BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————– TRẦN NGỌC HẢO TÍNH ĐỐI NGẪU VÀ SONG TRỰC GIAO CỦA KHUNG WEYL - HEISENBERG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN NGỌC HẢO TÍNH ĐỐI NGẪU VÀ SONG TRỰC GIAO CỦA KHUNG WEYL - HEISENBERG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN QUỲNH NGA Hà Nội, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Trần Ngọc Hảo Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Trần Ngọc Hảo Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 1.3 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn 11 1.4 Khung tổng quát không gian Hilbert 11 1.5 Phép biến đổi Zak 22 Tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg 29 2.1 Khung Weyl - Heisenberg 29 2.2 Tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg 46 2.2.1 Định lý Wexler - Raz 46 2.2.2 Mối liên hệ toán tử khung S ma trận GG∗ 50 2.2.3 Hàm đối ngẫu cực tiểu 54 2.2.4 Một số ví dụ 60 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu Lí chọn đề tài Do phép biến đổi Fourier, công cụ sử dụng rộng rãi toán học, vật lý kỹ thuật, không chứa thông tin địa phương tín hiệu nên sử dụng việc phân tích tín hiệu miền chung thời gian tần số Dennis Gabor, nhà vật lý kỹ sư người Hungary, người nhận giải Nobel vật lý sớm nhận nhược điểm Năm 1946, ông đưa phép biến đổi Gabor nhằm khắc phục yếu điểm phép biến đổi Fourier cách dùng hàm cửa sổ địa phương hóa thời gian g(t − b) để lấy thông tin địa phương phép biến đổi Fourier tín hiệu, tham số b dùng để dịch chuyển cửa sổ để phủ toàn trục thời gian Nhờ giải tích Gabor ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật nén ảnh, nhận dạng đối tượng, quang học, Khung R J Duffin A C Schaeffer [6] đưa năm 1952 Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau báo I Daubechies, A Grossmann Y Meyer [4] khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu, Cũng nhờ báo [4] mà lần giải tích Gabor kết hợp với lý thuyết khung phát triển theo hướng mới, cung cấp công cụ để phân tích xử lý tín hiệu giọng nói âm nhạc Với mong muốn hiểu biết sâu sắc khung nói chung khung Gabor (hay gọi khung Weyl - Heisenberg) nói riêng, đồng ý hướng dẫn TS.Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn “ Tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg ” làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan khung Weyl - Heisenberg tính chất đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm vững kiến thức toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert, số không gian hàm, lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert, khung Weyl - Heisenberg, phép biến đổi Zak, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Nghiên cứu tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg bao gồm Định lý Wexler - Raz, mối liên hệ toán tử khung S ma trận GG∗ , hàm đối ngẫu cực tiểu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đến tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp luận văn Luận văn hi vọng tài liệu tổng quan tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại vài khái niệm, kết dùng chương sau Các kết tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [9] 1.1 Một số không gian hàm   L (R) = f : R → C | f đo  R   |f (x)| dx < +∞  L2 (R) không gian Hilbert với tích vô hướng xác định f, g = f (x) g(x) dx , f, g ∈ L2 (R) 1 2  |f (x)| dx , f ∈ L2 (R) R chuẩn xác định  f = R Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân) Với f, g ∈ L2 (R) ta có |f (x) g(x)|dx ≤  R 1 |g(x)|2 dx 1  |f (x)|2 dx   R R Một phiên rời rạc L2 (R) l2 (I) với I tập số đếm l2 (I) = |xk |2 < +∞ {xk }k∈I ⊂ C | k∈I l2 (I) không gian Hilbert với tích vô hướng {xk }, {yk } = xk yk k∈I Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tổng) Với {xk }k∈I , {yk }k∈I ∈ l2 (I) ta có |xk |2 ≤ xk yk k∈I k∈I Trường hợp đặc biệt I = Z2 , ta có   2 l (Z ) = {cm,n }m,n∈Z ⊂ C |  |yk |2 k∈I   |cm,n | < +∞  m,n∈Z dn S = f ∈ C (R) | sup x f (x) < +∞ dxn x∈R với m, n số nguyên không âm } S ký hiệu tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục S ∞ m Ta có mối liên hệ S ⊂ L2 (R) ⊂ S L2loc (R2 ) = f : R2 → C | |f (x)|2 dx < +∞ K với tập compact K ⊂ R2 } Định lý 2.2.3 Giả sử g ∈ L2 (R) cho A ≥ 0, B < ∞ Khi ta có AI ≤ S ≤ BI ⇔ AI ≤ GG∗ ≤ B I , (2.45) ab I ký hiệu toán tử đồng L2 (R) l2 (Z2 ), theo nghĩa S, GG∗ hoàn toàn xác định toán tử tuyến tính bị chặn L2 (R), l2 (Z2 ) lại ta có (2.45) Chứng minh Giả sử AI ≤ S ≤ BI cho h ∈ S tạo khung chặt, h = Khi hệ {Ukl∗ h}k,l trực chuẩn Thật vậy, ∗ Uk∗ ,l h, Uk,l h = e−2πik l /ab U−k ,−l h, e2πikl/ab U−k,−l h = e(−2πik l +2πikl)/ab U−k ,−l h, U−k,−l h = e(−2πik l +2πikl)/ab h, Uk −k,l −l h e2πi(l−l )/ab Do {hna,mb }n,m∈Z khung chặt với cận khung A nên f= f, hna,mb hna,mb A n,m h, Uk,l h = ab δk0 δl0 Từ h, Uk,l h = A ab δk0 δl0 A Nếu k = l = h, Uk,l h = Theo (2.36), Do k = k l = l h, Uk −k, l −l h = ∗ h = k = k l = l Từ Uk∗ ,l h, Uk,l Nếu k = k l = l h, Uk −k, l −l h = h, h = h = ∗ h}k,l trực chuẩn Do hệ {Uk,l Giả sử c = {ckl }k,l∈Z dãy số có hữu hạn thành phần khác Đặt f = ∗ ∗ ckl Uk,l h Do {Uk,l h}k,l trực chuẩn nên Uk,l Sf, h k,l ∗ Sf, Uk,l h Uk,l f, h = ∗ Uk,l h, f = Sf, f k,l Theo (2.28), Sf, f = Uk ,l g, Uk,l g ab k,l;k ,l Uk,l f, h = Uk ,l g, Uk,l g ckl ck l ab k,l;k ,l 51 Uk ,l f, h (2.46) Hơn nữa, A f ≤ Sf, f ≤B f ; f |ckl |2 = c = (2.47) k,l Vì vế phải (2.46) bị chặn A c 22 B c 22 Do (2.44) nên ta viết lại vế phải (2.46) GG∗ c, c Từ ab GG∗ c, c ≤ B c (2.48) A c 2≤ ab với c có hữu hạn thành phần khác Do tập c có hữu hạn thành phần khác trù mật l2 (Z2 ) nên (2.48) với c ∈ l2 (Z2 ) Từ AI ≤ GG∗ ≤ BI yêu cầu Để chứng minh điều ngược lại, ta ab lưu ý với F ∈ S , f ∈ S ta có công thức phân giải đồng thức ∞ ∞ (F, hx,y ) (f, hx,y ) dx dy (F, f ) = (2.49) −∞ −∞ h ∈ S , h = Ở ta lưu ý (F, hx,y ) tăng nhiều đa thức theo x, y (f, hx,y ) lại giảm nhanh ( + |x| + |y| )−s , với s ≥ Do (F, hx− k/b, y− l/a ) (f, hx− k/b, y− l/a ) = (Ukl F, hx,y ) (Ukl f, hx,y ) (2.50) với k, l ∈ Z, x, y ∈ R, ta viết (2.49) sau 1/b 1/a (F, f ) = (Ukl F, hx,y ) (Ukl f, hx,y ) dx dy 0 (2.51) k,l Bây sử dụng (2.51) với F = Sf ( theo Mệnh đề 2.1.14 Sf ∈ S ) Khi từ (2.28) A I ≤ GG∗ ≤ B I ta suy ab 1/b 1/a (Sf, f ) = ab Uk l g, Ukl g 0 Ukl f, hx,y Uk l f, hx,y dx dy k,l; k ,l (2.52) 52 nằm ADf BDf , 1/b 1/a ∞ ∞ | Ukl f, hx,y |2 dx dy = Df = k,l | f, hx,y |2 dx dy = f −∞ −∞ (2.53) Từ suy A f | f, gna, mb |2 ≤ B f ≤ (Sf, f ) = (2.54) n,m Do S trù mật L2 (R) nên ta có A f | f, gna,mb |2 ≤ B f , ∀f ∈ L2 (R) ≤ Sf, f = (2.55) n,m Hay nói cách khác AI ≤ S ≤ BI Ta có hệ sau Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.4 Cho g ∈ L2 (R) Khi g có cận khung B tham số a, b g có cận khung Bab tham số 1/b, 1/a Giả sử g tạo khung Khi có = h ∈ L2 (R) cho h, gk/b, l/a = , với k, l ∈ Z Chứng minh g có cận khung B tham số a, b Sf, f ≤ B f với f ∈ L2 (R) S toán tử khung {gna,mb }n,m ∈ Z Theo chứng minh Định lý 2.2.1 Sf, f = = Do Uk ,l g, Uk,l g ckl ck ,l ab k,l;k ,l GG∗ c, c ab GG∗ c, c ≤ B f ab G∗ c 2 =B c ≤ ab B c 53 hay nói cách tương đương với c ∈ l2 (Z) (2.56) Từ suy G∗ ≤ √ B ab Theo Định lý 1.4.9 dãy {gk/b,l/a } dãy Bessel với cận B ab hay g có cận khung B ab tham số 1/b, 1/a Ngược lại g có cận khung B ab tham số 1/b, 1/a theo √ Định lý 1.4.9, G∗ ≤ B ab Từ ta có (2.56) Sf, f ≤ B f với f ∈ L2 (R) Do g có cận khung B tham số B 2.2.3 Hàm đối ngẫu cực tiểu Khi g tạo khung f ∈ L2 (R), f biểu diễn nhiều cách dãy hội tụ L2 (R) f= amn gna,mb (2.57) n,m với a ∈ l2 (Z2 ) Một khả cho amn lựa chọn anm = f, ◦ γna,mb (2.58) ◦ γ = S −1 g Ta chứng minh điều nhờ Bổ đề sau: Bổ đề 2.2.5 Cho g ∈ L2 (R) a, b > Giả sử {gna,mb }m,n∈Z dãy Bessel với toán tử khung S Khi S Emb Tna = Emb Tna S, ∀m, n ∈ Z Chứng minh Cho f ∈ L2 (R) tùy ý Sử dụng Bổ đề 1.2.6 - 1.2.8 ta S Emb Tna f = Emb Tna f, Em b Tn a g Em b Tn a g m ,n ∈Z ∗ ∗ f, Tna Emb Em b Tn a g Em b Tn a g = m ,n ∈Z = f, T−na E−mb Em b Tn a g Em b Tn a g m ,n ∈Z = f, T−na E(m −m)b Tn a g Em b Tn a g m ,n ∈Z f, e2πina(m −m)b E(m −m)b T(n −n)a g Em b Tn a g = m ,n ∈Z 54 Đổi biến m → m + m n → n + n sử dụng Bổ đề 1.2.7, 1.2.8 lần ta e−2πi na m b f, Em b Tn a g E(m +m)b T(n +n)a g S Emb Tna f = m ,n ∈Z e−2πi na m b f, Em b Tn a g e2πina m b Emb Tna Em b Tn a g = m ,n ∈Z   = Emb Tna  f, Em b Tn a g Em b Tn a g  m ,n ∈Z = Emb Tna Sf Từ ta có S Emb Tna = Emb Tna S Định lý 2.2.6 Cho g ∈ L2 (R) a, b > Giả sử {gna,mb }m,n∈Z khung Gabor Khi khung đối ngẫu tắc có cấu trúc Gabor cho {◦ γna,mb }m,n∈Z , ◦ γ = S −1 g Chứng minh Theo định nghĩa khung đối ngẫu tắc khung {gna,mb }m,n∈Z {S −1 (gna,mb )}m,n∈Z = {S −1 Emb Tna g}m,n∈Z Theo Bổ đề 2.2.5, S −1 Emb Tna g = Emb Tna S −1 g =◦ γna,mb Từ ta có điều phải chứng minh Theo Mệnh đề 1.4.6, ◦ γ cực tiểu theo nghĩa f ∈ L2 (R) với a ∈ l2 (Z2 ) cho (2.57) thỏa mãn ta có |(f, ◦ γna,mb )|2 ≤ |anm |2 (2.59) n,m n,m với dấu xảy amn cho (2.58) ◦ γ thường gọi hàm đối ngẫu cực tiểu Một cách để tính ◦ γ từ g S sau Đặt V =I− S, B+A S ≥ AI nên V ≤I − 2A B−A I = I ≤I B+A B+A 55 Từ đó, theo Mệnh đề 1.2.4, I − V khả nghịch ◦ 2 γ=S g= (I − V )−1 g = B+A B+A ∞ −1 V r g r=0 Khai triển chuỗi von Neumann cho ◦ γ hội tụ nhanh hầu hết trường hợp thực tế, việc tính toán số hạng V r g phức tạp, đặc biệt ab nhỏ, chuỗi f, gna,mb gna,mb cho Sf m,n có nhiều số hạng không bỏ qua Mệnh đề 2.2.7 Giả sử g ∈ L2 (R) tạo khung Khi ◦ γ phần tử γ L2 (R) có chuẩn nhỏ cho Gγ = σ G xác định công thức (2.43) σ = {ab δk0 δl0 }k,l∈Z ◦ γ nghiệm toán sau tìm giá trị nhỏ γ g − γ g tất γ ∈ L2 (R)với Gγ = σ (2.60) Chứng minh Cho h ∈ S tạo khung chặt, giả sử γ ∈ L2 (R) thỏa mãn Gγ = σ Ta h = h, γna, mb gna, mb n,m Do h ∈ S nên h có cận khung B Ta có | h, γna,mb |2 = n,m | h, Emb Tna γ |2 n,m | T−na E−mb h, γ |2 = n,m | E−mb T−na h, γ |2 = n,m | Emb Tna h, γ |2 = n,m 56 (2.61) | hna,mb , γ |2 = n,m ≤ B γ Từ theo Hệ 1.4.12 vế phải (2.61) hội tụ theo chuẩn L2 (R) Bây cho f ∈ S Theo Mệnh đề 2.1.11 γ, hna, mb fna, mb , g = n,m ab f, hk/b, l/a γk/b, l/a , g (2.62) k,l Do G γ = { γ, gk/b, l/a }k,l∈Z = { γ, El/a Tk/b g }k,l∈Z = { T−k/b E−l/a γ, g }k,l∈Z = { e−2πikl/ab E−l/a T−k/b γ, g }k,l∈Z = { e−2πikl/ab γ−k/b,−l/a , g }k,l∈Z = {ab δk0 δl0 }k,l∈Z nên k = l = γ−k/b,−l/a , g = ab k = l = γ−k/b,−l/a , g = Do bên vế phải (2.62) có số hạng khác không k = l = f, h Bên vế trái (2.62) viết sau γ, hna,mb fna,mb , g n,m e−2πinamb γ−na,−mb , h e2πinamb f, g−na,−mb , h = n,m = γ−na,−mb , h f, g−na,−mb n,m = γna,mb , h f, gna,mb n,m = f, h, γna, mb gna, mb n,m 57 Từ suy (2.61) Do h tạo khung chặt, có cận khung A = B = 1/ab Do ta thấy từ (2.59) ab ◦ γ | h, ◦ γna, mb |2 ≤ | hna,mb , ◦ γ |2 = = n,m n,m | h, γna, mb |2 n,m = dấu xảy h, ◦ γna, mb γ ab = h, γna, mb với n, m Do hna,mb , ◦ γ = hna,mb , γ với n, m tức ◦ γ = γ h tạo khung chặt Để ◦ γ nghiệm toán (2.60) quan sát với γ ∈ L2 (R) thỏa mãn Gγ = σ ta có g γ − γ g = − Re ab = (◦ γ, g) ≤ ◦ γ ◦ g γ − ◦γ g =2 1− ≤ g ab ◦γ g γ, g γ g γ g ab 1− = γ g , Từ ≤2 1− ab γ = g γ g − γ g Mệnh đề 2.2.8 Giả sử g tạo khung Khi ◦ γ = G∗ (GG∗ )−1 σ =: ◦◦ γ ◦ γ = (ab)2 (GG∗ )−1 oo,oo (2.63) Chứng minh Theo Định lý 2.2.3 GG∗ toán tử bị chặn, xác định dương l2 (Z2 ); từ ◦◦ γ ∈ L2 (R) Rõ ràng G ◦◦ γ = σ Bây cho γ ∈ L2 (R) Gγ = σ Khi γ −◦◦ γ, ◦◦ γ = G(γ −◦◦ γ), (GG∗ )−1 σ = Vì γ = ◦◦ γ + γ −◦◦ γ 58 ≥ ◦◦ γ với dấu xảy γ =◦◦ γ Điều cho thấy ◦◦ γ nghiệm có chuẩn nhỏ phương trình Gγ = σ , ◦ γ =◦◦ γ Mệnh đề 2.2.7 Ta tính toán ◦ γ = G∗ (GG∗ )−1 σ = G∗ (GG∗ )−1 σ, G∗ (GG∗ )−1 σ = (GG∗ )−1 σ, GG∗ (GG∗ )−1 σ ∗ −1 (2.64) = (GG ) σ, σ = (ab)2 (GG∗ )−1 oo; oo Vậy ta chứng minh xong Mệnh đề 2.2.9 Giả sử g tạo nên khung Khi ◦ γ tạo khung ta có GG∗ ab −1 ◦ ◦ ∗ Γ Γ , ab = (2.65) ◦ Γf = f, ◦ γk/b, l/a k,l ∈Z Hơn nữa, với f, h ∈ L2 (R) cho Uk l S −1 f, h = ab f ∈ L2 (R) , k,l (2.66) | Ukl f, h |2 < ∞ ta có Uk l ◦ γ, Ukl ◦ γ Ukl f, h (2.67) k,l với k , l ∈ Z Cuối ◦ Γ = (GG∗ )−1 G ab (2.68) Chứng minh Theo Định lý 2.2.6 ta biết ◦ γ tạo khung Áp dụng Định lý 2.2.3 ◦ γ , ta suy ◦ Γ ◦ Γ∗ ánh xạ bị chặn từ l2 (Z2 ) vào Theo Mệnh đề 2.1.10 ta biết rằng: g, gk/b, l/a ◦ , k,l k,l 59 γ, ◦ γk/b, l/a hữu hạn Khi theo Mệnh đề 2.1.13 ab δk k δl l = gk /b, l /a , ◦ γk /b, l /a = Uk l S ◦ γ, Uk l ◦ γ Uk l g, Ukl g = ab k,l Do ab I = Ukl ◦ γ, Uk ,l ◦ γ GG∗ ◦ Γ ◦ Γ∗ , ab hay nói cách khác ta có (2.65) Tiếp theo để chứng minh (2.67), cần lưu ý S −1 toán tử khung tương ứng với ◦ γ , với f ∈ L2 (R) S −1 f = (f, ◦ γna, mb ) ◦ γna, mb , n,m ta áp dụng Mệnh đề 2.1.13 với S −1 , ◦ γ thay S, g Cuối để chứng minh (2.68) ta cho f ∈ L2 (R) Khi lấy f = g (2.67), S −1 f = ◦ γ ◦ γk /b, l /a , h = ab k,l | Ukl f, h |2 < ∞ , ta nhận thấy (◦ Γ ◦ Γ∗ )k,l; k ,l gk/b, l/a , h k,l với k , l ∈ Z Do (2.65) định nghĩa G ◦ γ ta suy ◦ Γ h = ab (GG∗ )−1 G h điều chứng tỏ (2.68) 2.2.4 Một số ví dụ Ví dụ 2.2.10 Ta xây dựng g, γ ∈ L2 (R) cho Gγ = σ g γ không tạo khung G định nghĩa (2.43) σ = {ab δk0 δl0 }k,l∈Z Cho a = , b = h ∈ L2 (R) tạo khung (xem [3, trang 981]) 60  A := ess inf |(Zh) (t, v)|2 + |(Zh) (t + , v)|2 > B := ess sup |(Zh) (t, v)|2 + |(Zh) (t + , v)|2 < ∞ (2.69) cận khung dưới, A, B tương ứng Do Z phép biến đổi unita nên Gγ = { γ, gk/b,l/a }k,l∈Z = { Zγ, Zgk/b,l/a }k,l∈Z = { Zγ, Zgk,2l }k,l∈Z ta tính toán e2πinv gk,2l (t − n) Z(gk,2l ) (t, v) = n∈Z e2πinv e4πil(t−n) g(t − n − k) = n∈Z e2πi(n −k)v e4πil(t−n +k) g(t − n ) = n ∈Z e2πin v e−2πikv e4πilt g(t − n ) = n ∈Z = e−2πikv e4πilt e2πin v g(t − n ) n ∈Z =e −2πikv 4πilt e Zg(t, v) Từ Gγ = { Zγ, Zgk,2l }k,l∈Z  1    2πikv−4πilt Zγ (t, v)Zg(t, v)e dt dv =   0 k,l∈Z Do điều kiện Gγ = σ biểu diễn qua biến đổi Zak sau: 1 (Zγ) (t, v) (Zg) (t, v) e2πikv−4πilt dt dv = 0 61 δk0 δl0 (2.70) Chọn g ∈ L2 (R) cho g không thỏa mãn hai điều kiện (2.69) 1/Zg ∈ L2loc (R2 ) lấy γ ∈ L2 (R) cho Zγ = 1/(Zg) Khi (2.70) g γ không thỏa mãn điều kiện (2.69) Ví dụ 2.2.11 Chúng ta xây dựng g ∈ L2 (R) cho g có cận khung tham số a, b (và, từ đó, tham số 1/b, 1/a) g không thỏa mãn điều kiện A; xem Mệnh đề 2.1.16 Cho a = , b = 2 lấy g ∈ L (R) cho điều kiện thứ hai (2.69) thỏa mãn Khi g có cận khung tham số , (và 1,2) Giả sử g thỏa mãn điều kiện A, tức k,l | g, gk, 2l | < ∞ Ta kiểm tra 2πikv+4πilt g, gk, 2l e k,l 1 (Zg) (t + , v) = |(Zg) (t, v)|2 + 2 2 (2.71) hầu khắp nơi Phía bên vế trái (2.71) liên tục theo t, v vế phải yêu cầu bị chặn chủ yếu Do có nhiều phản ví dụ điều Ví dụ 2.2.12 Chúng ta xây dựng g ∈ L2 (R) cho k,l g, gk/b, l/a n,m | g, gna, mb |2 hữu hạn g cận khung tham số a, b (hoặc 1/b, 1/a); xem Mệnh đề 2.1.16 Một lần cho a = , b = cho g ∈ L2 (R) cho 1 |(Zg)(t, v)|2 + (Zg)(t + , v) 2 2 (2.72) thuộc L2loc (R2 ) không thuộc L∞ (R2 ) Các hệ số Fourier hàm (2.72) g, gk, 2l , từ k,l , ( 1,2) Chúng ta kiểm tra |2 < ∞ Chọn h ∈ L2 (R) cho |Zh|2 ∈ L2loc (R) khung tham số | g, gn/2,m n,m | g, gk, 2l |2 < ∞ g cận 62 Khi | h, gk,2l |2 = k,l | Zh, Zgk, 2l |2 k,l = 1 (Zh) 0 t, v 1 t+ , v 2 + (Zh) (Zg) (Zg) t, v 1 t+ , v 2 dt dv < ∞ (2.73) Lấy h = gx,y với x = 0, 21 , y = 0, ta có g, g n2 ,m n,m = g, gk+ 2r ,2l+s r=0 s=0 k,l 63 < ∞ Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống, có bổ sung số chứng minh chi tiết vấn đề sau: Một số không gian hàm, số tính chất toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn, phép biến đổi Zak Một số tính chất khung tổng quát không gian Hilbert sâu nghiên cứu lớp khung có cấu trúc đặc biệt khung Weyl Heisenberg Tính đối ngẫu song trực giao khung Weyl - Heisenberg bao gồm Định lý Wexler - Raz, mối liên hệ toán tử khung S ma trận GG∗ , hàm đối ngẫu cực tiểu Ngoài luận văn trình bày số ví dụ để minh họa cho số khái niệm kết liên quan 64 Tài liệu tham khảo [1] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston [2] I Daubechies (1992), Ten lectures on wavelets, CBMS - NSF Regional Conf Ser in Appl Math , Vol 61, SIAM, Philadelphia [3] I Daubechies (1990), “The wavelet transform, time - frequency localization and signalanalysis”, IEEE Trans Inform Theory , Vol 36, 961 – 1005 [4] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys , Vol 72, 1271 – 1283 [5] I Daubechies, H Landau and Z Landau (1995), “Gabor time frequency lattices and the Wexler – Raz identity”, J Fourier Anal Appl , Vol 1, No 4, 437 – 478 [6] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc , Vol 72, 341 – 366 [7] D Gabor (1946), “ Theory of communications”, J.IEE, London, Vol 93, No 3, 429 - 475 [8] A J E M Jansen (1995), “ Duality and biorthogonality for Weyl Heisenberg frames”, J Fourier Anal Appl., Vol 1, No.4, 403 - 436 [9] R Kadison and R Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol 1, Academic Press, New York [10] R Tolomieri and R S Orr (1995), “ Poisson summation, the ambiguity function and the theory of Weyl - Heisenberg frames ”, J Fourier Anal Appl., Vol 1, No 3, 233 - 247 [11] J Wexler and S Raz (1990), “ Discrete Gabor expansions”, Signal Processing, Vol 21, 207 - 220 65 [...]... thức (1 .9) Zλ f (t, v) thậm chí được định nghĩa hầu khắp trong R2 và có tính tựa tuần hoàn như trong Bổ đề 1.5.2 dưới đây Bổ đề 1.5.2 Cho λ > 0, và f ∈ L2 (R) Khi đó: Zλ f (t + 1, v) = e2πiv Zλ f (t, v), Zλ f (t, v + 1) = Zλ f (t, v) 24 Chứng minh √ Zλ f (t + 1, v) = f ( (t + 1 − k))e2πikv λ k √ = f ( (t − k))e2πi(k+1)v λ k √ = e2πiv λ f ( (t − k))e2πikv k 2πiv =e Zλ (t, v) √ Zλ f (t, v + 1) = f ( (t... 2 L2 (Q) = hội tụ trong L2 (Q) và f 2 k∈Z Do đó Z là phép đẳng cự từ L2 (R) vào L2 (Q) Để chứng minh phần còn lại, ta sử dụng cơ sở trực chuẩn Gabor {Em Tn χ[0, 1]}m,n∈Z của L2 (R) 23 Bằng tính toán trực tiếp với (t, v) ∈ Q, e2πim(t−k) χ[0,1] (t − n − k)e2πikv (ZEm Tn χ[0,1] )(t, v) = k∈Z = e2πimt χ[0,1] (t − n − k)e2πikv k∈Z χ[0,1] (t − k)e2π(k−n)v = e2πimt (1 .12) k∈Z =e 2πimt −2πinv χ[0,1] (t −... giữa hai toán tử Ta và Eb Bổ đề 1.2.8 Ta Eb f (x) = e−2πiba Eb Ta f (x) = e2πib(x−a) f (x − a) Chứng minh Ta có Ta Eb f (x) = Ta (e2πibx f (x)) = e2πib(x−a) f (x − a) và 10 (1 .2) Eb Ta f (x) = Eb (f (x − a)) = e2πibx f (x − a) Từ đó ta có (1 .2) 1.3 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Với x, y, t ∈ R, ta sử dụng ký hiệu fx,y (t) := e2πiyt f (t − x) = Ey Tx f (t) Cho u, v ∈ L2 (R) Phép biến đổi Fourier... song trực giao của khung Weyl - Heisenberg Trong chương này chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu một lớp khung có cấu trúc đặc biệt, đó là khung Weyl - Heisenberg Khung Weyl - Heisenberg đóng vai trò quan trọng trong việc xử lý tín hiệu và truyền thông kỹ thuật số Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]- [3], [5], [8], [10], [11] 2.1 Khung Weyl - Heisenberg Lý thuyết toán học của giải... 2 F, E(m,n) Za g 2 L2 (Q) (F Za g)E(m,n) = m,n∈Z m,n∈Z Q (1 .15) |F Za g|2 = Q Ta có với mỗi f ∈ L2 (R), do Za là phép biến đổi unita từ L2 (R) lên L2 (Q) và (1 .13) | Za f, Za Emb Tna g |2L2 (Q) | f, Emb Tna g |2L2 (R) = m,n∈Z m,n∈Z | Za f, E(m,n) Za g |2L2 (Q) = (1 .16) m,n∈Z Từ đó điều kiện {Emb Tna g}m,n∈Z là dãy Bessel với cận B tương đương với | F, E(m,n) Za g |2L2 (Q) ≤ B F 2 , ∀F ∈ L2 (Q) m,n∈Z... = f ( (t − k))e2πik(v+1) λ k √ = f ( (t − k))e2πikv λ k = Zλ f (t, v) Nếu g ∈ L2 (R) và ab = 1 thì Za Emb Tna g(t, v) = = = = √ √ √ √ Emb Tna g(a(t − k))e2πikv a k∈Z e2πimba(t−k) g(at − ak − na)e2πikv a k∈Z ae2πimt g(at − ak − na)e2πikv k∈Z ae2πimt g(at − ak)e2πi(k−n)v k∈Z √ = e2πimt e−2πinv a g(a(t − k))e2πikv k = e2πimt e−2πinv Za g(t, v) Từ đó Za Emb Tna g = e2πimt e−2πinv Za g (1 .13) Họ {e2πimt... một cơ sở trực chuẩn trong L2 (Q), được ký hiệu bởi {E(m,n) }m,n∈Z Đẳng thức (1 .13) chứng tỏ {Emb Tna g}m,n∈Z là 25 đầy đủ trong L2 (R) (một cơ sở trực chuẩn trong L2 (R)) nếu và chỉ nếu {E(m,n) Za g}m,n∈Z có tính chất tương tự trong L2 (Q) Nhận xét này sẽ được dùng trong định lý sau, biểu thị tính chất của hệ {Emb Tna g}m,n∈Z với ab = 1 qua biến đổi Zak Za g Mệnh đề 1.5.3 Giả sử g ∈ L2 (R), và a, b... Fk (t, v) := f (t − k)e2πikv , 22 k ∈ Z Các hàm này thuộc L2 (Q) Ký hiệu chuẩn của chúng bởi Fk L2 (Q) , ta chú ý rằng 1 Fk 2L2 (Q) 1 |Fk (t, v)|2 dvdt = k∈Z 0 k∈Z 0 1 |f (t − k)|2 dt = 0 k∈Z k+1 |f (x)|2 dx = k∈Z k ∞ |f (x)|2 dx = −∞ = f 2 Ngoài ra, với j = k , 1 Fk , Fj L2 (Q) 1  e2πi(k−j)v dv  dt = 0 f (t − k)f (t − j)  = 0 (1 .11) 0 Kết hợp các kết quả đạt được cho ta thấy Fk k∈Z  2 L2 (Q)... Hilbert L2 (R) Đó là lớp các toán tử tịnh tiến và biến điệu Ta , Eb với a, b ∈ R Trước tiên ta quan sát rằng nếu f ∈ L2 (R) thì g(x) := f (x − a) và h(y) := e2πiby f (y) cũng thuộc L2 (R) Hơn nữa, g = f = h Thật vậy,  ∞  21   −∞ −∞  12 ∞ |f (x − a)|2 dx =  |g(x)|2 dx =  g =  21 ∞ |f (y)|2 dy  −∞ = f , và   21 ∞ h =   12 ∞ |h(y)|2 dy  =   |e2πiby f (y)|2 dy  =  −∞ −∞  21 ∞ |f (y)|2... phần tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho T ∗ x, y = x, T y , (x ∈ K, y ∈ H) Hơn nữa, i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ iii) (T ∗ )∗ = T 6 iv) I ∗ = I ∗ v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 ) = (T ∗ )−1 , trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) và a, b ∈ C Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.2.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T Mệnh đề 1.2.2 Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K, L) Khi đó i)