ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA √ √ +6 i + i) z + = iz + ( + i) ( − i) Tính 10 z +i     1 −2     Câu : Cho hai ma trận A =   B =   1 Tìm ma trận X thỏa B + AX = I, I ma trận đơn vò cấp Câu : Cho z thỏa phương trình ( Câu : Trong IR3 , cho tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + x3 y3 Tìm khoảng cách hai vécto u = ( , , −1 ) v = ( , , ) Câu :  Tìm x1     x  x    x1 sở + + + + số x2 x2 x2 x2 chiều không gian − x3 − x4 = − x3 − x4 = − x3 − x4 = − x3 − x4 = nghiệm hệ 0 0 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế  t ma trận củ  a f sở −1 E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A =     Tìm ma trận f sơ E1 = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân f sinh hai vécto ( , , ) , ( , , ) f ( , , ) = ( −1 , −1 , ) Tìm tất trò riêng vécto riêng ánh xạ f Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 dạng tắc biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp) Nêu rõ phép đổi biến Câu : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1 , X2 ∈ IR2 hai vécto cột, độc lập tuyến tính Biết A · X1 = X2 , A · X2 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A100 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ðáp án ðề đại số tuyến tính 2011 – Ca Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm, câu lại điểm Nếu cách làm đúng, đáp án sai, cho điểm tùy theo mức độ − 3i   π   π  =  cos  −  + i sin  −    −i  12   12     π   π  − + k 2π  − + k 2π      12 ⇒ 10 z = 10  cos  12  + i sin  ,k  10 10             −3 −6  3   − Câu 2: AX = I − 3B =  −9 −3  ⇒ X = A ( I − 3B ) =  −1   −3 −12 −5   −1    Câu 1: z = = 0,1, , −1 −1 −3 −6   33 −10       −9 −3  =  −16   −3 −12 −5   −10 −9      Câu 3: v − u = (1, −1, ) ⇒|| ( v − u ) ||= v − u, v − u = 25 = 1  Câu 4: Viết dạng ma trận:  7  5 −1 −2   1 −1 −2    x1 = − x4     −3 −5   0 −1 −1 −1    x2 = x4 → ⇒ −8 −13   0    x3 = −2 x4    −7 −12   0 0 0    x4 ∈ R Câu 5: Gọi P ma trận chuyển sở từ E sang E1 Tìm P ta giải hệ: 1 1 1 1  2 1     1 1 suy P =  −1  suy ma trận f sở E1 là: 1 1 1  −1 0  2 B = P −1 AP =   −6 Câu 6: Ta có: f −3 −1 −2 11  (1,1, ) = 0, f (1, 2,1) = suy (1,1,2)T (1,2,1)T VTR ứng với TR λ = f (1,1, ) = − (1,1, ) nên (1,1,0)T VTR ứng với TR λ = −1 T T T Vì vecto (1,1,2) , (1,2,1) , (1,1,0) có hạng nên:  E = (1,1, )T , (1, 2,1)T  λ =0  T  Eλ =−1 = (1,1, )  (khơng trị riêng khác nữa) Câu 7: x  32   15  f =  x1 − + x3  +  x2 + x3  − x3 2 15  15   19   x1 = y1 + y − 15 y  15 32 Phép biến đổi:  x = y − y Dạng tắc: f = y12 + y22 − y3  2 15 15   x3 = y   x2   y1 = x1 − + x3   y2 = x2 + x3  Hoặc phép biến đổi  15  y = x3   Câu 8: ta có: A2 X = X 1, A2 X = X nên X1,X2 vecto riêng ứng với TR λ=1 A2, X1,X2 vecto riêng ứng với TR λ=1 ma trận A100 Vì X1,X2 đltt nên A100 khơng TR khác Vây: Eλ =1 ( A100 ) = X , X