Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tháng năm 2011 kh on gb oc uo c co m Sáng kiến kinh nghiệm GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 PHẦN MỞ ĐẦU I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục Đào tạo thức đưa nội dung co m “ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà Đây vấn đề lạ khơng giáo viên học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình tài liệu nghiên cứu khơng nhiều), nội dung chiếm tỉ lệ định đề thi Tốt nghiệp THPT Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Vì thế, việc dạy học nội dung “ Số phức” có hiệu thật vấn đề cần nghiên cứu Qua q trình giảng dạy tơi tích lũy kinh nghiệm cho nội dung Trong năm học 2010 - 2011, tơi hệ thống kinh nghiệm soạn đề phương pháp giải số dạng tập số phức với hy vọng học sinh có nhìn tồn diện tự tin tiếp cận vấn đề liên quan đến số phức c II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý chọn đề tài tơi xuất phát từ trải nghiệm sau: on gb oc uo * Học sinh tiếp cận tập hợp “ Số phức” lớp 12 nên đa phần vận dụng ảnh hưởng tính chất tập hợp số thực học từ lớp Vì thường tỏ lúng túng đối mặt chúng đề thi * Trong nhiều trường hợp, vận dụng phương pháp“ Dùng phức để giải thực” cách hữu hiệu * Nghiên cứu dạng tốn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số dạng tốn nâng cao * Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu kiến thức tiếp thu qua lớp tập huấn cơng nghệ thơng tin bồi dưỡng thường xun, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay việc tính tốn số phức, thân ứng dụng phần mềm Maple để chủ động biên soạn đề tốn số phức phù hợp mục tiêu dạng Từ suy nghĩ trên, tơi mạn phép trao đổi anh chị đồng nghiệp em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT kh III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Đề tài áp dụng rộng rãi cho tất giáo viên dạy tốn trường trung học phổ thơng tham khảo em học sinh lớp 12 ơn thi Tốt nghiệp Cao đẳng Đại học • Phạm vi nghiên cứu đề tài bao gồm: * Một số dạng tập thường gặp số phức * Ứng dụng số phức tìm để giải số tốn số thực * Các tốn tham khảo qua kì thi * Minh họa số đề tốn biên soạn hỗ trợ phần mềm Maple IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bản thân nghiên cứu đề tài nhằm mục tiêu: GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 * Cùng chia sẻ với đồng nghiệp em học sinh kinh nghiệm phương pháp giải số dạng tập số phức * Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm * Ứng dụng CNTT việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thơng * Hưởng ứng phong trào viết SKKN trường THPT chun Bến Tre Cơng Đồn ngành Giáo dục phát động gb oc uo c co m V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU * SKKN hệ thống tóm tắt nội dung vấn đề cần lưu ý nghiên cứu chương số phức * Qua SKKN nầy, học sinh nắm phương pháp giải số dạng tốn số phức kỹ thuật tính tốn đại số.Cụ thể là: + Dạng 1: Các phép tính số phức tốn định tính + Dạng 2: Biểu diễn hình học số phức + Dạng 3: Căn bậc hai số phức phương trình bậc hai + Dạng 4: Phương trình quy bậc hai + Dạng 5: Dạng lượng giác số phức + Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn số phức * SKKN khai thác ý nghĩa hình học phép tốn cộng, trừ số phức ứng dụng dạng lượng giác số phức * SKKN đưa nhiều tốn mẫu tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ tính tốn phát triển tư trước dạng * Qua SKKN này, học sinh tích lũy thành kinh nghiệm cho thân để sáng tạo giải tốn nâng cao tổng hợp khác * Đặc biệt, điểm cần lưu ý SKKN thân khai thác ứng dụng phần mềm Maple việc sáng tác tốn kiểm tra kết theo mục tiêu học PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN on Phương pháp nghiên cứu SKKN dựa sở: * Các kiến thức số phức * Các kiến thức lượng giác phương pháp tọa độ mặt phẳng kh * Một số kĩ thuật biến đổi đại số ứng dụng máy tính cầm tay * Một số lệnh Maple II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm tốn số học sinh u cầu giải tập số thực Riêng năm học lớp 12 học sinh tiếp cận với tập số phức với thời lượng định để nghiên cứu dạng tốn liên quan Vì thế, khơng có hướng dẫn đầy đủ cụ thể giáo viên học sinh thường có nhầm lẫn tính tốn khơng nắm vững phương pháp giải GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 dạng Đồng thời, học sinh khơng cảm nhận hết“ đẹp” số phức khơng thấy rõ mối liên quan kiến thức tốn học Do vậy, việc giải tốn liên quan đến số phức đòi hỏi có kết hợp khéo léo vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức tốn Sau đây, tơi xin giới thiệu số phương pháp thường dùng để giải dạng tốn nói co m III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1) TĨM TẮT GIÁO KHOA Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt nội dung vấn đề cần lưu ý nghiên cứu chương số phức Phần 1: SỐ PHỨC i Đònh nghóa 1: Mỗi số phưcù biểu thức dạng a + bi với i = −1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi c a, b ∈ i gọi đơn vò ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo oc uo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu ⎧a = a′ i Đònh nghóa 2: a + bi = a′ + b′i ⇔ ⎨ , Suy a + bi = ⇔ a = b = ′ b = b ⎩ Chú ý: Đây sở việc ứng dụng số phức để giải toán gb tập hợp số thực ∗Ví dụ: Sau học xong công thức Moivre(Moa- vrơ), tính cos nϕ, sin nϕ sau: iVới n = 3, xét z = cos3ϕ + i sin3ϕ (1) Ta có z = (cosϕ + i sin ϕ)3 ⇒ z = (cos3ϕ − 3cos ϕ.sin ϕ) + i(3cos2ϕ.sin ϕ − sin3 ϕ); (2) kh on ⎪⎧icos3ϕ = 4cos ϕ − 3cos ϕ Từ (1) (2) ta được: ⎨ ⎪⎩isin3ϕ = 3sin ϕ − 4sin ϕ ∗Chú ý: Trong quan hệ thứ tự, nghóa khái niệm z > z′, z < z′, z ≥ z′, z ≤ z′ ∗Biểu diễn hình học số phức: iỨng với số z = a + bi có điểm M (a; b)/ mp Oxy ngược lại Kí hiệu: M (a + bi) hay M ( z) iCác điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực; Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 ∗ Ý nghóa hình học phép toán cộng, trừ số phức: Cho z = a + bi có vectơ biểu diễn u(a; b) m z′ = a′ + b′i có vectơ biểu diễn u′(a′; b′) ⎧⎪u + u′ biểu diễn cho z + z′ Khi : ⎨ ⎪⎩u − u′ biểu diễn cho z - z′ ∗Đònh nghóa phép nhân số phức: co Tích hai số phức z = a + bi z′ = a′ + b′i số phức zz′ = aa′ - bb′ + (ab′ + a′b)i * Chú ý : "Có thể thực phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức cách hình thức oc uo ∗Khái niệm số phức liên hợp môđun số phức ∗Phép chia số phức: c tương tự phép toán cộng, trư,ø nhân tập số thực " iSố phức liên hợp z = a + bi z = a - bi iMun â số phức z z = a + b2 iPhép chia cho số phức khác không: Số nghòch đảo số phức z khác số Đònh nghóa: z z gb z−1 = z′ phép chia số phức z′ cho số phức z ≠ tích z′ với số phức z z′ nghòch đảo z, tức = z′.z−1 z on Thương kh Vậy: Nếu z ≠ z′ z′z = z z SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC ⎫ ∗ z = a + bi ⇒ z = a - bi ⎪ ⎪ z′ z′z 2⎪ ∗ z = a + bi ⇒ z = a + b ⎬ ⇒ = z′.z−1 = ;( z ≠ 0) z z ⎪ −1 ∗Cho z ≠ ⇒ z = z ⎪ ⎪⎭ z GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 z′ ta cần nhân tử mẫu số với z z Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ∗ Đònh nghóa: " Căn bậc hai số phức w số phức z cho z2 = w " ∗ Chú ý: Trong thực hành, để tính Mỗi số phức z ≠ có hai bậc hai hai số đối (khác 0) ∗Chú ý: Không dùng kí hiệu m ∗ Có thể chứng minh kết sau: để bậc hai số phức co ( không viết a + bi ) ∗ Chú ý phương pháp tìm bậc hai số phức w = a + bi : iGiả sử z = x + yi bậc hai w ⎧ x2 − y2 = a iGiải hệ phương trình: ⎨ (∗) = xy b ⎩ c Vậy ta có: z2 = w ⇔ ( x − y ) + xyi = a + bi oc uo Vậy việc tìm bậc hai số phức w quy việc giải hpt (∗) phương pháp tập hợp số thực TĨM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ∗ Số có bậc hai ∗ Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0) bậc hai gb Đặc biệt, số thực a dương có hai bậc hai a - a ; số thực a âm có hai −ai - −ai kh on ∗ Phương trình bậc hai: Az2 + Bz + C = 0; A ≠ (1) Xét biệt thức Δ = B − AC ∗Nếu Δ ≠ pt (1) có nghiệm phân biệt: −B + δ −B − δ z1 = , z2 = 2A 2A δ bậc hai Δ ∗Δ = pt (1) có nghiệm kép: B z1 = z2 = − 2A *Chú ý : HS sử dụng MTCT để kiểm tra nghiệm pt bậc bậc hai tập số phức GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ∗Đònh nghóa dạng lượng giác số phức: Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ) với r > iBước 1:Tìm r = a2 + b2 (mun số phức) cho cosϕ = oc uo Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ), z′ = r′(cos ϕ′ + i sin ϕ′) (r ≥ 0, r′ ≥ 0), zz′ = rr′[cos(ϕ + ϕ′) + i sin(ϕ + ϕ′)], z′ r′ = [cos(ϕ′ − ϕ) + i sin(ϕ′ − ϕ)](khi r > 0) z r c ∗Đònh lý nhân chia số phức dạng lượng giác: a b ; sinϕ = r r co iBước 2:Tìm ϕ (là acgumen z); ϕ∈ m ∗PP tìm dạng lượng giác số phức z = a + bi (a; b ∈ ) khác cho trước: Ghi nhớ: Nhân: tích môđun tổng acgumen Chia: thương môđun hiệu acgumen ∗Công thức Moa-vrơ: ∗ gb i [r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ); n ∈ i Đặc biệt r = 1: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ on ∗Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ), r > có hai bậc hai là: ϕ ϕ + isin ) 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ − r (cos + isin ) = r ⎜ cos( +π) + isin( + π) ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ *Chú ý : Có thể kết hợp công thức khai triển nhò thức Niu- tơn công thức Moa-vrơ kh r (cos để tính tổng 2) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: (CĐ A,B,D - 2009) iTa có:(1 + i ) ( − i ) z = + i + (1 + 2i)z c co (1 + i ) ( − i ) z = + i + (1 + 2i)z m Trên điểm trọng tâm điều cần lưu ý nội dung kiến thức làm sở nghiên cứu SKKN Qua đó, ta phân loại dạng tập vận dụng sau: Dạng 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH u cầu cần đạt: - Nắm vững khái niệm rèn luyện kỹ tính tốn - Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết Một số tốn minh họa oc uo ⇔ ⎡(1 + i ) ( − i ) − (1 + 2i)⎤ z = + i ⎣ ⎦ ⇔ ⎡⎣2i.( − i ) − − 2i ⎤⎦ z = + i + i ( + i ) (1 − 2i ) = = − 3i 2i + iVậy z có phần thực 2, phần ảo -3 ⇔z= gb 1/ Cho số phức z thỏa điều kiện:( − 3i ) z + ( + i ) z = −(1 + 3i)2 Tìm phần thực phần ảo số phức z (CĐ-A,B,D-2010) on 2/ Tìm phần ảo số phức z biết: kh z= ( +i ) (1 − 2i ) (ĐH-A-2010) 3/ Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: + 5i 20 z= + − 4i + 3i (KT HKI 2010-2011-chuyên BT) (1- 3i ) Tìm môđun số phức z + iz Cho số phức z thỏa: z = 1− i (ĐH -A- 2010) GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tháng năm 2011 co m Sáng kiến kinh nghiệm Tìm số phức z thỏa mãn z = z2 số ảo gb oc uo c (ĐH -D- 2010) on Trong số trường hợp, thực chất u cầu tốn thực phép tính tập số phức Chẳng hạn ∗ Giải phương trình sau: 1) 2+i −1 + 3i z= 1− i 2−i (KT HKI 2010-2011-ch BT) ( 2-i ) z − = 2) kh 3) z − z = − 4i ⎧ z − 12 ⎪ z − 8i = ⎪ ∗ Tìm số phức z thỏa: ⎨ (Giữa HKI 2010-2011-ch BT) z − ⎪ =1 ⎪⎩ z + ∗ Tính tổng: ( ) ( ) ( ) ( S = + − 3i + − 3i + − 3i + + − 3i ) 2009 GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC u cầu tốn thường cho dạng: 1) Biểu diễn hình học số phức mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) 2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa vài điều kiện cho trước m Một số tốn minh họa Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn 4i + 6i ; (1 − i ) (1 + 2i ) ; i −1 3−i 1) Chứng minh tam giác ABC vuông cân co số phức oc uo 4i = − 2i ⇒ A(2; −2) i −1 (1 − i ) (1 + 2i ) = + i ⇒ B(3;1) 1) Ta có: c 2) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D cho ABCD hình vuông + 6i = 2i ⇒ C (0;2) 3−i Từ đó: BC = 10; BA = 10 BC.BA = gb ⎧ BC = BA ⇒⎨ ⎩ BC ⊥ BA Vậy tam giác ABC vuông cân B 2) Từ kq câu 1) ta có: on ABCD hình vuông ABCD hình bình hành ⇔ CD = BA kh ⎧ x = −1 ⎧ x = −1 ⇔⎨ D ⇔⎨ D ⎩ yD − = −3 ⎩ yD = −1 Vậy số phức cần tìm z = −1 − i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 1) z + = i − z 2) z − + z + = 10 GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 1) iGọi M biểu diễn số phức z = x + yi; x , y ∈ ⇔ ( x + 2) + y = x + ( y − 1) ⇔ x + y + = m iTa có z + = i − z ⇔ ( x + ) + yi = x + ( y − 1) i (d ) Gọi M điểm biểu diễn số phức z, oc uo điểm A biểu diễn số − 2, (1) c 1) iTa có z + = i − z ⇔ z − (−2) = z − i co iVậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng (d ) điểm B biểu diễn số phức i ( nghóa M ( x; y ), A(−2;0), B(0;1) Khi (1) ⇔ MA = MB gb iVậy tập hợp điểm M cần tìm đường trung trực (d ) đoạn AB, với (d ) : x + y + = 2) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa: kh on z − + z + = 10 (Thi thử ĐH -D- ch BT-2010) GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa: z − i = (1 + i ) z oc uo c co m (ĐH-B-2010) Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa: z − i = z − z + 2i Kết quả: on gb x2 Tập hợp điểm M cần tìm parabol (P ) : y = Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI kh u cầu tốn thường cho dạng: 1) Tìm bậc hai số thực âm, bậc hai số phức 2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hệ số phức Một số tốn minh họa Giải phương trình sau tập số phức: (1 − i ) z2 − (1 + 2i ) z − = KQ: Pt có hai nghiệm z = 2i z = −1 + i GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Giải phương trình sau tập số phức: 1) z2 + ( − 2i ) z + − 5i = KQ: z = −1 + 3i z = −2 − i m 2) z2 − (1 − i ) z + 63 − 16i = 3) z2 − ( + i ) z + = 0; KQ: z = c − + 13 − −2 + 13 + i 2 oc uo z = + + 13 + −2 + 13 i + 2 co KQ: z = − 2i z = + 4i Các quy tắc nhẩm nghiệm định lí Viet trường hợp xét pt bậc hai tập số phức Chẳng hạn: Giải phương trình sau tập số phức: gb ( − 3i ) z2 + ( 4i − 3) z + − i = Ta có: ( − 3i ) + ( 4i − 3) + − i = on Vậy pt có hai nghiệm z = z = 1− i = + i − 3i 13 13 Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI kh Những dạng phương trình quy bậc hai thường gặp: - Phương trình có ẩn mẫu - Phương trình bậc cao Một số tốn minh họa Giải phương trình tập số phức: z − − 7i = z − 2i (CĐ-A,B-2009) z−i GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 i Điều kiện: z ≠ i z − − 7i = z − 2i ⇔ z − − 7i = ( z − i ) ( z − 2i ) z−i ⇔ z2 − ( 3i + ) z + + 7i = (1) i iΔ = ( 3i + ) − (1 + 7i ) = − 4i c ⎡⎧ x = ⎢⎨ ⎧ x − y = ⎢ ⎩ y = −1 ⇔ ⎨ ⎢ ⎧ x = −2 = − xy ⎩ ⎢⎨ ⎢⎣ ⎩ y = co Gọi δ = x + yi (x , y ∈ ) bậc hai Δ Ta có hệ phương trình: m oc uo ⎡z = + i (1) ⇔ ⎢ ( thỏa điều kiện ) = + z i ⎣ iVậy pt (1) có hai nghiệm: z = + i z = + 2i Phương trình thuộc dạng có ẩn mẫu, giải phải ý đặt điều kiện cho mẫu thức sau biến đổi phương trình quy bậc hai (z gb Giải phương trình tập số phức: + z ) + ( z2 + z ) − 12 = on i Đặt t = z2 + z, phương trình trở thành: kh ⎡t = −6 t + 4t − 12 = ⇔ ⎢ ⎣t = iPhương trình cho tương đương với ⎡ −1 − 23i ⎢z = ⎢ ⎡z + z + = ⎢ −1 + 23i ⇔ ⎢z = ⎢ 2 ⎣z + z − = ⎢ ⎢z = ⎢ z = −2 ⎣ iVậy phương trình cho có bốn nghiệm GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 13 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 z2 + z + = (1) c SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC GIẢI co Cho pt: z4 − z3 + m Để giải phương trình bậc bốn trên, ta đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai Trong nhiều trường hợp, dùng phương pháp giải phương trình đối xứng tựa đối xứng tập số thực Bài tập sau minh họa cho trường hợp nói 1)Vì z = không nghiệm phương trình, nên pt cho tương đương: 1 z2 − z + + + = z z oc uo 2)Đặt t = z − ,(1) trở thành: z ⎡ + 3i ⎢t = ⇔t −t+ =0⇔ ⎢ ⎢t = − 3i ⎢⎣ 2 gb 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⇔ ⎜z− ⎟ −⎜z− ⎟+ = z⎠ ⎝ z⎠ ⎝ − 3i 1 − 3i 4)Với t = , ta có z − = 2 z ⇔ z − (1 − 3i ) z − = + 3i 1 + 3i , ta có z − = 2 z (2) ⇔ z2 − (1 + 3i ) z − = 3)Với t = ⎡ + 3i + + i =1+ i ⎢z = Δ = + 6i,(2) ⇔ ⎢ ⎢ z = + 3i − − i = − + i ⎢⎣ 2 kh on ⎡z = − i ⇔⎢ 1 ⎢z = − − i 2 ⎣ Vậy pt cho có nghiệm (1) Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC u cầu tốn thường cho dạng: 1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác ngược lại 2) Thực nhân, chia bậc hai số phức dạng lượng giác 3) Bài tốn ứng dụng cơng thức Moa-vrơ Một số tốn minh họa GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Viết số phức sau dạng lượng giác: ( ) ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ a) iTa có − i = ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ; ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3⎠ π π⎞ ⎛ + i = ⎜ cos + i sin ⎟ 4⎠ ⎝ m a) z = − i (1 + i ) ; b) w = sin ϕ + i cos ϕ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ iVậy − i (1 + i ) = 2 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 12 ⎠ b) z = sin ϕ + i cos ϕ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = cos ⎜ − ϕ ⎟ + i sin ⎜ − ϕ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ co ) c ( oc uo Để giải dạng tập trên, ngồi việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác số phức, học sinh phải biết vận dụng cơng thức giá trị lượng giác góc (cung) có mối liên quan đặc biệt Tìm acgumen số phức sau: π⎞ ⎛ z = − sin ϕ + i cos ϕ ⎜ < ϕ < ⎟ 2⎠ ⎝ kh on gb π⎞ ⎛ Ta có: z = − sin ϕ + i cos ϕ; ⎜ < ϕ < ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = − cos ⎜ − ϕ ⎟ + i sin ⎜ − ϕ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛ π ϕ⎞ ⎛π ϕ⎞ ⎛π ϕ⎞ = 2sin ⎜ − ⎟ + i.2sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠ ⎛ π ϕ ⎞⎡ ⎛ π ϕ ⎞ ⎛ π ϕ ⎞⎤ = 2sin ⎜ − ⎟ ⎢sin ⎜ − ⎟ + i cos ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎛ π ϕ ⎞⎡ ⎛ π ϕ ⎞ ⎛ π ϕ ⎞⎤ = 2sin ⎜ − ⎟ ⎢ cos ⎜ + ⎟ + i sin ⎜ + ⎟ ⎥ (1) ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ π ϕ π π ϕ π ⎛ π ϕ⎞ Do < ϕ < nên < < ⇒ < − < ⇒ 2sin ⎜ − ⎟ > 2 4 2 ⎝4 2⎠ Vậy (1) dạng lượng giác số phức Vì π ϕ − acgumen số phức z GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Tìm phần thực phần ảo số phức 1 w = z2008 + 2008 , z + = z z c co Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z Bước 2: Áp dụng cơng thức Moa-vrơ để tìm w Bước 3: Kết luận phần thực phần ảo w ( KQ: Phần thực w -1, phần ảo w 0.) m Thực chất tập u cầu viết dạng lượng giác số phức Bài tập sau mang ý nghĩa mức độ nâng cao oc uo Trong tập thay số mũ 2008 số khác tương tự Khi vận dụng cơng thức cung liên kết lượng giác để hỗ trợ tính tốn Dạng 6: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC u cầu tốn thường cho dạng: 1) Tính tổng 2) Chứng minh đẳng thức phụ thuộc số tự nhiên Bài tốn minh họa gb Với số nguyên dương n, chứng minh hệ thức sau: (1 − C n + Cn4 ) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 ) = n 2 on Xét số phức z = + i Theo công thức khai triển nhò thức Niu- tơn ta có: n z = (1 + i ) = ∑ Cnk i k = (1 − Cn2 + Cn4 − ) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ) i n n kh ⇒ zn = (1 − C n k =0 + Cn4 − ) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ) 2 n Mặt khác: z n = z Suy ra: (1 − C n + Cn4 − ) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ) = n (đpcm) 2 2004 2006 2008 Tính tổng: S = C2010 − C2010 + C2010 − + C2010 − C2010 + C2010 Khai triển nhò thức Niu-tơn (1 + i)2010 GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 16 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa: z − (3 − 4i) = (ĐH-D-2009) KQ: Đường tròn ( x − 3) + ( y + ) = co m Tìm số phức z biết: z2 + z = 0; KQ: z = 0, z = i z = −i a) Cho số phức z thỏa: z − (2 + i) = 10 z.z = 25 Hãy tìm z KQ: z = + 4i z = b) Gpt: z3 + = oc uo KQ: z = −2; z = − z = + c ( ĐH-B-2009) Giải hpt sau tập số phức: ⎧ z1 + z2 = + i 1) ⎨ 2 ⎩ z1 + z2 = − 2i KQ: ( z1; z2 ) = ( − i;1 + 2i ) ( z1; z2 ) = (1 + 2i;3) gb ⎧ z + w = 3(1 + i) 2) ⎨ 3 ⎩ z + w = 9(−1 + i) KQ: ( z; w ) = ( + i;1 + 2i ) ( z; w ) = (1 + 2i; + i ) on Cho ba điểm M1 , M2 , M3 tương ứng với số phức z1 , z2 , z3 kh Chứng minh M1, M2 , M3 thẳng hàng tỉ số z2 − z1 z3 − z2 số thực Chứng minh với số nguyên dương n, ta có hệ thức: nπ ⎧ 2 n − + − = C C C C 3 cos n n n n ⎪⎪ ⎨ n ⎪C1 − 3C + 32 C − = sin nπ n n ⎪⎩ n 3 GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 17 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 m 3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TỐN VỀ SỐ PHỨC Khi đề kiểm tra số phức cho học sinh, để tránh phải tính tốn nặng nề, giáo viên thường trích từ tài liệu tham khảo có sẵn đáp số lời giải Vì dạng tập dễ bị trùng lắp số lượng hữu hạn Còn tự sáng tác đề cách ngẫu nhiên sau phải gia cơng tính tốn nặng nề tốn nhiều thời gian Phần mềm Maple cơng cụ hữu hiệu giúp giáo viên giải vấn đề cách sáng tạo khoa học Nhờ đó, GV đề tập theo chủ ý nhanh chóng kiểm tra kết Do khn khổ viết có hạn nên tơi xin minh họa qua ba dạng tập sau: (1 + i ) ( − i ) z = + i + (1 + 2i)z c co a) Dạng : Các phép tính số phức Dùng lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên hợp), abs ( mơđun số phức), Re ( phần thực), Im (phần ảo), Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: (CĐ A,B,D - 2009) oc uo • Ta thực lệnh khai triển sau: • Sau dùng lệnh giải phương trình: gb • Hoặc thay hai lệnh lệnh: • Từ dễ dàng kiểm tra phần thực phần ảo z kh on Chú ý: Học sinh dùng MTCT để tính bước cuối kết luận ( tr 7) Với cú pháp trên, GV nhanh chóng tìm đáp số Ngồi thay số khác có đề đáp số tương ứng Ví dụ 2: 3/ Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: z= + 5i 20 + − 4i + 3i (KT HKI 2010-2011-chuyên BT) • Tương tự VD1 dùng lệnh gán: GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 18 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa: z = ( 1- 3i ) Tìm môđun số phức z + iz 1− i (ĐH -A- 2010) c co m • Ta thực lệnh sau: oc uo • Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau: on Ví dụ 4: gb Chú ý: Có thể tìm phần thực, phần ảo lệnh: ∗ Tính tổng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( S = + − 3i + − 3i + − 3i + − 3i + − 3i + − 3i ) kh • Học sinh dùng cơng thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ lệnh: Chú ý: Có thể dùng phím tính tổng Maple b) Dạng : Phương trình hệ phương trình • Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm pt bậc hai với hệ số phức hệ phương trình lệnh solve sau: Ví dụ 5: GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 19 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Giải phương trình sau tập số phức: (1 − i ) z2 − (1 + 2i ) z − = Ví dụ 6: Giải phương trình tập số phức: (z + z ) + ( z2 + z ) − 12 = z − − 7i = z − 2i (CĐ-A,B-2009) z−i z2 Cho pt: z − z + + z + = (1) Ví dụ 7: gb oc uo c • Tương tự VD5: co ( − 3i ) z2 + ( 4i − 3) z + − i = m Giải phương trình sau tập số phức: Giải phương trình tập số phức: Giải hpt sau tập số phức: kh on ⎧ z + w = 3(1 + i) ⎨ 3 ⎩ z + w = 9(−1 + i) • Dùng lệnh solve sau: Chú ý: Trong tốn trên, thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề đáp số tương ứng Ngồi ra, dùng lệnh expand để lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm (có thể phức) Chẳng hạn thực bước: - Lập pt bậc hai biết hai nghiệm 1+2i 3-4i: - Thu gọn pt lệnh sort(collect( ,z)); GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 20 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 oc uo c co m c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác Ví dụ 8: Biểu diễn sin6x cos6x theo sinx cosx gb Nhận xét: Ví dụ minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh cơng thức dạng biểu diễn sinnx, cosnx theo sinx, cosx Đồng thời thể quan điểm “Dùng phức để giải thực” tốn học IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM kh on Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm phương pháp số dạng tập số phức trên, tơi trang bị cho em học sinh chuẩn kiến thức cần thiết để giải thành cơng dạng tốn SKKN mang lại kết đáng khích lệ: Qua thực tế kiểm tra thi học sinh khối 12 lớp 11 chun tốn, có khoảng 85% học sinh cho lời giải tốt Điều chứng tỏ em có tiến nhận thức kĩ vận dụng phương pháp giải dạng tốn nói Từ đó, học sinh chủ động sáng tạo việc học tốn thêm u thích mơn Việc ứng dụng phần mềm Maple để sáng tác đề kiểm tra kết tập số phức thật mang lại hiệu đáng kể Nhờ đấy, GV có tay lượng tập phong phú với mức độ khac hay tương đồng giúp cho HS có nhiều hội rèn luyện kỹ tính tốn phát triển tư Đồng thời, GV tổ chức cho HS kiểm tra nhiều mã đề khác lúc với chất lượng đề tương đương Như đảm bảo việc đánh giá khả tiếp thu HS cách khách quan cơng GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 21 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 PHẦN KẾT LUẬN I BÀI HỌC KINH NGHIỆM co m Với sáng kiến kinh nghiệm đây, thân rút học kinh nghiệm cơng tác chun mơn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải dạng tập số phức, giáo viên cần phải có gia cơng hệ thống kiến thức trọng tâm phương pháp giải số dạng số phức Đồng thời, giáo viên phải chuẩn bị hệ thống tập đa dạng minh họa cho dạng nhờ hỗ trợ phần mềm Maple Đặc biệt, giáo viên phải người tạo động để học sinh tham gia giải vấn đề đặt Sau cùng, giáo viên phải kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm cho em việc vận dụng phương pháp II Ý NGHĨA CỦA SKKN c Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh cách hệ thống tương đối đầy đủ dạng tập số phức Đồng thời, SKKN giúp cho học sinh phát triển tư rèn luyện kĩ giải tốn Từ học sinh có nhìn tồn diện tự tin tiếp cận dạng tốn oc uo III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI SKKN trình bày theo chun đề thiết kế dạng giáo án điện tử dùng giảng dạy cho em học sinh lớp 11 chun tốn khối 12 ơn thi Tốt nghiệp, Cao đẳng – Đại học Được học chun đề này, học sinh dễ dàng có lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng sáng tạo cho tốn Chun đề “Kinh nghiệm soạn đề phương pháp giải số dạng tập số phức” dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy tốn THPT bổ sung kinh nghiệm đề giảng dạy dạng tốn gb IV KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Thành phố Bến Tre, ngày 25 tháng năm 2011 Người viết kh on Qua việc trình bày nội dung chun đề trên, chúng tơi thật muốn chia sẻ với q anh chị đồng nghiệp em học sinh vài kinh nghiệm mà thân góp nhặt q trình giảng dạy Rất mong nhận trao đổi, góp ý cho chun đề từ anh chị đồng nghiệp em học sinh Hy vọng SKKN góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn trường THPT Dương Thị Xn An GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 22 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng năm 2011 Phần mở đầu Trang Phần nội dung m MỤC LỤC co 2) Một số dạng tập số phức 17 oc uo Bài tập củng cố c 1) Tóm tắt giáo khoa 3) Minh họa ứng dụng Maple biên soạn đề tốn số phức 18 22 gb Phần kết luận kh on TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa lớp 12 chương trình nâng cao 2) Các tài liệu tập huấn ứng dụng CNTT dạy học tài liệu BDTX 3) Các phương pháp tính ngun hàm, tích phân số phức ( Tác giả: Phan Huy Khải) GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 23 [...]... trên (1) Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC u cầu bài tốn thường cho dưới dạng: 1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại 2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác 3) Bài tốn ứng dụng cơng thức Moa-vrơ Một số bài tốn minh họa GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu... Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa: z − i = (1 + i ) z oc uo c co m (ĐH-B-2010) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa: 2 z − i = z − z + 2i Kết quả: on gb x2 Tập hợp các điểm M cần tìm là parabol (P ) : y = 4 Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI kh u cầu bài tốn thường cho dưới dạng: 1) Tìm căn bậc hai của số thực âm,... giúp giáo viên giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và khoa học Nhờ đó, GV ra đề bài tập theo chủ ý và nhanh chóng kiểm tra kết quả Do khn khổ bài viết có hạn nên tơi xin minh họa qua ba dạng bài tập sau: (1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z 2 c co a) Dạng : Các phép tính về số phức Dùng các lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên hợp), abs ( mơđun số phức) , Re ( phần... Giải phương trình sau trên tập số phức: Giải phương trình trên tập số phức: Giải hpt sau trên tập số phức: kh on ⎧ z + w = 3(1 + i) ⎨ 3 3 ⎩ z + w = 9(−1 + i) • Dùng lệnh solve như sau: Chú ý: Trong các bài tốn trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề bài và đáp số tương ứng Ngồi ra, có thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc hai nếu biết hai nghiệm (có thể phức) của nó Chẳng hạn thực hiện các. .. một số dạng bài tập về số phức như trên, tơi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để giải quyết thành cơng dạng tốn này SKKN đã mang lại kết quả đáng khích lệ: Qua thực tế bài kiểm tra và bài thi của học sinh khối 12 và lớp 11 chun tốn, có khoảng 85% học sinh cho lời giải khá tốt Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ năng vận dụng phương pháp giải các dạng. .. download thêm các tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011 PHẦN KẾT LUẬN I BÀI HỌC KINH NGHIỆM co m Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong cơng tác chun mơn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về số phức, giáo viên cần phải có sự gia cơng hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương pháp giải một số dạng bài về số phức Đồng... bậc hai của số phức 2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức Một số bài tốn minh họa Giải phương trình sau trên tập số phức: (1 − i ) z2 − 2 (1 + 2i ) z − 4 = 0 KQ: Pt có hai nghiệm z = 2i và z = −1 + i GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011 Giải phương... Tháng 2 năm 2011 m 3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TỐN VỀ SỐ PHỨC Khi ra đề kiểm tra về số phức cho học sinh, để tránh phải tính tốn nặng nề, giáo viên thường trích từ những tài liệu tham khảo có sẵn đáp số hoặc lời giải Vì thế các dạng bài tập dễ bị trùng lắp và số lượng bài cũng hữu hạn Còn nếu tự sáng tác đề bài một cách ngẫu nhiên thì sau đó phải gia cơng tính tốn nặng nề và tốn rất... u cầu viết dạng lượng giác của số phức Bài tập sau đây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn oc uo Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự Khi đó có thể vận dụng cơng thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính tốn Dạng 6: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC u cầu bài tốn thường cho dưới dạng: 1) Tính tổng 2) Chứng minh đẳng thức phụ thuộc số tự nhiên... nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức hoặc hệ phương trình bằng lệnh solve như sau: Ví dụ 5: GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 19 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011 Giải phương trình sau trên tập số phức: (1 − i ) z2 − 2 (1 + 2i ) z − 4 = 0 Ví dụ 6: Giải phương trình trên tập số phức: (z 2 + z ) + 4 ( z2