LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng khảo thí đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học, thầy cô tổ môn Giải tích, đặc biệt cô Phạm Thị Thái, người định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, động viên có thêm nghị lực hoàn thành khóa luận Nhân dịp xin cảm ơn tới người thân bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận Sơn la, tháng năm 2016 Người thực Sinh viên: Trương Bá Hiệp Mục lục Mở đầu TÍCH PHÂN BỘI BA 1.1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba 1.2 Định nghĩa tích phân bội ba 1.3 Điều kiện khả tích 1.4 Tính chất tích phân bội ba 10 1.5 Tích phân bội ba hệ tọa độ Descartes 13 1.5.1 Trường hợp miền V hình hộp chữ nhật [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × [a3 ; b3 ] 13 1.5.2 1.6 Trường hợp miền V hình trụ đáy cong 14 Tích phân bội ba hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu 18 1.6.1 Công thức đổi biến số tổng quát 18 1.6.2 Tích phân bội ba hệ tọa độ trụ 20 1.6.3 Tích phân bội ba hệ tọa độ cầu 22 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ 25 2.1 Khối lượng vật thể 25 2.2 Trọng tâm vật thể 29 2.3 Mô men quán tính 33 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Lí chọn khóa luận Tích phân bội ba kiến thức quan trọng Giải tích Toán học Nó có nhiều ứng dụng môn khoa học tự nhiên, kể Vật lý Do vậy, nên tìm hiểu sâu khái niệm, cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ tìm hiểu số ứng dụng Xuất phát từ lí mạnh dạn vào tìm hiểu "Tích phân bội ba số ứng dụng Vật lý" Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu đạt mục đích sau: - Nghiên cứu tích phân bội ba cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ Đề các, hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Trình bày ứng dụng tích phân bội ba Vật lý 2.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận Tích phân bội ba số ứng dụng Vật lý 2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích trên, đặt nhiệm vụ tìm đọc tài liệu trình bày lại vấn đề kiến thức có liên quan cách có hệ thống logic Từ trình bày cách chi tiết tích phân bội ba số ứng dụng Vật lý 2.4 Phương pháp nghiên cứu Do đặt nhiệm vụ đặc thù môn, chọn phương pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn Từ hệ thống lại kiến thức theo nội dung khóa luận 2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu tích phân bội ba số ứng dụng Vật lý, cụ thể việc: Tính khối lượng vật thể, trọng tâm vật thể, mô men quán tính Cấu trúc khóa luận Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục khóa luận xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm hai chương Chương TÍCH PHÂN BỘI BA Trình bày toán dẫn tới tích phân bội ba, định nghĩa tích phân bội ba, số điều kiện khả tích tích phân bội ba cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ: Đề các, trụ, cầu Chương ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ Trình bày số ứng dụng tích phân bội ba Vật lý: Dựa vào định nghĩa tích phân bội ba đưa công thức tính khối lượng vật thể, trọng tâm vật thể, mô men quán tính Bên cạnh có ví dụ minh họa cho ứng dụng Đóng góp khóa luận Khóa luận trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan chi tiết kiến thức tích phân bội ba số ứng dụng Vật lý Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc thư viện nhà trường Chương TÍCH PHÂN BỘI BA 1.1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) P( x, y, z) ρ = ρ ( P) = ρ ( x, y, z) Ta chia V cách tùy ý thành n miếng nhỏ không dẫm lên tích ∆V1 , ∆V2 , · · · , ∆Vn Trong miếng thứ i lấy tùy ý điểm Pi ( xi , yi , zi ) , gọi đường kính miếng di Ta có khối lượng xấp xỉ vật thể n m≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆Vi = i =1 n ∑ ρ (xi , yi , zi )∆Vi i =1 Một cách tự nhiên giới hạn sau tồn n lim maxdi →0 = ∑ ρ (xi , yi , zi )∆Vi i =1 khối lượng m vật thể Trong thực tế nhiều toán dẫn đến việc tìm giới hạn vậy, nên ta dẫn đến định nghĩa toán học tích phân bội ba 1.2 Định nghĩa tích phân bội ba Giả sử V ⊂ R3 tập đóng, bị chặn đo giới nội không gian Oxyz, f ( x, y, z) hàm xác định V Ta thực phép phân hoạch T tùy ý, chia V thành hữu hạn tập V1 , V2 , · · · , Vn cho chúng điểm chung tích tương ứng ∆V1 , ∆V2 , · · · , ∆Vn Trong tập đóng, ta lấy điểm tùy ý Pi ∈ Vi lập tổng tích phân n σn ( f , T, Pi ) = ∑ f ( Pi )∆Vi (1.1) i =1 Gọi λ( T ) đường kính lớn tập Vi λ( T ) = max sup P P (1.2) i =1,n P ,P ∈Vi Nếu phép phân hoạch T nhỏ dần vô hạn cho đường kính lớn tập dần không (λ( T ) → 0), mà tổng σn ( f , T, Pi ) dần tới giới hạn I ∈ R nhất, không phụ thuộc vào phép phân hoạch T, không phụ thuộc vào cách chọn điểm Pi ∈ Vi , I gọi tích phân ba lớp hàm f ( x, y, z) lấy miền V, ký hiệu f ( x, y, z)dV, V f hàm số dấu tích phân, dV yếu tố thể tích, tức n ∑ f ( Pi )∆Vi = I = lim λ( T )→0 i =1 f ( x, y, z)dV V Khi hàm f ( x, y, z) gọi khả tích V 1.3 Điều kiện khả tích Giả sử f ( x, y, z) hàm bị chặn V Với phép phân hoạch T cho trước, đặt Mi = f ( x, y, z), sup mi = ( x,y,z)∈Vi inf ( x,y,z)∈Vi f ( x, y, z) Khi n S( f , T ) = n ∑ Mi ∆Vi , s( f , T ) = i =1 ∑ mi ∆Vi i =1 gọi tổng Đác bu Đác bu hàm f ( x, y, z) ứng với phép phân hoạch T Ta có n s( f , T ) ≤ ∑ f ( Pi )∆Vi ≤ S( f , T ) i =1 Định lý 1.3.1 Hàm f ( x, y, z) khả tích V lim (S( f , T ) − s( f , T )) = λ( T )→0 Định lý 1.3.2 Nếu hàm số f ( x, y, z) liên tục miền đóng, bị chặn đo V khả tích Định lý 1.3.3 Nếu hàm f ( x, y, z) xác định, bị chặn miền đóng, đo V gián đoạn hữu hạn mặt nằm V, có diện tích không khả tích miền 1.4 Tính chất tích phân bội ba Chia miền V ba họ mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ, dV = dxdydz f ( x, y, z)dxdydz f ( x, y, z)dV = V (1.3) V Định lý 1.4.1 Nếu f ( x, y, z) ≡ V dxdydz = V (V ), V (V ) thể tích V V Định lý 1.4.2 Nếu chia miền V thành hai miền V1 V2 mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ đó, f ( x, y, z)dxdydz = V f ( x, y, z)dxdydz + V1 f ( x, y, z)dxdydz (1.4) V2 Chứng minh D hình chiếu miền V = {( x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ρ1 ( x ) ≤ y ≤ ρ2 ( x ), ψ1 ( x, y) ≤ z ≤ ψ2 ( x, y)} mặt phẳng (Oxy) giới hạn đường y = ρ1 ( x ); y = ρ2 ( x ); x = a; x = b Một mặt phẳng song song với Oy,Oz có phương trình x − c = hay x = c( a < c < b), 10 2.2 Trọng tâm vật thể Cho vật thể D không gian Oxyz Nếu khối lượng riêng vật thể M( x, y, z) ρ( x, y, z) khối lượng vật thể D cho công thức m= ρ ( x, y, z) dxdydz (2.4) D Tọa độ trọng tâm G ( x G , y G , z G ) vật thể D cho công thức      xG = xρ ( x, y, z) dxdydz    m D     y = yρ ( x, y, z) dxdydz G  m   D        zρ ( x, y, z) dxdydz z G = m D Nếu vật thể đồng chất ρ không đổi,      xdxdydz xG =    V D     y = ydxdydz G  V D          zdxdydz z G = V D (2.5) (2.6) V thể tích vật thể D Ví dụ 2.2.1 Tìm trọng tâm vật thể D đồng chất giới hạn mặt z = x2 + y2 , z = 0, x = 0, y = 0, x + y = Vật thể giới hạn mặt z = x2 + y2 , z = 0, x = 0, y = 0, x + y = nhận đường thẳng y = x làm mặt phẳng đối xứng G ( x G , y G , z G ) trọng tâm vật thể D x G = y G 29 Áp dụng công thức (2.4) ta có m= dxdydz = dx x y + y3 = = 1− x dx = 0 x3 x4 − − (1 − x )4 12 1− x dz = dy D x + y2 1− x x2 + y2 dy dx 0 x2 (1 − x ) + (1 − x )3 dx = Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm G ta có xdxdydz m xG = D Để đơn giản ta tính trước xdxdydz D Ta có 1− x xdx x + y2 dz = dy 1− x x2 + y2 dy = xdx 0   x y + y3 1− x  xdx x4 x5 − + x (1 − x )3 dx = 0   1 4 1 (1 − x ) (1 − x ) = +  − x + dx  20 4 = 1 (1 − x ) − 20 20 = 0 15 Mà tính đối xứng, ta có xG = yG = 1 xdxdydz = = m 15 15 30  Ta có zdxdydz = dx D dy 1− x = dx 0 = = x + y2 1− x 1 dx zdz x + y2 dy 1− x x4 + 2x2 y2 + y4 dy 2 (1 − x )5 x (1 − x ) + x (1 − x ) + dx 1 x x (1 − x )6 = − − x2 (1 − x )3 dx + 30 0   1 4 1 (1 − x ) (1 − x ) + − x2 dx  = + 2x 30 4 0   1 5 1 (1 − x ) (1 − x ) = + − x + dx  30 5 (1 − x )6 − = 30 30 = 0 1 + = 30 180 180 Vậy zG = D 1 zdxdydz = m m zdxdydz = 7.6 = 180 30 Vậy G 6 ; ; 15 15 30 Ví dụ 2.2.2 Xác định trọng tâm vật thể D đồng chất giới hạn mặt nón: z2 − y2 − x2 = 0(z > 0) mặt cầu x2 + y2 + z2 = 31 Giao tuyến mặt nón mặt cầu xác định x2 + y2 = x2 x2 + y2 = − z2 ⇒ − z2 = z2 √ ⇒ 2z = ⇒ z = Chuyển sang tọa độ cầu ta tích vật thể Do bán kính vectơ điểm giao tuyến làm với trục Oz góc π Gọi G ( x G , y G , z G ) tọa độ trọng tâm D Do tính đối xứng nên x G = y G = r2 sinθdrdθdϕ, V= V V giới hạn     r     θ       0 ϕ Do π V= r dr π 2π 2π r2 dr 32 π dϕ = sinθdθ 2πsinθdθ √ r dr 2π − = +1 √ − = 2π +1 √ √ 2− = π = 2π − 3 Mặt khác ta có rcosθr2 sinθdrdθ zdxdydz = D V/ π 2π = dϕ 0 dϕ π π 2π r3 dr = sinθcosθdθ 2π = dϕ sin2θdθ = sinθcosθdθ 2π π 0 dϕ − cos2θ π 1 = 2π = 8 zG = 3 = zdxdydz = √ V 8 2− Vậy G 0; 0; 2.3 √ 1+ 2 √ 1+ 2 Mô men quán tính Mô men quán tính chất điểm khối lượng m, nằm cách đường thẳng L khoảng r đường L IL = mr2 33 Do mô men quán tính vật thể chiếm miền V, có khối lượng riêng ρ( x, y, z) đường thẳng L khoảng r dường thẳng L r2 ρ ( x, y, z) dxdydz IL = (2.7) V r ( x, y, z) khoảng cách từ điểm P( x, y, z) đến đường thẳng L Nói riêng, mô men quán tính vật thể nói trục Ox,Oy Oz là: Ix = y2 + z2 ρ ( x, y, z) dxdydz (2.8) x2 + z2 ρ ( x, y, z) dxdydz (2.9) x2 + y2 ρ ( x, y, z) dxdydz (2.10) V Iy = V Iz = V Tương tự mô men quán tính chất điểm có khối lượng nằm khoảng cách S đến mặt phẳng ( P) khoảng cách t đến điểm M cố định mặt phẳng điểm đó, tương ứng I p = ms2 I M = mt2 Khi mô men quán tính vật thể V có khối lượng riêng ρ( x, y, z) mặt tọa độ Oxy,Oyz,Oxz là: Iz=0 = z2 ρ ( x, y, z) dxdydz (2.11) x2 ρ ( x, y, z) dxdydz (2.12) y2 ρ ( x, y, z) dxdydz (2.13) V Ix =0 = V Iy=0 = V 34 Mô men quán tính vật thể V khối lượng riêng ρ( x, y, z) gốc tọa độ O x2 + y2 + z2 ρ ( x, y, z) dxdydz = Ix=0 + Iy=0 + Iz=0 I0 = (2.14) V Ví dụ 2.3.1 Tính mô men quán tính vật thể đồng chất giới hạn miền V:x 0; y 0; z x y z + + a b c 0, gốc tọa độ Áp dụng công thức (2.14) ta có b(1− xa ) a x2 + y2 + z2 dxdydz = I0 = b a x 1− a 0 b a = x 1− a c x + y2 dx 1− b 1− a = x a cx2 − dx 0 cx2 − = a bcx2 − = x y a b c 1− − x a dy x y x y − + c3 − − a b a b dy x c x y + cy3 − − a a b x y − c3 b − − 12 a b x x + cy2 − a a c c3 x y − x y+y + 1− − b a b a x + y2 z + z3 dx x2 + y2 + z2 dz dy V = dx y c(1− xa − b ) 2 x y + y b(1− xa ) dx x + cb3 − a 35 − bc x x 1− a dy bc = bc = bc = = a x2 a bc3 x + 1− 12 a x − cb3 − a x 1− a dx bc3 + cb3 dx + 12 a 1− x3 2x4 x5 − + 4a 5a a3 bc + 30 bc3 + cb3 12 a = a 1− bc3 + cb3 x + 1− 12 a a3 bc + ab3 c + dx a bc3 + cb3 2x3 x4 + dx + x − a 12 a x a abc3 60 x a dx −a 5 a Vậy I0 = abc a + b2 + c2 60 Ví dụ 2.3.2 Tính mô men quán tính mặt phẳng Oxy vật thể đồng chất ρ = const, giới hạn miền V: x + y2 + z2 2az; x2 + y2 + z2 a2 ( a > 0) Những điểm giao tuyến hai mặt cầu x + y2 + z2 2az; x2 + y2 + z2 a2 a có độ cao thỏa mãn phương trình 2az = a2 z = z2 dxdydz I0 = ρ V z2 dxdydz + ρ =ρ V1 z2 dxdydz V2 = I1 + I2 36 Mặt phẳng z = a chia miền V thành hai miền a V1 = {( x, y, z) ∈ V : z ≥ }; a V2 = {( x, y, z) ∈ V : z < } Ta có Để tính I1 , ta gọi S(z) thiết diện miền V1 với mặt phẳng qua điểm (0, 0z) vuông góc với trục Oz ta có a z2 dz I1 = ρ a dxdy S( z ) Nhưng dxdy = diện tích S(z) = π x2 + y2 = π a2 − z2 S( z ) Do a z2 a2 − z2 dz = ρπ I1 = ρπ a a2 z3 z5 − a = a 47a2 ρπ 480 Tương tự a I2 = ρπ z 2az − z dz = ρπ az4 z5 − a a5 = πρ 40 Vậy Iz=0 = I1 + I2 = 47 59 + a5 πρ = a πρ 480 40 480 37 Ví dụ 2.3.3 Tính mô men quán tính vật thể đồng chất ρ ≡ gốc tọa z2 x + y2 + a2 3a2 độ Biết vật thể giới hạn miền V xác định √ Đổi biến x = u, y = V, z = 3w Đó song ánh biến miền V xác định z2 x + y2 + a2 3a2 biểu thức thành hình cầu V không gian (u, v, w) Xác định (u2 + v2 + w2 ) ≤ a2 Ta có J= √ D ( x, y, z) = D (u, v, w) Vậy x2 + y2 + z2 dxdydz = I0 = √ V u2 + v2 + 3w2 dudvdw V/ Chuyển sang tọa độ cầu u = rsinθcosϕ; v = rsinθsinϕ; z = rcosθ Ta có I0 = √ 2π; ϕ 2π θ r π; a, a π 2 r4 dr sin θ + 3cos θ sinθdθ dϕ 0 Mà 2π π π sin2 θ + 3cos2 θ sinθdθ = − dϕ = 2π; = 1 + 2cos2 θ d (cosθ ) cosθ + cos3 θ π 10 = ; a r4 dr = Do I0 = √ 10 a5 4π 3.2π = √ a5 38 a5 Ví dụ 2.3.4 Tính mô men quán tính khối trụ trục Ta chọn trục khối trụ Oz, chọn mặt phẳng đáy làm mặt phẳng Oxy Bán kính hình trụ R, chiều cao h tỉ khối ρ = const Ta có x2 + y2 dxdydz Ioz = ρ V Dùng tọa độ trụ ta 2π Ioz = ρ R dθ h r dr 0 R4 dz = ρ.2π .h 1 = ρR4 h = ρR2 h R2 = MR2 2 Với M = ρπR2 h khối lượng khối trụ Ví dụ 2.3.5 Tính mô men quán tính quán tính khối cầu V trục qua tâm nó, biết ρ = const Bán kính khối cầu R, chọn trục kể Oz Tâm khối cầu chọn gốc O Ta có x2 + y2 dxdydz Ioz = ρ V Chuyển sang tọa độ trụ 39 r3 drdθdz = ρ Ioz = ρ = 2ρ dz 0 R r3 dθ 2π =ρ R2 −r r3 dr dθ V/ 2π √ R 2π R2 − r2 dr R R2 − r R2 − r − R2 d R2 − r dθ 0 2 = 2πρ R2 − r 2 − R2 R2 − r R Với M = πR2 ρ khối lượng khối cầu Ví dụ 2.3.6 Tính mô men quán tính quán tính vật thể hình trụ rỗng Bán kính đáy R1 , R2 ( R1 < R2 ) gốc tọa độ Biết ρ ≡ Gọi chiều cao vật thể h Áp dụng công thức (2.14) ta có x2 + y2 + z2 dxdydz I0 = V Chuyển sang tọa độ trụ x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z Ta ϕ 2π; R1 R2 ; z h Khi ta có R2 2π I0 = dϕ R1 h r r +z dr R2 2π dz = dϕ 40 R1 h r3 + rz3 dz dr R2 2π = dϕ = 2π = 2π = h rz4 r z+ R1 r h r h4 − R2 2π dr = dϕ R1 R2 R1 R42 h R41 h R22 h4 R21 h4 − + − 4 8 πh4 πh R42 − R42 + R22 − R22 41 rh4 r h+ dr KẾT LUẬN Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu khóa luận giải vấn đề đặt ra: trình bày tích phân bội ba hệ tọa độ, ứng dụng Vật lý Cụ thể sau: Trong chương trình bày toán dẫn tới tích phân bội ba, khái niệm tích phân bội ba, cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ Đề Các, công thức đổi biến tính tích phân bội ba hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Trong chương trình bày số ứng dụng tích phân bội ba Vật lý tính Mô men quán tính, trọng tâm vật thể, khối lượng vật thể Do thời gian nghiên cứu có hạn kiến thức chuyên môn chưa tích lũy nhiều nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp, giúp đỡ, góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện 42 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2005), Giải tích, Tập III, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Liêm (2004), Giải tích tập 2, Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Văn Khuê (2002), Giải tích Toán học tập 2, Nxb đại học sư phạm Hà Nội 43 [...]... 5 2 3a2 = 0 44 √ 3πa5 5 Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ 2.1 Khối lượng vật thể Giả sử V là một vật thể trong không gian Oxyz và M ( x, y, z) là một điểm của V Lấy một tập hợp con đo được ∆V chứa điểm M Giả sử ∆V có thể tích ∆V và khối lượng ∆m Nếu tỉ số ∆m có giới hạn khi ∆V thu dần về điểm M ∆V thì giới hạn đó được gọi là khối lượng riêng của vật thể V tại điểm M, kí hiệu là ρ(... là thể tích của miền V Chứng minh Thật vậy, ta có m ≤ f ( x, y, z) ≤ M, ∀( x, y, z) ∈ V 12 (1.8) Dựa vào định lý (1.4.1) và định lý (1.4.5) ta có mdxdydz ≤ V f ( x, y, z)dxdydz ≤ V ⇔ mV (V ) ≤ Mdxdydz V f ( x, y, z)dxdydz ≤ MV (V ) V Định lý 1.4.7 (Định lý trung bình) Tích phân bội ba của hàm số liên tục f ( x, y, z) theo miền V, bằng thể tích V (V ) của nó với giá trị hàm số tại điểm P nào đó của V,... Nếu vật thể V là một tập hợp đo được và ρ là một hàm số liên tục và bị chặn trên V thì khối lượng của V là m= ρ( x, y, z)dxdydz (2.3) D Chứng minh Gọi ρ0 : P → RV là khai triển của hàm số ρ tìm V lên P      ρ( M) khi M ∈ V ρ0 ( M ) =     0 khi ∈ P\V Dễ thấy s(ρ, πn ) ≤ σn (ρ, πn ) ≤ S(ρ, πn ), trong đó s(ρ, πn ) và S(ρ, πn ) là các tổng Đác bu dưới và trên của hàm số ρ ứng với phép phân. .. − x3 − x + x3 + x3 dx 3 3 0 1 4 x− 0 10 3 1 x dx = 3 2 1 5 1 − 32 6 256 = 0 43 3072 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu 1.6.1 1 2 5 4 x − x 2 6 1 4 Công thức đổi biến số tổng quát Xét tích phân bội ba f ( x, y, z) dxdydz, V 18 trong đó hàm số f ( x, y, z) liên tục trên V Ta muốn tính tích phân trong hệ tọa độ mới (u, v, w), qua phép đổi biến       x = x (u, v, w),    ... lý 1.4.4 Nếu f khả tích trên V và k là hằng số thì hàm k f cũng khả tích trên V và k f ( x, y, z) dxdydz = k V f ( x, y, z) dxdydz, (1.6) V k là hằng số Định lý 1.4.5 Nếu f , g khả tích trên V và f ( x, y, z) g ( x, y, z) ; ∀ ( x, y, z) ∈ V thì f ( x, y, z) dxdydz g ( x, y, z) dxdydz V (1.7) V Định lý 1.4.6 Nếu m và M ứng với giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f ( x, y, z) trong miền V, thì ta... = ∆M ∆V →( M) ∆V lim (2.1) ρ là một hàm số xác định trên V Nếu vật thể V đồng chất thì ρ là một hàm hằng Giả sử V là một vật thể đo được và ρ( M) là khối lượng riêng của vật thể tại điểm M của V Ta chỉ ra rằng có thể tính được khối lượng của vật thể V nếu 25 biết khối lượng riêng ρ( M) của V Lấy một hình hộp chữ nhật đóng P chứa V Gọi {πn } là một dãy chuẩn những phép phân hoạch hình hộp P πn = {∆V1... x, y, z)dxdydz = f ( P)V (V ) V Chứng minh Từ định lý (1.4.6), ta có m≤ 1 IV ≤ M V (V ) 1 IV bao hàm giữa các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x, y, z) V (V ) 1 trong miền V Do f ( x, y, z) liên tục trên V nên nó lấy giá trị bằng IV tại V (V ) Số một điểm P nào đó của miền V, nghĩa là 1 IV = f ( P ) ⇔ IV = f ( P ) V ( V ) V (V ) 1.5 1.5.1 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes Trường... một điểm bất kì Mi ∈ ∆Vi , i = 1, · · · , Pn và lập tổng Pn σn = ∑ ρ( Mi )∆Vi (2.2) i =1 Một số tập hợp ∆Vi có thể bằng ∅ Khi đó ta gán số hạng tương ứng của tổng δn giá trị 0 Có thể xem ρ( Mi ).∆Vi là giá trị gần đúng của khối lượng của vật thể V Nếu lim σn = m ∈ R và giới hạn m không phụ thuộc vào việc chọn dãy chuẩn n→∞ tắc {πn } và việc chọn các điểm Mi ∈ ∆Vi thì m được gọi là khối lượng của vật. .. Giới hạn dưới của Ω : z = 0 Vậy I= y 1− 2x − 2 2− x 2 dx 0 f ( x, y, z)dz dy 0 b) Ta viết tích phân bội ba I = 0 f ( x, y, z)dxdzdy Ω Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxz là miền D2 = ( x, z) : 0 x 2; 0 z 1− x 2 Giới hạn trên của Ω : y = 0 − x − 2z Giới hạn dưới của Ω : y = 0 Vậy 1− 2x 2 I= dy 0 0− x −2z f ( x, y, z)dy dz 0 c) Ta viết tích phân bội ba I = 0 f ( x, y, z)dydzdx Ω Hình chiếu của Ω xuống... Định lý 1.4.3 Nếu các hàm f ( x, y, z), g( x, y, z) liên tục trên V thì hàm f ( x, y, z) + g( x, y, z)} khả tích trên V và f ( x, y, z) + g( x, y, z) dxdydz V = f ( x, y, z)dxdydz + V g( x, y, z)dxdydz (1.5) V Chứng minh Giả sử F ( x, y, z) và G ( x, y, z) lần lượt là nguyên hàm của hàm f ( x, y, z) và g( x, y, z) ( Cố định ( x, y) ∈ D là hình chiếu của V trên Oxy) Ta ước lượng tích phân trong tích phân