BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- NGUYỄN KHẮC CƯỜNG ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC THỜI ĐIỂM RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- NGUYỄN KHẮC CƯỜNG ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC THỜI ĐIỂM RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGÔ HOÀNG LONG Hà Nội, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà kính gửi đến thầy cô, bạn đồng khóa, đồng nghiệp gia đình thân thương Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Hoàng Long, người thầy định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập trường Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - người sinh thành, nuôi dưỡng tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp bạn bè động viên, cổ vũ thời gian học tập nghiên cứu luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn bạn đồng khóa Cao học K18 - đợt (2014 - 2016) nói chung chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng giúp đỡ, động viên hoàn thành luận văn Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 101.03-2014.14 Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên Nguyễn Khắc Cường Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Ngô Hoàng Long Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên Nguyễn Khắc Cường Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm xác suất thống kê 1.1.1 Một số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.1.2 Ước lượng điểm 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 10 1.2.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên 10 1.2.2 Martingale 12 1.2.3 Khai triển Doob - Meyer 14 1.2.4 Martingale bình phương khả tích 15 1.2.5 Martingale địa phương 16 1.2.6 Chuyển động Brown 17 1.3 Tích phân ngẫu nhiên 17 1.3.1 Quá trình khả báo 17 1.3.2 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên 18 1.3.3 Công thức vi phân Itô 20 Ước lượng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên Itô quan sát không đồng thời 22 2.1 Ước lượng độ biến động trình ngẫu nhiên Itô chiều 22 2.2 Ước lượng tích phân độ biến động hai trình ngẫu nhiên Itô quan sát đồng thời 25 2.3 Ước lượng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên Itô quan sát không đồng thời 27 2.3.1 Ước lượng vững 27 2.3.2 Ứng dụng tài chính: Mô hình Black - Scholes nhiều chiều 36 2.4 Mô máy tính 37 Ước lượng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát không đồng thời với nhiễu 43 3.1 Phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến 43 3.1.1 Quá trình quan sát 45 3.1.2 Thời điểm quan sát 45 3.1.3 Dữ liệu quan sát 46 3.1.4 Lớp hàm g 46 3.1.5 Ước lượng 46 3.2 Đánh giá sai số ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến 47 3.3 Mô phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến 60 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán tài chính, giá cổ phiếu thường mô trình ngẫu nhiên Itô nhiều chiều có dạng: t t σs dBs , bs ds + Xt = X0 + 0 b σ hai trình ngẫu nhiên tương thích, B chuyển động Brown tích phân thứ hai tích phân ngẫu nhiên Itô Người ta thường gọi b hệ số trôi σ hệ số biến động X Trên thị trường ta không quan sát trực tiếp giá trị hệ số b σ mà quan sát giá trị X số thời điểm rời rạc Tuy nhiên, tiến hành tính toán tài sản phái sinh từ X giá quyền chọn, giá hợp đồng CDS, CDO hay việc xác định độ rủi ro đầu tư vào chứng khoán này, người ta cần phải biết xác giá trị độ biến động σs2 hay giá trị phiếm hàm tích phân dạng t h(σs2 )ds với h hàm Điều đặt toán ước lượng - thống kê tự nhiên quan trọng làm để xác định giá trị σ hay phiếm hàm dạng tích phân mà dựa vào dãy giá trị quan sát từ X số thời điểm rời rạc Do tầm quan trọng nó, toán trở thành vấn đề quan tâm lý thuyết thống kê trình ngẫu nhiên và nghiên cứu cách sâu rộng năm gần nhà toán học hàng đầu Jean Jacod Paul Malliavin (Paris IV), Yacine Ait-Sahalia (Princeton), Shigeyoshi Ogawa (Ritsumeikan), Nakahiro Yoshida (Tokyo) Những khó khăn lớn xây dựng ước lượng cho σ nghiên cứu tính chất tiệm cận ước lượng việc cổ phiếu quan sát thời điểm dày đặc lại không đồng thường kèm theo nhiễu Với mong muốn tìm hiểu sâu ước lượng cho độ biến động σ, đặc biệt liệu quan sát thoả mãn điều kiện xấu trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên Itô quan sát thời điểm rời rạc” cho luận văn thạc sĩ Tài liệu tham khảo luận văn công trình nghiên cứu gần Takaki Hayashi - Nakahiro Yoshida [5] người hướng dẫn luận văn [8] Mục đích nghiên cứu • Tiếp cận phương pháp ước lượng cho tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát thời điểm rời rạc không đánh giá tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh phép xấp xỉ • Tiếp cận phương pháp ước lượng cho tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát thời điểm rời rạc không với nhiễu đánh giá tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh phép xấp xỉ Nhiệm vụ nghiên cứu • Phương pháp ước lượng cho tích phân độ biến động trình ngẫu nhiên Itô chiều • Phương pháp ước lượng cho tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát thời điểm rời rạc không • Phương pháp ước lượng cho tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát thời điểm rời rạc không bị nhiễu • Mô phương pháp ước lượng máy tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Quá trình ngẫu nhiên • Thống kê cho trình ngẫu nhiên • Toán tài Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết • Nghiên cứu thực nghiệm mô máy tính Đóng góp Luận văn hệ thống hoá làm rõ việc xây dựng phương pháp ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên Itô quan sát thời điểm rời rạc với nhiễu Luận văn xây dựng chương trình mô phép xấp xỉ máy tính Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm xác suất thống kê 1.1.1 Một số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Với p > biến ngẫu nhiên ξ ta kí hiệu ξ p = E[|ξ|p ] 1/p Nếu ξ p < ∞ ta nói ξ khả tích bậc p kí hiệu Lp tập hợp tất b.n.n khả tích bậc p Giả sử (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) Dãy (ξn ) gọi • hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên ξ P[ lim ξn = ξ] = Kí hiệu n→∞ h.c.c ξn −→ ξ • hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ lim P[|ξn − ξ| > ] = với n→∞ P > Kí hiệu ξn −→ ξ • hội tụ theo trung bình bậc p, p > 0, đến biến ngẫu nhiên ξ E|ξn |p < ∞ Lp lim E|ξn − ξ|p = Kí hiệu ξn −→ ξ Khi p = 1, ta nói ξn hội tụ theo n→∞ trung bình đến ξ 51 Bổ đề 3.2.4 Tồn số C cho m K E|S2n | ≤ C + lα/2 + lα/2 , nα/2 ∀n Chứng minh Chứng minh bổ đề chia thành bước sau 1) Với k, r, ta phân tích kX kY ˜ rkX ) − X(τ ˜ r−1 X(τ ) Y˜ (τrkY ) − Y˜ (τr−1 ) kX kY = X(τrkX ) − X(τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) + kX + X(τrkX ) − X(τr−1 ) kX kY (τrkX ) − (τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) kY (τrkY ) − (τr−1 ) + kX (τrkX ) − (τr−1 ) kY (τrkY ) − (τr−1 ) , (3.13) kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) g(X(τr−1 kX kY kX kY =g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) + g(X(τr−1 (3.14) 2) Ta đặt T1n = K K m kX kY X(τrkX ) − X(τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) k=1 r=2 kX kY kX kY × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) Sử dụng bất đẳng thức Holder E|T1n | ≤ K K m kX E|X(τrkX ) − X(τr−1 )| 1/3 k=1 r=2 kY × E|Y (τrkY ) − Y (τr−1 )|3 1/3 kX kY kX kY × E|g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))|3 1/3 Do đó, từ (3.11) (3.10) ta thu E|T1n | ≤C K K m k=1 r=2 1 ≤ Cl−α/2 1/2 m m1/2 lα/2 (3.15) 52 3) Ta đặt T2n K = K m kY kX ) ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 X(τrkX ) − X(τr−1 k=1 r=2 kX kY kX kY × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) Sử dụng (3.12) lập luận tương tự phần trước, ta có l n E|T2n | ≤ C α/2 (3.16) 4) Với k = 1, , K, r = m, ta đặt kX kY γkr = (τrkX ) − (τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) kX kY kX kY × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) Ta đặt T3n = K K m γkr k=1 r=2 Theo giả thiết O1), tồn số C ∗ cho max |tni − tni−1 | + max |sni − sni−1 | ≤ n n i:ti ≤1 i:si ≤1 C∗ , n ∀n Khi đó, tính độc lập (.) với điều kiện X, Y , với (k, r), với k = 1, , K, r = m, tồn nhiều 4C ∗ (k , r ) khác, với k = 1, , K, r = m, cho E(γkr γk r |X, Y ) = Sử dụng tính chất đánh giá E|γkr γk r | ≤ E(|γkr |2 + |γk r |2 ), ta E(T3n )2 ≤ C K2 K m E(γkr )2 k=1 r=2 Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta E(T3n )2 ≤C K × E K m kX E (τrkX ) − (τr−1 ) 1/2 k=1 r=2 kX kY kX kY kY Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) 1/2 53 Lại áp dụng bất đẳng thức Holder cho số hạng thứ hai bất đẳng thức (3.4), (3.10), (3.11), ta E(T3n )2 ≤ K2 K m 1 , m lα C k=1 r=2 E|T3n | ≤ C K 1/2 lα/2 (3.17) 5) Ta đặt T4n K = K m kX kY (τrkX ) − (τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) k=1 r=2 kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) × g(X(τr−1 Do (.) độc lập toàn thể với điều kiện σ(X, Y ), ta có E(T4n )2 = K K m E kX kY (τrkX ) − (τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) k=1 r=2 kX kY kX kY × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) Lại áp dụng bất đẳng thức Holder, ta E(T4n )2 ≤ K K m kX E (τrkX ) − (τr−1 ) 1/2 E kY Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) 1/4 k=1 r=2 kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) × E g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 1/4 Do đó, theo bất đẳng thức (3.4), (3.7) (3.12) ta có E(T4n )2 ≤ K K m C k=1 r=2 lα , m nα nên E|T4n | ≤ C l K 1/2 n α/2 (3.18) 54 6) Ta đặt T5n K = K m kX (τrkX ) − (τr−1 ) kY (τrkY ) − (τr−1 ) k=1 r=2 kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 Do (.) độc lập toàn thể với điều kiện σ(X, Y ), ta có E(T5n )2 = K K m E kY ) (τrkY ) − (τr−1 kX ) (τrkX ) − (τr−1 k=1 r=2 kX kY kX kY × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) Lại áp dụng bất đẳng thức Holder, ta E(T5n )2 = K K m 1/4 kX E (τrkX ) − (τr−1 ) kY E (τrkY ) − (τr−1 ) 1/4 k=1 r=2 kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) × E g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 1/2 Sử dụng đánh giá (3.4), (3.7) (3.12) ta E(T5n )2 ≤ K2 K m C k=1 r=2 lα , nα E|T5n | ≤ C mlα Knα 1/2 (3.19) 7) Ta đặt T6n K = K m kX (τrkX ) − (τr−1 ) kY (τrkY ) − (τr−1 ) k=1 r=2 kX kY kX kY ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) × g(X(τr−1 Lập luận tương tự bước 4, ta có E(T6n )2 ≤C K K m kX E (τrkX ) − (τr−1 ) 1/4 kY E (τrkY ) − (τr−1 ) k=1 r=2 kX kY kX kY × E g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) 1/2 1/4 55 Sử dụng (3.4) (3.11) ta E(T6n )2 ≤ K K m C k=1 r=2 , lα nên E|T6n | ≤ C m Klα 1/2 (3.20) 8) Tổng hợp đánh giá (3.13)–(3.20) ta thu điều phải chứng minh Bổ đề 3.2.5 Ta đặt T7n = K T8n = T9n = K K K m kX kY kX kY (τrkX ) − (τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )), k=1 r=2 K m kX X(τrkX ) − X(τr−1 ) kY kX kY (τrkY ) − (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )), k=1 r=2 K m kX (τrkX ) − (τr−1 ) kY kX kY (τrkY ) − (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 Khi tồn số C cho E |T7n | + |T8n | + |T9n |) ≤ C m , K ∀n (3.21) Chứng minh 1) Do (.) độc lập toàn thể với điều kiện σ(X, Y ), ta có E(T7n )2 = K K m E kX kY kX kY (τrkX ) − (τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 Áp dụng bất đẳng thức Holder, E|T7n |2 ≤ K K m kX E (τrkX ) − (τr−1 ) 1/4 k=1 r=2 × E kY Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) 1/4 kX kY E g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) 1/2 Hơn nữa, g α-Lipschitz (3.5), tồn số hữu hạn L0 cho |g(x, y)| ≤ L0 (1 + |x|2κ+α + |y|2κ+α ) với x, y ∈ R Kết hợp điều với tính bị chặn 56 môment X(t) Y (t) [0, 1] ta sup E g(X(t), Y (t)) ≤ C < ∞ t∈[0,1] Áp dụng (3.10) ta E|T7n |2 ≤ C K2 K m k=1 r=2 C < m K Do E|T7n | ≤ C √ K Lập luận tương tự, ta E|T8n | ≤ C √ K 2) Ta có E(T9n )2 = K m K kX (τrkX ) − (τr−1 ) E kY kX kY (τrkY ) − (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 Sử dụng bất đẳng thức Holder, E|T9n |2 ≤ K2 m K kX E (τrkX ) − (τr−1 ) 1/4 k=1 r=2 kY × E (τrkY ) − (τr−1 ) ≤C K K m 1≤C k=1 r=2 1/4 kX kY Eg(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))4 1/2 m , K nên, E|T9n | ≤ C m K Bổ đề 3.2.6 Ta đặt n T10 = K K m kX kY kX kY X(τrkX ) − X(τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 57 Khi tồn số C cho n E|T10 − I| ≤ C + mα/2 m n (3.22) Chứng minh Chứng minh chia thành bước sau: 1) Ta đặt n T10 = K + + + + + + + + K K K K K K K K K m k k kX kY X(τrk ) − X(τr−1 ) Y (τrk ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 K m kX kY k ), Y (τr−1 )) ) Y (τrkY ) − Y (τrk ) g(X(τr−1 X(τrk ) − X(τr−1 k=1 r=2 K m k k kY kX kY X(τrk ) − X(τr−1 ) Y (τr−1 ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 K m k kX kY X(τrkX ) − X(τrk ) Y (τrk ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 K m kX kY X(τrkX ) − X(τrk ) Y (τrkY ) − Y (τrk ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 K m k kY kX kY X(τrkX ) − X(τrk ) Y (τr−1 ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 m K k kX k kX kY X(τr−1 ) − X(τr−1 ) Y (τrk ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 K m k kX kX kY X(τr−1 ) − X(τr−1 ) Y (τrkY ) − Y (τrk ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 K m k kX k kY kX kY X(τr−1 ) − X(τr−1 ) Y (τr−1 ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) k=1 r=2 Ta kí hiệu số hạng vế trái lần lược U0n , U1n , , U8N 58 2) Sử dụng bất đẳng thức Holder, E|U1n | ≤ K K m k ) E X(τrk ) − X(τr−1 1/4 k=1 r=2 × E Y (τrkY ) − Y (τrk ) ≤C K ≤C K m k=1 r=2 1/4 kX kY Eg(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))2 1/2 1 √ √ m n m n Lập luận tương tự ta m n E|Uin | ≤ C i=1 (3.23) 3) Bây ta ước lượng U0 − I Với k = 1, , K, ta kí hiệu m k k kX kY X(τrk ) − X(τr−1 ) Y (τrk ) − Y (τr−1 ) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) Vk = E r=2 − g(X(t), Y (t))σt dt Ta có E|U0n − I| ≤ K K Vk k=1 Cố định k đặt k ), DX (t) = X(t) − X(τr−1 k DY (t) = Y (t) − Y (τr−1 ), k τr−1 ≤ t < τrk Theo bất đẳng thức Burkh¨older-Davis-Gundy với p > 0, tồn số Cp cho sup E(|DX (t)|p + |DY (t)|p ) ≤ Cm−p/2 t≤1 k Theo công thức Itô với t ∈ (τr−1 , τrk ), ta có d(DX (t)DrY (t)) = DrX (t)dDY (t) + DY (t)dDX (t) + σt dt, (3.24) 59 nên, m τrk Vk ≤E k τr−1 r=2 m τrk + k τr−1 r=2 m τrk + k τr−1 r=2 m τrk − k τr−1 r=2 +C kX kY DX (t)b1 (t) + DY (t)a1 (t) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))dWt kX kY DX (t)b2 (t) + DY (t)a2 (t) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))dBt kY kX ))dt ), Y (τr−1 DX (t)b0 (t) + DY (t)a0 (t) g(X(τr−1 kX kY σt g(X(t), Y (t)) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) dt m 4) Ta có m τrk E k τr−1 r=2 m τrk = E DX (t)b1 (t) + DY (t)a1 (t) k τr−1 r=2 ≤C kX kY DX (t)b1 (t) + DY (t)a1 (t) × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))dWt kX kY × g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))2 dt , m bất đẳng thức cuối suy từ (3.24) Vậy nên m τrk r=2 k τr−1 E kX kY DX (t)b1 (t) + DY (t)a1 (t) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))dWt ≤ C √ m Lập luận tương tự, ta m τrk r=2 k τr−1 E kX kY DX (t)b2 (t) + DY (t)a2 (t) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))dBt ≤ C √ m Hơn nữa, m τrk r=2 k τr−1 E m τrk ≤ r=2 k τr−1 ≤C √ m kX kY DX (t)b0 (t) + DY (t)a0 (t) g(X(τr−1 ), Y (τr−1 ))dt kX kY ))2 E DX (t)b0 (t) + DY (t)a0 (t) Eg(X(τr−1 ), Y (τr−1 1/2 dt 60 Sử dụng tính Lipschitz g bất đẳng thức ta m E r=2 τrk k τr−1 kX kY σt g(X(t), Y (t)) − g(X(τr−1 ), Y (τr−1 )) dt ≤ C mα/2 5) Tổng hợp tất ước lượng bước 4, ta có Vk ≤ C mα/2 với k = 1, , K Vậy nên E|U0n − I| ≤ C mα/2 Điều kết hợp với (3.23) cho ta điều phải chứng minh Bây ta chứng minh định lý Từ (3.21) (3.22) ta có m + α/2 K m E|S1 − I| ≤ C Kết hợp điều với Bổ đề 3.2.4 cho ta E|In − I| ≤ C 1 lα/2 m + α/2 + α/2 + α/2 , K m l n từ suy điều phải chứng minh 3.3 Mô phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến Ta xét mô hình Black-Schole đơn giản sau: Giả sử X Y hai trình ngẫu nhiên xác định   X(t) = X(0) + 0.5  Y (t) = Y (0) + t t Xs ds + ρ(s)Ys dWs + t Xs dWs t Ys dBs , với W B hai chuyển động Brown độc lập X(0) Y (0) nhận giá trị dương Giả sử cấp thứ n, X Y quan sát thời điểm phân biệt √ √ tni = i/( 2n) sni = i/( 3n) với i = 0, 1, Dữ liệu quan sát bị nhiễu 61 trình vi nhiễu (3.2) Để đơn giản phần lập trình, ta giả sử vi nhiễu độc lập với kì vọng phương sai ψ > Hơn X (.) X (.), Y (.) Y (.) giả sử độc lập với W B Trong toán tài người ta quan tâm đến việc ước lượng hệ số biến động chéo dạng tích phân logarit X Y , tức ước lượng I = ρ(t)dt, cách sử dụng liệu quan sát X Y Kí hiệu logarit X Y At = log(X(t)), Bt = log(Y (t)) Khi ta có   dAt = dWt  dBt = −0.5(ρ2 (t) + 1)dt + ρ(t)dWt + dBt Người ta thường cho ta quan sát X Y với vi nhiễu ta quan sát A B với vi nhiễu áp dụng ước lượng biết tài liệu [11] hay [3, 12] để tính gần I Tuy nhiên có vấn đề xuất để áp dụng ước lượng [11], ta cần phải giả sử vi nhiễu có trung bình điều kiện không đáp ứng trường hợp ta xét Thật vậy, vi nhiễu quan sát A log(X(.) + X (.)) − log(X(.)) Đây đại lượng ngẫu nhiên có trung bình phụ thuộc vào thời gian thường khác không Các phương pháp ước lượng khác [1, 3, 12] áp dụng lý tương tự Tuy nhiên, tình ta áp dụng lược đồ vừa trình bày phần trước Hệ số biến động chéo X Y σt = ρ(t)X(t)Y (t), I= σt /(X(t)Y (t))dt Trong mô sau, ta chọn X(0) = Y (0) = ρ(t) = t Do giá trị I 0.5 Thử nghiệm thiết kế sau: trước tiên ta sinh giá trị A B thời điểm rời rạc (tni ) (sni ) Sau ta biến đổi chúng thành giá trị trình X Y Ta cộng thêm vi nhiễu X (.), Y (.) sinh cách độc lập có phân phối chuẩn N (0, ψ ) 62 ψ n Trung bình 0.01 103 0.4714 0.26 104 0.4975 0.176 105 0.5008 0.104 103 0.4728 0.310 104 0.4966 0.205 105 0.4976 0.109 0.1 Độ lệch chuẩn Bảng 3.1: Trung bình độ lệch chuẩn In vào giá trị X Y Cuối ta ước lượng I công thức (3.6) với mn = ln = n1/3 Với giá trị n = 103 , 104 , 105 ψ = 0.1, 0.01, ta lặp lại mô 104 lần Kì vọng phương sai ước lượng In trường hợp trình bày Bảng 3.1 Dễ dàng nhận thấy phương pháp ước lượng hiệu mức độ nhiễu lớn (ψ = 0.1) Kết luận Luận văn trình bày kết sau: Phương pháp ước lượng tích phân hệ số biến động trình ngẫu nhiên chiều đánh giá tốc độ hội tụ Phương pháp ước lượng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát cách đồng thời thời điểm rời rạc đánh giá tốc độ hội tụ Phương pháp ước lượng tích phân hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên quan sát với nhiễu cách không đồng thời thời điểm rời rạc đánh giá tốc độ hội tụ Mô phương pháp phần mềm Scilab Đề xuất hướng nghiên cứu cho đề tài Xác định định lý giới hạn trung tâm cho ước lượng từ thiết lập công thức ước lượng khoảng toán kiểm định giả thuyết liên quan đến hiệp phương sai hai trình ngẫu nhiên Xây dựng phần mềm để tính toán ước lượng cho đại lượng ngẫu nhiên thị trường thực, ví dụ tính toán hệ số tương quan hai cổ phiếu hay hai số chứng khoán Tài liệu tham khảo [1] A¨it-Sahalia Y., Mykland P.A., and Zhang L (2011) "Ultra high frequency volatility estimation with dependent microstructure noise", J Econometrics, 160(1) 160–175 [2] Barndorff-Nielsen O.E., and Shephard N.(2004), "Econometric analysis of realized covariation: high frequency based covariance, regression, and correlation in financial economics", Econometrica, 72(3) 885–925 [3] Christensen K., Kinnebrock S., and Podolskij M.(2010), "Pre-averaging estimators of the ex-post covariance matrix in noisy diffusion models with nonsynchronous data", J Econometrics, 159(1) 116–133 [4] Delattre S., and Jacod J (1997), "A central limit theorem for normalized functions of the increments of a diffusion process in the presence of round-off errors", Bernoulli, 3(1), 1–28 [5] Hayashi T., and Yoshida N (2005), "On covariance estimation of nonsynchronously observed diffusion processes", Bernoulli, 11(2) 359-379 [6] Jacod J (2008) "Asymptotic properties of realized power variations and related functionals of semimartingale"’, Stochastic Process Appl., 118 517–559 65 [7] Malliavin P., and Mancino M.E (2009), "A Fourier transform method for nonparametric estimation of multivariate volatility", Ann Statist., 7(4) 1983– 2010 [8] Ngo H.L (2012) "An integrated cross-volatility estimation for asynchronous noisy data", J Nonparametric Statistics, 24:2, 465-480 [9] Ngo H.L., and Ogawa S (2009), "A central limit theorem for the functional estimation of the spot volatility", Monte Carlo Methods Appl., 15(4) 353–380 [10] Ogawa S (2008), "Real-time scheme for the volatility estimation in the presence of microstructure noise", Monte Carlo Methods Appl., 14(4) 331–342 [11] Wang Y., and Zou J (2010), "Vast volatility matrix estimation for highfrequency financial data", Ann Statist., 38(2) 943–978 [12] Zhang L (2010), "Estimating covariation: Epps effect, microstructure noise", J Econometrics, 160(1) 33–77 [13] Zhang L., Mykland P.A., and A¨it-Sahalia Y (2005), "A tale of two time scales: determining integrated volatility with noisy high-frequency data", J Amer Statist Assoc., 100, 1394–1411 [14] Zhou B (1996), "High-frequency data and volatility in foreign-exchange rates", Business & Econo Statist., 14, 45–52 [...]... ds − 0 0 27 2.3 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai của hai quá trình ngẫu nhiên Itô được quan sát không đồng thời 2.3.1 Ước lượng vững Ước lượng hiệp phương sai Chúng ta đưa ra một ước lượng cho một hiệp phương sai của hai quá trình khuếch tán khi chúng ta quan sát tại các thời điểm ngẫu nhiên và không nhất thiết trùng nhau Trong mục này, ta giả sử P l là quá trình ngẫu nhiên Itô một chiều cho... := inf t ∈ J i+1 là thời điểm P 2 được quan sát lần thứ i Gọi n là số phần tử của Π1 và Π2 Các phương pháp ước lượng hiệp phương sai cổ điển áp dụng cho hai quá trình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm trùng nhau không thể áp dụng cho hai quá trình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm không trùng nhau vì lúc ước lượng đó thường sẽ trở nên chệch Độ dài của khoảng I được ký hiệu là |I|... rằng các quá trình ngẫu nhiên (Xti ) chỉ được quan sát tại các thời điểm rời rạc tin và ta muốn dùng các dữ liệu này để xác định tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên X 1 và X 2 được định nghĩa là T a1s a2s ds HP ST = 0 Giá trị của HP ST được ước lượng dựa trên thống kê AnT được xác định như sau n−1 AnT = (Xt1ni+1 − Xt1ni )(Xt2ni+1 − Xt2ni ) i=0 Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.6) được. .. phương sai hai quá trình ngẫu nhiên Itô được quan sát không đồng thời 2.1 Ước lượng độ biến động của quá trình ngẫu nhiên Itô một chiều Giả sử at , bt , 0 ≤ t ≤ T là hai quá trình ngẫu nhiên tương thích thỏa mãn điều kiện: T T b2s ds < +∞ và E E 0 a4s ds < +∞ (2.1) 0 Đặt t X t = x0 + iT ,i n as dBs , 0 ≤ t ≤ T bs ds + 0 Với mỗi n, đặt tni = t 0 = 0, , n Trong thực tế ta chỉ quan sát được (Xt ) tại các thời. .. xác suất đến 0 Ước lượng điểm Giả sử (X1 , , Xn ) là mẫu ngẫu nhiên quan sát được từ biến ngẫu nhiên X có phân phối F (x; θ) trong đó tham số θ ∈ Θ Mỗi hàm θn = θn (X1 , , Xn ) không phụ thuộc vào θ đều được gọi là ước lượng điểm của tham số θ Ước lượng θn được gọi là • không chệch nếu Eθ (θn ) = θ; P θ • vững nếu θn −→ θ 10 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω,... số P được sinh bởi tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với B ∈ Fu và Γ = {0} × B với B ∈ F0 1.3.2 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Kí hiệu L0 tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản ft có dạng n−1 ft (w) = fj (w)I(tj ,tj+1 ] (t), j=1 trong đó 0 ≤ t0 < < tn và fj là biến ngẫu nhiên Ftj - đo được 19 Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên M ∈ M2,c Với f ∈ L0 , ta xác định tích phân Itô như... ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi t It (f ) ≡ fs dMs ≡ 0 fs I[0,t] (s)dMs 20 Định lý 1.3.2 Quá trình ngẫu nhiên (It (f ))t≥0 là martingale thuộc M2,c với quá trình Meyer t fs2 d M s I(f ) t = 0 Tiếp theo ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho M ∈ M2,c loc 2 Định nghĩa 1.3.2 Với mỗi M ∈ M2,c loc , đặt Lloc (M ) là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên khả báo... trình ngẫu nhiên M, N t 1 = ( M +N 4 t − M − N t) được gọi là đặc trưng tương hỗ hay quá trình Meyer của M và N 1.2.5 Martingale địa phương Định nghĩa 1.2.9 Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng (τn )n≥0 tăng tới ∞ hầu chắc chắn sao cho với mọi n ≥ 0, quá trình ngẫu nhiên Mtn = Mt∧τn là một martingale Martingale địa phương (Mt )t≥0 được. .. 1.3.3 Quá trình ngẫu nhiên It (f ) được gọi là tích phân ngẫu nhiên của f ∈ L2loc (M ) với M ∈ M2,c loc Ta cũng kí hiệu t It (f ) = fs dMs 0 1.3.3 Công thức vi phân Itô Định nghĩa 1.3.4 Quá trình ngẫu nhiên d-chiều (Xt )t≥0 được gọi là semi-martingale liên tục nếu Xt = X0 + Mt + At , trong đó M 1 , , M d là các martingale địa phương liên tục và A1 , , Ad là các quá trình liên tục có biến phân. .. trên Rd được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd Tập chỉ số I có thể là nửa đường thẳng thực R+ = [0, ∞) hoặc đoạn [a, b] hoặc tập hợp các số nguyên không âm Khi I là (tập con của) tập các số nguyên dương thì {Xt }t∈I được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+ thì {Xt }t∈I được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian