3 Li cm n Li cam oan M u BGIAO GIODC DCVA VAO OTO TO B TRNG I HC s PHM H NI TRNG I HC s PHM H2NI Li cm n DNG THULINH Muc luc Li cam oan Lun c hon thnh vi lũng tri õn sõu sc m tụi kớnh gi n cỏc thy cụ, bn ng khúa v gia ỡnh thõn thng ca tụi DNG THULINH NG DNG GII TCH NGAU NGHIấN CU MT S PHNG TRèNH O HM RIấNG Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi NHIấN Trc tiờn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Ngụ Hong Long, ngi thy Lun hng c thnh titip trng i hc S dn phm Ni2 tụi di s hng ó nh chnhon ti, trc tn tỡnh hng vH giỳp hon thnh dn lunca vnTS ny.Ngụ Hong Long Tụi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng o to Sau i hc, Khoa Toỏn Trong quỏ cụ trỡnh nghiờn cui vhc hon vn2 tụi k tỡnh thagiỳp nhng cựng cỏc thy trng Sthnh Phm lun H Ni ó ó nhit , thnh ging NG DNG GII TCH NGAU NGHIấN CU MT S PHNG TRèNH 1.1 i v quỏ trỡnh ngu nhn gc LUN VN THC s dng v cng to nhng iu kin hc tt nht choRIấNG tụi.TON HC O HM NHIấN qu hc kin ca cỏc nh khoa hctrong v ng vitp s ti trõn trng v bit n dy, khoa to iu tt nht cho tụi thi nghip gian hc trng Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 Kin b li Tụi xin cam rng cỏcnthụng tin trớch dn lunngi óóc rừ ngun Tụithc xin chun kớnhoan gi cm sõu sc n b mtrong - nhng sinhch thnh, nuụi Ngi hng dn khoa hc TS NGễ HONG LONG 1.1.1 Mt khỏithnh nim cm cd bn Cui cựng, tụi xinschõn n06 cỏc bn2016 ngHc khúa cao hc KI8 - t H Ni, thỏng nm viờn 1.1.2 Martingale (2014-2016) núi chung v chuyờn ngnh Toỏn ng dng núi riờng ó giỳp ừ, 1.2 Chuyn ng ng viờn tụiBrown hon thnh lun ny 1.3 Tớch phõn nguc nhiờn Nghiờn cu ny tiItụ tr bi Qu Phỏt trin khoa hc v cụng ngh Quc gia 1.3.1 Quỏ trỡnh bỏo101.03-2014.14 (NAFOSTED) tikh mó s 1.3.2 LUN VN THC s TON HC Tớch phõn ngu nhiờn theo martingale a phng H Ni, thỏng 06 nm 2016 Hc viờn 1.4 Cụng thc v phõn Itụ Dng Thựy Linh Phng trỡnh Parabolic 2.1 Phng trỡnh truyn nhii Dng Thựy Linh 2.2 Phng trỡnh khụng thun nht 2.3 Cụng thc Feynman-Kac H-2016 Ni -2016 H Ni 8 13 15 15 16 20 26 26 31 2.4 Gii s phng trỡnh Parabolic bng phng phỏp Monte Carlo 45 39 12 97 61011 nh lýkin ngha 1.1.6 Nu l mi martingale ca H {.F{X trờn cỏc CT-i phng s o vhm ca mtX Tlc vi miquỏ a1.1.2 >trỡnh 0,X t }t >0 Nghiờn cu tớnh cht nghim phng trỡnh vi mi ngu nhiờn } >0 va thi im dng T,Triờng tagi kớ l hiu (ớo)nu T vic 6.nh D úng gúp T s Phng 50 vi mi trỡnh s > t >Ellipticj p(sup \ M S \ > a ) < E[|M t |]/a Lun Xp x nghim ca phng trỡnh o hm riờng thụng qua biu din k vng E sup |X,| ỡ < oo vi mi t > lmDirichletl rừ phng phỏps thụng qua k vng ca i lng ngu nhiờn v s dng biu din ny xp x < ptrỡnh < ooPoisson thỡ 3.2XNeu Phng 61 thỡ l martingale trờn T A = inf{ớ > : x t c gi l tha móntrỡnh 3.3 Phdng Schrửdinger p E [s up| M s nchn < (VE[| M t |kin ] thụng thngv quỏ trỡnh Mnh 1.1.1 Gi s lca {Ft)phng tha iu H qu 1.1.2 Martingale b l martingale s < t ' p ' Tng kt mt s kin thc c bn ca Lý thuyt Xỏc sut v Gii v F cha tt c cỏc A c cho A c B T v P(B) = tớch ngu nhiờn 66t ) cú qu o liờn tc Khi ú: ngu nhiờn (X Ket lun 70 liờn quan n s ti nh lý 1.1.2 Gi (X ) l martingale di liờn tc phi VT l hai thi im t nh ngha 1.1.7 (i4cú t ) t>0 T õy nuQtnn khụng chỳc thớchgi gỡ l c bit, chỳng ta luụn xột khụng gian xỏc sut Nu A l m thỡ T A l thi im dng dng b chn chcphỏp chn.xõy Khi ú: cụng thc biu din nghim cho cỏc phng71 Tỡm hiu hu phng Ti liu kho y (fỡ,tham P) v lcdng {.Ft}t >0 tha iu kin thụng thng Sau õy ta tng nu A = v ỏnh x 1!-> A l liờn tc phi v tng hcc 1.2 LýNeu chn ti A l dng úng thỡ T Abao cng l thi imtrỡnh dng trỡnh Parabolic gm: nhit, phng trỡnh khụng ~E{X Xphng p - hcc trờntruyn {r{X >t }} nờu mt s khỏi nim liờn quan ngu nhiờn T \Fn ) >quỏ , trỡnh tl nht v chng Feynman Kac nm 1930 ngi Vi khthun tớcht nu E(|A minh kờcụng t |) mi thi dng Tvi tasut t: K khiim lýPhỏt thuyt hinthc i i vo- nhng H qu 1.1.1 Gi s (X, T )t > l martingale liờn tc phi, T l thi im dng b t ngha nu 1.1.3 Quỏ trỡnh b {Xchn } >0 c gi0 , l nh t nhiờn vi mi martingale (m t)t> ta liờn cú tc (liờn tc phi, liờn ta óTỡm nhn thy cú mtphỏp mi liờn h mtcụng thit thc gia biu lý thuyt sut cho v gii thụng hiu phng xõy dng din xỏc nghim cỏctớch phng chn.tc Khi ú nu {M thT ,F thu )T>0T cng = {AU)eleTmartingale t} EX(u) T vi > 0} trỏi) vi ht 0,\ An hm{Tt < Iằ l mi liờn ttc (liờn tc phi, liờn tc thng bit, nghim nhiu trỡnh o hm trỡnh riờngPoisson, dng Elliptic trỡnhc dng Elliptic baoca gm: Bi phng toỏn Dirichlet, phng phngv trờn on [0, 00(M, ) T) >0 l mt martingale di liờn tc phi tha nhtrỏi) lý 1.1.3 Gi s T TParabolic l -i s th gmbiu cỏc din s kin xydng cho n thi T di kỡ vng ca im mt phim hm ngu nhiờn Mi liờn trỡnh cú Schrửdinger + 1.1.1 Mt s khỏi nim c bn Vớ > 0, supt>0E[Xt ] < 00 Khi ú X O (w) = Hindoo x t (w) tn ti vi hu chc chn mi w(1.1) f Cadlag (tccỏch liờn tc v cúgii hn trỏi) nu nú l ca mtnghim hm liờn tc phi v h ny cho ta mt tipphi cn mi nghiờn cu tớnh cht phng trỡnh ng dng phng phỏp Monte Carlo c lng giỏ tr ca nghim ti mt vi y E Cho X ool ] 0.im c nh d 1.1.1 Quỏ H {X tr (M trờn c mt quỏ trỡnh a nguphng nhiờn nh ngha 1.1.6 trỡnh ngu giỏ nhiờn ) >0Rc gigi l l mt martingale t } tl nhn trỡnh o hm vm s_ = nh ngha 1.1.5.riờng Quỏ trỡnh ngu nhiờn c gi l mt martingale thi gian liờn tc d vi ch I v gianim trng thỏi(rK)>0 Tp chti soo I cú th l na ng thng nu tnQuỏ ti s mt dóy tng hu chc chn saoc cho vi trỡnh {Xkhụng c gi ldng tng thớch vi lc (T) nu X l T-do t }cỏc t > thi ng4.vi lc (F) v o xỏc sut p nu: ng thc (l.l cú ngha l quỏ trỡnh tng i tng v phm v nghiờn cu A t l t nhiờn nu nú gn nh khụng cú Vi munon tỡm [a, hiu liờn h gias cỏc quỏ trỡnh thcnR =0,mong [0, hoc 6]k hoc hp cỏc nguyờn khụngngu õm nhiờn Itụ v cỏc mi >+mi quỏ trỡnh ngu nhiờn Mmi =tp M l mt martingale t 00>) thT cựng thi im nhy vi bt c mt martingale b chn no Mnh sau a mt 1. phng E[|M < oo vi mi ớ; riờng, tụi chn ti nghiờn cu "ng dng gii tớch ngu t|] Gii tớch ngu trỡnh o hm Martingale anhiờn phng (M ) >0 c gi l martingale bỡnh phng kh tớch a Khi I l (tp cỏc nguyờn dng thỡ ca {X t } tl gi l quỏ trỡnh c trng khỏc ca quỏ trỡnh tng t>0s nhiờn Quỏ trỡnh nguca) nhiờn {yi}t c gi l bn {Xc } >0 nu P(X t = Y) = nhiờn nghiờn cu mt s phng trỡnh o hm riờng" cho lun thc s ca phng nu E(|M"| ) < oovimin > l,miớ > 2. ngu M l T-o c vi mi t; nhiờn vi Phng Parabolic vi trỡnh mi tthi > 0.gian ri rc, cũn I l (con ca) R + thỡ {X t}ớe/ c gi l quỏ Mnh 1.1.2 Gi s {A ) > l quỏ trỡnh tng v kh tớch Khic ú {A ) > l t nhiờn mỡnh trỡnh nhiờn gian liờn tc Kớngu hiu ttvi c thi cỏc martingale a phng liờn tc bi M lo c v tt c cỏc = trỡnh M s Elliptic hcc vibmi t > s t ) t >0 ng v a ]trỡnh Vi Phng nu vúi mi martngale chn thc{vt}t>0 c gi l bt kh phõn bit E[M\F Hai quỏ ngu nhiờn mi thi im c nh t E I,( m ỏnh x martingale bỡnh phng kh tớch a phng liờn tc bi M tel Nu iu c thay M s huchc vi mi [1] t v> ca s s ] >l hai chuyờn Tikin liuth tham chớnh ca=E[M\T lun khochn ca Durrett nu P(-Xt = ba Y kho vi mi t >bi 0) x t :tt ằ Rd, u Iằ x t {u) nh lýc 1.1.4 Cho l martingale liờn Nu s [0, 00 ) c gi l thi im dng nu vi l mt ngu nhiờn kh v vi mi UIthỡE(X e 0, taT \3 cúr s) hm v X TMbin ldi martingale tớch u = xs martingale t, bincu cỳng {T < vụi ớ} mi T T mi Nghiờn lý thuyt c nghim t >c gi l thi im dng hu hn nu T < 00 T c gi d 2.nh Mc nghiờn cu X(u) : I > Ra ,t 1> X t (oj) Xt,u) nhlýlýớch 1.1.5 Neu X l martingale phng liờn= tc, ta luụnkhụng cú mt m rỳt martingale martingale õmdóy cú qu l thi 1.1.1 im Gi dngsb(M) chnlnu tn ti K hoc [0, 00l ) cho T < Kdi hu chc chn nh ngha 1.1.8 Kớ nghim hiu Đ T {ớ l cỏc trờn thi mỏy imtớnh dng chn gn Nghiờn mụ phng c vphi Xthc lT gii inf :tp \x dóy b khỏc btbi kTT>n < MarT n cú tingale T' n t oo t \ > n} o liờn tccu v ncú hn trỏi Khihoc ú: mt Xõy biu din nghim trỡnh cdng gi lcụng mtthc qu o ca quỏ trỡnh phng X ng vi u o hm riờng thụng di {x t )t > c gi l thuc lp (DL) nu h cỏc bnn {X : e Đ T} l kh tớch u vi khin tqua oo kỡ vng ca mt quỏ trỡnh ngu nhiờn mi T > t t t I M u Chng Kin thc chun b t t 1.1 i cng v quỏ trỡnh ngu nhiờn t t t t t t t t t t 1714 13 16 15 ,0 ci = vớ d Brown 1.3.1 to t 0)khụng 0 l qu trỡnh tng, kh nhiờn martingale (c)Nu B 0cú =Xtrong 0j l vqu Bc liờn tc hu Ta kt sau t nh > vlýqu o Gi ca X liờn tc trỏi ng Brown bt u t xột quỏ trỡnh ngu 1.2.1 sl chuyn Mnh 1.3.1 Vi Martingale mi / B Ll cú) >0 c , ta d nh ngha 1.1.9 (M giG l martingale bỡnh phng kh tớch, kớ nh lý 1.2.3 (Lut 0-1 Blumenthal) Neu A iFjJ thỡ vi mi X G R nhiờn x = vx t B ( l / t ) vit > Kh ú X cng l mt chuyn ng Brown t mt mụ t hu dng v -i s kh bỏo V ta hiuB l M0sau e Mcho , nu ) =x0, ) Êl: { Nu , } s > thỡ B X ( A ) =e(J{ A \f 3Bd 0M T chuyn ng Brown pl bt bin tnh tin, tc i+S B s , t > B 1.3.1 - s V c sinh bi c cỏc cú dng = (u , v ] X vi E( Mtt ) < 00, Vớ > t l chuyn ng Brown c lp vi mi iu xy trc thi im s Tng quỏt hn, v Ê T u v = {0} X vi G 7" 2, Neu M liờn tc,Brown ta kớ hiu e ((tớch JMf E 'cht dM M Markov y ) = e( / / s 2mnh d( M > sc ) chuyn ng cú phỏt biu nh sau: Chng minh Kớ hiu G l h tt c cỏc cú dng (, v]TX< 00 , quỏ vi Gngu Tu nh lý 1.2.2 Vi mi thi im d n g T , vi iu kin trỡnh Chng minh.Nu ng{ M thc th suy t B 1.1.1 ) >0 l nht martingale bỡnh phng kh tớch v cú qu o liờn tc vnhiờn = {0} X trỡnh vi- B Gkh .bỏo Vi mi G , dBrown thy I rtiờu Ê L,chun ú c lp vi G quỏ V, tc l 1.3.1 xQuỏ chuyn ng trỡnh s = B T+S T l mt phi Khi ú (M ) >0 l martingale di, liờn tc phi v thuc p (DL) ngu { G ) nhiờn V ( B E ) 0< t < T : ( [ s fkhỏc, M sl ) vi Eh(/ -I E = E E( s dL t J + - M t i \ T t i ) ) = Gi tt+ c cỏc x/jE( oMc Mt mi L) ,) ỏnh t p dng tớnh cht Markov, ta thu c cỏc kt qu sau t t t t 1.3 Tớch phõn ngu nhờn Itụ t t j =1 j =1 EI n p dng khai trin dDoob-Meyer cho martingale (M X : ( R + Xchn n , B { Kv +X) đ J ) - ) ( R ,thỡ ( R ) )), >0 B 1.1.1 tn ti x / w: R -> R Cho < s < t Nu t ( ) = X ( w ) Il{ b jo / n (c w)I(j/n,(j + l)/n](t)}(t) + ^2 chng ta chỳ ý rng j =0 M - A t l martingale Ta kớ hiu = nht mtminh quỏ ng trỡnh thc tng,th t hai nhiờn A cho f(B E B Jv ( Bvi ) cho vi mi t > 0, x t : E-> lt )T\ t?- 3)o =c w Ê ớỡ, x (M t _ 3mi n quỏ trỡnh Meyer ca martingale ( M ) (M ) rngX v gi l(Ê)-o ( M ) l c trng hay Rế c v X -ằ x t ( w ) khin -> oo vi mi > v w E Do ú X l t ỏnh x - Jlớ,J ( / f.dM.y = + 2i thỡ B"Ê ( x )2 = X , f ( x ) -= M X H X fj vi v B B /,(,, l martingale + vi i- j M , NLy fM tc hp phi.vi Khi úsuy qtnn { QGi ) - õs c, tc l v V cựng { Qliờn )d Kt trờn V = { Q ) Cho < )s l< liờn t j=1 Nu h : R X R R l 00 G M vi quỏ trỡnh Meyer va E (l (/ )|W ) )=> * / \=f { ớt , wf )s\ d2 u(MM ( d)t ds w ) xn J o Bõy gi ta ch cũn phi chng t I ( f ) cú qu o liờn tc p dng bt ng2 thc Doob ) vi nhúngha Qtnn I t ( f )nht cthnh gi l mt tớch ỏnh phõnxngu ca / tớnh L lt oc {LM Do I cú 1.3.3 thỏc trin ngnhiờn c tuyn (vM) n cho martingale I(f ta c kớ hiukớ hiu thỏc trin ú bi lMờ ne M L (t fc , Ta T , cng P) Ta p( su p \ I t ( f n ) - I t ( f )I > n- ) < Knớ2 )E(=|/ T/(/") - T ( /)| ) 0! ) l hm khn vi n R d vo n Li cú I t ( f ) liờn tc nờn I t ( f ) cng liờn tc hcc kớ hiu o hm riờng ca F vi bin th i l d F Tng t ta kớ hiu a d2 J bi l/n < IU Tip theo ta xõy dng tớch phõn ngu nhiờn cho M G M ,c lo c' 22 21 Mt nhkhỏc lý 1.4.1 (Cụng thc vi phõn Itụ) Gi s X l semi-martngale liờn tc d- chiu l d 71 n ) Khi ú 2vF =EY, (M " M ) + ^ F " { ^ ) { M M _ ) ( A _ ) + F " ( t i ) ( A ti l U t t u - _ d t ^ /* J d F ( X t ) = F ( X o) + E / d i F ( X s ) d M2 = + J d i F { X s ) d A i a + - Y , / d ( X s ) d ( M \ M), i = i= * hcc t Khi ú E( 0C ) ) = E n i nf{t E nu|X0| > n, Vkn = (Mti-Mti_1)2, = 1, ,n i= : \M t \ > n hoc V a r ( A ) > n hoc (M ) > n } nu |x 0| < n , (MU - M U - , Y + Ê ( (( ô, - vi V a r ( A ) l an [0, t ] Rừ rng T t oo hcc Ta = 1bin phõn ton phn ca l < ợ [ F " ( X s ) d ( M ) s , h c c ( 7) f 23 34 35 32 33 31 29 24 30 25 27 28 Mt khỏc 2.2.4 Nep us gtớch b cphõn hn thỡ Va tthỡ (2.4 .Chng Chng minh dng cụng cho Di t H2.1.5 , vR thu c thy rng theo ch th xy radphi / liờn tc õy, Neu l b chn thỡ thy rng i,l ijPs, hoc t,cúta cúca Nu u/lý,2.1.2 tha 2.2\ a l Sthc vỡ nh ngha ngu * M d>M0 a nh * - M svi )c ' 2u, Do l kh gJ ( |Au, vỡ0 hJ\d(27Ts) phng u G tớch tr d d trỡnh x ta cú:\ U yt\g\ l v ^ -ằ Al -l ytrong \(2.3 !2sgM (It khụng s ,th y ) dnh y dxy s lýra D p x , y ) f { ) y < oo liờn tc , vỡ c chng minh ami t nh Chng Neu < M thỡ u ( t - s , lB - u( u ớ,( tx), B=M0l)ti m = i ms )l i m l i m Ea./( B ) t = lim u(t - s, B s) = it(0, B t) = èXQ >0 X Ơ X o g (lýt , 1.4.4 Xớ>0 ) lX -Mi liờn martingale tc Hn U i lo mt nghim trỡnhphõn vi / = v g t anu i =( ltstna, nh phng tc=kh bỏo bin b / ochn u , x ) E M : =Goliờn E->M vs (ca xMphng )hm > ( t , x ) \ < dG t.nv 1cú x X I g (0 t t xs , Bt ) \ ^ s ^ ^ ^ nE ( a ) u ( x ) E/(x) ú f n v=l i m dnhũ = n / d x R) ,=n ztyVD 0, 2J 0 2r J 2s dng nh lý Fubini ta cú l h Xu mRdo tiờn c Gch v( ụJ0 ,ira Bc V ye = c l gi s g b chn v (0,00) y ) d s ~ C S ~ d s = r < oo Dl o kt úlý dmartingale u /vi d x Gi (1.5 t ta na t b i tchn, iu i X *phi v bchng nÊớ) gU thỡ ( x *nú ) tha 2.1 I 1,2 mt phng trờn [0, Li hp c minh nh 2.1.3 minh Nu / l hm raVrng Bc cui ta kin cnh nu thỡ liờn ( b )Chng K ( x *cựng, + h tes ,Dycn ) - tỡm K (khụng xiu * , nu y )õm =0V/ thỡ Đf(x* +Vlýdl eFubini inghim , y ) d echvi\h\ < htc vy G s Thy rng d X = d r v x cú bin phõn b chn, x vi < i = j < d nh Chng minh S dng tớnh cht Markov, cú: d 00 snh 00 00 E m /b ( B tchn )/dtớch t0 j ETta Binf{t ) dta t hn = j ch je PG} t {1Thy x/ 2,Neu y ) f (rng yf) dEy dc t2 v f khụng bCho chn Gi xỏc vi / khụng xỏc x rng x f (l trt Chng minh pGdng cụng thc phõn Itụ, cú: nh lý 1.4.2 l v = : B A/ = < oo cht E x I (Markov, X i - B1,Xi2) g - sta , Bỏp ) dng I < 2Ctớnh m rng cui 0, Chng minh tớnh cú: r()t l nu stha < = M j t(12.1) < cht d Markov ti thi im nh lý 2.1.5 Nu /Jb chn thỡ ú ) U ( xkt ) Theo =0lun , ycựng, ) g (Vy )ely mc ( d v yta liờn tci tx* s |^(x 0 *s )oo ) Tvi =EXBmi nh, ớt v nht, cn0tc E a,(trờn \ f { (BX t ) \\ X trongG f ltaliờn thỡ Ê (xG B ) S) ) \ 3< =vi f( t([.ta BT s-f(x ) r), )B==Tt -(v S ,Ts B gt cú {-t ú )vE d( rxt0fsO x f ( B tG, m E- uE(cho dngu (t ng Brown phỏt phộp ri xng trỏi t -Bs (, 0B ,3 ) |x|), t , B chuyn { - U +0 -nu A u )xut ( t - li r, Br) + \ / u ( dng t , Br)dBr 0) = p minh dng kt phộp ly o hm di du tớch phõn ca b (2.1.1) , ta xT qu Chng nh ngha, J J Q (d) phõn fs Đ( * +ny^ ta )Es -{l)l 1) = d 9xQtõm m y ) phng < 00 trỡnh: Ti 2s( d quay, ta x, thu c Bin bc hai Trong phn quan n / ú Ps( y) ( S ) ! e l / , - \ x - y \ /2ớ v trỏi l mt martingale vỡ cng l mt v ( tth ,= xtn ) / v =9ti, (B ) tc f+ (cú y B) apdng t( (martingale y)s.\ - dra oo oo {Ephi t x f- liờn r ,t B ) drv E /x g,\(fyó too() d-y ch uy,Nu B - u ) d uV) Ê c , lp li T= suy cỏc o hm riờng DV ta cú v phi ca phng trỡnh trờn l Dodng uratha (2.H s +=|Au Do Jgnờn Ê)( BU )ds Eo = (27 1t Ê)(B < Eo J martingale Ê > ( B s ) d sbỡnh sta s/ )dsi T ,rng t B ú p cụng thc vi phõn Itụ chng vi phng kh t = ( t r , B ) d r + v ( t S ) r X * v b n g US { x * ) D o ú d u / d x t n t i t i tớnh utoỏn chng minh nh lý00112.1.) , ta cú d c 1nh ta2 v u-U -Au )M X (2.1) oo R = t = + mt martingale a phng, vỡ=(0, vy (,biu tTnờn -) gliờ s {,thc martingale Thay vo cúGi -g dl martingale J|Au nh lý 2.2.7 s rng l b v n, Tscú tc Hlder a n t V (= x0, trg)xut I Meyer Iphỏt Z v (csxhn , hai t ;u ÊB ))vi v dmt T phil phi Do B l chuyn ng Brown ti X B phõn chun Ja i { xphng ,a y )trờ , hai tc tớch, quỏ trỡnh s ng nht quỏ trỡnh binphng phõn bc iu kin bo m rng / b chn a phng l T D J J Chng minh T nh ngha ca (a) v (b) v nh lý Fubini ó tha v ( t - s ,trỏi B s ) l martingale, v ( t , B ) = / vỡ ( - th V v - A v ) (cng t - r ,lB rmartingale ) dd r + martingale Do phi Nu V a E cphng , lp li(2.2) tớnh phng Thỡ v uo l hm hm liờn riờ ng D ti j Vmi = dc 2im v/ dx trờn liờ {0} n tc X Rvv Ii(0,x) = f ( x ) hm mt ca Btc l s i dx j 2l dta (*) J minh nh Bc tip theo chng lý v tớnh nht P t ( x , y ) d t f ( y ) d y Ly T = , D = R nh lý 1.4.3 G i s M e M G i s (t")oy ) 0, g (xt - s>, y0 )0.d y d s |0/ (x i j p)|s ( Bc tip martingale theo ta chng minh nht v l mt nờn tớch tớnh phõn v phi cng l mt martingale Tuy nhiờn, = t t vtrỏi d/2 |ổ y|2/2ớ Phng trỡnh trờn c gi l phng trỡnh truyn tyd)rng n x *(27rớ) +phng h e ) e- utrỡnh ( x * )l ( K-2.2 ( x *cho + chuyn hcú e , nghim y ) - ng ( nhit x *bBrown , ychn ) t ) g (thc y thỡ )Khi m ( dnghim 0=H2.lt ú nh ú Plýt {2.1.2 x , yu)(Nu = mt > 3, nu i phi bin v ( t s , B s) - v(t, B) + g(t r, BT)dr Thay nh lý hi tv b cú chn vo phi khụng khú0.khn chAra tớch th phõn l liờn tc phõn nờn nú bng vỡ V t v u fl2.3 l liờn d Z(2.1.4 ( sxnghim , t b ] tn chn , IT v ) u=((2.1.5 T ( x,0 lý 2.2.2 s gphự b bin chn, nu trỡnh |-, v chn hp tpmt ,t _X )nghim chớnh lca nhit Dti X R '0 Chng mi nh Gi s n ginthỡ rng ti j p dng 2.1.5 phng cho i P sim , v phi thu cú=o dng tnh \ xlng yc \ Gi /2s ta c = / { v t + ]-Av + g ) ( t - r , B T ) d r J Vit =- Vd / + d x|Au v =D t0.=Bi d / dnu t , tanúc rng: tc D nờn khỏc ti mtX im (t , mi X ) no ú thỡ nú s khỏcú0 ,dyvi H2.4 thas =tmón nghim im nhit b thi 0=c x ) mTa s) oo phng c =chn (E x[0,T] +cho (Td y< dtrỡnh thỡ by i ] ) gf({ y v (im t , xtrờn ) { B6 teM )bng i tkhi - Tiu , y = kin a* [ f K v h ithi úbin 00 00 n J J th X chc chn rng tớch phõn khụng bng 0, mõu v (x v)it= ti lõn cn m ca im ú, ú, cú ' ' J t d t (*) l-(|2l2] phng 2tha philýl nh 2.1.6 Nu f l liờn tc v1 tha thỡ) tV/.a (2.1Bc -d2.2 l tiờn l ta phỏp xõy dng phng bc u nghim lim y'(M strỡnh -/pM+ martingale J(2.11 ) = (M ( x/ 2, y ) = ^ ~ t (27T ( xt , yt )y / x 0 D i P _t ta thu c iu phi chng minh t (c) i tỡm mt martingale a phng ^0 martingale a phng vỡ vy tớch phõn v phi cng l martin- gale v trỏi l mt DuP i ( x , y thc ) = ^ pF ((xx, )y ) = X , ta c Chng minh pDi dng cụng vi phõn nh Chng mi nh S dng nh lýqu tgchn b chn Chng minh cỏc gi gi thit thit uhi ca b vcú Itụ ubin thỡ ,cho M [...]... và thỏa mãn fl3.ỊỊ Ị với hàm biên / = 0 60 61 Sau đó, sử tụ bị chặn ta thu được (iv) Định lý được chứng minh xong (b)Đặt dụng = II hội /г II со và ÜO(X) 3.2 1 nếu X = h(x) + MP,(r = oo) nếu X £ G □ G G° Phương trình Poỉsson Bây giờ, để hoàn thành chứng minh ta sẽ chứng tỏ rằng 0J (x) = ߥ х(т = oo) Khi đó, Trong mục này, chúng ta xem điều gì xảy ra khi thêm một hàm của X vào phương ta sẽ có kết quả... thức chúng này là một martỉ ngale địa phương trêhạng n phương [0,thứ r) hai 4 Nghiên tính chất của nghiệm trình Số hạng thứ cứu nhất là ơ°° bồi (4.6) số là: parabolic và elliptic thông qua hội tụ Tuy nhiên điều này chưa chắc đã đúng khi ab > 7t/2 vì v ( x ) > 0 trong khi vế phải có thể biểutập diễn xác suất (Al) Gcác là một mỗ liên thông bị chặn = f* c(B= Áps dụng công vi phân Ito ta được s )ds v 2... ( y , v , a ) ) = e0 > 0 □ Chứng mi nh Vì p o{( BỊ, Bị ) = (0,0), với t > 0 nào đó ) = 0, nên với xác suất 1, bằng phương pháp giải tích như sau ỏ đó, e a là hằng số chỉ phụ thuộc vào độ mỏ a Cho r > 0 sao cho V(y,v, a) n D(y, r ) С Và do đó Định lỹ|3.1.4|cũng chứng minh xong □ một chuyển động Brownian Bđược t bắt đầu từ 0 sẽ không chạm vào Bổ ề 3.1.3 G là và h là một hàm bị c hặn có tí nh c hất tr... phép tính như trong chứng minh của Định lý 3.2.1 ta thấy rằng với s € [0, r): ư { x ) = Ex í g ( B ị ) d t ■'о fs fs 1 v(B s ) - v( B 0 ) + / g( B T )dr — / (- A V + g)( B T )d r + martingale địa phương J 0 Sử dụng tính chất Markov mạnh ta có kết luận: J0 2 vế trái là một martingale địa phương trên [0, r) vì vậy tích phân ỏ vế phải cũng vậy u)(x) = Exf g(Bt)dt + Exu(BT) Tuy nhiên, tích phân này là liên... chứng minh tính duy nhất nghiệm = V iM {x)= + vu(B 2( x ) xp( Ị c( Bparabolic )ds) sauvà tquả t )elập s thiết dtrình một 0 v ôimartigale mỗi... là A đồng COS nhất thức + kéo Bsốsin ỏtheo đóbx nó với dừng b