BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Mỹ Dung NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ở LỚP 10 Chun ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hồi Châu, người tận tình hướng dẫn, động viên tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn: PGS TS Lê Thị Hồi Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Đồn Hữu Hải, TS Trần Lương Cơng Khanh, TS Nguyễn Ái Quốc, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS TS Claude Comiti, PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent nhiệt tình truyền đạt cho chúng tơi kiến thức Didactic q báu TS Nguyễn Xn Tú Hun giúp tơi dịch luận văn sang tiếng Pháp Ban Giám hiệu Thầy Cơ Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, THPT Chun Lê Hồng Phong, THPT Nguyễn Huệ, THTH ĐHSP, THPT Chun Trần Đại Nghĩa, THPT Tạ Quang Bửu, THPT Nguyễn Trãi, THPT Ngơ Quyền, THPT Nguyễn Văn Cừ, THPT Lương Thế Vinh, THPT Bùi Thị Xn, THPT Lê Qúy Đơn TP Hồ Chí Minh THPT Hồng Lê Kha Tây Ninh giúp đỡ tơi hồn thành thực nghiệm cho luận văn Ban Giám hiệu trường ĐHSP TP.HCM, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn, Lãnh đạo chun viên phòng KHCN & SĐH giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tơi Các thành viên lớp cao học Didactic khóa 16 động viên tơi q trình nghiên cứu Trần Thị Mỹ Dung DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thơng SGK : Sách giáo khoa GK9 : Sách giáo khoa tốn đại số – tập hành GKCB : Sách giáo khoa tốn đại số 10 hành GKNC : Sách giáo khoa tốn đại số 10 nâng cao hành BT9 : Sách tập tốn đại số – tập hành BTCB : Sách tập tốn đại số 10 hành BTNC : Sách tập tốn đại số 10 nâng cao hành GV9 : Sách giáo viên tốn đại số – tập hành GVCB : Sách giáo viên tốn đại số 10 hành GVNC : Sách giáo viên tốn đại số 10 nâng cao hành TCTH : Tổ chức tốn học OD : Tổ chức didactic Hệ (m, n) : Hệ gồm m phương trình n ẩn số GV : Giáo viên HS : Học sinh PTTT : Phương trình tuyến tính MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Câu hỏi xuất phát Trong chương trình tốn trường phổ thơng, hệ phương trình tuyến tính xuất hai phạm vi đại số hình học, trước hết với tư cách đối tượng nghiên cứu, sau với tư cách cơng cụ để giải nhiều dạng tốn khác Có hệ thống biểu đạt khác sử dụng để nói đối tượng Khơng vậy, hệ phương trình tuyến tính xuất giải nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, trắc địa, tin học, … sống thường nhật Chính phong phú đa dạng thúc đẩy chúng tơi tìm hiểu thật rõ đối tượng tri thức Câu hỏi mà chúng tơi tự đặt cho là: Q1’: Nhìn từ góc độ tri thức tốn học, có phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính, sở lý thuyết phương pháp ? Ưu, nhược điểm phương pháp? Việc giải hệ phương trình tuyến tính giúp giải vấn đề gì? Tìm học tri thức cho thân thực có ý nghĩa, khai sáng tri thức cho nhiều người ý nghĩa hàng vạn lần Là giáo viên giảng dạy tốn, điều mà chúng tơi mong muốn có giảng thật hay gắn với đối tượng tri thức nhắm đến Một giảng khơng phải lý thuyết mà để sau đó, học sinh thấy cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy biết tri thức mở chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế sống Chính vậy, chúng tơi muốn nghiên cứu thực hành giáo viên dạy học hệ PTTT Tri thức phổ thơng tảng để từ người tự tìm đến miền tri thức cao hơn, xa Với ý nghĩa đó, chúng tơi chọn thời điểm nghiên cứu thực hành GV dạy học hệ PTTT lớp 10 – lớp cuối mà hệ PTTT thức dạy Như vậy, ngồi câu hỏi Q1’, chúng tơi tìm kiếm yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi sau: Q2’: Gắn với đối tượng hệ phương trình tuyến tính, chương trình tốn phổ thơng hành quy định dạy dạy nào? Có khác biệt so với tri thức tốn học? Có yếu tố lẽ tồn khơng xây dựng? Q3’: Trong thực tế dạy học, giáo viên giảng dạy tri thức nào? Có khác biệt, tương đồng tri thức tốn học, tri thức trình bày sách giáo khoa (SGK) tri thức dạy? Q4’: Những lựa chọn chương trình, SGK phổ thơng giáo viên ảnh hưởng đến việc dạy, học, hiểu tri thức? Liệu có lựa chọn tốt hay khơng? Để giải đáp bốn câu hỏi nêu trên, chúng tơi tiến hành tìm kiếm cơng trình nghiên cứu có liên quan đến hệ PTTT Kết cho thấy, có hai luận văn thạc sỹ gắn với nội dung Luận văn thứ tác giả Nguyễn Thị Như Hà, nghiên cứu “Máy tính bỏ túi dạy – học tốn Trường hợp hệ phương trình bậc hai ẩn lớp 10” Luận văn thứ hai Nguyễn Thùy Trang, nghiên cứu “Algorit tham số dạy – học chủ đề phương trình trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc nhiều ẩn” Trong hai luận văn này, chưa có luận văn nghiên cứu hoạt động tác nghiệp giáo viên Vì lẽ đó, chúng tơi chọn đề tài “Nghiên cứu thực hành giáo viên dạy học hệ PTTT lớp 10”  Thế nhưng, vào đâu để đánh giá giáo viên theo hệ câu hỏi nêu trên? Khung lý thuyết tham chiếu Đã từ lâu, tra giáo dục thường dự tiết dạy giáo viên, giám sát hoạt động họ lớp học đưa nhận xét, đánh giá Ở cương vị giáo viên, chúng tơi thường xun làm cơng việc Chúng tơi dựa vào đâu mà đánh giá? Thường là: giáo viên trình bày bảng sao? Sử dụng phương tiện dạy học nào? Có quản lý tốt học sinh lớp hay khơng? Đặc biệt, kiến thức, có sai sót khơng phương pháp giáo viên sử dụng phương pháp gì, có phù hợp với nội dung đối tượng dạy học hay khơng? Như vậy, việc đánh giá chủ yếu dựa vào hai sở: mặt pháp lý, quy định chương trình; mặt cá nhân, kinh nghiệm người dự Những sở dường chưa thực thỏa đáng, đặc biệt yếu tố kinh nghiệm Chính didactic cung cấp cơng cụ cho phép phân tích đánh giá hoạt động tác nghiệp giáo viên Trong cơng cụ đó, chúng tơi giữ lại khái niệm lý thuyết nhân chủng học tìm kiếm yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi Các khái niệm là: Chuyển đổi didactic, Tổ chức tốn học, Quan hệ thể chế, Tổ chức didactic, Quan hệ cá nhân Dưới chúng tơi cố gắng tính thỏa đáng cho lựa chọn phạm vi lý thuyết  Chuyển đổi didactic Q trình hình thành truyền bá tri thức tốn học gồm ba mắc xích bản: hình thành tri thức cộng động bác học sau biến tri thức thành tri thức cần dạy từ tri thức cần dạy biến đổi thành tri thức dạy Nghiên cứu thực hành GV nghiên cứu khâu tri thức dạy GV đóng vai trò Noosphère, người thực vai trò chuyển đổi mắc xích thứ ba Như thế, muốn hiểu xem chuyển đổi GV có thỏa đáng hay khơng, đòi hỏi ta phải đối chiếu tri thức GV giảng dạy với tri thức cần dạy mà chương trình, SGK quy định tri thức tốn học Chính vậy, ta cần vận dụng khái niệm chuyển đổi didactic  Tổ chức tốn học Làm để phân tích độ chênh lệch tri thức nhìn từ góc độ: tri thức tốn học, tri thức cần dạy tri thức dạy? Chính khái niệm tổ chức tốn học cơng cụ hiệu để mơ hình hóa tri thức tốn học, tri thức cần dạy, tri thức dạy dạng tổ chức tốn học Từ đó, tiến hành so sánh, đối chiếu đánh giá tổ chức tốn học để chênh lệch (nếu có)  Quan hệ thể chế Theo quan điểm chuyển đổi didactic, nghiên cứu tri thức góc độ tri thức cần dạy chương trình, SGK tiêu chuẩn tham chiếu để xem xét, đánh giá tính thỏa đáng tri thức giáo viên giảng dạy Do đó, ta cần phải quan hệ thể chế I đối tượng tri thức O Cụ thể, O hệ PTTT I thể chế dạy học tốn bậc THPT hành Để nghiên cứu quan hệ thể chế, đòi hỏi ta phải tiếp cận từ góc độ sinh thái học Theo cách tiếp cận này, đối tượng tri thức O khơng thể tồn lơ lửng mà chúng phải nằm thể chế I có mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O  Tổ chức didactic Quan hệ cá nhân Một nghiên cứu thực hành giảng dạy GV đòi hỏi tất yếu phải trả lời được: GV làm để truyền bá tổ chức tốn học, tri thức tốn học? Tổ chức didactic cơng cụ cho phép tìm yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi Chevallar khơng nghĩ tổ chức tốn học tổ chức nghiên cứu theo cách thức Thế nhưng, Ơng nhận thấy cho dù đường nghiên cứu có khác số kiểu tình thiết phải có mặt, hình thức khác Và Ơng tìm sáu thời điểm nghiên cứu Lý thuyết cho phép mơ tả kỹ thuật cụ thể để phân tích, đánh giá phát triển tổ chức didactic Thơng qua phân tích thực hành giảng dạy O GV, phần xác định GV nghĩ O, hiểu O nào, thao tác O sao, … Đó yếu tố cấu thành nên mối quan hệ cá nhân GV với đối tượng tri thức O 3 Mục đích nghiên cứu luận văn Trong khn khổ luận văn này, điều kiện thời gian nên chúng tơi phải gác câu hỏi Q4’ lại để tập trung vào giải thỏa đáng cho ba câu hỏi Q1’, Q2’, Q3’ Và phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, ba câu hỏi trình bày lại sau:  Q1: Nhìn từ góc độ tri thức tốn học Xét phương diện đối tượng, có kỹ thuật để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nẩy sinh từ nhu cầu giải kiểu tốn nào? Đâu yếu tố cơng nghệ, lý thuyết kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt sử dụng mang lại thuận lợi gì? Xét phương diện cơng cụ, có kiểu nhiệm vụ giải cơng cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi hệ thống biểu đạt; mơ hình hóa gắn với hệ PTTT mang lại thuận lợi gì?  Q2: Nhìn từ góc độ tri thức cần dạy lớp 10 Xét phương diện đối tượng, kỹ thuật khai thác để giải hệ? Có hay khơng yếu tố cơng nghệ, lý thuyết giải thích cho kỹ thuật? Tham chiếu với tri thức tốn học, kỹ thuật khơng có hội xuất hiện? Kỹ thuật lẽ tồn khơng tồn tại? Tại sao? Những hệ thống biểu đạt sử dụng chúng có ảnh hưởng gì? Vấn đề dạy học mơ hình hóa có thể chế quan tâm đến hay khơng? Xét phương diện cơng cụ, kiểu nhiệm vụ giải cơng cụ hệ PTTT đưa vào? So với tri thức tham chiếu, kiểu nhiệm vụ khơng khai thác? Những kiểu nhiệm vụ lẽ tồn khơng tồn tại? Vì sao? Sự chuyển đổi phạm vi hệ thống biểu đạt tính đến nào? Vấn đề dạy học mơ hình hóa thể chế quan tâm đến nào?  Q3: Nhìn từ góc độ tri thức dạy giáo viên Xét phương diện đối tượng, GV khai thác kỹ thuật để giải hệ? Có hay khơng yếu tố cơng nghệ, lý thuyết giải thích cho kỹ thuật? Vấn đề hệ thống biểu đạt, dạy học mơ hình hóa gắn với đối tượng hệ PTTT GV quan tâm đến nào? Xét phương diện cơng cụ, kiểu nhiệm vụ giải cơng cụ hệ PTTT GV khai thác? Sự chuyển đổi phạm vi hệ thống biểu đạt; vấn đề dạy học mơ hình hóa GV tính đến ? Các tổ chức didactics (OD) GV dùng để triển khai TCTH ?  So với nghiên cứu tri thức cần dạy, có khác biệt hay khơng? Vì sao? Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Luận văn chúng tơi nhắm đến việc tìm yếu tố trả lời thích đáng cho ba câu hỏi nêu  Đối với câu hỏi Q1, khơng có điều kiện tư liệu thời gian nên chúng tơi khơng thể dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa tài liệu lịch sử tốn Vì vậy, chúng tơi phân tích số giáo trình tốn dùng trường đại học số giáo trình lịch sử tìm nhằm yếu tố trả lời cho câu hỏi Cơng cụ lý thuyết mà chúng tơi sử dụng mơ hình Tổ chức tốn học lý thuyết nhân chủng Kết trình bày chương sở tham chiếu cho nghiên cứu  Tham chiếu kết thu từ chương 1, chúng tơi sử dụng khái niệm tổ chức tốn học, phân tích sinh thái, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến hành phân tích chương trình tốn trung học phổ thơng phân tích sách giáo khoa tốn lớp 10 hành để trả lời cho câu hỏi Q2 Nghiên cứu trình bày chương  Nghiên cứu hai chương đầu cho phép chúng tơi dự đốn tồn lớp học, điều kiện, ràng buộc hoạt động dạy giáo viên, hoạt động học học sinh, tiến triển thời điểm quan trọng việc học, Đây sở để tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 – tiến hành phân tích thực hành GV Kết nghiên cứu trình bày chương Trong chương này, ngồi việc TCTH thực GV dạy lớp học, chúng tơi làm rõ tổ chức didactic mà GV lựa chọn để triển khai TCTH Cụ thể, dựa vào lý thuyết sáu thời điểm nghiên cứu lý thuyết nhân chủng học, chúng tơi xác định thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà GV triển khai Ngồi ra, từ quan điểm chuyển đổi didactic, chúng tơi chênh lệch (nếu có) TCTH GV dạy lớp học với TCTH cần phải dạy Q1 Tri thức tốn học Q2 Quan hệ thể chế Q3 Giáo Viên  Kết nghiên cứu ba chương đầu cho phép chúng tơi đưa kết luận gắn với thực tế dạy học sở để phát triển tổ chức didactic Dựa vào kết thu từ chương 3, từ việc đánh giá tổ chức tốn học tổ chức didactic kết hợp với kết có từ nghiên cứu hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức tốn học, tri thức cần dạy, chúng tơi có sở để phát triển tổ chức didactic Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NHÌN TỪ GĨC ĐỘ MỘT TRI THỨC TỐN HỌC Mở đầu Nghiên cứu thực chương nhằm làm rõ đặc trưng hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức tốn học Cụ thể, qua nghiên cứu này, chúng tơi muốn tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1: Xét phương diện đối tượng, có kỹ thuật để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nảy sinh từ nhu cầu giải kiểu tốn nào? Đâu yếu tố cơng nghệ, lý thuyết kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt sử dụng mang lại thuận lợi gì? Xét phương diện cơng cụ, có kiểu nhiệm vụ giải cơng cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi hệ thống biểu đạt; mơ hình hóa gắn với hệ PTTT mang lại thuận lợi gì? Như nói phần mở đầu, khơng có điều kiện thời gian tư liệu, chúng tơi khơng thể thực nghiên cứu gốc tài liệu lịch sử tốn học Cùng với vài tài liệu lịch sử tìm được, chúng tơi tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi số giáo trình dành cho sinh viên tốn trường đại học sư phạm, tổng hợp, kỹ thuật, kinh tế Hệ PTTT đối tượng xuất nhiều phân mơn tốn học: đại số tuyến tính, phương pháp tính hình học Chúng tơi phải xem xét giáo trình tất phân mơn Như thế, hệ thống tư liệu tham khảo chúng tơi gồm nhóm :  Nhóm giáo trình đại số tuyến tính: Những giáo trình sau chúng tơi xem xét : - Nguyễn Viết Đơng – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ (2003), Tốn cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục - Tạ Văn Hùng – Nguyễn Phi Khứ - Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính, NXB Thống Kê - Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính kỹ thuật, Tủ sách trường Đại học Đại Cương, NXB Đại học Trung học chun nghiệp - V.V Voevơđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học trung học chun nghiệp, NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova Bản dịch NXB ĐH THCN  Nhóm giáo trình hình học: Phân mơn Hình học có chương trình dành cho trường đại học sư phạm tổng hợp Giáo trình mà chúng tơi tham khảo là: - Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục  Nhóm giáo trình phương pháp tính: - Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM - Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội - Lê Văn Hạp – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính thuật tốn, NXB Giáo Dục  Nhóm tài liệu lịch sử: chúng tơi sử dụng tư liệu đăng tải hai trang web: - J J O'Connor and E F Robertson, “Matrices and determinants”, http://wwwgroups.dcs.stnd.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html - “A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”, http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html Kết nghiên cứu chương chúng tơi trình bày thành hai phần: hệ PTTT với tư cách đối tượng với tư cách cơng cụ tốn học Trong phần thứ nhất, chúng tơi làm rõ hệ thống biểu đạt dùng để biểu diễn đối tượng hệ PTTT đặc biệt lợi ích chúng việc nghiên cứu kỹ thuật giải hệ phương trình Trong phần thứ hai, chúng tơi tác động hệ PTTT hai tổ chức tốn học liên quan đến hai tốn hình học - biểu thị tuyến tính vectơ qua hệ hữu hạn vectơ nghiên cứu tương giao phẳng 1.1 Hệ phương trình tuyến tính xét phương diện đối tượng 1.1.1 Hệ PTTT hệ thống biểu đạt Một hệ PTTT biểu thị ba ngơn ngữ    Một hệ gồm m phương trình n ẩn số x1, x2, , xn m, n  * có dạng a11x1  a12 x   a1n x n  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n (1.1)   a m1x1  a m2 x   a mn x n  b m với a ij , bi  K (i  1, m; j  1, n ) , K trường số thực hay số phức, gọi hệ PTTT (m phương trình, n ẩn số) K Nghiệm hệ (1.1) n số thứ tự (c1, c2¸ , cn)   n cho thay xj = cj  j  1, n  vào phương trình hệ (1.1) ta nhận đồng thức K  Phương trình ma trận  m x n Bằng cách đưa vào kí hiệu A  a ij a11 a12 a1n   b1  b  a a a  21 22 2n , B  ,           b m  a m1 a m2 a mn   x1  x  X =   (và gọi chúng ma trận hệ số ẩn, ma trận cột hệ số tự      x n  do, ma trận cột ẩn), người ta viết hệ phương trình (1.1) dạng AX = B (1.2) Cách viết gọi dạng ma trận hệ phương trình (1.1)  Phương trình vectơ Ta viết hệ phương trình (1.1) dạng n  a x j 1 ij j  bi ; i  1, m a1 j    a2 j Nếu kí hiệu A j    , j  1, n , hệ (1.1) lại viết lại dạng :   amj  x1A1 + x2A2 + + xnAn = B (1.3) hay n x A j 1 j j  B “Ta bảo cột tự B biểu thị tuyến tính qua hệ n cột A1, A , , A n  A tổ hợp tuyến tính x1A1 + x2A2 + + xnAn Như vậy, nghiệm (1.1) cho ta cách biểu thị tuyến tính B qua A1, A , , A n  Giải hệ (1.1) tương đương với q trình tìm tất cách biểu thị B qua A1, A , , A n  ” (Nguyễn Viết Đơng tác giả, tr 97) Vì khơng gian ma trận cột cấp m  khơng gian vectơ m chiều nên phương trình (1.3) gọi dạng vectơ hệ (1.1), giải hệ có nghĩa biểu diễn vectơ qua hệ vectơ cho Như thế, có ba hệ thống biểu đạt, hay gọi ba ngơn ngữ để viết hệ PTTT Để thuận tiện trình bày, chúng tơi gọi chúng ngơn ngữ hệ, ngơn ngữ ma trận, ngơn ngữ vectơ Với ngơn ngữ hệ, giải hệ PTTT ta phải biến đổi trực tiếp phương trình (có hệ số biến số) Điều làm cho lời giải cồng kềnh, đặc biệt với hệ có số phương trình số ẩn tương đối lớn Lịch sử để khắc phục nhược điểm mà khái niệm ma trận nẩy sinh từ q trình nghiên cứu kỹ thuật giải hệ PTTT Có lẽ lý mà tất giáo trình đại học chúng tơi tham khảo trình bày khái niệm hệ PTTT ngơn ngữ ma trận Lúc này, việc giải hệ PTTT tương đương với việc giải phương trình ma trận Ở đây, người ta thực biến đổi ma trận số Như chúng tơi phần dưới, làm rõ tổ chức tốn học gắn với kiểu nhiệm vụ “giải hệ PTTT”, cách biểu đạt mang lại nhiều lợi cho việc tìm kỹ thuật giải vấn đề Ưu cách biểu đạt hệ PTTT ma trận dường khơng giữ với ngơn ngữ vectơ Tuy nhiên, loại ngơn ngữ thứ ba lại cho thấy vai trò cơng cụ hệ PTTT tốn “biểu thị tuyến tính vectơ qua hệ hữu hạn vectơ” Vấn đề chúng tơi làm rõ phần 1.2 (hệ PTTT phương diện cơng cụ) chương 1.1.2 Về kiểu nhiệm vụ kiểu nhiệm vụ T* “Giải hệ phương trình tuyến t ính” Luận văn Thạc sĩ “Algorith tham số dạy - học chủ đề phương trình trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc nhiều ẩn” tác giả Nguyễn Thùy Trang (2005), ĐHSP Tp.HCM gần với vấn đề mà chúng tơi nghiên cứu phần Tác giả đề cập đến tổ chức tốn học (TCTH) gắn với hai kiểu nhiệm ) vụ: TR(m,n ) - giải hệ PTTT khơng chứa tham số TR(m,n  D - giải hệ PTTT có chứa tham số (R, D tương ứng chữ hai từ résoudre, discuter tiếng Pháp Ở hai từ sử dụng với nghĩa “giải” “biện luận”) Trong bảng 1.1 bảng 1.2 đây, chúng tơi liệt kê lại kỹ thuật mà tác giả để giải ) kiểu nhiệm vụ TR(m,n) , TR(m,n  D Hệ thống ký hiệu tác giả chúng tơi giữ ngun Để tránh dài dòng khơng cần thiết, chúng tơi khơng nêu yếu tố cơng nghệ lý thuyết mà tác giả làm rõ Bảng 1.1: Các kỹ thuật giải hệ PTTT khơng chứa tham số Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật  (n,n) Cr - Kỹ thuật giải hệ Cramer Giải trực tiếp - Kỹ thuật đưa hệ Cramer  (m,n) Cr  G - Kỹ thuật Gauss  G J - Kỹ thuật Gauss - Jordan TR(m,n ) Giải hệ PTTT khơng chứa tham số  Cho - Kỹ thuật Cholesky Giải gián tiếp  Rac - Kỹ thuật bậc hai  Orth - Kỹ thuật trực giao  Ite - Kỹ thuật lặp đơn Sei - Kỹ thuật Seidel Bảng 1.2: Các kỹ thuật giải hệ PTTT có chứa tham số Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật )  (m,n - Kỹ thuật đưa hệ Cramer Cr ) TR(m,n D Giải hệ PTTT có chứa tham số  Cramer - Kỹ thuật Cramer (định thức)  G - Kỹ thuật Gauss  G J - Kỹ thuật Gauss – Jordan Tán thành với Nguyễn Thùy Trang, chúng tơi phân kiểu nhiệm vụ T* - “giải hệ PTTT” thành T- “giải hệ PTTT khơng có tham số” Tts - “giải hệ PTTT có chứa tham số” (ts: tham số), cách tốt để làm rõ tầm ảnh hưởng kỹ thuật gắn với T* Cặp (m, n) tương ứng số phương trình số ẩn hệ Để thuận tiện, chúng tơi nói hệ (m, n) thay cho hệ PTTT gồm m phương trình, n ẩn Cách gọi “kỹ thuật giải hệ Cramer” tác giả Nguyễn Thùy Trang đề nghị có lẽ khơng hồn tồn xác, nên chúng tơi thay “kỹ thuật Cramer” Kỹ thuật áp dụng cho hệ Cramer Vả lại, thực khơng có khác biệt kỹ thuật giải hệ (m, n) với m  n hệ (n, n) khơng phải hệ Cramer Rõ ràng, khác biệt nằm chỗ hệ phương trình có phải hệ Cramer hay khơng Vì hai lý mà chúng tơi tách T thành hai kiểu nhiệm vụ TC “giải hệ phương trình Cramer khơng chứa tham số” TC - “giải hệ khơng có tham số khơng phải hệ Cramer” Đối với kiểu nhiệm vụ Tts thay cho kỹ thuật Cramer (bảng 1.2) chúng tơi nói đến “kỹ thuật định thức” Cách gọi bao trùm kỹ thuật Cramer Nó kỹ thuật dùng để giải khơng hệ Cramer mà hệ (n, n) (có số phương trình số ẩn nhau) Như chúng tơi phần dưới, cách phân hệ PTTT có chứa tham số thành hai dạng, tùy thuộc vào chỗ số phương trình số ẩn có hay khơng, thuận lợi cho việc nghiên cứu sách giáo khoa phân tích thực hành giáo viên sau Sơ đồ trình bày cách phân loại kiểu nhiệm vụ chúng tơi T*- Giải hệ PTTT T - Giải hệ PTTT khơng có tham số TC - Giải hệ khơng có tham số (khơng phải hệ Cramer) Tts - Giải hệ PTTT có tham số TC - Giải hệ Cramer Tts(m,n ) - Giải hệ (m, n) khơng có tham số có tham số (m  n) T ts( n , n ) - Giải hệ (n, n) có tham số 1.1.3 Về kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ T Như bảng 1.1 ra, Nguyễn Thùy Trang phân kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ T (giải hệ PTTT khơng có tham số) thành nhóm - nhóm kỹ thuật giải trực tiếp nhóm kỹ thuật giải gián tiếp Tác giả giải thích sở cho phân nhóm kỹ thuật là: nhóm phương pháp trực tiếp (nhóm phương pháp giải đúng) có đặc điểm chung sau số hữu hạn phép tính có kết nhóm phương pháp gián tiếp phương pháp giải “gần đúng” hay phương pháp lặp Nhưng thực kỹ thuật Cholesky, bậc hai trực giao cho kết Hơn thế, ngun tắc kỹ thuật Gauss ln cho nghiệm đúng, thực tế, chuyển từ phân số sang cách viết thập phân lại tạo sai số Vì lý chúng tơi khơng phân biệt kỹ thuật thành hai nhóm bảng 1.1 Ngồi ra, mục đích nghiên cứu có gắn với hệ PTTT xét phương diện cơng cụ sau gắn với hoạt động tác nghiệp giáo viên, chúng tơi phân tích sâu kỹ thuật Gauss Cụ thể, để thấy quan tâm đến sai số thân kỹ thuật Gauss, chúng tơi phân thành Gauss ngun thủy, Gauss với phép chọn bán phần, Gauss với phép chọn tồn phần Hơn thế, kỹ thuật, chúng tơi cố gắng rõ nguồn gốc nẩy sinh, ưu điểm, hạn chế hay nói cách khác đánh giá tầm ảnh hưởng Cần phải nói thêm rằng, số trang hạn chế luận văn, chúng tơi khơng trình bày chi tiết kỹ thuật Ngồi ra, yếu tố cơng nghệ, lý thuyết kỹ thuật kiến thức hệ phương trình tương đương ma trận nên chúng tơi khơng nhắc lại chúng Bạn đọc tìm thấy phân tích chi tiết luận văn Nguyễn Thùy Trang 1.1.3.1 Các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ TC (giải hệ PTTT khơng có tham số khơng phải hệ Cramer) Như Nguyễn Thùy Trang ra, gắn với kiểu nhiệm vụ TC có kỹ thuật sử dụng: kỹ thuật đưa hệ Cramer  Cr , kỹ thuật Gauss – Jordan  G J , kỹ thuật Gauss  (m,n) G  Kỹ thuật đưa hệ Cramer  Cr Xét hệ PTTT viết dạng ma trận AX = B Gọi A  [ A | B] ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình, có cách ghép thêm cột tự B vào bên phải A Kỹ thuật gồm bước:  Tính định thức A, A để tìm định thức D(r), D(r’) khác khơng có cấp cao A, A (định thức sở): rank(A) = r rank ( A ) = r’  Nếu r < r’ hệ phương trình vơ nghiệm  Nếu r = r’ hệ phương trình có nghiệm  Từ định thức sở D(r),  Xác định phương trình chính: hàng hệ số phương trình chứa dòng D(r) Bỏ phương trình khơng  Xác định ẩn số chính: cột hệ số ẩn chứa cột D(r) Các ẩn lại gọi ẩn tự do, chuyển sang vế phải xem tham số Ta thu hệ Cramer r ẩn  Giải hệ (r, r) cơng thức Cramer x j  Dj D , j  1, r dùng ma trận nghịch đảo X '  A '1 B'  Nhận xét Trong lịch sử, có nhiều tốn thực tế mà lời giải bao hàm hệ PTTT Kỹ thuật đưa hệ Cramer thời gian dài sử dụng ngun tắc cho phép giải hệ PTTT Kỹ thuật có điểm thuận lợi phương diện nghiên cứu lý thuyết (cơng thức nghiệm đưa rõ ràng) lại bất tiện phương diện thực hành (phải tính nhiều định thức hệ phương trình có kích cỡ vừa đủ lớn (số phương trình hay số ẩn lớn) hay hệ số số lẻ) Chính vậy, kỹ thuật khơng giáo trình ứng dụng (phương pháp tính, phương pháp số) mơ tả Điều xẩy lịch sử, mà câu hỏi thiên văn trắc địa học dẫn đến hệ phương trình với số phương trình lớn Hạn chế  Cr khắc phục dần với kỹ thuật Gauss- Jordan Gauss  Kỹ thuật Gauss – Jordan  G J Ở người ta tìm rank(A) rank ( A ) (bằng cách tính định thức con) làm tương tự kỹ thuật  Cr Riêng với trường hợp hệ phương trình có nghiệm, sau đưa hệ Cramer r ẩn chính, thay dùng cơng thức Cramer, kỹ thuật sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận hệ số ẩn dạng tắc (ma trận đơn vị cấp r) Từ đó, thu nghiệm tổng qt hệ cho theo (n - r) ẩn tự  Nhận xét So với kỹ thuật đưa hệ Cramer, dùng kỹ thuật Gauss - Jordan ta khơng phải tính định thức hệ có nghiệm mà thay vào việc thực phép biến đổi sơ cấp ma trận Tuy nhiên, kỹ thuật  G J điểm bất tiện việc tính định thức cần phải trải qua để xác định rank(A) rank( A ) Do đó, kỹ thuật gây khó khăn hệ phương trình có kích cỡ lớn  Kỹ thuật Gauss  G : Yếu điểm hai kỹ thuật khắc phục kỹ thuật Gauss Bằng phép biến đổi sơ cấp dòng song song với việc tính hạng A A , kỹ thuật  G đồng thời đưa hệ cho dạng đơn giản vừa cho biết hệ vơ nghiệm hay khơng có dễ dàng tìm nghiệm “Số phép tính nhân cần thực theo kỹ thuật Gauss nhỏ số phép tính nhân theo qui tắc Cramer lớn Cũng với hệ (30,30) máy tính trước, chúng có 0,54 phần tỷ giây để giải phương pháp Gauss thay 378.080 tỷ năm qui tắc Cramer.” (Trần Văn Trản, tr.181) Kỹ thuật mơ tả sau :  Lập ma trận mở rộng A =[A|B] Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận A để đưa A dạng bậc thang dòng A ' =[A’|B’]  Căn vào hạng A’ hạng A ' để kết luận số nghiệm hệ phương trình Cụ thể:  Nếu rank(A’) < rank ( A ' ) hệ vơ nghiệm  Nếu rank(A’) = rank ( A ' ) = n hệ có nghiệm  Nếu rank(A’) = rank ( A ' ) = r < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc (n – r) tham số Trường hợp dạng bậc thang dòng A’ tồn định thức cấp r, Dr  , Dr gọi định thức sở Tính ẩn theo tham số (ẩn tự do) ta nghiệm tổng qt hệ phương trình cho Ý tưởng kỹ thuật Gauss khử dần ẩn số Từ xuống dưới, số ẩn phương trình giảm dần, phương trình cuối (khơng kể phương trình ứng với dòng khơng bị bỏ đi) ẩn Tùy thuộc vào phép biến đổi sơ cấp dòng lựa chọn để đưa ma trận mở rộng A dạng bậc thang dòng A ' mà ta có kỹ thuật thuộc loại Gauss ngun thủy  G a , Gauss với phép chọn bán phần  G a , Gauss với phép chọn tồn phần  G a ii *j ij Nói cách khác, kỹ thuật khác khâu đưa A dạng bậc thang Vì thế, chúng tơi mơ tả phép biển đổi sơ cấp mà kỹ thuật lựa chọn cho khâu  Phép biến đổi sơ cấp kỹ thuật Gauss ngun thủy  G a : ii - Ở bước khử đầu tiên, lấy dòng A nhân với đại lượng  a i1 a11 (giả thiết a11  ) cộng vào dòng thứ i, khử biến x1 PT thứ i (với i  2, m ) - … - Bằng cách tương tự, bước khử thứ k, ta lấy dòng thứ k ma trận A /k (ma trận A sau bước biến đổi thứ k) nhân với  a ik (giả thiết a kk  ) cộng a kk vào dòng thứ i, ta khử xk phương trình thứ i Thực tối đa qua m-1 bước khử, hệ phương trình cho đưa hệ tương đương có dạng bậc thang  Nhận xét : “Kỹ thuật Gauss ngun thủy có hai yếu điểm Một là, bước khử đó, phần tử đường chéo khơng cơng việc bị dừng lại Hai là, phần tử đường chéo khác khơng có trị tuyệt đối nhỏ phần tử khác cột chia cho làm tăng sai số tương đối, khuếch đại sai số làm tròn số, dẫn đến lời giải bị biến dạng mạnh.” (Trần Văn Trản, tr.182) Hai nhược điểm khắc phục dần thuật tốn khử kết hợp với phép chọn bán phần, phép chọn tồn phần sau  Phép biến đổi sơ cấp kỹ thuật Gauss với phép chọn bán phần  Ga *j Ngay từ bước 1, người ta chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn cột Nếu phần tử nằm dòng k  k  1 đổi vị trí dòng cho dòng thực tiếp thủ tục khử bước khử kỹ thuật Gauss ngun thủy Đến bước 2, lại chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn cột hai (từ dòng trở xuống), làm phép đổi vị trí dòng chứa phần tử với dòng (nếu cần thiết) thực phép khử bước khử thứ hai kỹ thuật Gauss ngun thủy Cứ vậy, tất bước khử ta thực phép chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn cột tương ứng hốn đổi vị trí dòng trước tiến hành phép khử  Phép biến đổi sơ cấp kỹ thuật Gauss với phép chọn tồn phần  Ga ij Ở đây, từ bước khử đầu tiên, ta khơng chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn cột mà chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn tất phần tử a ij (i  1, m, j  1, n) tồn ma trận Giả sử phần tử apq nằm dòng thứ p cột thứ q Ta gọi dòng p dòng trội Lần lượt ta nhân dòng với thừa số mi   a iq a pq  i  p  cộng kết vào dòng thứ i Bằng cách này, ta loại bỏ ẩn xq khỏi phương trình hệ, trừ phương trình thứ p Loại dòng trội cột q khỏi hệ phương trình vừa biến đổi, ta thu hệ gồm m-1 phương trình Tiếp tục thực bước khử với hệ Ta cần thực tối đa (min(m,n)-1) bước khử có hệ phương trình bậc thang gồm dòng trội bước khử 1.1.3.2 Các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ TC (Giải hệ Cramer khơng có tham số) Hệ Cramer hệ PTTT có số phương trình số ẩn ma trận hệ số ẩn khơng suy biến (ma trận có định thức khác khơng) Đối với hệ phương trình này, hai kỹ thuật Gauss – Jordan  G J Gauss  G sử dụng Thay cho kỹ thuật đưa hệ Cramer  Cr kỹ thuật Cramer  Cr , cần áp dụng cơng thức Cramer để tìm nghiệm Ngồi ra, ma trận hệ số ẩn khơng suy biến nên người ta giải kiểu nhiệm vụ TC ba nhóm kỹ thuật khác: nhóm kỹ thuật phân rã, nhóm kỹ thuật trực giao nhóm kỹ thuật lặp Chúng tơi khơng trình bày chi tiết nhóm kỹ thuật này, giới thiệu ý đồ chúng Bạn đọc quan tâm tìm hiểu qua giáo trình tham khảo (sẽ giới thiệu tương ứng)  Nhóm kỹ thuật phân rã   : Nhóm kỹ thuật đời từ nhu cầu giải tốn thực tế cơng nghiệp kinh doanh Ở người ta phải giải chuỗi hệ phương trình có ma trận hệ số ẩn giống nhau: AX = B1, AX = B2, …, AX = Bp Tư tưởng chung nhóm kỹ thuật phân rã ma trận A thành tích hai ma trận tam giác đặc biệt S, V Sau đó, thay giải hệ phương trình ban đầu AX = B, ta việc giải hai hệ PTTT dạng tam giác đặc biệt : SY= B VX = Y Việc phân tích A thành tích S.V cần thực lần lại dùng để giải nhiều hệ PTTT có ma trận hệ số ẩn Đây ưu điểm kỹ thuật so với kỹ thuật trước Có ba cách phân tích ma trận A thành tích S.V Chúng gọi kỹ thuật Cholesky   Cho , kỹ thuật phân rã LU   LU , kỹ thuật bậc hai   Kỹ thuật Cholesky   Cho : Phân tích: A = SV, S ma trận tam giác dưới, V ma trận tam giác với phần tử chéo Người ta tìm cơng thức xác định phần tử ma trận S V từ có cơng thức tìm nghiệm hệ phương trình (tham khảo Nguyễn Chí Long, tr 127)  Kỹ thuật bậc hai   Đây trường hợp đặc biệt kỹ thuật Cholesky ma trận A ma trận đối xứng, nghĩa a ij  a ji (i, j  1, n ) (tham khảo Nguyễn Chí Long, tr 131)  Kỹ thuật phân rã LU   LU Tương tự kỹ thuật Cholesky, phân rã A thành tích ma trận L U, L ma trận tam giác với phần tử chéo U ma trận tam giác (tham khảo Trần Văn Trản, tr.190)  Nhóm kỹ thuật trực giao Đối với hệ Cramer AX=B, ưu điểm kỹ thuật Cramer đưa cơng thức nghiệm X=A-1B Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A 1 ma trận A khơng đặc biệt khơng phải đơn giản Nhưng, A ma trận trực giao A 1  A T (chuyển vị ma trận A) Như vậy, nghiệm X  A T B hệ tìm cách dễ dàng Kết hợp tư tưởng với tư tưởng phân rã ma trận hệ số A (nhóm kỹ thuật phân rã), nhóm kỹ thuật trực giao tiến hành phân tích ma trận hệ số A thành tích hai ma trận đặc biệt: ma trận ma trận trực giao gần trực giao (có cột trực giao, hàng trực giao) ma trận tam giác  Kỹ thuật trực giao hóa cột  cot : Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận S, V, với S ma trận có cột trực giao, V ma trận tam giác có phần tử chéo Người ta tìm cơng thức cho phép xác định S, V sau nghiệm hệ phương trình (tham khảo Trần Văn Trản, tr 275) [...]... trò công cụ của hệ PTTT đối với bài toán “biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ” Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ hơn trong phần 1.2 (hệ PTTT trên phương diện công cụ) của chương 1.1.2 Về các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T* “Giải hệ phương trình tuyến t ính” Luận văn Thạc sĩ “Algorith và tham số trong dạy - học chủ đề phương trình ở trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc... ra tác động của hệ PTTT trong hai tổ chức toán học liên quan đến hai bài toán hình học - biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ và nghiên cứu sự tương giao của các phẳng 1.1 Hệ phương trình tuyến tính xét trên phương diện đối tượng 1.1.1 Hệ PTTT và các hệ thống biểu đạt Một hệ PTTT có thể được biểu thị ít nhất bằng ba ngôn ngữ    Một hệ gồm m phương trình của n ẩn số x1, x2, , xn... trên phương diện thực hành (phải tính rất nhiều định thức khi hệ phương trình có kích cỡ chỉ mới vừa đủ lớn (số phương trình hay số ẩn lớn) hay các hệ số là số lẻ) Chính vì vậy, kỹ thuật này không được các giáo trình ứng dụng (phương pháp tính, phương pháp số) mô tả Điều này cũng xẩy ra trong lịch sử, khi mà những câu hỏi về thiên văn và trắc địa học đã dẫn đến các hệ phương trình với số phương trình. .. quả nghiên cứu của chương được chúng tôi trình bày thành hai phần: hệ PTTT với tư cách một đối tượng và với tư cách một công cụ toán học Trong phần thứ nhất, chúng tôi sẽ làm rõ những hệ thống biểu đạt được dùng để biểu diễn đối tượng hệ PTTT và đặc biệt là lợi ích của mỗi một trong chúng đối với việc nghiên cứu các kỹ thuật giải hệ phương trình Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra tác động của hệ. .. nhất của A, A (định thức con cơ sở): rank(A) = r và rank ( A ) = r’  Nếu r < r’ thì hệ phương trình vô nghiệm  Nếu r = r’ thì hệ phương trình có nghiệm  Từ một định thức con cơ sở D(r),  Xác định các phương trình chính: hàng hệ số của phương trình chính chứa 1 dòng của D(r) Bỏ các phương trình không chính  Xác định các ẩn số chính: cột hệ số của ẩn chính chứa 1 cột của D(r) Các ẩn còn lại gọi là... Nhóm giáo trình hình học: Phân môn Hình học chỉ có trong chương trình dành cho các trường đại học sư phạm và tổng hợp Giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo là: - Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục  Nhóm giáo trình phương pháp tính: - Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM - Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội... chỉ hệ Cramer mà còn là mọi hệ (n, n) (có số phương trình và số ẩn bằng nhau) Như chúng tôi sẽ chỉ ra trong phần dưới, cách phân các hệ PTTT có chứa tham số thành hai dạng, tùy thuộc vào chỗ số phương trình và số ẩn có bằng nhau hay không, sẽ thuận lợi hơn cho việc nghiên cứu sách giáo khoa cũng như phân tích thực hành của giáo viên sau này Sơ đồ dưới đây trình bày cách phân loại các kiểu nhiệm vụ của. .. là ma trận các hệ số của ẩn, ma trận cột hệ số tự      x n  do, ma trận cột các ẩn), người ta có thể viết hệ phương trình (1.1) ở dạng AX = B (1.2) Cách viết này được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình (1.1)  Phương trình vectơ Ta còn có thể viết hệ phương trình (1.1) dưới dạng n  a x j 1 ij j  bi ; i  1, m a1 j    a2 j Nếu kí hiệu A j    , j  1, n , thì hệ (1.1) lại được... vừa biến đổi, ta thu được hệ gồm m-1 phương trình Tiếp tục thực hiện bước khử kế tiếp với hệ mới này Ta chỉ cần thực hiện tối đa là (min(m,n)-1) bước khử sẽ có hệ phương trình bậc thang gồm các dòng trội ở các bước khử 1.1.3.2 Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ TC (Giải hệ Cramer không có tham số) Hệ Cramer là hệ PTTT có số phương trình bằng số ẩn và ma trận các hệ số của ẩn không suy biến (ma... các phương trình (có cả hệ số và biến số) Điều đó làm cho lời giải khá cồng kềnh, đặc biệt với những hệ có số phương trình và số ẩn tương đối lớn Lịch sử đã chỉ ra rằng chính vì để khắc phục nhược điểm này mà khái niệm ma trận đã nẩy sinh từ quá trình nghiên cứu kỹ thuật giải các hệ PTTT Có lẽ cũng vì lý do đó mà tất cả các giáo trình đại học chúng tôi đã tham khảo đều trình bày khái niệm hệ PTTT bằng