B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN T R Ầ N T H Ị H IÊ N TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TOÁN LEVI LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC H N ộ i - 2016 B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN T R Ầ N T H Ị H IÊ N TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TOÁN LEVI C h u yên ngành: T oán giải tích M ã số: 60 46 01 02 L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T S LÊ T À I T H U H N ộ i - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Lê Tài Thu, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: ’’T í n h g i ả lồi v t o n L e v i ” hoàn th n h nhận thức tìm hiểu th â n tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế th a kết nhà khoa học với trâ n trọng biết ơn Hà Nội, 05 tháng 06 năm 2016 H ọ c v iê n T rần T h ị H iê n Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Tài Thu, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn th n h luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th n h tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn th n h luận văn Do thời gian khả hạn chế nên luận văn khó trá n h khỏi thiếu sót R ấ t mong góp ý thầy giáo, cô giáo bạn Hà Nội, 05 tháng 06 năm 2016 H ọ c v iê n T rần T h ị H iê n M ục lục Lời m đầu 1 K iến th ứ c chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều b i ế n 1.1.1 Khái niệm hàm chỉnh h ìn h 1.1.2 Các tính chất đơn giản hàm chỉnh hình 1.1.3 Miền hội tụ chuỗi lũy t h a 1.2 Định lý H arto g s 13 1.3 Miền chỉnh hình lồi chỉnh h ì n h 18 1.3.1 Miền chỉnh h ìn h 18 1.3.2 Miền lồi chỉnh h ìn h 22 T ín h giả lồi to n L evi 26 2.1 Miền giả l i 26 2.1.1 Hàm đa điều hòa d i 26 2.1.2 Bao đa điều hòa d i 28 2.2 Bài toán Levi g ố c 31 2.3 Đa tạp S te in 32 2.4 Tập mở Stein địa p h n g 34 2.5 Dãy tăng tập mở S t e i n 42 ii 2.6 Bài toán S erre 44 2.7 Biên giả lồi y ế u 57 2.8 Điều kiện đường 64 c o n g K ết luận 69 Tài liệu th a m khảo 69 iii M đầu Lí chọn đề tài Giải tích phức hướng nghiên cứu toán học Một số nhà toán học tiếng nghiên cứu lĩnh vực Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass nhiều nhà toán học khác kỷ 20 Giải tích phức hay gọi lý thuyết hàm biến phức nhánh toán học nghiên cứu hàm số hay nhiều biến Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, có lý thuyết số toán ứng dụng Một hướng nghiên cứu giải tích phức tính giả lồi toán Levi Bài toán Levi nghiên cứu nhiều, nhiên vài dạng chung toán Levi chưa đươc giải Vì thế, chọn đề tài “TÍNH GIẢ L i VÀ BÀI TOÁN LEVI” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính giả lồi toán Levi M ục đích nghiên cứu Luận văn tìm hiểu sâu định lý, định nghĩa tính chất vấn đề liên quan tới tính giả lồi toán Levi N h iệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ luận văn thảo luận phát triển lý thuyết hàm nhiều biến phức phát sinh từ vấn đề Levi Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Miền chỉnh hình nhiều biến, miền giả lồi, điều kiện đường cong, Đ ón g góp đề tài Luận văn trình bày hệ thống miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, tính giả lồi, toán Levi, Serre tính chất liên quan Phương pháp nghiên cứu Áp dụng số phương pháp giải tích phức, vận dụng kết hình học giải tích, giải tích phức nhiều biến Hà Nội, ngày 05/06/2016 Học viên TRẦN THỊ HIÊN Chương K iến thức chuẩn bị 1.1 H àm chỉnh hình nhiều biến 1.1.1 K h n iệm hàm chỉnh hình Đ ịn h n gh ĩa 1.1.1 Hàm l : C n — » c gọi M - tuyến tính (tương ứng c - tuyến tính) (a) l ự + z") = l ( z ' ) + ỉ { z " ) z ' , z" € c n, (b) Ỉ(Xz) — Á(z),VÁ e M (tương ứng VA e c Hiển nhiên hàm l : Cn — > c , M - tuyến tính C — tuyến tính l ( i z) = ỉ ( l z ) , \ / z £ c n Trong trường hợp Z(Az) = X(z) ta nói c - phản tuyến tính Đ ịn h n gh ĩa 1.1.2 Hàm/ : íĩ — » c , íỉ mở c n,gọi M khả vi (tương ứng c - khả vi) z G íì f ( z + h) = f ( z ) + l(h) + 0(h) (1.1) / R - tuyến tính (tương ứng o(fc) c - tuyến tính) h — > h Hàm l (nếu tồn nhất) gọi M - đạo hàm (tương ứng c đạo hàm / z) kí hiệu f ( z ) hay df(z) Bằng cách viết Zj = X j + i y ẳ \ Zj = Xj - iyj , j = ,7 Ta có dzj = dxj +I idĩjj VKA,yj — =$r■ dxj = d,Zn —dZn 2/ dzj = dxj —idyj =>- dyj Do dzj + d,Zj n ỡ/ 4f = Ẻ ( òa;,- dxA + Ta có ỡ /^ ỡỹ TI * =£ ( A ría-y aay ỡ /_ / • ƠJ_ ị dyj ( ) X ƠJL _ va I JL L ơ£_ õ — T, dxj ^ ị dyj ’•? ’n ' Nếu tổng thứ vế phải (1.2) kí hiệu ô / tổng thứ kí hiệu d f ậf = d f + df (1.3) Đ ịn h lý 1.1.1 Hàm M - khả vi z e c n - khả vi d f = (1.4) □ V í dụ 2.6.1 Cho Q miền c , cho W i,W tập compact ri với phần khác rỗng Cho V hàm đa điều hòa íỉ X c n M v (r ,w ) = sup{y(:r, z)\x € w , \z\ < r} Khi tồn số dương c cho My(r,Wi) < M y ( r ơ,W2 ) + c Trong Wj hình cầu B d(Rj) bán kính Rj, tâm 0, với Rị > R Trường hợp đặc biệt, My (r, B ( R )) hàm lồi hai biến (log r, log R) V í dụ 2.6.2 Lấy miền fij(0 < j < N ) c cho íỉ0 n rìj có hai thành phần liên hợp n'j, íỉ” với < j < N íỉj rời với r2fc, < j < k < N Hình cầu phân thớ B = U jlo ^ v Lấy Ọij € A utC n(l < j < N ) Xác định phân thớ X cách so sánh Qj X c n với cho hàm chuyển tiếp Q'j gj hàm chuyển tiếp rỉ" hàm đồng A utC n Ta cách chọn Ọj thích hợp, X không hàm đa điều hòa khác số Hàm đa điều hòa X giống {Vj} với Vj hàm đa điều hòa í l X cn cho v 0( x , z ) = Vj(x, g j ( z ) ) với X € í í j v ữ{x,z) = Vj (x,z) với X G íì"j Kết Lelong nói với tập compact wữ íĩ + với phần khác xác định số dương ơ, c cho M Vo0g.(r , w0) < M Vo(r ơ, w0) + c với < j < N r > Tức sup { v ữ{x,z)\x e w ,z R với P i thớ Cho /3 : X — > X ' ánh xạ xuống Y điểm X' không gian đại số xạ ảnh Cho L phân thớ thẳng chỉnh hình âm X ' Ta cho L metric Hermitanmà dạng đường cong âm chặt Cho p phân thớ thẳng chỉnh hìnhtrên R saocho p topo tầm thường lũy thừa tensor p tầm thường chỉnh hình (Ví dụ R hình xuyến, p điểm biến đổi Picard mà phép nhân tích phân khác 0) Do hàm chuyển p chọn hàm giá trị tuyệt đối Nên ta trang bị cho p metric Hermitan mà dạng đường cong đồng 57 Cho : F — » X phân thớ đường thẳng chỉnh hình Ị3*{L) ® a*(p), mang metric Hermitian cảm sinh L p Cho ri tập vecto F với chuẩn nhỏ Khi biên ri giả lồi hầu khắp nơi giả lồi chặt điểm ỡíỉ — _1(y ) Ta cần n _ 1( y ) không nhận hàm chỉnh hình khác số lồi chỉnh hình Với a cảm sinh ánh xạ song chỉnh hình từ ri n -1 (y ) vào tập mở D p chứa tất vecto có chuẩn nhỏ p Nếu có hàm chỉnh hình khác số íỉ n -1 (y ) có hàm chỉnh hình / khác số D Bây ta mở rộng / chuỗi lũy thừa tới thớ p Hệ s ố /fc thứ k chuỗi lũy thừa tiết diện giao c h ỉn h hình p ~ k R Do lớp Chern p ~ k = p ~ k tầm thường không chỉnh hình với k 7^ 0, suy /fc đồng với k 7^ 0, mâu thuẫn với / khác số Đ ịn h lý Cho íỉ tập mở Stein địa phương đa tạp X Nếu biên ũ điểm b ỉà trơn giả lồi chặt íỉ Stein Chứng minh Giả sử íỉ không Stein Theo kết Hirschowwitz, có đường cong tích phân r íỉ Ta nối điểm a G r với b đường cong trơn : [0,1] — > X cho (í) e với < t < Ta tìm đường cong trơn : [0,1] — > G cho (j(0) phần tử đơn vị G (í) ảnh ơ(t)a a ơ(t) Ta cần chứng minh ơ(t)T c với < t < Tức chứng minh t 58 tiến tới t*[0,1) từ bên phải cho cr(í„)r с cr(i*)r с ri Theo kết Hirschowitz ta xây dựng hàm khoảng cách d tới X — ri cho —log d đa điều hòa ri Cho с cận (í„) Do (tv)T ảnh chỉnh hình compact tương đối С nên hàm đa điều hòa —log d số cr(í„)r { t v) T С { d > c} Do cr(í*)r с fỉ Nó suy từ Uo CN Do thớ $ - chiều, hạng Jacobian $ 77, + hầu khắp n i N ê n t i h ầ u h ế t m ọ i đ iể m X ẽ w, t a có th ể tìm n h m c h ỉn h h ìn h D có gradien độc lập tuyến tính X Do ta có nhiều lựa chọn / , cách mở rộng hàm chỉnh hình D chuỗi lũy thừa theo thớ L* lấy thương hệ số ta thu đủ hàm phân chỉnh hình X để kết luận X Moisezon B i to n Với đa tạp phức X D miền compact tương đối X có biên giả lồi khắp nơi giả lồi chặt điểm £* x v dãy D tiến tới có hàm chỉnh hình D không bị chặn {x u} không? Ta vừa thảo luận biên giả lồi yếu, ta xét tồn hàm tối đại sở lân cận Stein Miền íì với biên giả lồi chặt có tính chất: điểm biên X nhận hệ tọa độ chỉnh hình địa phương lân cận mở u cho hệ này, Euclidean chặt X lồi Vì có hàm chỉnh hình / cho f ( x ) = \f(x)\ < íĩ n u — {x} Hàm / gọi hàm tối đại địa phương của X Nếu / xác định lân cận mở gọi hàm tối đại toàn điện Đã có giả thiết rằng: íĩ giả lồi yếu X tìm hệ tọa độ X cho í ì lồi Euclidean yếu X hệ địa phương đó, thay hàm tối đại địa phương ta tìm hàm tối đại địa phương / khác số X, tức là, / chỉnh hình u cho f ( x ) = \f{x)\ < Q n U Năm 1973, Kohn Nirenberg tìm ví dụ 60 V í dụ Miền íì c xác định 15 p ( z , w ) = R e w + \ z w \ + \ z\ s + — \ z\ R ez < với biên giả lồi chặt ngoại trừ không nhận hàm / tối đại địa phương khác số 0, chí, đòi hỏi / hàm lớp C00 lân cận mở и chỉnh hình íì и и Lý sau Áp dụng bổ đề Hopf với Re / ta suy đạo hàm pháp tuyến Re / theo phương tiếp xúc díì khác Do Ỵ- Ỷ từ lý thuyết hàm ẩn suy ta tìm hàm lổp C00 g (z ) lân cận cho f ( z , g ( z )) = Do / chỉnh hình íì từ f ( z , g ( z ) ) = nên д +к‘д ^3] = với / > Do ta mở rộng chuỗi lũy thừa g z có dạng g (z) = azp + 0(|^|p+1) với p > а Ф Dễ dàng thử lại trực tiếp p ( z , g (z )) âm vài nơi lân cận mở 0, mâu thuẫn với rời { / = 1} n Thực tế, hàm giá chỉnh hình / lân cận mở и c theo nghĩa, h(0) = и П rời với {h = 0} Bằng cách điều chỉnh ví dụ Kohn - Nirenberg, Fornaess thu miền c xác định Re w + Izw \2 + \z|6 + -|