Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dạng dạng toán tính khoảng cách Tất toán tính khoảng cách cuối đưa tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong dạng toán này, việc khó khăn dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng Trong tìm hiểu trường hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thường gặp tính khoảng cách từ chân đường vuông góc phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách Đây hai lý thuyết quan trọng cần phải nắm vững để giải toán khoảng cách đề thi đại học THPT Quốc gia Tính khoảng cách từ chân đường vuông góc Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Các bước tính khoảng cách Bước 1: Dựng đường cao AK tam giác ABC Bước 2: Dựng đường cao AH tam giác SAK Bước 3: Chứng minh AH⊥(SBC) suy d(A,(SBC))=AH Bước 4: Tính độ dài AH Chú ý: Trước dựng đường cao AH cần phải xét tính chất tam giác ABC để có cách dựng Nếu tam giác ABC vuông B không cần dựng AK AB đường cao Ta cần dựng đường cao AH tam giác SAB (tương tự tam giác ABC vuông C) Nếu tam giác ABC cân A K trung điểm BC Phương pháp đổi điểm tính khoảng cách Đây phương pháp thường sử dụng Đổi điểm có nghĩa ta chuyển từ việc tính khoảng cách từ điểm sang tính khoảng cách từ điểm khác dễ dàng Mà thông thường ta chuyển chân đường vuông góc để áp dụng trường hợp Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Giả sử việc dựng đường vuông góc từ M đến (P) khó khăn ta lại có điểm N khác M mà việc tính khoảng cách từ N đến (P) dễ dàng thực Ta chuyền toán từ tính khoảng cách từ M đến (P) sang tính khoảng cách từ N đến (P) Ta có hai trường hợp sau: Trường hợp 1: MN song song với (P) Ta có: d(M,(P))=d(N,(P)) Trường hợp 2: MM cắt (P) điểm I Trường hợp ta cần biết tỉ lệ MINI Khi ta có: d(M,(P))d(N,(P))=MINI Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Tính d(A, (SBC)) Phân tích: Ta thấy AB2+AC2=BC2=25⇒ΔABC vuông A Vì ΔABC không vuông B C nên ta dựng đường cao trường hợp Bài giải Trong (ABC), dựng AM⊥BC M Trong (SAM), dựng AH⊥SM H Ta có: BC⊥SABC⊥AM}⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥AH Mà AH⊥SM suy AH⊥(SBC) Vậy d(A, (SBC)) =AH Trong ∆SAM, ta có1AH2=1SA2+1AM2=1SA2+1AB2+1AC2⇒AH=7217−−√ Ví dụ (ĐH khối D – Năm 2003) Cho mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến ∆ vuông góc với Trên ∆ lấy điểm A, B C ∈ (P), D ∈ (Q) cho AC⊥Δ,BD⊥Δ AC = AB = a Tính d(A, (BCD)) Phân tích: (P)⊥(Q),(P)∩(Q)=ΔAC⊥Δ,AC⊂(P)}⇒AC⊥(Q) Ta thấy, ΔABDvuông B nên ta áp dụng dạng để tính khoảng cách Bài giải Trong (ABC), vẽ AH⊥BCtại H Ta có BD⊥AB,DB⊥AC⇒DB⊥(ABC)⇒DB⊥AH Suy AH⊥(BCD) Vậy d(A,(BCD))= AH Xét ∆ABC vuông A, ta có 1AH2=1AB2+1AC2=2a2⇒AH=a2√ Ví dụ (ĐH khối B – Năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vuông cạnh AB = a (SAB)⊥(ABCD),ΔSAB Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) Bài giải Gọi H trung điểm AB Ta có SH⊥AB Vì (SAB)⊥(ABCD)⇒SH⊥(ABCD) SH=a3√2 Vì AB//CD⇒d(A,(SCD))=d(H,(SCD)) Gọi E trung điểm CD Trong mp(SHE), dựng HK⊥SE Mặt khác, ta có HE⊥CDSH⊥CD}⇒CD⊥(SHE)⇒CD⊥KH ⇒HK⊥(SCD) Vậy d(H,(SCD)) = HK Trong tam giác vuông SHE, ta có 1HK2=1SH2+1HE2=73a2⇒HK=a21√7 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông B, (SBC)⊥(ABC), AB = 3a, BC = 4a, SB=2a3√,SBCˆ=300 Tính d(B, (SAC)) Bài giải Kẻ SH⊥BC H vì(SBC)⊥(ABC)⇒SH⊥(ABC) Trong tam giác vuông SHB, ta có cos300=BHSB⇒BH=3a,CH=a Mà BH∩(SAC)=C⇒CBCH=4 Mà CBCH=d(B,(SAC))d(H,(SAC))=4⇒d(B,(SAC))=4.d(H,(SAC)) Tính d(H, (SAC)) Trong mp(HAC), kẻ HE⊥AC mà SH⊥AC⇒AC⊥(SHE)⇒(SAC)⊥(SHE) Trong mp(SHE), dựng HK⊥SE⇒HK⊥(SAC) Vậy d(H, (SAC)) = HK Ta có ΔABC∼ΔHEC⇒ABHE=ACHC⇒HE=3a5 Ta tính HK=3a28√ Vậy d(B, (SAC)) = 4HK = 6a7√ Thông qua ví dụ trên, hy vọng em nắm phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để có định hướng làm Tuy nhiên, toán tính khoảng cách đề thi đại học thường tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phần ta tìm hiểu sau