Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh Một số bài toán tổng hợp hình học phẳng kỳ i ( lớp 9) Bài toán hệ thức. 1.Cho ABC, AB = 1, à A =105 0 , à B =60 0 . Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED//AB ( D thuộc AC). Chứng minh rằng: 2 2 1 1 4 3 AC AD + = 2.Cho hình thoi ABCD với à A = 120 0 . Tia Ax tạo với tia AB thành ã 0 15xAB = và cắt cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 4 3AM AN AB + = 3.Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt CD tại F. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 4AE FA AB + = 4.Cho hình chữ nhật ABCD với AD = mAB (m > 0). Lấy điểm M trên cạnh BC, đờng thẳng AM cắt đờng thẳng CD tại P. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1m AM AP AB + = 5.Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 AE FA AD + = 6.Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD BC, OE CA, OF AB. Hãy xác định vị trí của điểm O để OD 2 +OE 2 +OF 2 nhỏ nhất. 7.Cho ABC có à A =120 0 , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a 2 = b 2 +c 2 +bc 8.Cho ABC có BC = a, AC = b, AB = c và các đờng cao tơng ứng lần lợt là ha, hb, hc. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 4 a a b c h a b c a b c h h h a b c + + + + + + + + Dấu = khi nào? 9.Cho ABC vuông cân đỉnh A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: 2MA 2 = MB 2 + MC 2 10.Cho ABC có à B =30 0 . Dựng phía ngoài ABC, ACD đều. Chứng minh rằng: BD 2 = AB 2 + BC 2 11.Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thoả mãn: cos 2 a+cos 2 b+cos 2 c2. Chứng minh: (tga. tgb. tgc) 2 1/8. 12.Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức: 2 sin 2 sin 2 sin CBA P = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy? 1 Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh 13.Cho ABC có các đờng trung tuyến MB, NC vuông góc với nhau, chứng minh rằng: cotgB + cotgC 2 3 Bài toán 1: Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB. Từ điểm A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lợt tại E, F. 1. Chứng minh A, E, M, O thuộc một đờng tròn. 2. Chứng minh EO OF. 3. Chứng minh EF = AE+BF và AE.BF là không đổi khi M di chuyển trên nửa đ- ờng tròn (O). 4. Tìm vị trí của M để chu vi tứ giác( hoặc diện tích) tứ giác AEFB nhỏ nhất. 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp EOF. 6. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? vì sao? 7. Gọi I là giao điểm của MO và PQ. Tìm quỹ tích của I khi M di chuyển trên nửa đờng tròn (O). 8. Kẻ MH AB( H thuộc AB). Chứng minh EB đi qua trung điểm của MH. 9. Cho EO = a. Tính MH theo R và a. 10. Gọi r là bán kính của đờng tròn nội tiếp EOF. Chứng minh rằng: 1 1 3 2 r R < < Bài toán 2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên trên đ- ờng tròn khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax tại C, cắt By tại D và cắt đờng thẳng BA tại E. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng: 1. CN CM NB MD = và suy ra MN AB. 2. ã 0 90COD = 3. DM CM DE CE = 4. N là trung điểm của MH. 5. Cho OD = d; OB = R.Tính MH theo d và R. Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đờng tròn. 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB 3) Chứng minh ABP vuông. 4) Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình ABKI lớn nhất. Bài toán 4: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên nửa đờng tròn lấy điểm M ( khác điểm A, B) vẽ tiếp tuyến xy tại M. Kẻ AD, BC vuông góc với xy tại D, C. 1. Chứng minh MD = MC. 2. Chứng minh AD + BC không đổi khi M thay đổi trên nửa đờng tròn (O). 2 Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh 3. Chứng minh AD, AB là tiếp tuyến của đờng tròn (M) đờng kính DC.( hoặc là kẻ MH AB tại H. Chứng minh rằng DH HC và MH 2 = AD.BC ). 4. Tìm vị trí của M trên nửa đờng tròn sao cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất. Bài toán 5: Cho nửa đờng tròn (O;R), AB = 2R. Vẽ dây AC = R, BD = 2 R. 1. Chứng minh rằng ã 0 60 ; .AOC OB OD= 2. Kẻ AE CD và BF CD. Chứng minh CE = DF. 3. Tính EF theo R. 4. Chứng minh rằng ABFE ACB ADB S S S = + Bài toán 6: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB tới đờng tròn (O) với A, B là hai tiếp điểm. Gọi H là chân đờng vuông góc vẽ từ A đến đờng kính BC của đờng tròn. Chứng minh rằng, PC cắt AH tại trung điểm E của AH. Bài toán 7: Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB. Bán kinh OC AB, M là điểm trên nửa đờng tròn (O) ( khác A, B). Tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại M cắt OC và cắt tiếp tuyến tại A lần lợt tại D và E, AE cắt BD tại F. Chứng minh rằng EA.EF = R 2 . Bài toán 8: Cho ABC nhọn. Gọi O là trung điểm của BC dựng đờng tròn tâm O đờng kính BC, vẽ đờng cao AD của ABC và các tiếp tuyến AM, AN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN và AD. Chứng minh rằng AE.AD = AM 2 . Bài toán 9: Cho đờng tròn (O;r) nội tiếp ABC tiếp xúc BC tại D vẽ đờng kính DE; AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng BD = MC. Bài toán 10: Cho ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R). H là trực tâm của ABC, vẽ OK BC. 1. Chứng minh rằng AH = 2OK. 2. G là trọng tâm của ABC. Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng. Bài toán 11: Cho ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm AB. E là trọng tâm ACD. Chứng minh rằng OE CD. Bài toán 12: Cho 2 đờng tròn đồng tâm O có bán kính R, r (R > r). A và M là 2 điểm thuộc đờng tròn nhỏ ( A chuyển động, M cố định). Qua điểm M, ta vẽ dây BC của đờng tròn lớn sao cho BC AM. Chứng minh rằng: 1. MA 2 +MB 2 +MC 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A. 2. Trọng tâm G của ABC là điểm cố định. Bài toán 13: Cho đờng tròn (O) đờng kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) ( A khác B, C). Đờng phân giác trong của à A của ABC cắt đờng tròn (O) tại K (K khác A), hạ AH BC. 1. Đặt AH = x tính diện tích ABC theo R, x. Tìm x sao cho diện tích ABC đạt giá trị lớn nhất. 2. Chứng minh rằng khi A thay đổi tổng AH 2 +HK 2 luôn là đại lợng không đổi. 3 Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh 3. Tính à B của ABC, biết rằng 3 5 AH HK = Bài toán 14: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Kẻ một dây AC. Gọi M là điểm chính giữa của cung AC. H là giao điểm của OM và AC. 1) Chứng minh OM//BC. 2) Từ C kẻ tia song song và cùng chiều với tia BM, tia này cắt đờng thẳng OM tại D. Chứng minh MBCD là hình bình hành. 3) AM kéo dài cắt CD tại K. Đờng thẳng KH cắt AB tại P. Chứng minh APH đồng dạng với ACB. Bài toán 15: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, dây AC và tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn ( Bx cùng trong nửa mặt phẳng bờ AB). Đờng phân giác của góc CAB cắt BC tại F, cắt nửa đờng tròn tại H, cắt Bx tại D. 1) Chứng minh FB = BD và HF = HD. 2) Chứng minh HBD đồng dạng với CAF. 3) Chứng minh DB 2 = DH.DA 4) Gọi M là giao điểm của AC với Bx. Chứng minh MB 2 = MC.MA Bài toán 16: Cho ABC vuông tại A. Ta vẽ các nửa đờng tròn nằm ngoài tam giác, lấy AB và AC làm đờng kính. Một cát tuyến qua A cắt nửa đờng tròn AB ở D, nửa đờng tròn AC ở E. 1) Tứ giác BDEC là hình gì? 2) Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đờng vuông góc với DE tại F đi qua một điểm cố định khi cát tuyến quay xung quanh A. 3) Tìm quỹ tích của các điểm F. 4) Với vị trí nào của cát tuyến DAE, độ dài của DE là cực đại, khi đó tứ giác BDEC là hình gì? Bài toán 17: Cho đờng tròn (O;R) và (O;r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài( B, C lần lợt là tiếp điểm của (O) và (O ) với tiếp tuyến ). Tiếp tuyến chung trong cắt BC tại I. Chứng minh rằng, 1. I là trung điểm của BC. 2. ABC và OIO lần lợt vuông tại A, I. 3. Các tứ giác DIEA và ABKC là hình chữ nhật.( D là giao điểm của AB và OI, E là giao điểm của AC và O I. Kéo dài đ ờng thẳng OO cắt (O) và (O ) lần l ợt tại điểm thứ 2 là G, H. Gọi K là giao điểm của GB và HC) 4. Kéo dài AC cắt (O) tại F. Chứng minh B, O, F thẳng hàng. 5. Gọi M là trung điểm của OO. Chứng minh MI DE. Bài toán 18: Cho hai đờng tròn (O 1 ;R 1 ) và (O 2 ;R 2 ) tiếp xúc ngoài tại A. Lấy điểm B và C trên đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) sao cho ã 0 90BAC = . 1. Chứng minh O 1 B//O 2 C. 2. Nối BC cắt O 1 O 2 tại D. Tính O 2 D theo R 1 , R 2 . 3. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh I thuộc một đờng tròn cố định. 4 Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh 4. Chứng minh AH không vợt quá 1 2 1 2 2R R R R+ Bài toán 19: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB. M là một điểm thuộc đoạn OA. Vẽ đờng tròn (O; 2 MB ) đờng kính MB. Gọi I là trung điểm của đoạn MA, kẻ dây cung CD AB tại I. Đờng thẳng BC cắt (O) tại K. 1. ACMD là hình gì? Vì sao. 2. Chứng minh D, M, K thẳng hàng. 3. Chứng minh MC DB. 4. Chứng minh đờng thẳng IK là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Xác định vị trí M trên đoạn OA để diện tích IKO lớn nhất. Bài toán 20: Cho đờng tròn (O;R) và (O;r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO. Kẻ đờng thẳng vuông góc với IA tại A, đờng thẳng này cắt các đờng tròn (O) và (O) theo thứ tự tại C và D ( khác A). 1. Chứng minh AC = AD. 2. Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB AB. 3. Nối Avới O cắt (O) tại điểm thứ 2 là G, nối A với O cắt (O) tại điểm thứ 2 là Q. Chứng minh AB GQ. Bài toán 21: Cho hai đờng tròn (O) và (O) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF (A, E thuộc (O) và B, D thuộc (O ) ). 1. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng AOM đồng dạng BMO 2. Chứng minh rằng AE BF. 3. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O thẳng hàng. 5 . Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh Một số bài toán tổng hợp hình học phẳng kỳ i ( lớp 9) Bài toán hệ thức.. sin 2 sin 2 sin CBA P = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy? 1 Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh 13.Cho ABC có các đờng trung