B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN VN HONG NGHIM KHễNG B CHN CA PHNG TRèNH TRUYN NHIT LUN VN THC S TON HC H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN VN HONG NGHIM KHễNG B CHN CA PHNG TRèNH TRUYN NHIT Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS NGUYN HU TH H NI, 2015 i Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS Nguyn Hu Th S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban Giỏm hiu Trng i hc S phm H Ni 2, Phũng Sau i hc, cỏc Thy Cụ giỏo Khoa Toỏn cng nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 10 thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Vn Hong ii Li cam oan Lun c hon thnh ti Trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh ca riờng tụi di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 10 thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Vn Hong iii Mc lc Li cm n i Li cam oan ii Li m u 1 Kin thc chun b 1.1 Khụng gian Lp 1.2 Bin i Fourier 1.3 Tớch chp Nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit 2.1 2.2 Gii thiu 2.1.1 Nhõn nhit khụng a phng 10 2.1.2 Nghim yu v mnh 12 2.1.3 Nghim trờn 15 S tn ti v tớnh nht ca nghim khụng b chn 16 2.2.1 S so sỏnh 16 2.2.2 Xõy dng cụng thc nghim 18 iv 2.3 2.4 2.5 Dỏng iu ti u ca cỏc d kin ban u i vi nhõn phõn ró chm 21 2.3.1 Nhõn dng ly tha 22 2.3.2 Nhõn dng m 24 2.3.3 Nhõn dng -n nh 26 Dỏng iu ti u ca d kin ban u i vi nhõn phõn ró nhanh 29 2.4.1 Nhõn cú giỏ compact 29 2.4.2 Nhõn Gauss 40 Nghim hin Dỏng iu tim cn 45 Kt lun 47 Ti liu tham kho 48 Li m u Lý chn ti Phng trỡnh nhit miờu t s tiờu tỏn nhit, cng nh nhiu quỏ trỡnh tiờu tỏn khỏc, nh l tiờu tỏn ht hoc l s lan truyn ca th nng phn ng t bo thn kinh Mc dự khụng cú bn cht tiờu tỏn, mt s bi toỏn c hc lng t cng c miờu t bng mt phng trỡnh tng t nh l phng trỡnh nhit Nh chỳng ta ó bit k thut c bn gii phng trỡnh truyn nhit ú l phng phỏp tỏch bin, bin i Fourier v vi mong mun c tỡm hiu sõu hn v nghim ca phng trỡnh truyn nhit, di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th, em chn ti cho lun l: Nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit khụng a phng Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu phng trỡnh truyn nhit khụng a phng Trỡnh by mt cỏch h thng v nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit khụng a phng v ng dng ca nú i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit Phm vi nghiờn cu: phng trỡnh truyn nhit khụng a phng Phng phỏp nghiờn cu Tỡm hiu t liu sỏch, bỏo; Tng hp kin thc, dng cho mc ớch nghiờn cu ti Gi thuyt khoa hc Trỡnh by mt cỏch h thng v nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit khụng a phng v ng dng ca nú Chng Kin thc chun b Nhng kin thc phn ny c tham kho chớnh t ti liu [1] 1.1 Khụng gian Lp nh ngha 1.1 Cho mt khụng gian E v mt o trờn mt - i s F trờn cỏc ca E H tt c cỏc hm s f (x) cú lu tha bc p , (1 p < ), ca mụ un kh tớch trờn E, tc l |f |p dà < , E c gi l khụng gian Lp (E, à) Khi E l o c Lebesgue Rk , v l o Lebesgue, thỡ ta vit Lp (E) Khụng gian Lp (E, à), ú ta khụng phõn bit cỏc hm tng ng (ngha l bng hu khp ni), l mt khụng gian vộc t nh chun, vi chun xỏc nh bi: |f |p dà f = p E nh ngha 1.2 Gi s Rn l mt m Rn , p < Hm f : C c gi l thuc Lp () nu nú o c Lebesgue v cú chun p1 f Lp () |f (x)|p dx = hu hn Trng hp p = , hm f thuc L () nu nú o c v b chn ct yu, ngha l f L () = esssup |f (x)| < , x ú esssupx |f (x)| c nh ngha cn di ỳng ca cỏc hng s M cho |f (x)| M hu khp x c bit L1 () l khụng gian cỏc hm cú tớch phõn hi t tuyt i vi f L1 () |f (x)|dx = nh ngha 1.3 Vi mi A ca E, hm c trng A ca A l hm s xỏc nh trờn E v xỏc nh bi A (x) = nu x A nu x / A 34 nh lý 2.9 Cho J l mt nhõn i xng tõm v cú giỏ compact B vi > Gi s u0 l d kin ban u b chn a phng v c0 > Khi ú ta cú cỏc khng nh sau: (i) Nu |u0 (x)| c0 e|x| ln |x| vi < < 1/, ú tn ti nghim ton cc ca bi toỏn (2.1)-(2.2) (ii) Nu u0 (x) c0 e|x| ln |x| vi > 1/, thỡ s khụng tn ti nghim khụng õm ca bi toỏn (2.1)-(2.2) Chng minh Chỳng ta xột {un } l dóy cỏc nghim ca phng trỡnh (2.1) vi d kin ban u un (x, 0) = u0 (x)n Cỏc hm ny c cho bi tớch chp: un (x, t) = et u0 (x)n (x) + ((t) u0 n )(x) (i) Nu |u0 (x)| c0 e|x| ln |x| vi < < 1/ thỡ (t) u0 xỏc nh vi t > bt k v dóy {un } l b chn u bi (x, t) = et u0 (x) + (t) u0 Do ú, lp lun tng t nh chng minh ca nh lý 2.2 ta cú c mt nghim cc tiu ton cc c cho bi tớch chp (ii) Gi s u0 (x) c0 e|x| ln |x| vi > 1/ v tn ti mt nghim khụng õm u ca bi toỏn Khi ú trc ht ta thy cng tn ti mt s (0, ) cho > 1/ v mt hai phn õm hoc phn dng ca u0 tha ỏnh giỏ tng t, chng hn: (u0 )+ (x) c0 e|x| ln |x| Chỳng ta s dng mt xp x vi cỏc d kin ban u cú giỏ compact 35 (u0 )+ n v theo nguyờn lý so sỏnh RN ì R+ ta cú et (u0 )+ n + (t) (u0 )+ n |u| < Nhng mt khỏc, vỡ > 1/, (t) (u0 ) + n + n iu ny l mõu thun vi cỏc rng buc trờn Vy kt lun khụng th tn ti nghim khụng õm ca bi toỏn nh lý c chng minh Chỳ ý 2.4.1 Ta cú mt s chý ý sau: (i) Trờn thc t c lng trờn cho phộp chỳng ta x lý vi cỏc tỡnh tinh t hn chng hn (cho n gin ta ly = 1) u0 (x) e|x| ln |x||x| ln(ln |x|) s cho phộp tn ti nghim ton cc (ii) c lng mn hn cú th thu c bng s dng mt m rng v giai tha, nhng dự tha s (c + ln t)|x| khụng th trỏnh vỡ nú cn thit suy c lng bc ca |x| cỏc ly tha (iii) Mt thỳ v liờn quan n tng ti hn, u0 (x) cú dỏng iu dng e(1/)|x| ln |x| Chỳng ta s thy cỏc trng hp gaussian di õy rng nghim vi cỏc d kin ban u ti hn s bựng n thi gian hu hn, nh l trng hp ca phng trỡnh truyn nhit a phng 36 (iv) Nhng lp lun nh Chỳ ý 2.3.1 cng ỳng trng hp ny bng cỏch thay th iu kin i vi d kin ban u bi (t) (u0 ) < v (t) (u0 )+ = , vi t > bt k Bõy gi ta quay li vi cỏc kt qu v tớnh nht t c kt qu ny, chỳng ta s dng mt thc t rng vi mt hm f cho trc thỡ hm (t) f l mt nghim trờn ca (2.1) Trc ht chỳng ta s chng minh rng cỏc nghim c xõy dng cũn thuc mt lp cỏc nghim thớch hp v sau ú s dng nghim trờn (t + 1) f ỏp dng nguyờn tc so sỏnh v nhn c tớnh nht Mnh 2.4 Cho J l nhõn i xng tõm v cú giỏ compact B vi > Gi s u0 l d kin ban u b chn a phng, (0, 1/) v c0 > Nu |u0 (x)| c0 e|x| ln |x| , thỡ s tn ti C > cho |u(x, t)| Ce|x| ln |x| , vi (0, 1/) Chng minh Ta li chia d kin ban u ca nú thnh phn õm v phn dng |u0 | = (u0 )+ + (u0 ) Khi ú u+ (x, t) = et (u0 )+ (x)+((t) (u0 )+ ) (x) et c0 e|x| ln |x| +c0 (t)e|x| ln |x| 37 v ta cng nhn c ỏnh giỏ tng t i vi u Vi t (0, T ), ta cú ỏnh giỏ (x, t) ce(1/)|x| ln |x|+c(T )|x| , vi c > v c(T ) R Do ú, ((t)e|x| ln |x| )(x) c e(1/)|y| ln |y|+c (T )|y|+|xy| ln |xy| dy, RN e(1/)|y| ln |y|+c (T )|y|+|x| ln |x|+|y| ln |y|+|x|+|y| dy, c RN c e|x| ln |x|+|x| e(1/)|y| ln |y|+(c (T )+)|y| dy, RN ce|x| ln |x|+|x| Túm li, vi mi (, 1/) v x ln ta t c u+ (x, t) Ce|x| ln |x|+|x| e|x| ln |x| v u (x, t) Ce|x| ln |x|+|x| e|x| ln |x| Cui cựng, T l tựy ý nờn ta cú |u(x, t)| Ce|x| ln |x| vi mi t Trong phn tip theo ta ký hiu f l hm xỏc nh bi f (x) = e|x| ln |x| B 2.8 Cho J l mt nhõn i xng tõm v cú giỏ compact B vi 38 > Gi s u0 l mt hm b chn a phng, (0, 1/) v c0 > Nu |u0 (x)| c0 e|x| ln |x| , thỡ vi bt k T > 0, (, 1/) v A > ln, cỏc hm (x, t) := A((t + 1) f )(x) l mt nghim trờn ca bi toỏn (2.1)-(2.2) trờn RN ì [0, T ] Chng minh Chỳng ta gi thit rng = n gin húa chng minh, cỏc bin i s tr lờn n gin Vỡ tha (2.6) nờn hm tha t = J + Ae(t+1) J f J , t ú , cú mt nghim trờn ca phng trỡnh v bõy gi chỳng ta cn so sỏnh cỏc d kin ban u Chỳng ta bt u vi thc t rng vi t (0, T ) v vi > , ta cú ỏnh giỏ (x, t + 1) ce(1/)|x| ln |x|+c(T )|x| , vi c > v c(T ) R Do ú, e(1/)|y| ln |y|+c(T )|y|+|xy| ln |xy| dy, ((t + 1) f )(x) c RN e(1/)|y| ln |y|+c(T )|y|+|x| ln |x| dy, {|xy|>|x|} c(x)e|x| ln |x| , ú hm c(x) c cho bi e(1/)|y| ln |y|+c(T )|y| dy c(x) = c {|xy|>|x|} 39 D thy rng c(x) b chn di u Tht vy, vỡ |x y|2 = |x|2 + |y|2 x i yi , nờn {|x y| > |x|} cha ớt nht {yi xi < vi i = 1, , N } Hn na, vỡ hm s di du tớch phõn l i tõm v kh tớch nờn ta cú e|y| ln |y|+c(T )|y| dy = c c(x) c {i,xi yi 0, {i,yi >0} t ú ta nhn c ((x, t + 1) f )(x) c1 e|x| ln |x| (2.18) iu ny ch rng nu A > c0 /c1 , thỡ (0) = ((1) f ) u0 Kt qu v tớnh nht trng hp ny c phỏt biu nh lý sau: nh lý 2.10 Cho J l nhõn i xng tõm v cú giỏ compact B vi > Khi ú vi < < 1/ tn ti nht mt nghim ca bi toỏn (2.1)-(2.2) cho |u(x, t)| C(t)e|x| ln |x| , ú C(ã) b chn a phng [0, ) Chng minh Trc ht chỳ ý rng, t gi tht thỡ cỏc d kin ban u tha |u0 | C(0)e|x| ln |x| ú ta cú th xõy dng c mt nghim tha gi thit ca nh lý 40 Bõy gi, ta c nh (, 1/) v xột nghim trờn sau (x, t) := A((t + 1) f )(x), nghim ny tng trng ti thiu c e|x| ln |x| trờn RN ì[0, T ], (xem (2.18)) Vỡ nghim trờn ny tng ngt nhanh hn cỏc nghim tha |u(x, t)| C(t)e|x| ln |x| , nờn ta cú th ỏp ng nh lý 2.1 cú c tớnh nht 2.4.2 Nhõn Gauss Trong phn ny chỳng ta gi thit rng J l mt hm Gauss vi phng sai = 1/(2 ) (ta vit nú di dng ny n gin húa cỏc cho cỏc phỏt biu sau ny) ú l: J(y) = c()e |y|2 |y|2 , c() = e dy = RN N/2 (2.19) Ta s dng phng phỏp tng t nh trng hp nhõn cú giỏ compact c lng ht nhõn nhit khụng a phng liờn quan n phng trỡnh Trc ht chỳng ta trỡnh by mt c lng tt hn mt chỳt so vi B 2.7: B 2.9 Tn ti c > v (0, 1) ch ph thuc vo J cho n 1, x Bn , J n (x) càn Chng minh Phng phỏp chng minh ging nh B 2.7 ngoi 41 tr vic J khụng cú giỏ compact t := J(y)dy > 0, {3/2 ch ph thuc vo v N cho vi |x| > 1, 1/2 1/2 c1 et e|x|(ln |x|) e(c2 +ln t)|x| (x, t) c3 e|x|(ln |x|) e(c4 +ln t)|x| Chng minh Trc ht, c nh |x| > 1, bng cỏch s dng cụng thc v tớch chp ca lut Gauss n n J (y) = c() n N/2 e |y|2 /n , ú c() c xỏc nh (2.19) Khi ú, ta cú th ỏnh giỏ trờn nh sau (x, t) = e t n=1 J n (x)tn n! K N/2 e t e |x|2 /K n=1 c()n tn + n! n>K c()n tn n! , ú K > l mt s nguyờn ph thuc vo x S dng (2.16) cho s 42 hng th hai, vi mi hng s C(, N ) > ta cú: (x, t) C(, N )(c()t)K e |x|2 /K + K! Bõy gi ti u húa ỏnh giỏ ny |x| , ta chn K cho c hai s hng l so sỏnh c, ngha l |x| , s dng cụng thc Stirling: |x|2 K ln(K!) K ln K (2.20) Lm trũn chỳng ta c ln |x| ln K v ly cn bc hai (2.20) ta c K ln K |x|(ln |x|)1/2 Vi cỏch chn ny c lng tr thnh: (x, t) 2C(, N )(c()t)K eK 2C(, N )(c()t)K eK ln K+O(K) , K! v ta lp lun nh B 2.6 Chỳ ý rng cỏc h s c2 v c4 cha cỏc hng s c() vỡ ln(c()t) = ln c() + ln t cú c cn di, ý rng vi n c nh (x, t) et tn J n (x) n! Khi ú ta chn n = [K(x)] l phn nguyờn K c xỏc nh bi (2.20), chỳng ta s dng B 2.9 suy ra: (x, t) cet (àt)[K] , [K]! 43 v ta kt thỳc chng minh nh Mnh 2.3 Di õy mt mt s h qu trc tip nh lý 2.11 Cho J c xỏc nh (2.19) vi mi > 0, gi s u0 l hm giỏ tr ban u b chn a phng v c0 > tựy ý Khi ú ta cú cỏc khng nh sau (ta ch xột |x| > 1): 1/2 (i) Nu |u0 (x)| c0 e|x|(ln |x|) vi < , ú s tn ti nghim ton cc ca phng trỡnh (2.1) 1/2 (ii) Nu u0 (x) c0 e|x|(ln |x|) vi > thỡ khụng tn ti bt k nghim khụng õm no ca phng trỡnh (2.1) 1/2 (iii) Nu u0 (x) = c0 e|x|(ln |x|) +f (|x|) vi < < , s f (s) s thỡ nghim cc tiu ca (2.1) bựng n thi gian hu hn Chng minh Phn (i) v (ii) c chng minh tng t nh trng hp ca nhõn cú giỏ compact Ta cũn phi chng minh phn (iii) Vỡ s f (s) s ú ta bit rng vi t > nh tớch chp (t) u0 hi t T ú ta cú th chn + c2 + ln t < 0, v t ú t < ec4 Mt khỏc, nu t l ln s dng c lng t bờn di ca (t) ta bit rng tớch chp s bựng n, ớt nht l vi t > ec2 Do ú nghim c xỏc nh mt khong thi gian ngn nhng cui cựng nú s bựng n thi gian hu hn Liờn quan n vic s i du i v tớnh nht ca nghim, cỏc kt qu cho trng hp giỏ compact cú cú th chuyn trc tip sang trng hp 44 ny Nhng phộp chuyn l khụng phc tp, ú ta ch vic thay ln(|x|) thnh ln(|x|)1/2 vi |x| > trỏnh i vi log nu |x| < 1, ta xột hm 1/2 g (x) := e|x|(ln(|x|+1)) Tt c cỏc c lng B 2.8 ỳng v c phỏt biu nh sau: B 2.10 Cho (0, ) v cho u0 l mt hm liờn tc khụng õm cho 1/2 u0 (x) c0 e|x|(ln(1+|x|)) Khi ú, vi T > 0, nu A > l ln thỡ hm (x, t) := A((t + 1) g )(x) l mt nghim trờn ca bi toỏn (2.1)-(2.2) trờn RN ì [0, T ] Hn na, vi t [0, T ] thỡ tn ti mt hng s A > cho 1/2 (x, t) A e|x|(ln(1+|x|)) +|x| Chng minh Ta chng minh tng t nh chng minh ca B 2.8 iu chnh nht l chỳng ta cn l bt ng thc (a+b)1/2 a1/2 +b1/2 cho c lng trờn, ỏp dng vi (ln(1 + |x|) + ln(1 + |y|))1/2 Vi B ny, nh lý 2.10 cú th c phỏt biu di dng sau nh lý 2.12 Cho J c xỏc nh bi (2.19) vi > Khi ú vi bt k < < tn ti nghim nht ca bi toỏn (2.1)-(2.2) cho |u(x, t)| C(t)e|x| ln |x| , ú C(ã) l b chn a phng [0, ) 45 2.5 Nghim hin Dỏng iu tim cn Trong phn ny, chỳng ta s xột cụng thc nghim hin cho bi toỏn (2.1)(2.2) vi d kin ban u c th Cho J l mt nhõn cho := sup > : J(y)|y| dy < (0, ) (2.21) Vỡ J l i xng nờn d dng thy rng vi s nguyờn bt k p (0, ) phộp tớnh toỏn sau õy cú ngha : J(y)(|x y|2p |x|2p )dy p1 2p |x|2i J(y)|y|2(pi) dy = 2i i=0 p1 2p m2(pi) |x|2i = 2i i=0 J |x|2p |x|2p = Vi biu thc ny ta s chng minh nh lý sau: nh lý 2.13 Di gi thit (2.21), vi s nguyờn bt k p (0, ) , nghim nht ca (2.1) vi d kin ban u u0 (x) = |x|2p c xỏc nh bi cụng thc hin sau p 2p u(x, t) = |x| + k=1 tk ck (x) , k (2.22) ú c1 (x) = J |x|2p |x|2p ; ck (x) = (J ck1 (x)ck1 (x)), k (k 1) (2.23) 46 Chng minh Trc ht ta kim tra rng u cho bi (2.22) l mt nghim ca (2.1) nu h s ck c a theo quy bi (2.23) Tht vy, ta cú p p ck (x)t ut = k1 , v J uu = J u0 u0 + k=1 k=1 tk (J ck (x)ck (x)), k t ú ta thy rng u tha phng trỡnh bng cỏch thay th cỏc h s bng biu thc quy ca nú Cng chỳ ý rng u(x, 0) = u0 (x) Vớ d Xột cỏc d kin ban u u0 = |x|2 Nghim ca (2.1) c xỏc nh bi u(x, t) = |x|2 + m2 t Cũn vi u0 = |x|4 chỳng ta cú u(x, t) = |x|4 + m22 t2 + (m4 + 2m3 |x|2 )t 47 Kt lun Lun nghiờn cu v lp nghim khụng b chn ca phng trỡnh truyn nhit khụng a phng Trong lun vn, tỏc gi ó trỡnh by v mt s chớnh sau: Mi quan h gia mt s loi nghim cho bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh truyn nhit khụng a phng Qua cỏch s dng nghim trờn phự hp, lun trỡnh by v s tn ti v tớnh nht ca nghim mnh Cng lun ny, tỏc gi ó trỡnh by mt cỏch cú h thng v dỏng iu ti u ca d kin ban u m bo cho s tn ti v tớnh nht cng nh s khụng tn ti nghim cỏc trng hp: i vi nhõn phõn ró chm (nhõn dng ly tha, nhõn dng m, nhõn dng n nh), v i vi nhõn phõn ró nhanh (nhõn cú giỏ compact, nhõn Gauss) Do thi gian v trỡnh cú hn nờn chc chn lun s khụng trỏnh nhng khim khuyt, tỏc gi rt mong nhn c nhng gúp ý quý bỏu ca Quý Thy Cụ v cỏc bn bn thõn tỏc gi cng nh bn lun ny c hon thin hn! 48 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Trn c Võn (2003), Lý thuyt phng trỡnh Vi phõn o hm riờng, Nh xut bn i hc Quc Gia H Ni [B] Ti liu ting Anh [2] N Alibaud, C Imbert (2009), Fractional semi-linear parabolic equations with unbounded data, Trans Amer Math Soc 361 , no 5, pp.25272566 [3] C Brandle, E Chasseigne (2009) Large deviations estimates for some nonlocal equations Fast decaying kernels and explicit bounds, Nonlinear Analysis 71, pp 55725586 [4] Cristina Brandle, Emmanuel Chasseigne, Raul Frerreira Unbounded solutions of the nonlocal heat equations commun pure Appl Anal 2011, 10, pp.1663- 1686 [...]... nhanh như sau: do ω thỏa mãn (2.6) khi đó nó là một nghiệm trên của phương trình (2.1) Do đó, nếu f là không âm và sao cho tích chập theo biến không gian của ω và f là hội tụ, khi đó hàm (x, t) → (ω(t + 1) ∗ f ) (x) cũng là một nghiệm trên 16 2.2 2.2.1 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm không bị chặn Sự so sánh Việc so sánh trong lớp các nghiệm bị chặn đã được nghiên cứu nhiều trong trường hợp J... lớp các nghiệm phù hợp như trường hợp của phương trình truyền nhiệt địa phương Định lý 2.1 Cho ψ thỏa mãn phương trình (2.8) Khi đó tồn tại nhiều nhất một nghiệm mạnh u của bài toán (2.1)-(2.2) sao cho |u| ψ đều địa phương trong [0, ∞) Chứng minh Giả sử u và v là hai nghiệm của bài toán (2.1)-(2.2) thỏa mãn |u|, |v| ψ đều địa phương trong [0, ∞) khi đó đồng thời ta có u − v và v − u ψ ψ đều địa phương. .. Cauchy cho các phương trình nhiệt không địa phương có dạng: ut = J ∗ u − u, (x, t) ∈ RN × R+ , (2.1) ở đây, J : RN → R là mật độ xác suất liên tục đối xứng và f ∗ g là tích chập của các hàm f và g, dữ kiện ban đầu u(x, 0) = u0 (x), x ∈ RN , (2.2) bị chặn địa phương (không nhất thiết là không âm) Các kiến thức được trình bày trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ tài liệu [4] Phương trình này và... chỉ ra rằng trong thực tế, nghiệm yếu không âm là nghiệm mạnh Điều này cho phép chúng ta chỉ xét các nghiệm mạnh trong luận văn , đối với các nghiệm thay đổi dấu thì chúng sẽ được xây dựng như là hiệu giữa hai nghiệm không âm Mệnh đề 2.1 Giả sử u là một nghiệm yếu không âm của (2.1) Khi đó, u có một vết ban đầu u(x, 0+ ) là một hàm không âm trong L1loc và u là một nghiệm mạnh của (2.1) Hơn nữa, nếu u(x,... các nhân tổng quát hơn và không chỉ đối với lớp các nghiệm bị chặn Để làm được như vậy chúng ta cần quan tâm xem cực đại sẽ đạt được tại đâu bằng cách sử dụng nghiệm trên ψ được định nghĩa như ở mục trên Mệnh đề 2.2 Cho ψ thỏa mãn (2.8) Giả sử u là một nghiệm dưới mạnh của phương trình (2.1) và u¯ là một nghiệm trên mạnh của (2.1) sao cho u(x, 0) ≤ u¯(x, 0) Nếu u − u¯ ψ đều địa phương trong [0, ∞) thì... thường" như Biến đổi Fourier, Định lý điểm bất động sẽ không thực hiện được Trường hợp dữ kiện ban đầu u0 liên tục và có giá compact, nghiệm của bài toán (2.1) - (2.2) có thể được viết như sau u(x, t) = e−t u0 (x) + (w(t) ∗ u0 ) (x), với ω là phần chính quy của nhân nhiệt không địa phương Như ta đã biết, trong trường hợp phương trình truyền nhiệt "cổ điển" ut = ∆u trong RN × R+ với dữ kiện ban đầu... hoặc bị chặn và có giá compact (chúng ta sẽ sử dụng kết quả này trong các phần tiếp theo của luận văn) Bổ đề sau đây cho ta 11 một số tính chất cơ bản của phần chính quy của nhân nhân nhiệt không địa phương: Bổ đề 2.1 Hàm ω được cho bởi ∞ ω(x, t) = e −t n=1 tn J ∗n (x) n! (2.5) Hơn nữa, ω là nghiệm của bài toán   ωt = J ∗ ω − ω + e−t J, (2.6)  ω(x, 0) = 0 Chứng minh Nếu u0 và biến đổi Fourier của. .. tịnh tiến bất biến (d) Tính phản xạ của tích chập Nếu tích chập f ∗ g tồn tại, thì tích chập f (−x) ∗ g(−x) cũng tồn tại và f (−x) ∗ g(−x) = (f ∗ g)(−x) (1.4) (e) Tính khả vi của tích chập Nếu tích chập f ∗ g tồn tại, thì tồn tại các tích chập Dα f ∗ g và f ∗ Dα g và ta có Dα f ∗ g = Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα g (1.5) 8 Chương 2 Nghiệm không bị chặn của phương trình truyền nhiệt 2.1 Giới thiệu Luận văn nhằm... J Bổ đề được chứng minh 2.1.2 Nghiệm yếu và mạnh Sau đây là các khái niệm về nghiệm mà chúng ta sẽ sử dụng trong luận văn Định nghĩa 2.2 Một nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.2) là một hàm u ∈ L1loc (RN × R+ ) thỏa mãn phương trình theo nghĩa phân bố Và dưới đây là định nghĩa về nghiệm mạnh và nghiệm cổ điển Định nghĩa 2.3 Cho u0 ∈ L1loc (RN ) Ta có (i) Một nghiệm mạnh của bài toán (2.1) - (2.2) là... trong [0, ∞) Sử dụng các nghiệm đó như là nghiệm dưới và nghiệm trên của bài toán (2.1)-(2.2) ta sẽ nhận được u ≤ v và v ≤ u Như vậy u = v, và ta được điều phải chứng minh 2.2.2 Xây dựng công thức nghiệm Định lý 2.2 Cho ψ thỏa mãn (2.8), dữ kiện ban đầu u0 là hàm bị chặn địa phương và giả sử rằng với mỗi c0 > 0, ta có |u0 (x)| ≤ c0 ψ(x, 0) trong RN Khi đó, tồn tại một nghiệm u của bài toán (2.1)-(2.2),