HÌNH HỌC KHÔNG GIAN MỘT SỐ KẾT QUẢ, BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN KINH ĐIỂN Đỗ Trần Nguyên Huy Toán PTNK 1417 I – Các kết quả, toán kinh điển vuông góc, góc đối tượng Vuông góc a) Nguyên lí chứng minh : • Định lí Pythagore: Nếu a, b không phương, chứa đoạn thẳng AB, AC • •    • • b) • •   • c) • • A Tiêu chuẩn vectơ: Gọi u, v vectơ phương a, b Chỉ Tính chất bắc cầu: , mp(P) chứa b Định lí đường vuông góc: Xét mặt phẳng (P) chứa a mà không chứa b Gọi b’ hình chiếu b a Khi Hệ (bổ đề tam giác): Xét tam giác ABC với BC thuộc đường thẳng b Nếu chứng minh Nguyên lí chứng minh : Định nghĩa: Xác định cắt thuộc (P) Khi đó, a vuông góc với b, c Tính chất bắc cầu: Định lí hai mặt phẳng vuông góc: theo giao tuyến d, a thuộc mp(Q), Nguyên lí chứng minh : Định nghĩa: mp(P) chứa a, Khái niệm trục đa giác: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng chứa đa giác tâm đa giác, tập hợp điểm không gian cách đỉnh đa giác HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VD: O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, với S thỏa SO trục tam giác ABC, tức Có BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Lấy I, J thuộc đường thẳng BC, AD cho Chứng minh: a) đoạn vuông góc chung AB, CD b) MN vuông góc với IK PHÂN TÍCH: a) Có trung điểm (giả thiết) tam giác (tứ diện đều), nghĩ tới chứng minh vuông góc cách tạo tam giác cân) b) Dùng bổ đề tam giác nhờ dựng thêm trung điểm tạo tam giác có hai cạnh song song AB, CD GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a) ABCD tứ diện (giả thiết) nên ABC, ACD, ABD, BCD tam giác nhau, suy đường trung tuyến nhau, tức Thế tam giác MCD cân M nên trung tuyến MN đồng thới đường cao, tức Tương tự b) Lấy K thuộc AC nên Theo định lí Thales đảo cho tam giác ACB () tam giác ACD () suy IK JK song song với AB CD nên chúng vuông góc với MN Vậy nên Mở rộng: Cho tam giác cân ABC, ABD chung đáy AB không đồng phẳng Dựng đoạn vuông góc chung AB, CD GIẢI • • Lấy M trung điểm AB Tam giác ABC cân, có đáy AB nên tam giác cân C, tức trung tuyến CM đường cao Tương tự, Trong tam giác CDM, hạ đường cao MH Có thuộc mp(CDM) (chứng minh trên) Mà lại có nên MH đoạn cần dựng HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có , Gọi M trung điểm CC’ Chứng minh PHÂN TÍCH: Có yếu tố độ dài, góc định lý Pythagore phương án Để ý lăng trụ cho lăng trụ đứng nên mặt bên hình chữ nhật GIẢI • M trung điểm CC’ (giả thiết) mà lại có (các mặt bên hình bình hành) nên: • Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC: Chú ý ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với mặt đáy • Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BCM vuông C, tam giác A’BA vuông A, tam giác A’MC’ vuông C’: • Thế Tam giác A’MB vuông M, tức Bài 3: Cho tứ diện có , tam giác BCD vuông C Gọi H hình chiếu vuông góc B lên AC a) Chứng minh tất mặt tứ diện tam giác vuông b) Gọi K hình chiếu vuông góc B lên AD Chứng minh HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHÂN TÍCH: a) Giả thiết cho ta tam giác ABD, ABC tam giác vuông Điều kiện tam giác BCD vuông C định lí đường vuông góc cho ta kết b) Xuất K hình chiếu vuông góc B lên AD nên HK hình chiếu BK mp(ACD) Định lí ba đường vuông góc hoàn tất chứng minh GIẢI a) Các bước chứng minh sau:  Chứng minh tất mặt tứ diện tam giác vuông: • Theo giả thiết, cho , nên ABC, ABD tam giác vuông Theo đề bài, ta có tam giác BCD vuông C • Lại nên Vậy ta có tam giác ACD vuông C Suy tất mặt tứ diện tam giác vuông  Chứng minh tam giác BHD vuông H: • () (giả thiết) nên Lại có nên hay tam giác BHD vuông H b) (điều phải chứng minh) Bài 4: Cho hình chóp có Gọi H, K trực tâm tam giác ABC, SBC a) Chứng minh b) Chứng minh PHÂN TÍCH: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a) Để ý HK đoạn nối trực tâm hai mặt nên khó khai thác, tức nên tập trung khai thác tính vuông góc BH, BK dựa vào giả thiết trực tâm, lại có BK vuông góc SC nên cần BH vuông góc với SC Kết hợp với SA vuông góc với mặt đáy điều rõ ràng theo bổ đề tam giác b) Để ý HK, SC lại xuất nên việc áp dụng câu a/ rõ GIẢI a) K trực tâm tam giác SBC (giả thiết) ( (do BH thuộc mp(ABC)) Lại có H trực tâm tam giác ABC (giả thiết) Vậy nên Kết hợp với (), rút , chứng minh hoàn tất b) Ta chứng minh AH, BC, SK đồng quy Lấy (giả thiết) () Để ý nên (AR, AH thuộc mp(ABC)) (HK thuộc mp(SAR)) Kết hợp với (), suy , chứng minh hoàn tất HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 5: Cho hình hộp thoi cạnh a (hình hộp có tất cạnh nhau) Tìm điều kiện x, y, z để A’B’CD hình vuông PHÂN TÍCH: Để ý A’B’CD hình bình hành nên để thỏa đề bài, cần thêm hai cạnh kề góc vuông góc đỉnh Việc khai thác giả thiết góc vuông không dễ dẫn tới đáp án, mà biểu diễn giả thiết góc vuông thành hệ thức vectơ lời giải GIẢI Các mặt hình hộp cho hình thoi (giả thiết) hình bình hành Để thỏa đề, ta cần thêm Áp dụng định lí hàm cos cho tam giác B’BC: Vậy ta cần: tức (z góc tam giác) Khi có A’B’CD hình thoi, để hình vuông, ta cần thêm: tam giác) Kiểm tra lại, ta thấy yêu cầu đề thỏa () (x, y góc Góc đường thẳng a mp(P): a) Nguyên lí xác định: • Định nghĩa:  a thuộc mp(P)   không vuông góc với mp(P): Lấy M thuộc a, dựng hình chiếu M’ M mp(P) HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LƯU Ý: Góc đường thẳng a mp(P) góc nhọn Liên hệ điểm đặc biệt (chân đường cao tới mặt đáy, hình chiếu vuông góc có sẵn) để dựng ảnh a lên mp(P) Chẳng hạn cần dựng hình chiếu A’ A mp(P), điểm đặc biệt cho H:  Nếu có mp(Q) chứa A mà mp(P) vuông góc với mp(Q) theo giao tuyến d A’ hình chiếu A d  Tồn điểm R thuộc mp(P) cho RH qua A Dựng hình chiếu H’ H mp(P) AA’ song song với HH’ RH’ qua A’   Tổng quát hơn, dựng hình chiếu H’ H mp(P) Dựng tia Ax song song với HH’ Xác định đường thẳng d thuộc mp(P) Khi d cắt Ax (nếu có) A’ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN b) Một số mô hình thường gặp để dựng hình chiếu điểm đặc biệt: Mô hình 1: Cho trước mp(P) chứa AB, S nằm mp(P) H hình chiếu S mp(P) Dựng hình chiếu H’ H mp(SAB): • Trường hợp tổng quát: Dựng R hình chiếu H AB H’ hình chiếu H SR: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN • Trường hợp đặc biệt (tam giác SAB vuông A, trường hợp vuông B thực tương tự): H’ hình chiếu H SA: B ÀI TẬP: Dạng : Cho sẵn hình chiếu đường thẳng lên mp dễ dàng suy từ định nghĩa Bài : Cho hình chóp có đáy tam giác vuông A, Tính cos góc SA mp(ABC) PHÂN TÍCH: Để ý SA cắt mp(ABC) A nên mấu chốt xác định hình chiếu S mp(ABC) Lại nên dựa theo khái niệm trục tam giác, ta suy hình chiếu H thỏa GIẢI Gọi H trung điểm BC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Theo giả thiết, SA vuông góc với mp(ABCD) nên góc tạo SC với mp(ABCD) AC đường chéo hình vuông cạnh a nên Xét tam giác SAC vuông A: Dạng 2: Dựng thêm đường phụ để xuất hình chiếu Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a tâm O, Góc SA mp(ABCD) Tính sin góc SA mp(SCD) PHÂN TÍCH: Mấu chốt tìm hình chiếu A mp(SCD) Để ý O điểm đặc biệt (hình chiếu S lên mặt đáy), điểm C thuộc mp(SCD) thuộc đường thẳng OA nên ta tìm hình chiếu A thông qua hình chiếu H mp(SCD) GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Để ý O hình chiếu S lên mặt đáy nên góc SA mặt phẳng đáy góc O tâm hình vuông ABCD nên O trung điểm chung AC, BD, tức Thế gọi I trung điểm CD OI đường trung bình tam giác DCB, rút OI vuông góc với CD (OI song song với BC) Lấy K hình chiếu O SI K hình chiếu O mp(SCD) Dựng tia Ax song song với OK, Lấy CK cắt Ax H H hình chiếu A mp(SCD) Vậy góc cần xác định góc , có (xét tam giác ASH vuông H) Lại xét tam giác SOA vuông O thì: Do AH ảnh KO qua phép vị tự tâm O nên Lại áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác SOI vuông O: Vậy Góc mp(P) mp(Q): a) Nguyên lí xác định tính: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN • • • • Định nghĩa: Tìm a, b vuông góc với mp(P) mp(Q) góc a b góc cần tìm Dựa vào mặt phẳng phụ: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d xác định mp(R) vuông góc với d, cắt mp(P) mp(Q) theo giao tuyến m, n Khi đó, góc m, n góc cần tìm Bổ đề diện tích: Xét hình H thuộc mp(P) Dựng hình chiếu H’ hình H lên mp(Q) Kí hiệu [X] diện tích đối tượng X Thế góc cần tìm có cos Tổng quát định lí mp vuông góc: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d lấy M thuộc mp(P), hạ MH vuông góc với d gọi R hình chiếu M mp(Q) Khi góc cần tìm góc Đây cách thường dùng để khai thác giả thiết góc hai mặt phẳng b) Các dạng thường gặp xét góc mặt phẳng (ABC), (DBC) (giao tuyến BC): Dạng 1: ABC DBC tam giác cân chung đáy BC: • Phương pháp: Gọi M trung điểm BC Khi góc cần tìm góc AM, DM • Chứng minh: Tam giác ABC cân A có AM trung tuyến nên AM đường cao⇒ Tương tự, nên mp(ADM) vuông góc với mp(ABC) mp(DBC) Góc cần tìm góc AM, DM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Dạng 2: ( làm tương tự): • Phương pháp: Kẻ góc cần tìm • Chứng minh: BC vuông góc với AH, AD vuông góc với mp(ABC) mp(DBC) Góc cần tìm góc nhọn) B ÀI TẬP: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt đáy, Biết tam giác BCD đều, cạnh Tính góc mp(ABC) mp(BCD) PHÂN TÍCH: Có tam giác khai thác đường đặc biệt tam giác ý tưởng dễ nghĩ tới GIẢI Gọi M trung điểm BC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Theo giả thiết, tam giác DBC nên trung tuyến DM đường cao BC thuộc mp(BCD), lại có (giả thiết) nên , suy , tức Vậy góc cần tìm góc Xét tam giác ADM vuông D: II – Các kết quả, toán kinh điển khoảng cách thể tích: Khoảng cách điểm mặt phẳng: (xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng với quy tắc đề cập b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a) Nguyên lí xác định: • Có mp(P) chứa đường thẳng b, a⊥mp(P) A: Lấy H hình chiếu A b AH khoảng cách cần xác định: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN • Có mp(P) chứa đường thẳng b, a cắt mp(P) A: Qua A kẻ b’ song song với b Gọi mp(Q) mp chứa a b’ khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm đến mp(Q) • a b cắt mp(P) mà không nằm mp(P): Dựng hình chiếu b’ b mp(P) Lấy A giao điểm a mp(P) Khoảng cách cần tìm khoảng cách từ A đến b’ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN B ÀI TẬP: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, Dựng tính khoảng cách giữa: a) SB CD b) SC BD c) SC AB PHÂN TÍCH: a) Để ý CD thuộc mp(ABCD), SB cắt mp(ABCD) B nên khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm CD đến mặt phẳng gồm SB đường thẳng qua B song song với CD Mặt phẳng thực chất mp(SAB) b) Để ý SC thuộc mp(SCA) mà c) Phát SC cắt mp(SAD) S Giải HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a) Tứ giác ABCD hình vuông nên AB song song với CD, khoảng cách cần tìm khoảng cách CD mp(SAB) Từ giả thiết, ta có Mặt khác BC thuộc mp(ABCD), Vậy khoảng cách cần tìm b) Gọi O tâm hình vuông ABCD, O trung điểm chung AC, BD, tức • BD thuộc mp(ABCD), Lại để ý (ABCD hình vuông) nên • BD cắt mp(SAC) O nên khoảng cách cần tìm khoảng cách OH từ O đến SC • c) (ABCD hình vuông), lại có (SA vuông góc với mặt đáy) nên , suy hình chiếu SC lên mp(SCD) Vậy khoảng cách cần tìm khoảng cách AK từ A đến SD Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác SAD vuông A.: Thể tích • • Thể tích hình chóp: diện tích đáy nhân chiều cao Thể tích hình lăng trụ: diện tích đáy nhân chiều cao Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, H trung điểm AB a) b) c) d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính tan góc SD mp(ABCD) Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối chóp S.ABG Tính khoảng cách SD AB PHÂN TÍCH: a) Mấu chốt tìm hình chiếu H S mặt đáy, điều rõ ràng dựa vào giả thiết mp(SAB) vuông góc với mặt đáy định lí hai mặt phẳng vuông góc b) Dựa vào câu a, suy hình chiếu SD mp(ABCD), từ thứ rõ ràng c) Mấu chốt tìm khoảng cách từ G đến mp(SAB) có chứa điểm đặc biệt H Theo tính chất trọng tâm, tịnh tiến điểm G trung điểm BC điểm thuộc đường thẳng qua S thuộc mp(SAB), Lại để ý CD song song với AB nên khoảng cách cần tìm khoảng cách từ C đến mp(SAB) d) AB thuộc mặt đáy, SC cắt mặt đáy C, đồng thời CD song song với AB nên khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm AB (ta chọn điểm đặc biệt H) đến mp(SCD) Tinh ý nhận thêm tam giác SCD vuông C cho ta lời giải G IẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a) ABCD hình thoi nên AC tia phân giác , kết hợp với , suy ABC, ADC, SAB tam giác (cạnh a) nên có đường cao , diện tích Suy diện tích hình thoi ABCD • Gọi H trung điểm AB tam giác SAB nên trung tuyến SH đường cao Lại mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) theo giao tuyến AB nên suy SH vuông góc với mặt đáy • Thể tích khối chóp cần tìm: b) H hình chiếu S lên mặt đáy (chứng minh trên)góc SD mp(ABCD) góc • Áp dụng định lí cosin cho tam giác HAD: • Xét tam giác SHD vuông H c) Gọi E trung điểm CD theo tính chất trọng tâm, SG qua E (CE song song với AB) Lại để ý (SH vuông góc với mặt đáy), (ABC tam giác đều) nên , tức Vậy d) AB thuộc mặt đáy, SD cắt mặt đáy D nên khoảng cách cần tìm khoảng • • cách từ H AB đến mp(SCD) AB song song CD ABCD hình thoi, suy HC vuông góc với CD, lại có SH vuông góc với CD (SH vuông góc với mặt đáy) nên CD vuông góc với mp(SHC) Vậy khoảng cách cần tìm khoảng cách HK từ H đến SC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác SHC vuông H: Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy ABC tam giác cân A có trung tuyến SB tạo với mp(ABC) góc u tạo với mp(SAD) góc v HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chứng minh thể tích khối chóp S.ABC là: PHÂN TÍCH: Đề cho SB cạnh có góc tạo với hai mặt phẳng khác nên nghĩ tới việc đặt để tính thể tích với biến đổi để có đẳng thức đề yêu cầu GIẢI Đặt Theo đề bài:⇒⇒ Tam giác ABC cân A có AD trung tuyến ⇒ Lại có (do ) nên Tam giác SAB vuông A Tam giác SBD vuông D Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông D: Thể tích khối chóp S.ABC: Bài 5: Cho khối chóp S.ABC SA, SB, SC lấy không trùng S Chứng minh: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHÂN TÍCH: Đề không cho biết đường cao khối chóp liên hệ thể tích nên việc dựng đường cao hiển nhiên So sánh hai đường cao theo Thales, so sánh diện tích mặt đáy tam giác theo tỉ số cạnh chúng có góc đỉnh chung GIẢI Do thẳng hàng nên hình chiếu chúng mp(SBA) thuộc đường thẳng qua S Gọi H, hình chiếu mp(SBA) thẳng hàng Áp dụng định lý Thales cho tam giác SCH ( song song với CH): • • Để ý , suy ra: Vậy Bài : Tính thể tích khối tứ diện ABCD có PHÂN TÍCH: Bài toán thiếu yếu tố đường cao, dựng đường cao khó liên kết với kiện góc Ta nghĩ đến việc so sánh thể tích cần tính với thể tích khối tứ diện dễ tính có liên hệ trực tiếp với góc cho Công thức trở nên hữu dụng GIẢI Trên tia lấy thỏa HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Các tam giác tam giác cân A có góc nên chúng tam giác tứ diện cạnh Gọi M trung điểm , H trọng tâm tam giác Theo khái niệm trục đa giác, ta có H hình chiếu A mp() Tam giác nên trung tuyến BM đồng thời đường cao Lại tam giác cạnh nên độ dài đường cao tương ứng: Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AHB’ vuông H: Thể tích tứ diện : Theo đẳng thức : Bài : Cho tứ diện ABCD có Chứng minh PHÂN TÍCH: Việc tường minh hóa giả thiết rõ ràng, không giúp xác định góc khoảng cách AD, BC mà gợi ý tưởng xác định thể tích ABCD qua khối trung gian Lưu ý diện tích tam giác tính nửa tích hai cạnh nhân sin góc hai cạnh GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lấy E thỏa BCDE hình bình hành Thế Ta có: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN MỤC LỤC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN [...]... thức bài : Bài : Cho tứ diện ABCD có Chứng minh PHÂN TÍCH: Việc tường minh hóa giả thi t là rõ ràng, nó không chỉ giúp xác định góc và khoảng cách giữa AD, BC mà còn gợi ra ý tưởng xác định thể tích ABCD qua một khối trung gian Lưu ý diện tích tam giác có thể tính bằng nửa tích hai cạnh nhân sin góc giữa hai cạnh đó GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lấy E thỏa BCDE là hình bình hành Thế thì và Ta có: HÌNH HỌC... SA vuông góc với mặt phẳng đáy cho ta hình chiếu CA lên mp(ABCD), hướng giải quá rõ ràng GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Theo giả thi t, SA vuông góc với mp(ABCD) nên góc tạo bởi SC với mp(ABCD) là AC là đường chéo trong hình vuông cạnh a nên Xét tam giác SAC vuông tại A: Dạng 2: Dựng thêm đường phụ để xuất hiện hình chiếu Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, Góc giữa SA và... và mp(SCD) PHÂN TÍCH: Mấu chốt vẫn là tìm ra hình chiếu của A trên mp(SCD) Để ý O là điểm đặc biệt (hình chiếu của S lên mặt đáy), điểm C thuộc mp(SCD) thuộc đường thẳng OA nên ta tìm hình chiếu của A thông qua hình chiếu của H trên mp(SCD) GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Để ý O là hình chiếu của S lên mặt đáy nên góc giữa SA và mặt phẳng đáy là góc O là tâm hình vuông ABCD nên O là trung điểm chung của... tưởng dễ nghĩ tới GIẢI Gọi M là trung điểm BC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Theo giả thi t, tam giác DBC đều nên trung tuyến DM cũng là đường cao BC thuộc mp(BCD), lại có (giả thi t) nên , suy ra , tức Vậy góc cần tìm là góc Xét tam giác ADM vuông tại D: II – Các kết quả, bài toán kinh điển về khoảng cách và thể tích: 1 Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng: (xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng với quy tắc... khối chóp S.ABC: Bài 5: Cho khối chóp S.ABC và trên SA, SB, SC lần lượt lấy không trùng S Chứng minh: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHÂN TÍCH: Đề bài không cho biết đường cao của các khối chóp được liên hệ thể tích nên việc dựng các đường cao ấy là hiển nhiên So sánh hai đường cao theo Thales, so sánh diện tích mặt đáy tam giác theo tỉ số cạnh khi chúng có góc ở đỉnh chung GIẢI Do thẳng hàng nên hình chiếu của...HÌNH HỌC KHÔNG GIAN • • Tam giác ABC vuông tại A nên , tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo khái niệm về trục của tam giác thì H là hình chiếu của S trên mp(ABC), suy ra Xét tam giác SAH vuông tại H, ta được Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Tính góc giữa SC và mp(ABCD) PHÂN TÍCH: Giả thi t SA vuông góc... và SC cắt mp(SAD) tại S Giải HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a) Tứ giác ABCD là hình vuông nên AB song song với CD, vậy khoảng cách cần tìm cũng chính là khoảng cách giữa CD và mp(SAB) Từ giả thi t, ta đã có Mặt khác BC thuộc mp(ABCD), Vậy khoảng cách cần tìm là b) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, thế thì O là trung điểm chung của AC, BD, tức • BD thuộc mp(ABCD), Lại để ý (ABCD là hình vuông) nên • BD cắt mp(SAC)... định và tính: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN • • • • Định nghĩa: Tìm a, b lần lượt vuông góc với mp(P) và mp(Q) thì góc giữa a và b là góc cần tìm Dựa vào mặt phẳng phụ: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d thì xác định mp(R) vuông góc với d, cắt mp(P) và mp(Q) lần lượt theo các giao tuyến m, n Khi đó, góc giữa m, n là góc cần tìm Bổ đề diện tích: Xét hình H thuộc mp(P) Dựng hình chiếu H’ của hình H lên mp(Q)... c) (ABCD là hình vuông), lại có (SA vuông góc với mặt đáy) nên , suy ra là hình chiếu của SC lên mp(SCD) Vậy khoảng cách cần tìm là khoảng cách AK từ A đến SD Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác SAD vuông tại A.: 3 Thể tích • • Thể tích hình chóp: diện tích đáy nhân chiều cao Thể tích hình lăng trụ: diện tích đáy nhân chiều cao Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi... tam giác cân tại A có trung tuyến SB tạo với mp(ABC) góc u và tạo với mp(SAD) góc v HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chứng minh thể tích khối chóp S.ABC là: PHÂN TÍCH: Đề bài cho SB cạnh có góc tạo với hai mặt phẳng khác nên nghĩ tới việc đặt để tính thể tích với rồi biến đổi để có đẳng thức đề bài yêu cầu GIẢI Đặt Theo đề bài: ⇒⇒ Tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến ⇒ Lại có (do ) nên Tam giác SAB vuông