BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGÂN PHÉP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGÂN PHÉP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thể thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ trình học tập thực luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Thị Ngân ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phép nội suy ứng dụng giải số dạng toán phổ thông hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả, không trùng lặp với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Thị Ngân iii Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan i ii Mở đầu 1 3 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai số 1.2 1.3 1.1.1 1.1.2 Số gần Sai số thu gọn 1.1.3 Sai số tính toán 1.1.4 1.1.5 Sự ổn định trình tính Bài toán ngược sai số 6 Một số khái niệm đại số 1.2.1 Một số vấn đề đại số tuyến tính 7 1.2.2 Định nghĩa tính chất đa thức 10 Một số khái niệm giải tích 11 1.3.1 1.3.2 Giới hạn dãy số 11 Giới hạn hàm số 12 1.3.3 Công thức Taylor 14 Phép nội suy 2.1 2.2 15 Bài toán nội suy tổng quát 15 Công thức nội suy Lagrange 16 2.2.1 2.2.2 Công thức nội suy Lagrange 16 Sai số phép nội suy 18 iv 2.3 2.2.3 Mốc nội suy 18 Công thức nội suy Newton 20 2.3.1 2.3.2 2.4 2.5 Các công thức nội suy trung tâm 28 2.4.1 Công thức nội suy Gauss I 28 2.4.2 Công thức nội suy Gauss II 29 Bài toán nội suy ngược 30 2.5.1 2.6 Đa thức nội suy có mốc nội suy không cách 20 Đa thức nội suy có mốc nội suy cách 23 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange 30 2.5.2 Trường hợp mốc nội suy xi i = 0, n cách 31 Hàm nội suy Spline 32 Ứng dụng phép nội suy giải số dạng toán phổ thông 3.1 Ứng dụng công thức nội suy Lagrange 39 3.1.1 Bài tập áp dụng 39 3.1.2 3.2 3.3 Bài toán nội suy Lagrange 53 Ứng dụng công thức nội suy Newton 55 3.2.1 Các toán xác định đa thức 55 3.2.2 Tính tổng 61 Ứng dụng số công thức nội suy khác 63 3.3.1 3.3.2 3.4 39 Công thức nội suy Taylor 63 Công thức nội suy Hermite 66 Ứng dụng Maple tính giá trị đa thức 69 3.4.1 Đa thức nội suy Lagrange 69 3.4.2 Đa thức nội suy Newton 73 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Mở đầu Lí chọn đề tài Các toán nội suy đời từ sớm, nhiều nhà toán học tiếng nghiên cứu nội suy trước hết phải kể đến công trình Lagrange, Newton, Hermit, Tuy nhiên, việc xây dựng toán nội suy tổng quát, thuật toán tìm nghiệm vấn đề liên quan đến nội suy nhà toán học tiếp tục nghiên cứu Bởi đối tượng nghiên cứu trọng tâm đại số mà công cụ đắc lực giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, , đóng vai trò quan trọng việc thiết lập đa thức thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc đặc biệt Ngoài ra, đặc trưng nội suy sử dụng nhiều toán chẳng hạn toán cao cấp, toán ứng dụng, mô hình thực tế toán phổ thông Tuy nhiên, trường phổ thông lý thuyết toán nội suy chưa đề cập, có sử dụng chúng để giải toán khó Vì vậy, việc hình thành chuyên đề chọn lọc vấn đề toán nội suy, góc độ toán phổ thông, đặc biệt ứng dụng trình giải số dạng toán khó cần thiết Nên lấy tên luận văn Phép nội suy ứng dụng giải số dạng toán phổ thông nhằm đưa khái niệm nội suy ứng dụng đến gần với thầy cô học sinh trường phổ thông 2 Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại phép nội suy ứng dụng chúng giải số toán phổ thông toán đa thức, dạng toán khai triển, đồng thức, toán xác định giới hạn biểu thức cho trước, toán tính chia hết đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn số dạng vô định, Hệ thống lại số dạng toán sáng tác nhiều tập Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số toán nội suy cổ điển, công thức nội suy Ứng dụng công thức nội suy vào giải số dạng toán phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu công thức nội suy: Công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Taylor, khai triển Taylor, công thức nội suy Newton phạm vi ứng dụng chương trình phổ thông, giải sô toán khó chương trình phổ thông Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu giải tích giải tích số Đóng góp luận văn Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên, học viên cao học ứng dụng phép nội suy giải số dạng toán phổ thông Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Sai số Số gần Ta nói a số gần a∗ a không sai khác a∗ nhiều, hiệu số ∆a = a∗ − a sai số thực a, ∆a > a giá trị gần thiếu, ∆a < a giá trị gần thừa a∗ Vì a∗ chưa biết, biết a nên đại lượng ∆ chưa thể xác định, nhiên thấy tồn ∆a > thỏa mãn điều kiện: |a∗ − a| ≤ ∆a ∆a Khi đó: ∆a gọi sai số tuyệt đối a, δa = sai số tương đối |a| a Rõ ràng ∆a, δa nhỏ tốt Hai số gần a a∗ b b∗ có sai số tuyệt đối ∆a = ∆b, số có giá trị lớn tuyệt đối lớn xác Chẳng hạn a = 100, b = 1, ∆a = ∆b = 0, 01 số a∗ ∈ [99, 99; 100, 01], b∗ ∈ [0, 99; 1, 01], tức số a xác số b so với giá trị Đại lượng phản ánh độ sai số số, hay nói cách khác độ xác phép tính phản ánh qua đại lượng Ở ví dụ trên, |a| lớn khoảng xác ∆a định a∗ rộng, tỉ số δa = đặc trưng cho độ xác |a| phép đo tính toán, δa gọi sai số tương đối số a 1.1.2 Sai số thu gọn Trong trính tính toán, số gần a a∗ số thập phân vô hạn số sau dấu phẩy, hữu hạn số lượng chữ số sau dấu phẩy lớn buộc phải ngắt bớt số chữ số sau dấu phẩy Việc ngắt bớt gọi thu gọn số a để số a ¯ ngắn gọn gần số a Qui tắc thu gọn số a sau: Giả sử số a = A, a1 a2 a3 an , A phần trị nguyên, aj ∈ 0, 1, 2, 3, , j = 1, n chữ số sau dấu phẩy (phần thập phân) Muốn làm tròn số a ¯ từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta làm sau: giữ nguyên A, a1 , a2 , , ai−1 Xét ai+1 - Nếu ai+1 ≤ a ¯ = A, a1 a2 a3 ai−1 , - Nếu ai+1 > a ¯ = A, a1 a2 a3 ai−1 , với = + Ví dụ 1.1.1 Cho số a∗ = Π, a = 3, 141592 Khi số thu gọn a là: - Số thu gọn sau dấu phẩy chữ số: a ¯ = 3, 14 - Số thu gọn sau dấu phẩy chữ số: a ¯ = 3, 141 - Số thu gọn sau dấu phẩy chữ số: a ¯ = 3, 1416 Đặt: Γa = |a − a ¯|, Γa gọi sai số thu gọn số a 1.1.3 Sai số tính toán Các số dùng để tính toán vốn số gần (có sai số), xuất thêm sai số kết Sai số gọi sai số tính toán Trong đề tài này, tập trung nghiên cứu giá trị gần liên quan đến sai số tính toán Giả sử cần tính giá trị đầu y với giá trị đầu vào x1 , x2 , , xn Mọi liên hệ đầu vào đầu xác định y ∗ = f (x∗1 , x∗2 , , x∗n ) y ∗ , x∗1 , x∗2 , , x∗n giá trị giá trị hàm biến tương ứng Thực tiễn, xác định y ∗ , x∗1 , x∗2 , , x∗n , mà xác định giá trị gần tương ứng với sai số tương ứng ∆y, ∆xi Sai số giá trị ∆y y = f (x1 , x2 , , xn ) gọi sai số tính toán Giả sử y = f (x1 , x2 , , xn ) hàm khả vi, liên tục theo biến xi Theo giải tích, ta có: 64 x5 x3 x3 +O x ≈− α (x) = − + 120 Suy x6 x9 xα (x) ≈ = O x , α (x) ≈ − = O x5 x → 36 216 Do sin3 x = x3 − x5 + O x5 x → 2 Tiếp theo, ta chứng minh sin5 x = x5 + O x5 , x → x3 Thật vậy, α (x) ≈ − x → nên sin x = x5 + O x5 , x → x3 x5 Như vậy, x → ta có sin (sin x) = x − + + O x5 10 Tương tự 1 x − x2 = x − x2 − x4 + O x4 1 = x − x3 − x5 + O x5 , x → √ 19 Do sin (sin x) − x − x2 = x5 + O x5 90 Vậy nên lim f (x) = lim x→0 x→0 19 O x5 + 90 x5 = 19 90 Bài 3.3.2 Tính giới hạn lim (cos (x.ex ) − ln (1 − x) − x)cot x x→0 Giải Giới hạn cần tìm có dạng 1∞ Ta có x cot x3 lim (cos (x.e ) − ln (1 − x) − x) x→0 với f (x) = cos (x.ex ) − ln (1 − x) − x Ta cần tính =e lim cot x3 ln f (x) x→0 65 lim cot x3 ln [cos (x.ex ) − ln (1 − x) − x] x→0 Để ý cot x3 = 1 = , x → tan x3 x3 + O (x3 ) Do đó, ta cần phải khai triển hàm [f (x) − 1] theo công thức Taylor tương đương với O x3 cách sử dụng khai triển sau xex = x + x2 + O x2 , x → 0, t2 cos t = − + O t3 , t → 2! Suy x2 cos (xe ) = − − x3 + O x3 , x → 0, 2 x x3 + + O x3 , x → − ln (1 − x) = x + x Ta thu f (x) − = − x3 + O x3 , x → 3 − x + O x3 lim 33 = − x→0 x + O (x3 ) 3 Vậy lim (cos (x.ex ) − ln (1 − x) − x)cot x = e− x→0 Bài toán nội suy Taylor Cho x0 ∈ R ak ∈ R với k = 0, 1, , N − Hãy xác định đa thức T (x) có bậc deg T (x) ≤ N − thỏa mãn điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − Nghiệm toán biểu diễn công thức N −1 T (x) = k−0 ak (x − x0 )k k! Bài 3.3.3 Xác định đa thức bậc ba f (x) thỏa mãn điều kiện 66 f (n) (1) = 2n3 − 3n2 − n + 2, n = 0, 1, 2, Giải Ta có n = ⇒ f (1) = 2, n = ⇒ f (1) (1) = 0, n = ⇒ f (2) (1) = 4, n = ⇒ f (3) (1) = 26 Theo toán nội suy Taylor, ta có f (2) (1) f (3) (1) f (1) (1) (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 1! 2! 3! 26 = + (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 2! 3! 13 = + x2 − 2x + + x3 − 3x2 + 3x − 13 = x3 − 11x2 + 9x − 3 f (x) = f (1) + 3.3.2 Công thức nội suy Hermite Bài toán nội suy Hermite Cho xi , aki ∈ R với i = 1, 2, , n; k = 0, 1, 2, , pi − xi = xj , ∀i = j p1 + p2 + p3 + + pn = N Hãy xác định đa thức H(x) có bậc deg H (x) ≤ N − thỏa mãn điều kiện H (k) (xi ) = aki , ∀i = 1, 2, , n; ∀k = 0, 1, 2, , pi − Nghiệm toán biểu diễn công thức (x − xi )k aki Wi (x) T H (x) = k! i=1 k=0 n pi −1 Wi (x) (pi −1−k) , (x=xi ) T Wi (x) (pi −1−k) pi −1−k = (x=xi ) l=0 Wi (x) (x − xi )l l! (x=xi ) (l) 67 đoạn khai triển Taylor đến cấp thứ (pi − − k) x = xi hàm số Wi (x) Bài 3.3.4 Xác định đa thức f (x), (deg f (x) ≤ 3) thỏa mãn điều kiện f n (1) = n3 − 3n2 + n + 1, n = 0, 1, 2, f (2) = Giải Kí hiệu xi , aki (i = 1, 2, k = 0, 1, , pi − 1, với p1 = 3; p2 = Theo công thức nội suy Hermit, ta có f (0) (1) = 1, f (1) (1) = 0, f (2) (1) = 1, f (2) = x1 = 1, x2 = 2, a01 = 1, a11 = 0, a21 = −1, a02 = Ta có Wi (x) = (x − xj )pj j=1;j=i Với i = 1, W1 (x) = (x − x2 )1 = x − Với i = 2, W2 (x) = (x − x1 )3 = (x − 1)3 Vậy (x − xi )k Wi (x) T H (x) = aki k! i=1 k=0 pi −1 Wi (x) (pi −1−k) , (x=xi ) T Wi (x) (pi −1−k) pi −1−k = (x=xi ) l=0 Wi (x) (x − xi )l l! (x=xi ) (l) Do p1 −1 H (x) = k=0 p2 −1 + k=0 (x − x1 )k ak1 W1 (x) T k! W1 (x) (p1 −1−k) (x − x2 )k ak2 W2 (x) T k! W2 (x) (p2 −1−k) (x=x1 ) (x=x2 ) 68 (x − x1 )0 W1 (x) T H(x) = a01 0! W1 (x) (x − x1 )1 + a11 W1 (x) T 1! W1 (x) (x − x1 )2 W1 (x) T + a21 2! W1 (x) + a02 (x − x2 ) W2 (x) T 0! W2 (x) (p1 −1) (x=x1 ) (p1 −1−1) (x=x1 ) (p1 −1−2) (x=x1 ) (p1 −1−0) (x=x2 ) Suy H (x) = (x − 2) T x − x2 (x − x1 )2 − (x − x2 ) T 2! (x=x1 ) (2) x − x2 x − x1 (x1 − x2 ) (x − x1 )2 = (x − x2 ) − + x1 − x2 (x1 − x2 )2 (x1 − x2 )4 (x − x1 )2 (x − x2 ) − (x1 − x2 ) = (x − 2) −1 − (x − 1) − 2(x − 1) (x − 1)2 (x − 2) + hay H (x) = − (x − 2) (x − 1)2 − (x − 2) (x − 1) − (x − 2) 11 = − x3 + 5x2 − x + 2 (0) (x=x1 ) 69 3.4 3.4.1 Ứng dụng Maple tính giá trị đa thức Đa thức nội suy Lagrange [> dtns := proc (a :: list, b :: list, xo) [> local n, i, j, g, p, f ; [> n := nops(a); [> p := array(1 n); [> f or i to n [> p[i] := 1; od; [> f or i f rom to n [> p[i] := 1; [> f or j f rom to n [> if j i then p[i] := p[i] ∗ (x − a[j])/(a[i] − a[j]); f i; od; od; [> f := 0; [> f or i to n [> f := f + b[i] ∗ p[i]; od; print(f ); [> f or i f rom to n [> p[i] := 1; od; [> f or i to n [> f or j to n [> if j i then p[i] := p[i] ∗ (xo − a[j])/(a[i] − a[j]); f i; od; od; print(p); [> f := 0; [> f or i to n [> f := f + b[i] ∗ p[i]; od; [> evalf (f ); [> end; 70 dtns := proc(a :: list, b :: list, xo) local n, i, j, g, p, f ; n := nops(a); p := array(1 n); for i to n p[i] := od; for i to n p[i] := 1; for j to n if j i then p[i] := p[i] ∗ (x − a[j])/(a[i] − a[j]) fi od od; f := 0; for i to n f := f + b[i] ∗ p[i] od; print(f ); for i to n p[i] := od; for i to n for j to n if j i then p[i] := p[i] ∗ (xo − a[j])/(a[i] − a[j])fi od od; print(p); f := 0; for i to n f := f + b[i] ∗ p[i] od; evalf (f ) end Bài 3.4.1 Hàm số y = f (x) cho bảng sau −1 1 f (xi ) 3 xi Tính f ( ) [> dtns([−1, 0, 1], [1/3, 1, 3], 1/2); 1 x(x − 1) − (x + 1)(x − 1) + 3( x + )x 2 3 [− , , ] 8 71 1.833333333 Vậy f ( ) = 1, 833333333 Bài 3.4.2 Hàm f (x) cho bảng sau x −3 −2 f (xi ) 58 19 −1 Tìm đa thức nội suy Lagrange f(x)? [> dtns([−3, −2, 1, 3], [58, 19, 4, −1], 2); 19 29 (−x − 2)(x − 1)(x − 3) + (x + 3)(x − 1)(x − 3) 12 15 1 − ( x + )(x + 2)(x − 3) − ( x + )(x + 2)(x − 1) 4 10 1 [ ,− , , ] 6 6.333333333 Vậy f (x) = 6.333333333 Bài 3.4.3 Hàm số y = f (x) cho bảng sau x h y0 y1 y y3 y4 y 1 27 64 125 Tính f (6) [> dtns([0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 8, 27, 64, 125], 6); x(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) − x(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5) 24 + x(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) − x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) 25 + − −x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) 24 [−1, 6, −15, 20, −15, 6] 216 72 3.4.2 Đa thức nội suy Newton [> dtnewton := proc(xo, h, x, y :: list) [> local t, j, i, f, n, m, t1, D; [> print(y); [> n := nops(y); print(n); m := n − 1; print(m); [> D := array(1 m); print(D); [> f or i to m [> D[i] := y[i + 1] − y[i]; [> od; print(D); [> f := y[1] + t ∗ D[1]; [> f or j f rom to n [> f or i to n − j + [> D[i] := D[i + 1] − D[i]; [> od; print(D); [> t := t ∗ (t − j + 2)/(j − 1); [> f := f + t ∗ D[1]; od; print(f ); [> t := (x − xo)/h; t1 := t; [> f or i to m [> D[i] := y[i + 1] − y[i]; [> od; [> f := y[1] + t ∗ D[1]; [> f or j f rom to n [> f or i to n − j + [> D[i] := D[i + 1] − D[i]; [> od; 73 [> t := t ∗ (t1 − j + 2)/(j − 1); [> f := f + t ∗ D[1]; [> od; [> evalf (f ); [> end; dtnewton := proc(xo, h, x, y :: list) local t, j, i, f, n, m, t1, D; print(y); n := nops(y); print(n); m := n − 1; print(m); D := array(1 m); print(D); for i to m D[i] := y[i + 1] − y[i] od; print(D); f := y[1] + t ∗ D[1]; for j from to n for i to n − j + D[i] := D[i + 1] − D[i] od; print(D); t := t ∗ (t − j + 2)/(j − 1); f := f + t ∗ D[1] od; print(f ); 74 t := (x − xo)/h; t1 := t; for i to m D[i] := y[i + 1] − y[i] od; f := y[1] + t ∗ D[1]; for j from to n for i to n − j + D[i] := D[i + 1] − D[i] od; t := t ∗ (t1 − j + 2)/(j − 1); f := f + t ∗ D[1] od; evalf (f ) end Bài 3.4.4 Hàm số y = f (x) cho bảng sau x h y0 y1 y y3 y4 y 1 27 64 125 Tính f (6) [> dtnewton(0, 1, 6, [0, 1, 8, 27, 64, 125]); [0, 1, 8, 27, 64, 125] [D[1], D[2], D[3], D[4], D[5]] [1, 7, 19, 37, 61] [6, 12, 18, 24, 61] [6, 6, 6, 24, 61] [0, 0, 6, 24, 61] 75 [0, 0, 6, 24, 61] t + 3t(t − 1) + t(t − 1)( t(t − 1) − 2) 216 Vậy f (6) = 216 Bài 3.4.5 Hàm số y = f (x) cho bảng sau x0 h y0 10 y1 y2 y3 y4 y5 1002 10000 2013 10000 8054 10000 4108 10000 5211 10000 14 ) 100 [> dtnewton(0, 1/10, 14/100, [0, 1002/10000, 2013/10000, 8054/10000, 4108/10000, 5211/10000]); Tính f ( [0, 501 2013 1609 1027 5211 , , , , ] 5000 10000 2000 2500 10000 [D[1], D[2], D[3], D[4], D[5]] [ [ 501 1011 377 3937 1103 , , ,− , ] 5000 10000 625 10000 10000 5021 9969 63 1103 , ,− , , ] 10000 10000 10000 125 10000 [ 1253 1499 15009 63 1103 ,− , , , ] 2500 1000 10000 125 10000 [− [ 10001 29999 15009 63 1103 , , , , ] 5000 10000 10000 125 10000 50001 29999 15009 63 1103 , , , , ] 10000 10000 10000 125 10000 76 1253 10001 501 t+ t(t−1)+ t(t−1)( t(t−1)−2)− t(t−1)( t(t− 5000 20000 15000 120000 1 16667 1 1) − 2)( t(t − 1)( t(t − 1) − 2) − 3) + t(t − 1)( t(t − 1) − 2)( t(t − 400000 1 1 1)( t(t−1)−2)−3)( t(t−1)( t(t−1)−2)( t(t−1)( t(t−1)−2)−3)−4) 24 0.00941915520 Vậy f ( 14 ) = 0.00941915520 100 77 Kết luận Trên sở tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, luận văn đạt số kết sau: Hệ thống cách công thức nội suy: Lagrange, Newton, Taylor, Hermite Trong phần ứng dụng, luận văn sưu tầm, hệ thống phân loại số dạng toán sử dụng công thức nội suy, có nhiều toán sử dụng kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia quốc tế Công thức nội suy ứng dụng vào đánh giá bất đẳng thức, đánh giá tương giao đồ thị hàm số, ước lượng dãy số, tìm công thức tổng quát dãy số, Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn chưa có điều kiện nghiên cứu sâu hơn, rộng ứng dụng công thức nội suy Tác giả luận văn tiếp tục nghiên cứu, bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn ngày cập nhật mong muốn luận văn trở thành tài liệu có ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học sơ Trung học phổ thông 78 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2009), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục [4] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Văn Long, Hoàng Văn Thông, Lương Thái Lê (2007), Giải tích số, NXB Giao thông vận tải [6] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc Đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [8] Lê Trọng Vinh (2005), Giáo trình Giải tích số, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [9] Philip J Davis (1964), Interpolation and Approximation, Blaisdell Publishing Co., New York [...]... Chương 2 Phép nội suy 2.1 Bài toán nội suy tổng quát Giả sử hàm số y = f (x) được cho bởi bảng (2.1) x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn Bảng 2.1 hoặc bởi một biểu thức khá phức tạp Ta phải tính giá trị hoặc đạo hàm của hàm số tại một điểm bất kì sẽ gặp nhiều khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm một hàm dễ tính toán và có sai số với f (x) là nhỏ nhất Phép tìm một hàm như vậy gọi là phép nội suy Trong lớp các hàm số liên... đa thức nội suy Gauss II 2.5 Bài toán nội suy ngược Trong các mục trước ta đã xét bài toán: Tìm giá trị gần đúng của hàm f (x) tại điểm x nào đó không có trong bảng số Bây giờ xét bài toán ngược, nghĩa là từ bảng số đã cho dạng y = f (x); từ giá trị y đã cho có trong bảng, hãy tìm x tương ứng 2.5.1 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange Từ bảng số đã cho trong dạng y = f (x), có y hãy tìm x tương ứng, nghĩa... ta sử dụng công thức tiến, còn x gần xn ta sử dụng công thức lùi, các công thức đó mang đặc trưng một phía Trong nhiều trường hợp cần tính x ở giữa bảng, công thức một phía (tiến hoặc lùi) sẽ bị hạn chế (nhiều mốc nội suy không được sử dụng để tính) Vì vậy ta đưa ra công thức sử dụng cả hai phía và gọi là các công thức nội suy trung tâm 2.4.1 Công thức nội suy Gauss I Đa thức nội suy tìm dưới dạng "tiến,... Li ∈ X ∗ i = 1, n và các số thực (phức) yi i = 1, n Tìm x ∈ X sao cho Li (x) = yi i = 1, n (2.1) 16 Bài toán (2.1) được gọi là bài toán nội suy tổng quát Nếu yi = 0 i = 1, n thì bài toán (2.1) trở thành bài toán: Tìm x ∈ X sao cho Li (x) = 0 i = 1, n (2.2) Khi đó (2.2) được gọi là bài toán nội suy thuần nhất Định lý 2.1.1 Bài toán nội suy tổng quát (2.1) có lời giải duy nhất khi và chỉ khi các phiếm... yi ∆4 yi−2 ∆3 yi−1 ∆yi ∆2 yi yi+1 ∆yi+1 yi+2 Đa thức nội suy Newton tiến, lùi Giả sử hàm số y = f (x) ta chỉ biết một số giá trị của nó là y0 , y1 , , yn tại các điểm tương ứng là x0 , x1 , , xn và giả thiết xi = x0 + ih i = 0, n Đa thức nội suy Newton tiến Giả sử rằng mốc nội suy x0 < x1 < < xn Ta tìm đa thức nội suy P (x) có dạng P (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) (x − x1 ) + + an... thể tích V chính xác đến 0,1m3 1.2 1.2.1 Một số khái niệm cơ bản của đại số Một số vấn đề của đại số tuyến tính Giả sử K là một trường 8 Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp V = ∅ được gọi là một không gian vectơ trên K nếu nó được trang bị hai phép toán, gồm (i) Phép cộng vectơ +:V ×V →V (α, β) → α + β (ii) Phép nhân vectơ với vô hướng • :K ×V →V (a, α) → aα Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên... điểm lớn là mỗi lần thêm một mốc nội suy mới ta lại phải tính toán lại từ đầu mà không sử dụng được các kết quả tính toán trước khi bổ sung Newton đã đưa ra một phương pháp khác khắc phục hạn chế của Lagrange, các dữ liệu đã có trước khi bổ sung mốc mới được sử dụng lại, giảm đi khối lượng tính toán 2.3.1 Đa thức nội suy có mốc nội suy không cách đều nhau Tỷ sai phân Xét hàm số y = f (x) ; x ∈ [a, b]... 1.∆xi = i=1 ∆xi i=1 Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng ∆y Sai số tương đối δy = đặc trưng cho tính chính xác của phép đo Nếu |y| |y| rất nhỏ thì sai số tương đối sẽ rất lớn và như vậy tính chính xác của phép đo không đảm bảo Vì vậy trong tính toán gần đúng phải tránh các công thức đưa đến việc tính hiệu của 2 số gần nhau Sai số của một tích Xét y = x1 x2 xn... không gian vectơ trên trường K b) K là một không gian vectơ trên chính nó đối với phép cộng và phép nhân của trường K R vừa là một Q - không gian vectơ vừa là một R - không gian vectơ, C là một không gian vectơ đồng thời trên các trường Q, R và C c) Tập hợp C [a, b] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R là một không gian vectơ thực với các phép toán thông thường (f + g) (x) = f (x) + g (x)... 1) + + t (t − 1) (t − n + 1) 1! 2! n! (2.4) Công thức (2.4) là đa thức nội suy Newton tiến Đa thức nội suy Newton lùi Giả sử rằng, các mốc nội suy vẫn thỏa mãn như phần trên Đa thức nội suy Newton lùi P (x) được tìm có dạng, P (x) = a0 +a1 (x − xn )+a2 (x − xn ) (x − xn−1 )+ +an (x − xn ) (x − x1 ) Tương tự, như phép nội suy Newton tiến, thay lần lượt x bằng xn , xn−1 , , x1 ta thu được yn = P