 72 cách Ví dụ 1.1.2: Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc ? Giải: Có cách chọn cho ngày Vậy, số cách chọn cho ngày tuần : 46 = 4096 cách Bài tập 1.1: Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 cỡ 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo) Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) bốn kiểu dây (kim loại, da, vải nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây ? Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ a) Nhà trường cần chọn học sinh dự đại hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn ? b) Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn ? Cho tập hợp A = {a, b, c, d} Hỏi có cách chọn tập khác rỗng tập A Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn : a) Có thể thăm bạn nhiều lần ? b) Không đến thăm bạn lần ? ĐS: a) 35831808 b) 3991680 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Bài giải: a) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy Vậy, có : 127 = 35831808 cách b) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Đêm thứ hai, chọn 11 bạn lại để đến thăm : có 11 cách Đêm thứ ba : 10 cách Đêm thứ tư : cách Đêm thứ năm : cách Đêm thứ sáu : cách Đêm thứ bảy : cách Vậy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga tới nhà ga khác? ĐS: 90 cách chọn Bài giải: Nhà ga : có 10 cách chọn Nhà ga đến : có cách chọn Vậy có : 10.9 = 90 cách chọn Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? Bài giải: a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách b) Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu Vậy có : ( × × × × 1) = 40 cách c) Số cách chọn để cặp nam nữ không ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề Vậy có : 72 – 40 = 32 cách Dạng 1.2: Đếm số số tự nhiên thành lập thỏa mãn tính chất Ví dụ 1.2: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số: a) Gồm chữ số đôi khác b) Gồm chữ số đôi khác chia hết cho c) Gồm chữ số đôi khác không chia hết cho Giải: a) Gọi abc số cần lập + Ta có a chọn từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 a  nên có cách chọn + Ta có b chọn từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 b  a nên có cách chọn + Ta có c chọn từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 c  a, c  b nên có cách chọn Vậy có 5.5.4  100 số tự nhiên có chữ số đôi khác b) Trong chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho 0, 4,5 , 1,3,5 , 2,3, 4 + Với 0, 4,5 ta có: 2.2.1  số thành lập (chú ý số không đứng đầu) + Với 1,3,5 ta có: 3!  số thành lập + Với 2,3, 4 ta có: 3!  số thành lập Vậy có 16 số có chữ số đôi khác chia hết cho c) Từ a) b) ta suy ra: có 100 16  84 số có chữ số đôi khác không chia hết cho Bài tập 1.2: Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 10 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 11! 11!   C11k 2k C11k 1 2k 1  C11k k 1 6   C  k k   11 k 11  k  1!11  k  1! ak  ak 1 3  C11  6C11  k !11  k  ! 311 k 1  k k        k 1 k 1 k 1 k k 1 11! 11! 6C11  C11 ak  ak 1  C11  C11 2C k  C11 6  11 11  k   k !11  k !  k  1!11  k  1!  311 k 1  7k  65 6   0     11  k k  11  k k  7k  65  72  11  k  k  1  65      k  k  10 7 72k  7k  6  6    72  7k   k 11  k   k 12  k  k 12  k  Vậy hệ số cao là: a10  C1110 210 11.210  31110 Bài tập 3.4: Tìm hệ số lớn khai triển sau: 11  2x  a)    3  ĐS: b) 1  2x  12 Dạng 3.5: Tìm số hạng số hữu tỷ khai triển f k g k PP: Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a n k b k  HS      ,  k  n Trong HS không chứa thức  ,  số hữu tỷ  f  k   Khi đó: Số hạng số hữu tỷ khai triển có k nghiệm hệ:   g  k   Tìm k0 thay vào Tk0 1  HS f  k0   g  k0  Ví dụ 3.5: Tìm số hạng hữu tỷ khai triển nhị thức Giải: Số hạng tổng quát là: Tk 1  C k 17  16    17  k k  16  17  k  C 16 k 17 17  k    k Số hạng hữu tỷ khai triển có tính chất:   2 0  k  17, k    Cho i chạy từ  i  , ta có: i  1; 4;7  k  2;8;14  17 k k  2i, i  17  2i     0  2i  17 14 16.37 Vậy có số hạng hữu tỷ là: T3  C172 165.3, T9  C178 163.34 , T15  C17 Bài tập 3.5: Tìm số hạng nguyên khai triển nhị thức   2 ĐS: C93 33.2, 23 31   Tìm số hạng hữu tỷ khai triển nhị thức    2  Trong khai triển sau có số hạng hữu tỉ  34 C106 2352 ĐS: , 32 32  124 ĐS: 32 số Bài 4: ÔN TẬP PHẦN TỔ HỢP Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 28 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Dạng 4.1: Dùng cách thích hợp để đếm số phương án Bài tập 4.1: Trong ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ a) Nếu phân biệt chức vụ người ban thường vụ có cách chọn ? b) Nếu cần chọn người vào ban thường vụ với chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường trực có cách chọn ? ĐS: a) 35 b) 210 Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn người dự hội nghị trường cho có cán lớp Giải: Có hai trường hợp: TH1: Số cách chọn người có cán lớp là: C21C182 TH2: Số cách chọn người có cán lớp là: C22C18  324 Vậy số cách thỏa yêu cầu là: C21C182  C22C18 Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, lập số có chữ số khác cho số phải có mặt Giải: Xét hộc có ô trống Do a1  nên có cách đưa số bỏ vào hộc Còn lại ô trống nên có cách đưa số vào Còn chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, mà có hộc trống nên có: A84 cách Do số số cần tìm : × × 1680 = 42 000 Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số khác 0) có chữ số mặt chữ số Giải Gọi X = {0, 1, 2, , 7, 8, 9} Xét hộc có ô trống Lấy chữ số bỏ vào hộc có cách (do a1  ) Từ X\{0, 1} chữ số chọn chữ số bỏ vào hộc lại có A85 cách Vậy số số thỏa yêu cầu toán : A85  33600 Một tổ sinh viên có 20 em Trong có em biết nói tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Cần chọn nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm Giải: Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Anh : C83 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Pháp: C74 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Đức : C52 Vậy số cách lập thỏa yêu cầu toán : C83.C74 C52  1960 Trong hộp có cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng , cầu khác Chọn ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi có cách chọn cho cầu chọn có đủ màu Giải: ĐS: 910 Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn hoa gồm Có cách chọn bó hoa : a) Có hồng đỏ b) Có hồng vàng hồng đỏ Giải: a) Số cách chọn hồng đỏ : Số cách chọn lại (vàng hay trắng) : C86 Vậy số cách chọn đỏ : 4.C86  112 b) Số cách chọn vàng, đỏ, trắng : C43C53 C31  120 Số cách chọn vàng đỏ : C43C54 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 29 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Số cách chọn vàng đỏ : C44C53 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán : 150 cách Tính tổng số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 1, 3, 4, 5, 7, Giải Gọi n  a1a2 a5 Số số n A65  720 Xét chữ số hàng đơn vị, chữ số 1, 3, 4, 5, 7, xuất nên: chữ số hàng đơn vị : 120 1        120.28  3360 720  120 lần Vậy tổng Tương tự tổng chữ số hàng chục : 3360 × 10 Tổng chữ số hàng trăm : 3360.102 Tổng chữ số hàng nghìn : 3360.103 Tổng chữ số hàng vạn : 3360.102 Do S  3360 1  10  100  1000  10000   37332960 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ màu Giải: Số cách chọn bi 15 bi : C154 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng : C42C51C61 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng: C41C52C61 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng : C41C51C62 Vậy số cách chọn bi đủ màu : 180 + 240 + 300 = 720 Do số cách chọn bi không đủ màu : 1365 – 720 = 645 10 Một lớp học có 40 học sinh 25 nam 15 nữ Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn em để tham gia đội văn nghệ nhà trường nhân ngày Nhà giáo Việt Nam Hỏi có cách chọn, nếu: a) Chọn học sinh lớp ? b) Chọn học sinh có nam nữ ? c) Chọn học sinh phải có nam ? ĐS: a) 9880 b) 4500 c) 9425 11 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm sáu chữ số khác Hỏi: a) Có tất số ? b) Có số chẵn, số lẻ ? c) Có số bé 432 000 ? ĐS: a) 6! b) 3x5! c) 12 12 Cho tập gồm 10 phần tử khác Tìm số tập khác rỗng chứa số chẵn phần tử Giải: Số tập X có phần tử là: C102 Số tập X có phần tử là: C104 Số tập X có phần tử là: C106 Số tập X có phần tử là: C10 10 Số tập X có 10 phần tử là: C10 Vậy số tập thỏa yêu cầu toán là: 511 13 Có cách xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành dãy dài ? ĐS: 10! 14 Có cách cắm hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không bông) nếu: a) Các hoa khác ? b) Các hoa ? ĐS: a) 60 b) 10 15 Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho ? ĐS: 20 16 Trong mặt phẳng có hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường thẳng song song với năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song ? ĐS: 60 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 30 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 17 Có khả xảy thứ tự đội giải bóng đá có đội bóng ? (Giả sử hai đội có điểm trùng nhau) ĐS:120 18 Giả sử có vận động viên tham gia chạy thi Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên đích lúc có kết xảy vị trí thứ nhất, thứ nhì thứ ba ? ĐS:336 19 Một hộp chứa bi trắng bi đen Hỏi có cách lấy bi : a) màu tùy ý ? bi đen ? Giải: a) ĐS: 330 cách b) ĐS: 150 cách b) gồm bi trắng 20 Có viên bi xanh, đỏ, vàng có kích thước đôi khác Có cách chọn : a) viên bi có viên bi đỏ, b) viên bi số bi xanh số bi đỏ Giải: a) ĐS: 7150 ĐS: 3045 21 Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm Hỏi: a) Có đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? b) Có vectơ mà hai đầu mút thuộc P ? ĐS: a) n(n – 1)/2 b) n(n – 1) 22 Một trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu Mỗi câu có phương án trả lời Hỏi thi có phương án trả lời ? ĐS: 048 576 23 Một thi có 15 người tham dự, giả thiết người có điểm a) Nếu kết thi việc chọn người điểm cao có kết ? b) Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết ? ĐS: a)1365 b) 2730 24 Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho ? ĐS:180 000 25 Trong hội chợ cuối năm quan,ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh số từ đến 100 cho 100 người Xổ số có bốn giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết việc công bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi: a) Có kết có ? b) Có kết có thể, biết người giữ vé số 47 giải ? c) Có kết có thể, biết người giữ vé số 47 trúng giải ? ĐS:a) 94 109 400 b) 941 094 c) 764 376 26 Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác phải có nữ Giải: Số cách chọn học sinh nam hay nữ: C30 Số cách chọn học sinh toàn nam C156 Số cách chọn nam nữ : C155 C151  C155 C151  548730 cách Vậy có số cách chọn học sinh phải có nữ: C30 27 Một tổ có em nam em nữ Người ta cần chọn em tổ tham dự thi học sinh lịch trường Yêu cầu em chọn phải có em nữ Hỏi có cách chọn ? ĐS:196 28 Một nhóm học sinh gồm em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong em chọn, yêu cầu em nữ Hỏi có cách chọn ? ĐS:126 29 Giả sử có bảy hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba hoa vào ba lọ cho (mỗi lọ cắm bông) ? ĐS: 210 30 Có cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác ? ĐS: 360 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 31 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Dạng 4.2: Kết hợp giải phương trình để giải dạng học Bài tập 4.2: Cho số nguyên dương n thỏa mãn Cn3  5Cn1 Tìm số hạng không chứa x khai triển:    n5 x   x  n ĐS: 35 n 2  Tìm hệ số x khai triển   x3  , biết n thỏa hệ thức: Cnn46  nAn2  454 x  ĐS: -1792 n   n n 1 n 2 Tìm số hạng độc lập với x khai triển  x x   , biết n thỏa hệ thức: Cn  Cn  Cn  79 28 x   ĐS: 792 Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3Cn2  An2  3n2  15 Tìm số hạng chứa x10 khai triển: n  3 ĐS: C104 26.34 x10  2x   x   Cho số nguyên dương n thỏa mãn Cn3  2n  An21 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khai triển: 1 2  xx  x  n ĐS: -98 Tìm hệ số x10 khai triển  x   3n , biết n thỏa hệ thức: An3  Cnn2  14n Biết tổng hệ số khai triển 1  x  1024 Tìm hệ số x12 n ĐS: 2956096 ĐS: 210 n 1  Tìm hệ số x khai triển   x3  biết tổng hệ số khai triển 1024 x  ĐS: 210 n   Tìm số hạng chứa x khai triển   x5  biết n thỏa mãn hệ thức: x  n Cn  Cn   Cn  4095 ĐS: 7920 10 Tìm hệ số x10 khai triển   x  , biết n số nguyên thỏa: n 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  Cn2    1 Cnn  2048 n 11 Tìm hệ số x khai triển  x  3x ĐS: 22  n biết tổng hệ số khai triển -2048 ĐS: -4455 12 Tìm hệ số x khai triển 1  x  x  , biết n số nguyên thỏa: n C20n  C22n  C24n   C22nn  512 ĐS: 105 Bài 5: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Không gian xác suất gồm thành phần: Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà: - Có thể lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống - Kết không dự đoán trước - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thứ Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 32 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Không gian mẫu: tập hợp tất kết xảy phép thử Kí hiệu:  (ômê-ga) Biến cố: - Một biến cố A liên quan tới phép thử T thử Biến cố A xảy kết phép thử T thuộc tập A Mỗi phần tử A gọi kết thuận lợi cho A - Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập  - Biến cố biến cố không xảy phép thử T thực Biến cố không mô tả tập  Xác suất biến cố Định nghĩa cổ điển xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu  tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu biến cố liên quan tới phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số Kí hiệu : P(A) P  A  n  A A  n   Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A  B gọi hợp hai biến cố A B Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1 , A2 , , Ak liên quan đến phép thử T Biến cố “Có biến cố A1 , A2 , , Ak xảy ra”, kí hiệu là: A1  A2   Ak , gọi hợp k biến cố Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy Hai biến cố A B gọi xung khắc  A  B   Biến cố đối: Cho biến cố A, biến cố “không xảy A”, kí hiệu A gọi biến cố đối A Chú ý: Hai biến cố đối xung khắc, ngược lại không   Định lí: P  A   P A Biến cố giao: Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Biến cố “cả A B xảy ra”, kí hiệu AB A  B , gọi giao hai biến cố A B Nếu gọi: A tập hợp mô tả kết thuận lợi cho A B tập hợp mô tả kết thuận lợi cho B Thì tập kết thuận lợi cho AB A  B Biến cố độc lập: Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố Hai qui tắc tính xác suất: Qui tắc cộng xác suất: Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy là: P  A  B   P  A  P  B  Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 33 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Qui tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A B độc lập với xác suất để A B xảy là: P  AB   P  A  P  B  Dạng 5.1: Mô tả không gian mẫu, liệt kê số phần tử không gian mẫu PP: + Yêu cầu chuyển thành đếm số phần tử tập hợp, từ mô tả tập hợp cách liệt kê + Dựa vào định nghĩa không gian mẫu + Nắm kiến thức hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử không gian mẫu Ví dụ 5.1.1: Chọn số nguyên dương không lớn 10 Hãy mô tả không gian mẫu tìm số phần tử không gian mẫu Ví dụ 5.1.2: Gieo hai súc sắc cân đối Hãy mô tả không gian mẫu tính số phần tử không gian mẫu Bài tập 5.1: Trong tổ lớp 10A có bạn nữ, Lan, Hoa, Hồng, Huệ, Hằng Cô giáo chủ nhiệm lớp thử ghép bạn tổ để hát song ca nữ chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam Hãy mô tả không gian mẫu, tính số phần tử không gian mẫu Một hộp có chứa 16 viên bi, có viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Xác định tính số phần tử không gian mẫu thực phép thử sau: a) Lấy ngẫu nhiên viên bi b) Lấy ngẫu nhiên viên bi c) Lấy ngẫu nhiên viên bi ba đứa trẻ Gieo súc sắc cân đối đồng chất a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố sau: A: “Số chấm mặt xuất số lẻ” B: “Xuất mặt có số chấm lớn 4” C: “Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3” Hãy mô tả không gian mẫu khi: a) Tung ba đồng xu b) Lấy ngẫu nhiên cầu hộp kín có cầu (đã đánh số thứ tự 1, 2, 3) xếp thành hàng ngang để số có chữ số Dạng 5.2: Xác định tập hợp kết thuận lợi cho biết cố Tính số phần tử tập hợp PP: + Nắm khái niệm biến cố liên quan đến phép thử T Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 34 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 + Sử dụng định nghĩa kết thuận lợi cho biến cố A Tập hợp tất kết thuận lợi A + Vận dụng kiến thức đại số tổ hợp để tính số phần tử A Ví dụ 5.2.1: Gieo hai súc sắc cân đối Gọi A biến cố: “Tổng số chấm xuất hai súc sắc nhỏ 7”; B biến cố: “Ít súc sắc xuất mặt chấm” ; C biến cố: “Có súc sắc xuất mặt chấm” Hãy liệt kê kết thuận lợi A, B, C Tính n(A), n(B), n(C) Ví dụ 5.2.2: Có hộp, hộp đựng thẻ đánh số Hộp thứ đánh số thẻ 1, 2, Hộp thứ hai đánh số thẻ 4, 5, Hộp thứ ba đánh số thẻ 7, 8, Rút ngẫu nhiên hộp thẻ Gọi A biến cố: “Tổng số ghi thẻ rút 15” Gọi B biến cố: “Tổng số ghi thẻ rút không nhỏ 17” Hãy xác định tập hợp A, B số phần tử chúng Gieo đồng tiền ba lần a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố: A: “Lần đầu xuất mặt sấp” B: “Mặt sấp xảy lần” C: “Mặt ngửa xảy lần” Một hộp chứa bốn thẻ đánh số 1, 2, 3, Lấy ngẫu nhiên hai thẻ a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố: A: “Tổng số hai thẻ số chẵn” B: “Tích số hai thẻ số chẵn” Dạng 5.3: Tính xác suất biến cố PP: B1: Xác định không gian mẫu tính số phần tử không gian mẫu (5.1) B2: Xác định số phần tử biến cố (5.2) B3: Sử dụng công thức: P  n  A A  n   Ví dụ 5.3.1: Danh sách lớp An đánh số từ đến 30 An có số thứ tự 12 Chọn ngẫu nhiên bạn lớp a) Tính xác suất để An chọn b) Tính xác suất để An không chọn c) Tính xác suất để bạn có số thứ tự nhỏ số thứ tự An chọn Ví dụ 5.3.2: Gieo súc sắc cân đối ba lần Hãy tính xác suất cho mặt chấm xuất lần Ví dụ 5.3.3: Một hộp có chứa 16 viên bi, có viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Xác định tính số phần tử không gian mẫu thực phép thử sau: a) Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 35 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 i) Lấy ba viên bi đỏ ii) Lấy ba viên bi không đỏ iii) Lấy trắng, đen đỏ b) Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: i) Lấy viên trắng ii) Lấy hai viên trắng c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất để lấy trắng, đen đỏ Bài tập 5.3: Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: A: “Mặt sấp xuất hai lần”; B: “Mặt sấp xuất lần”; C: “Mặt sấp xuất lần” Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: A: “Số chấm hai lần gieo nhau”; B: “Tổng số chấm 8” Từ hộp chứa cầu gồm trắng đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất kết lấy quả: a) Khác màu; b) Cùng màu Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hai lần gieo không bé 10”; B: “Mặt năm chấm xuất lần” c) Tính P(A), P(B) Có bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố sau: A: “Tổng số ba bìa 8”; B: “Các số ba bìa số tự nhiên liên tiếp”; c) Tính P(A), P(B) Hai bạn nam hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa trắng, đen Hộp thứ hai chứa trắng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Ký hiệu A biến cố “Quả lấy từ hộp thứ trắng”, B Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 36 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 biến cố “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng” a) Xét xem A B có độc lập không b) Tính xác suất cho hai cầu lấy màu c) Tính xác suất cho hai cầu lấy khác màu Dạng 5.4: Tính xác suất dựa vào quy tắc   + Cho biến cố A, ta tìm xác suất biến cố đối A P  A   P A + Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy là: P  A  B   P  A   P  B  + Nếu hai biến cố A B độc lập với xác suất để A B xảy là: P  AB   P  A  P  B  Ví dụ 5.4.1: Có hai hòm đựng thẻ, hòm đựng 12 thẻ đánh số từ đến 12 Từ hòm rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để hai thẻ rút ra: a) Có thẻ đánh số 12 b) Tổng hai số ghi hai thẻ khác 23 Ví dụ 5.4.2: Có bình, bình chứa viên bi khác màu: bi xanh, bi vàng, bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình viên bi Tính xác xuất để hai viên bi khác màu Ví dụ 5.4.3: Trong thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu Mỗi câu có phương án trả lời, có phương án Một học sinh không học nên làm cách với câu chọn ngẫu nhiên phương án trả lời Tính xác suất để học sinh trả lời: a) Không 10 câu (Tính xác đến phần vạn) b) Đúng 10 câu ? Bài tập 5.4: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt bóng lại bóng xấu (kém chất lượng) Lấy ngẫu nhiên bóng đèn Tính xác xuất để lấy bóng tốt Gieo 10 đồng xu cân đối cách độc lập Tính xác suất để có đồng xu sấp Có chiến sĩ công an bắn vào bia, người bắn viên đạn Xác suất bắn trúng bia họ tương ứng 0,8; 0,7; 0,6 Tìm xác suất để: a) Cả viên đạn trúng bia ? b) Có người bắn trúng bia ? c) Có viên đạn bắn trúng bia ? Một máy có động chạy độc lập Xác suất để động I II chạy tốt 0,8 0,7 Hãy tính xác suất để: a) Cả hai động chạy tốt; b) Cả hai động không chạy tốt; c) Có động chạy tốt Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 37 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Bài tập tổng hợp: Có số chẵn có bốn chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, cho; a) Các chữ số giống ? b) Các chữ số khác ? Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẻ nhau; b) Ba bạn nam ngồi cạnh Từ hộp chứa sáu cầu trắng bốn cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn Tính xác suất cho: a) Bốn lấy màu; b) Có màu trắng Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vào sáu thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ là: a) Cạnh lục giác; b) Đường chéo lục giác; c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn; b) Tích số chấm hai súc sắc số lẻ Trên giá sách có sách Toán, sách Lý sách Hóa Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho: a) Ba lấy thuộc ba môn khác nhau; b) Cả ba lấy sách Toán; c) Ít lấy sách Toán Bình đựng bi xanh, bi vàng bi trắng khác màu Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất biến cố sau: a) Lấy bi xanh b) Lấy có bi vàng c) Lấy bi màu ĐS : a) 1/22 b) 34/55 c) 3/44 Một hộp bi đựng viên đen, viên trắng a) Ngẫu nhiên lấy lúc viên bi Tính xác suất để viên bi có viên bi trắng b) Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để viên bi thứ trắng viên bi thứ hai đen ĐS :a) 21/44 b) 35/132 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 38 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 Trong hộp có 20 cầu giống gồm 12 trắng đen a) Tính xác suất để lấy có đen b) Tính xác suất để lấy có đen ĐS :a) 44/95 b) 16/57 10 Trong xúc sắc đồng a) Tìm xác suất để tổng số chấm b) Tìm xác suất để tổng số chấm số lẻ chia hết cho ĐS : a) 5/36 b) 2/3 11 Một bình đựng 10 viên bi có bi xanh, bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để lấy bi xanh b) Lấy ngẫu nhiên bi lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi xanh lần bi đỏ lần ĐS: a) 7/40 b) 21/40 12 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng, bi đen khác màu Lấy ngẫu nhiên viên Tính xác xuất để: a) Trong bi lấy có bi màu đỏ b) Trong bi lấy số bi đỏ số bi trắng ĐS : a) 21/40 b) 1/3 13 Một tổ gồm học sinh nam học sinh nữ a) Cần chọn nhóm người để trực nhật Hỏi có cách chọn khác ? Tính xác suất để chọn nhóm nhóm có nữ b) Cần chia tổ thành nhóm, nhóm người để làm công việc khác nhau, hỏi có cách chia khác nhau? Tính xác suất để chia ngẫu nhiên ta nhóm có nữ ? ĐS : a) 495; P = 28/55 b) 34650; P = 16/55 14 Trong hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng đèn Tính xác suất để lấy được: a) bóng tốt b) Ít bóng tốt c) Ít bóng tốt ĐS :a) 7/44 b) 7/11 c) 21/22 15 Có thẻ, thẻ ghi số, từ đến Lấy ngẫu nhiên đồng thời thẻ Tìm xác suất để tích số hai thẻ số chẵn ĐS : 13/18 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 39 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 16 Một hộp đựng 12 bóng đèn, có bóng đền bị hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng đèn (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để: a) Trong bóng có bóng hỏng b) Có bóng hỏng bóng ĐS : a) 28/55; b) 41/55 17 Có hai bình chứa viên bi khác màu sắc Bình thứ có bi xanh, bi vàng, bi đỏ Bình thứ hai có bi xanh, bi vàng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ bình viên bi Tính xác suất để bi xanh ĐS :1/6 18 Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi Mỗi đề thi có câu Một học sinh thuộc 80 câu Tìm xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề có câu hỏi học thuộc ĐS :5135/12222 19 Gọi M tập hợp số có chữ số khác lập thành từ số 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên phần tử M Tính xác suất để có phần tử chia hết cho ĐS :0,4 20 Một hộp chứa viên bi trắng, viên bi đen, lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác xuất để lấy viên bi trắng viên bi đen ĐS : 15/56 21 Có hai xạ thủ loại I xạ thủ loại II Xác suất bắn trúng xạ thủ loại I loại II 0,9 0,8 Lấy ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để viên đạn trúng đích ĐS : 0,82 22 Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng 0,8 0,7 Tìm xác suất để cầu thủ làm bàn ĐS : 0,94 23 Cho cân trọng lượng 1kg, 2kg, …, 7kg, 8kg Chọn ngẫu nhiên cân a) Có cách chọn ? b) Tính xác suất để tổng trọng lượng cân chọn không vượt 9kg ĐS : a) 56 b) 0,125 24 Cho đa giác đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh Tìm xác suất cho đoạn thẳng nối đỉnh chọn thành đường chéo có độ dài nhỏ ĐS: 2/7 25 Có hộp bi hộp có bi trắng, bi đỏ Cho người người hộp Từ hộp mình, người lấy ngẫu nhiên viên Tìm xác suất để người lấy số bi đỏ ĐS : 0,44 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 40 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 26 Một bình đựng viên bi có viên bi xanh, viên bi đỏ Lấy ngẫy nhiên viên bi Tìm xác suất để được: a) viên đỏ viên xanh b) Cả viên màu xanh ĐS :a) 12/35 b) 4/35 27 Chọn ngẫu nhiên số có chữ số Tìm xác suất để số chọn số chẵn chữ số khác ? ĐS :328/899 28 Trong hộp có viên bi đỏ viên bi xanh (các viên bi khác màu sắc) Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi lúc Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ ĐS :18/35 29 Chia hai hộp bi : hộp thứ có bi xanh bi đỏ, hộp thứ hai có bi xanh bi đỏ Từ hộp lấy viên bi Tính xác suất để : a) bi xanh bi đỏ b) Được bi đỏ c) Được bi đỏ ĐS :23/50; 3/25; 29/50 30 Một hộp đựng 10 viên bi, có viên màu xanh viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để: a) Cả viên bi lấy màu xanh b) viên bi lấy có viên bi màu xanh ĐS :1/6; 29/30 31 Gieo lần hai xúc xắc Tính xác suất biến cố “tổng số chấm hai mặt 9” ĐS :1/9 32 Cho tập F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Lấy ngẫu nhiên phần tử F Tính xác suất để hai số lấy chẵn, biết tổng chúng nhỏ ĐS :1/3 33 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối số điện thoại cần gọi nhớ hai chữ số khác Tính xác suất để người quay số lần số điện thoại cần gọi ĐS: 1/90 34 Một lô hàng có 30 sản phẩm, có phế phẩm, chia ngẫu nhiên thành phần nhau, phần 10 sản phẩm Tính xác suất để: a) Có phần có phế phẩm b) Mỗi phần có phế phẩm ĐS :185/203; 50/203 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 41 Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia 2017 Thầy Cường – 01666658231 35 Một bình đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Tính xác suất để bi xanh b) Tính xác suất để bi xanh bi đỏ ĐS : a) 1/21 b) 10/21 36 Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh giốn gnhau vào dãy ô trống Hỏi: a) Có cách xếp khác ? b) Có cách xếp khác cho bi đỏ xếp cạnh bi xanh xếp cạnh ? ĐS :a) 849 b) 36 37 Một lô hàng có 10 sản phẩm, có phế phẩm Lấy tùy ý sản phẩm từ lô hàng Hãy tìm xác suất để sản phẩm lấy có không phế phẩm ĐS :2/3 Cuộc đời giống cưỡi xe đạp, để giữ cân bằng, bạn phải liên tục di chuyển – Albert Einstein 42