Đang tải... (xem toàn văn)
Khái niệm và cách chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Ptomele, bài tập ứng dụng đẳng thức và bất đẳng thức Ptomele. Ứng dụng của đẳng thức và bất đẳng thức Ptomele nhằm chứng minh một số định lí toán học khác
Môn: PP bồi dưỡng HSG môn hình học Lớp: N01 Nhóm 14: Dương Thu Dương, Nguyễn Thu Trang ĐỀ TÀI: ĐẲNG THỨC PTOLEME VÀ BẤT ĐẲNG THỨC PTOLEME Đẳng thức Ptomele Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme đẳng thức hình học Euclid miêu tả quan hệ độ dài bốn cạnh hai đường chéo tứ giác nội tiếp Định lý mang tên nhà toán học thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus) Nếu A, B, C, D đỉnh tứ giác nội tiếp đường tròn thì: với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài cạnh Định lý phát biểu thành định lý thuận đảo: Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh Gọi ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn Trên cung nhỏ BC, ta có góc nội tiếp , cung AB, Lấy điểm K AC cho Từ + = = + , suy Do tam giác △ABK △DBC, tương tự có △ABD Suy ra: △KBC , Từ Cộng vế đẳng thức trên: Hay: Mà AK+CK = AC, nên AC.BD = AB.CD + BC.DA (dpcm) Bất đẳng thức Ptolemy Bất đẳng thức Ptolemy trường hợp tổng quát định lý Ptolemy tứ giác Nếu ABCD tứ giác Dấu xảy tứ giác nội tiếp đường tròn trở thành định lý Ptolemy Dựng điểm M cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BMA Khi đó, theo tính chất tam giác đồng dạng, ta có Suy BA.CD = MA.BD (3) Mặt khác, hai tam giác MBC ABD đồng dạng có Từ Suy AD.BC = MC.BD (4) Cộng (3) (4) ta suy AB.CD + AD.BC = BD.(MA+MC) Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD Dấu xảy A, M, C thẳng hàng, tức A D nhìn BC góc nhau, tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh định lý Ptolemy sử dụng đường thẳng Simson Hạ DA1 vuông góc với BC, DB1 vuông góc với AC DC1 vuông góc với AB B1, A1, C1 thẳng hàng B1A1 + A1C1 = B1C1 (6) Áp dụng định lý hàm số sin cho đường tròn đường kính DC, DB, DA dây cung A1B1, A1C1 B1C1 tương ứng, ta có A1B1 = DC.sinC, A1C1 = DB.sinB, B1C1 = AD.sinA Lại áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABC, ta có sinC = AB/2R, sinB = AC/2R, sinA = BC/2R Thay vào đẳng thức (6) rút gọn, ta thu AB.CD + AD.BC = AC.BD (đpcm)