ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ NGÂN PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ NGÂN PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60460113 Giảng viên hướng dẫn PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU DANH MỤC HÌNH VẼ BẢNG KÝ HIỆU KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) 1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập hợp 1.2 Các điều kiện đủ 1.3 Định lý 5 5 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số 2.1.1 Phương pháp 2.1.2 Ví dụ 2.1.3 Nhận xét phương pháp 2.1.4 Bài tập áp dụng 2.2 Phương pháp miền giá trị 2.2.1 Phương pháp 2.2.2 Ví dụ 2.2.3 Nhận xét phương pháp 2.2.4 Bài tập áp dụng 2.3 Phương pháp bất đẳng thức 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Ví dụ 2.3.3 Nhận xét phương pháp i 9 10 12 13 14 14 14 18 18 19 19 21 27 28 29 29 29 31 31 32 32 32 35 35 36 36 37 40 40 41 41 51 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ 3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình bất phương trình 3.1.1 Phương pháp ứng dụng 3.1.2 Bài tập áp dụng 3.2 Ứng dụng cực trị để giải biện luận phương trình bất phương trình có chứa tham số 3.2.1 Phương pháp ứng dụng 3.2.2 Bài tập áp dụng 3.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 3.3.1 Phương pháp ứng dụng 3.3.2 Bài tập áp dụng 53 53 53 57 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 2.4 2.5 2.6 2.7 2.3.4 Bài tập áp dụng Phương pháp lượng giác hóa 2.4.1 Phương pháp 2.4.2 Ví dụ 2.4.3 Nhận xét phương pháp 2.4.4 Bài tập áp dụng Phương pháp hình học 2.5.1 Phương pháp 2.5.2 Ví dụ 2.5.3 Nhận xét phương pháp 2.5.4 Bài tập áp dụng Phương pháp vectơ 2.6.1 Phương pháp 2.6.2 Ví dụ 2.6.3 Nhận xét phương pháp 2.6.4 Bài tập áp dụng Ví dụ tổng quát 2.7.1 Ví dụ 2.7.2 Bài tập áp dụng ii 58 58 64 65 65 69 LỜI MỞ ĐẦU Các vấn đề liên quan đến cực trị ứng dụng cực trị toán quan trọng có nhiều dạng toán gần với ứng dụng thực tế toán học phổ thông Ví dụ toán tìm đường ngắn nhất, diện tích lớn nhất, tổng chi phí nhất, lợi nhuận cao Đặc biệt, cực trị thường toán khó, tổng hợp kì thi tốt nghiệp, cao đẳng - đại học Cực trị bao gồm cực trị tuyệt đối cực trị tương đối Trong luận văn khái niệm cực trị đề cập đến cực trị tuyệt đối (gồm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất) Trong chương trình phổ thông khái niệm hàm nhiều biến chưa đề cập đến, luận văn dù có toán nhiều biến đưa để giải theo toán cực trị biến tập hợp Luận văn "Phương pháp cực trị ứng dụng" trình bày phương pháp cực trị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, biểu thức, tập hợp ứng dụng phương pháp Tuy nhiên việc chia phương pháp tương đối, với phương pháp có nhiều ứng dụng khác nhau, phạm vi phương pháp toán sơ cấp giới hạn luận văn thạc sĩ trình bày hết tất phương pháp ứng dụng Do đó, luận văn đề cập sâu vào phương pháp ứng dụng thường gặp toán toán phổ thông Trên sở đó, nội dung luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Gồm kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Chương 2: Phương pháp tìm cực trị Trình bày phương pháp: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số; phương pháp miền giá trị; phương pháp bất đẳng thức; phương pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học; phương pháp vectơ Cuối chương ví dụ tổng quát vận dụng nhiều phương pháp khác Chương 3: Ứng dụng phương pháp cực trị Trình bày ứng dụng thường gặp toán học sơ cấp: Ứng dụng cực trị để giải phương trình bất phương trình; ứng dụng cực trị để giải biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số; ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức Mỗi ứng dụng có ví dụ chi tiết tập áp dụng Để hoàn thành luận văn, trước hết em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS TS Nguyễn Đình Sang Người trực tiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoàn thành luân văn Em chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy, hướng dẫn em trình học, bạn bè giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù nỗ lực, cố gắng hiểu biết có hạn thời gian hạn chế mà vấn đề tương đối rộng nên em không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô, bạn bè góp ý để em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2015 Học viên Đào Thị Ngân DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1: Bảng biến thiên hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| Hình 2: Tam giác ABC cạnh đơn vị Hình 3: Đồ thị x + y = x2 + y = Hình 4: Đường tròn tâm O, đường kính AB, chứa Hình 5: Đồ thị elip Hình 6: Bảng biến thiên hàm số f (x) = √ 2x + √ CAB √ 2x + − x BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số đếm Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 1.1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số • Cho hàm số y = f (x) xác định tập D ⊂ R Số M gọi GTLN hàm số y = f (x) D đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M Ký hiệu: M = max f (x) x∈D • Cho hàm số y = f (x) xác định tập D ⊂ R Số M gọi GTNN hàm số y = f (x) D đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = m Ký hiệu: m = f (x) x∈D Chú ý: Ta thay D ⊂ R tập xác định hàm f (x) tập [a, b] dẫn đến khái niệm max f (x) , f (x) [a,b] 1.1.2 [a,b] Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập hợp • Cho U tập tập số thực R Số α gọi cận U , ký hiệu α = sup U , đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: α ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: α − ε < xε ≤ α Nếu α ∈ U α số lớn U , ký hiệu α = max U Vậy: α = max U ⇔ α ≥ x, ∀x ∈ U α∈U • Cho U tập tập số thực R Số β gọi cận U , ký hiệu β = inf U , đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: β ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: β + ε > xε ≥ β Nếu β ∈ U β số nhỏ U , ký hiệu β = U Vậy: β = U ⇔ β ≤ x, ∀x ∈ U β∈U Sup inf tập tồn ±∞ Chú ý: Cho hàm f (x) xác định [a, b] (hay tổng quát f xác định tập D) Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y} Khi đó: max U = max f (x) max f (x) , D [a,b] U = f (x) f (x) D [a,b] 1.2 Các điều kiện đủ • Hàm số f liên tục [a, b] ⊂ R đạt GTLN, GTNN đoạn Ký hiệu: max f, f [a,b] [a,b] • Hàm số f liên tục đơn điệu [a, b] ⊂ R thì: max f = max {f (a) , f (b)}, [a,b] f = {f (a) , f (b)} [a,b] • Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định hàm f (x) mà đạo hàm không tồn gọi điểm dừng (điểm tới hạn) hàm cho Giả sử f (x) hàm số liên tục [a, b] ⊂ R có số hữu hạn điểm tới hạn x1 , x2 , , xn thì: Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức áp dụng, Nhà xuất Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến, 2009, Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng, 2014,Phương pháp hàm số giải toán - Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức, Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất,Nhà xuất Đại Học Quốc Gia 72 [...]... Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến, 2009, Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng, 2014 ,Phương pháp hàm số trong giải toán - Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,Nhà xuất bản Đại