Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net oc uo c co m Phạm Hồng Phong NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ kh on gb ỨNG DỤNG WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Hà Nội – 2012 m MỤC LỤC kh on gb oc uo c co CHỦ ĐỀ CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Loại Khái niệm nguyên hàm Loại Sử dụng công thức tìm nguyên hàm số hàm số thƣờng gặp tính chất nguyên hàm Loại Phƣơng pháp đổi biến số Loại Phƣơng pháp lấy nguyên hàm phần 11 CHỦ ĐỀ CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 13 Loại Sử dụng công thức tính tích phân số hàm số thƣờng gặp tính chất tích phân 13 Loại Phƣơng pháp đổi biến 15 Loại Phƣơng pháp tích phân phần 21 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 22 Loại Tính diện tích hình phẳng 22 Loại Tính thể tích vật thể 25 WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM co CHỦ ĐỀ m DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Loại Khái niệm nguyên hàm A Tóm tắt lý thuyết Hàm số F gọi nguyên hàm f K c * Định nghĩa: Cho f : K  F'  x   f  x  x  K oc uo Nếu nói F nguyên hàm f (không nói rõ K tập nào) ta hiểu F nguyên hàm f tập xác định f * Chú ý: Khi K   a;b đẳng thức F'  a   f  a  F'  b   f  b  hiểu F x   F  a  F x   F b   f  a  lim  f a x  a xb x a x b lim Cho hai hàm số f F liên tục  a;b  Nếu F nguyên hàm f  a;b  ta gb chứng minh F nguyên hàm f  a;b  * Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số F nguyên hàm hàm số f K Khi +) Với hàng số C , hàm số y  F  x   C nguyên hàm f K on +) Ngược lại, với nguyên hàm G f K tồn số C cho G  x   F  x   C với x  K Từ suy F  x   C , C họ tất nguyên hàm f K Họ tất nguyên kh hàm f K ký hiệu  f  x  dx Như  f  x  dx  F  x   C , C B Các ví dụ Ví dụ Tìm họ tất nguyên hàm hàm số sau đây: WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net f1  x   x3 1) f2  x   2) f3  x    x 3) x Giải  4 Ta có x4 '  4x3   x  '  x3   f1  x  dx  x  C   2) Ta có 3) Ta có    x '    f2  x  dx  x  C x   x   x  '    x      1  x   x  '   x   co  x  '  1x  f2  x  dx  x  C f1  x   e2x 2) f2  x   sin 3x   3) 1) 2x  2x  Ta có e2x '  2e2x   e  '  e2x   f1  x  dx  e  C   2) Ta có  cos 3x  '  3sin 3x  3) f3  x   cos 2x oc uo Giải  c Ví dụ Tìm họ tất nguyên hàm hàm số sau đây: 1) m   1)   cos33x  '  sin 3x   f2  x dx   cos33x  C Ta có  sin 2x  '  2cos 2x   sin 2x  '  cos 2x   f3  x  dx  sin 2x  C 2 Giải Ta có gb Ví dụ Tìm họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  on  x  neáu x  f  x   1  x neáu x  Xét hàm kh  x2   x  C neáu x  F  x   x x  neáu x   Ta tìm C để F nguyên hàm f Dễ thấy F'  x   f  x  với x  Ta phải tìm C để F' 1  f 1  F'  1  WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Để F có đạo hàm trước hết F liên tục  lim F  x   lim F  x   F 1  x 1 x 1 C    C  2 m Với C  co  x2   x  neáu x  F  x   x x  neáu x   Ta có c lim x 1 oc uo lim x 1  x2   x     x2  x  F  x   F  1   2  lim x    lim  lim     x 1 x  x  x 1 x 1 x 1  x2   x     x  x  F  x   F  1  2   lim x    lim  lim     x 1 x  x  x 1 x 1 x 1 F  x   F  1 x 1 x 1 Từ  1 ,   suy lim  F có đạo hàm F'  1   x2   x  neáu x  Vậy  f  x  dx  F  x   C , với F  x    x x  neáu x   gb C Bài tập Tìm họ tất nguyên hàm hàm số sau đây: f  x   3x2 2) f  x    x  1 4) f  x   sin x.10cos x 5) 7) f  x   4sin2 x 8) on 1) 3) f  x   102x f  x  x 6) f  x  x x  x f  x   1 cos 4x 9) f  x  e 100 x2 x  2 kh 10) f  x   max 1, x Loại Sử dụng công thức tìm nguyên hàm số hàm số thƣờng gặp tính chất nguyên hàm A Tóm tắt lý thuyết WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net * Công thức tìm nguyên hàm số hàm số thường gặp   0dx  C   x1  C neáu   1   x dx   1  ln x neáu   1 m  Hệ quả:  dx  x  C (   ),  dx  x  C (    ) x   cos xdx  sin x  C ,  sinxdx   cos x  C ,  * Nguyên hàm hàm hợp  f  x  dx  F  x   C   f  ax  b  dx  dx cos2 x F ax  b   C a sin x oc uo * Một số tính chất nguyên hàm   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  tan x  C ,  dx2   cot x  C c x x x  e dx  e  C ,  a dx  lna  C   a   co ax   kf  x   dx  k  f  x  dx B Các ví dụ  Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm sau: 1) f  x   4x4 f  x  x 2) f  x  x3 f  x   cos x 5) 4) f  x   sin 2x gb Giải 3) 1) 4  4x dx  4 x dx  x  C 2)  xdx   x dx  x x  C on 3) 3  x dx   4)  cos dx  2sin  C  C x  sin 2xdx   kh 5) 2x2 x cos 2x  C Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm sau: 1) f  x  x  x 2)   f  x    x  1 x4  3x 3) f  x   sin2 x Giải WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net 1) 2  x x  x  1 x2 x2    x  dx   x dx  2 x dx    C   x  C     5 3x x x   x  1 x  3x dx   x  x  3x  3x dx    x   C 3) 1 cos 2x sin 2x 1 x sin 2x  sin xdx   dx    dx   cos 2xdx   x   C    C  m 2)  co C Bài tập Bài Tìm   x  x  dx ĐS: x  x  5x  C 2)  2x2  3x  1dx x3 3)  x  x3ex  3x2 dx x3 c  1) ĐS: 2ln x    C x ĐS:   5)   x  1 dx 6)   2x dx 7)   2x   dx ĐS: 8) 100   x  1 dx ĐS: dx   x 1  x  10)  2012 3 on 9)  ex  3ln x  C 3x x ĐS: x  x2  x  C dx ĐS: x  2x3  12x  8x  C gb  2x2 ĐS: x  4x  2x x  C 4) x oc uo  2 x  ĐS:  2x  4  x  1101 101 C C 1 x 2014 2014  1 x 2013 2013 ĐS: 4ln x   x71  kh 4x2  x dx  x  1 3 2 x  1 11)  dx x  4x  ĐS: ln x   C 12)  4x2  6x 1 dx 2x  ln 2x  C ĐS: x2  2x   C C x 1 WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net 13)  4x3  4x2 1 dx 2x  ln 2x  ĐS: 2x  x  x   C 14)  4x3  9x  dx  4x2 ĐS: x  ln 2x   C 2 2x  12  x xdx ĐS: 5x x  C 16) 4  x  x  2dx ĐS: x   C 17)  x    xdx 18)  dx x  x 19)  dx 2x   2x  ĐS:  2x   2x    2x  1 2x    C 20)  dx 3x   3x  ĐS:  3x   3x    3x   3x    C 21)  x  2xdx 3x  e dx 2) 3x x  e  e dx co ĐS:  x  1 x   1  x   x  C 3 c ĐS:  x   x    x   x    C 15 ĐS:   2x   2x  1  2x   2x  C 10 3) x x  e  e dx 4)   6x 4x 2x ĐS: e  e  e  C on gb  ex dx 2x x 3x ĐS: e  C 1)  oc uo Bài Tìm  2 ĐS: 2ex  x  C ĐS: ex 1 ln  2x 5)  22x 3x 5x dx 10x x ĐS:  C 6)  e2  5x  dx ex ĐS:  e kh m 15) C ln  6x  C ex Bài Tìm 1)  sin 5xdx ĐS:  cos 5x  C 2)  cos 6xdx ĐS: sin 6x  C WWW.ToanCapBa.Net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net 3)  sin xcos xdx ĐS:  cos 2x  C 4)   sin x  cos x  dx ĐS: x  cos 2x  C   6   sin 2x  cos 2x  dx ĐS: 3x  sin 4x  C 4  sin x  cos x dx    16 ĐS: 5x  3sin 8x  C  7)    cos 2x  cos 2x  dx 8)  sin 9)  cos 64  12 ĐS: x  sin x  C 2x dx ĐS: x  sin x  C 12 2 ĐS:  3cos x  cos 3x  C oc uo 13)  cos4 xdx c 10)  sin3 xdx 12)  sin4 xdx  ĐS: sin 4x    xsin   C 2x dx 11)  cos3 xdx m 6) co 5) 12 ĐS: 3sin x  sin 3x  C 12 ĐS: 3x  sin 2x  sin 4x  C 32 ĐS: 3x  sin 2x  sin 4x  C 32 Loại Phƣơng pháp đổi biến số Bài Tìm  gb  1)   3x3 x2dx Bài Tìm 2)  x dx x3  5)  6)  4x dx on 1)  x dx x2   3x   dx kh 9)  7x  dx x7  7x  x4   2)   3x3 3)   dx  1 2x  x2dx 7)  7x dx x7  4)  dx   2x 3 8)  4x  3x dx x4  x  10 10)  10x  11x dx x10  x11  Bài Tìm 1)  x x2  1dx 2)  x 2x2  2dx 3)  x2 x3  2dx WWW.ToanCapBa.Net 4)  x2 2x3  4dx Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net 9)  3x2 x3  1dx 10)  x x2  1dx 13)  14)  21)  x2 dx x3  1  x  1 x2 dx x 1 8)  x2 x3  1dx 11)  2x dx x2  12)  3x dx 15)  4x dx 16)  7x dx x3  x4  18)  3x dx 19)  3 x 1 x7  9x2 dx 3 3x  x 1 dx x 1 Bài Tìm 20)  6x2 dx 2x  c 17)  x dx x 1 7)  x6 x7  7dx m 6)  x3 x4  4dx co 5)  x2  2x3 dx 1)   cos x  1 sin xdx 2)    2sin x  cos xdx 3)   cos x  1 sin xdx 4)    2sin x  cos xdx 5)  sin5 x.cos xdx 6)   sin x  1 cos xdx 7)  sin x dx  cos x 10)  cos x dx  4sin x 13)  sin 2x dx cos 2x  sin x  9)  11)  sin x dx 12)  cos x dx 14)  cos 2x dx 15)  cos xdx 17)  2cos x  sin xdx 18)   2sin x cos xdx cos x  sin 2x 1 sin x dx  cos x 20)  cos x dx  sin x 21)  22)  sin x dx cos x  23)  cos 2x dx sin 2x  24)  on 19)  25)   cos x  1 sin xdx 8)  cos x dx  sin x gb 16)  cos xdx oc uo 26)    2sin x  cos xdx sin x dx  3cos x sin x   sin x  14 cos x dx sin x  sin x  3cos x dx 27)   cos x  1 sin xdx Bài Tìm kh 1)  ln x  dx x 2)  dx ln x 3)  2ln x 1 dx x 4)  ln x 1 dx x Bài Tìm 1)  esin 2x cos 2xdx 2)  etgx dx cos x   3)  ex  2ex dx WWW.ToanCapBa.Net  4)   2ex  exdx 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net 13)  x  dx ĐS: 2 2  | x  x | dx ĐS: 15)   x   x   dx ĐS: co 3 16) 3  f  x   g  x  dx với f  x   3x  x  4x  g  x   2x  x  3x  1  3m  m   ,   m3 m ĐS: I     ,  m     3m m   ,  oc uo  x x  m dx  18)   sin 2xdx ĐS: 2    cos 2xdx  ĐS: ĐS: 5 32 ĐS: ĐS: 85 12 20)  ĐS: 2 on  gb 19) 4  cos x  sin x dx  21)   6  sin x  cos x dx kh  22)  sin x sin 2xdx  23) ĐS: c 37 12 17) m 14)  sin xdx WWW.ToanCapBa.Net 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  ĐS: 8  64  sin x  cos x  ĐS:   ĐS: 17 e  e  e  2  cos xdx 25)   2cos x  1 dx  2x  e  dx co 26)  ex  2 dx e 28) 29)  sin x  dx cos x   cos x sin x  31) ĐS:  sinn x  n  dx , với n  x cos  30) ĐS:  2x     e2 n1 dx , với n  \ {1} ĐS: n1  ĐS: 2010  ĐS: 2010 on 32) e4 ĐS: \ {1} 2011 x  tan 2009 x dx , với n  \ {1}  tan  2 c  gb 27) oc uo m 24) 2011 x  cot 2009 x dx , với n  \ {1}  cot kh Loại Phƣơng pháp đổi biến b  a  Sử dụng công thức  f  u(x) u'(x)dx   f (t)dt WWW.ToanCapBa.Net 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net b Diễn giải phương pháp: Xét tích phân I   g(x)dx Giả sử số biến đổi đó, ta thu a m g(x)dx  f u(x) u'(x)dx  f u(x) d u(x) x3 Bài Tính tích phân   x  1 x5  x Bài Tính tích phân   x  1 x8  x5 Bài Tính tích phân   x3   dx dx Bài [ĐHD09] Tính tích phân  x e 1 b x eb gb ln Bài [ĐHB06] Tính tích phân  dx x ln e  2e  ln on Bài Tính tích phân  x e2xdx (ex  1)(ex  2) e ln xdx x(ln x  1)(ln x  2) Bài Tính tích phân  kh ln  2 ĐS: 44  ln 15 ĐS: ln(e2  e  1)  f (t)dt t a e Chú ý:  f (e )dx   a ln  ĐS:  dx oc uo ĐS: dx c co     u(a) Khi đó, ta có I   f (t)dt Ở    u(b)   ĐS: ln  ln ĐS: 5ln  3ln ĐS: 2ln  3ln e2 ln x  ln x  dx x(ln x  1)(ln x  2) Bài Tính tích phân   Bài [ĐHA09] Tính tích phân  (cos x  1)cos xdx WWW.ToanCapBa.Net ĐS: 2-2ln3+ln2 ĐS:   15 16 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  Bài 10 [ĐHD05] Tính tích phân  (esin x  cos x)cos xdx ĐS: e   cos xdx  2sin x Bài 11 Tính tích phân  ĐS:  cos 2x dx  2sin 2x Bài 13 [ĐHB03] Tính tích phân   sin 2x  sin 2xdx dx oc uo Bài 14 [ĐHB05] Tính tích phân   cos x  sin 2xdx Bài 15 [ĐHA06] Tính tích phân  cos2 x  4sin x  sin 2x cos xdx Bài 16 [ĐHB05] Tính tích phân I    cos x gb ln ĐS: ln c   2sin x ĐS: co Bài 12 Tính tích phân  ln  ln m   Bài 17 Tính tích phân  sin x tan xdx ĐS:  2ln ĐS: 10  ĐS: 2ln  ĐS: ln  on  sin 3x  sin 3x Bài 18 Tính tích phân   cos 3x kh Bài 19 [ĐHA08] Tính tích phân I     ĐS: dx  tan4 xdx cos 2x   Bài 20 Tính tích phân   tan8 x dx WWW.ToanCapBa.Net ĐS:  ln  ln   10 ln   27 ĐS: 76 105 17 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  sin x  cos x Bài 22 Tính tích phân  dx  sin x  cos x   Bài 24 Tính tích phân  sin x  cos x  sin 2x ĐS: dx cos 2x  Bài 25 Tính tích phân  sin 2x  sin x  1  2    ln dx ĐS: 32 ĐS: ln kh on gb dx oc uo (sin x  cos x  3)  3 13 1   co Bài 23 Tính tích phân  ĐS: 4 c  ĐS: m   sin  x   dx 4  Bài 21 [ĐHB08] Tính tích phân  sin 2x  2(1  sin x  cos x)  WWW.ToanCapBa.Net 18 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác oc uo Phép đổi biến t  n f (x) c co m DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Bài Tính tích phân  x3 x  dx Bài Tính tích phân  x5  x dx Bài [ĐHA04] Tính tích phân  x1 gb 1 xdx x3 Bài Tính tích phân  1 x1  x 3 xdx on Bài Tính tích phân  dx x2    x2 kh (x  2)dx Bài Tính tích phân  x1 ĐS: 38 ĐS: 105 ĐS: 11  ln ĐS: 6ln  ĐS: 10  11 ĐS: 231 10 ĐS: 468 ĐS: 29 270 Bài Tính tích phân  x  xdx 1 Bài Tính tích phân  x15  3x8 dx WWW.ToanCapBa.Net 19 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net x  ln x dx  sin 2x  sin x Bài 11 [ĐHA05] Tính tích phân   3cos x ĐS: 10  11 ĐS: 34 27 oc uo c dx 116 135 co  ln x e Bài 10 Tính tích phân  ĐS: m  ln x ln xdx x e Bài [ĐHB04] Tính tích phân  Các phép đổi biến x  tan t , x  cot t , x  sint , x  cost 16  x2 dx Bài [ĐHB02] Tính tích phân  ĐS: 2  dx  Bài Tính tích phân   x2  gb 3 dx on Bài Tính tích phân  Bài Tính tích phân x x2  dx  kh 2 Bài Tính tích phân  Bài Tính tích phân  3 x x2  x 2dx  x2 dx 1 x WWW.ToanCapBa.Net ĐS: 27 ĐS:  ĐS:  36 ĐS: 2 ĐS:  20 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net xdx 1 x  x1  Bài Tính tích phân  3 dx   x2  1 x dx  x Bài 10 Tính tích phân   ln x ln x ĐS: 1 2 x dx dx ĐS:  ln 16 ĐS: 5e4  32 2x gb Bài [ĐHD06] Tính tích phân  (x  2)e dx Bài [ĐHD04] Tính tích phân  ln(x  x)dx 27 16 ĐS: Bài [ĐHD07] Tính tích phân  x2 ln xdx    ln oc uo  x  1 Bài [ĐHD08] Tính tích phân  ln   c Bài [ĐHB09] Tính tích phân  ĐS: ĐS: Loại Phƣơng pháp tích phân phần  m Bài Tính tích phân  ĐS: co dx Bài Tính tích phân  x  x1  3e2 ĐS: ĐS: 3ln  on Bài Tính tích phân  x 3ex dx ĐS: ĐS: 3e  13  kh Bài Tính tích phân  e2x cos 3xdx Bài Tính tích phân  x 2e x  x  2 dx WWW.ToanCapBa.Net ĐS: 21 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  Bài Tính tích phân  x tan xdx ĐS:   ln   32 ĐS: ln    x4  MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN gb CHỦ ĐỀ oc uo c co x7dx m Bài 10 Tính tích phân  Loại Tính diện tích hình phẳng on  y  f  x , y  * Diện tích hình phẳng giới hạn đường  tính công thức:   x  a, x  b (a  b) b S   f  x  dx a kh x  f  y  , x   * Diện tích hình phẳng giới hạn đường  tính công thức:   y  a, y  b (a  b) b S   f  y  dy a WWW.ToanCapBa.Net 22 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  y  f  x , y  g  x * Diện tích hình phẳng giới hạn đường  ( f  x , g  x    x  a, x  b (a  b) x   a;b ) tính công thức: b m S   f  x   g  x  dx a co Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  4x  y  ĐS: (đvdt) Bài [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  4x  109 (đvdt) oc uo ĐS: c y  x Bài [ĐHB02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y   ĐS: 2  (đvdt) x2 x2 y  4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  2x y   x2  4x gb ĐS: (đvdt) Bài Tính diện tích hai phần đường tròn (C) : x2  y  chia parabol (P) : y  2x ĐS: 2  4 (đvdt) 6  (đvdt) 3 on 27 x2 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  y  x ĐS: 27 ln (đvdt) kh Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2 , y  ĐS: x2 , y y  x x 20 ln (đvdt) WWW.ToanCapBa.Net 23 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) : y  4x  x2 tiếp với (P) O(0;0) (đvdt) m ĐS: A(3;3) 5  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) : y  x2  2x tiếp kẻ từ M  ;6  2  ĐS: co tới (P) (đvdt) c Bài 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x  x2 , trục hoành đường ĐS: 2 1 (đvdt) oc uo thẳng x  Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y   ln x , trục hoành x x  1, x  e đường ĐS: thẳng  2 1  (đvdt) gb Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  sin | x | y | x |  ĐS:   (đvdt)   on Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  (e  1)x y  ex  x ĐS: e  (đvdt) kh Bài 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường  C  : y  x  (C) , ĐS: x1 2x2 , tiệm cận xiên x  (đvdt) WWW.ToanCapBa.Net 24 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Bài 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 2(y  1)2  x (y  1)2  x  (đvdt) on gb oc uo c co m ĐS: Loại Tính thể tích vật thể kh * Thể tích vật thể nhận quay hình phẳng giới hạn đường  y  f (x), y  xung quanh Ox   x  a, x  b (a  b) b V    f (x)dx a WWW.ToanCapBa.Net 25 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net * Thể tích vật thể nhận quay hình phẳng giới hạn đường x  f  y  , x   xung quanh Oy    y  a, y  b (a  b) b m V    f  y  dx a  y  f (x), y  g(x) xung quanh Ox   x  a, x  b (a  b) b a c V    f (x)  g (x) dx co * Thể tích vật thể nhận quay hình phẳng giới hạn đường Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  x ln x , y  x  e Tính thể tích vật thể ĐS: 5e3   (đvtt) 27 oc uo nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  x2 , y  27 x2 y  Tính thể tích vật thể x 27 nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox 972 (đvtt) gb ĐS: Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  2x  x2 y  Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói on 1) quay quanh Ox 2) quay quanh Oy ĐS: 16 8 (đvtt), (đvtt) 15 kh Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  8x x  Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói 1) quay quanh Ox 2) quay quanh Oy WWW.ToanCapBa.Net 26 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net 899 (đvtt) 32 ĐS: 16 (đvtt), Bài Tính thể tích vật thể nhận quay hình phẳng giới hạn (E) : m quanh Ox co 8 (đvtt) ĐS: x2  y2  Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  x , y   x y  Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh c 32 (đvtt) 15 ĐS: Oy Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  x  Tính thể tích vật thể cho ĐS: 2(ln  1)2 (đvtt) hình phẳng nói oc uo nhận quay quanh Ox Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  y   x  y   Tính thể tích vật thể ĐS: nhận 153 (đvtt) cho hình phẳng nói quay quanh Ox gb Bài Cho hình phẳng giới hạn đường y  x2 y  x Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox 3 (đvtt) 10 on ĐS: Bài 10 Cho hình phẳng giới hạn đường y  x2  4x  y   x2  2x  Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox ĐS: 3 (đvtt) kh Bài 11 Cho hình phẳng giới hạn đường y  x(x  1)2 y  Tính thể tích vật thể nhận ĐS: cho hình phẳng nói quay quanh Ox  (đvtt) 105 WWW.ToanCapBa.Net 27 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net Bài 12 Cho hình phẳng giới hạn đường y  xex , y  x  Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox   (đvtt) m ĐS:  e2  Bài 13 Cho hình phẳng giới hạn đường y  ex , y   x , x  x  Tính thể tích   ĐS:  e2  (đvtt)   co vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox c Bài 14 Cho hình phẳng giới hạn đường y  x ln  x , y  x  Tính thể tích ĐS:   ln  1 (đvtt) oc uo vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox Bài 15 Cho hình phẳng giới hạn đường y  sin4 x  cos4 x , y  , x   x   Tính thể tích vật thể nhận cho hình phẳng nói quay quanh Ox 3 (đvtt) kh on gb ĐS: WWW.ToanCapBa.Net 28 [...]... Tính tích phân  x3 x 2  3 dx 0 1 Bài 2 Tính tích phân  x5 1  x 2 dx 0 2 Bài 3 [ĐHA04] Tính tích phân  x1 gb 1 1 xdx x3 3 Bài 4 Tính tích phân  1 3 x1  x 3 3 xdx on Bài 5 Tính tích phân  0 dx x2  2  2 1  x2 kh 7 (x  2)dx Bài 6 Tính tích phân  3 x1 0 ĐS: 6 38 5 ĐS: 8 105 ĐS: 11  4 ln 2 3 ĐS: 6ln 3  8 ĐS: 10 2  11 3 ĐS: 231 10 ĐS: 468 7 ĐS: 29 270 9 Bài 7 Tính tích phân. .. tích phân  ln 3  3  2 6 c Bài 1 [ĐHB09] Tính tích phân  ĐS: ĐS: Loại 3 Phƣơng pháp tích phân từng phần 3  3 9 m 1 Bài 8 Tính tích phân  ĐS: co 1 dx Bài 7 Tính tích phân  2 0 x  x1 5  3e2 ĐS: 4 ĐS: 3ln 3  2 2 on 1 2 Bài 6 Tính tích phân  x 3ex dx ĐS: 1 2 ĐS: 3e  2 13 0  2 kh Bài 7 Tính tích phân  e2x cos 3xdx 0 2 Bài 8 Tính tích phân  x 2e x 0  x  2 2 dx WWW.ToanCapBa.Net... 3 Các phép đổi biến x  tan t , x  cot t , x  sint , x  cost 8 16  x2 dx Bài 1 [ĐHB02] Tính tích phân  ĐS: 2  4 0 3 2 dx  Bài 2 Tính tích phân  9  x2  3 gb 3 3 2 2 dx on Bài 3 Tính tích phân  Bài 4 Tính tích phân 2 x x2  1 3 6 dx  kh 3 2 2 2 Bài 5 Tính tích phân  0 3 Bài 6 Tính tích phân  3 3 x x2  9 x 2dx 1  x2 dx 1 x 2 WWW.ToanCapBa.Net ĐS: 4 3 27 ĐS:  6 ĐS:  36 ĐS:...  Bài 9 Tính tích phân  3 3 dx  1  x2  3 1 x dx 1  x 0 1 Bài 10 Tính tích phân  3  ln x 2 ln x 1 ĐS: 1 3 2 2 x 3 dx dx ĐS: 3  2 ln 2 16 ĐS: 5e4  1 32 1 2x gb Bài 4 [ĐHD06] Tính tích phân  (x  2)e dx 0 3 Bài 5 [ĐHD04] Tính tích phân  ln(x 2  x)dx 4 27 16 ĐS: 3 Bài 3 [ĐHD07] Tính tích phân  x2 ln 2 xdx 1   1 2 3  ln oc uo 1  x  1 Bài 2 [ĐHD08] Tính tích phân  ln 3 ...  2sin 2x Bài 13 [ĐHB03] Tính tích phân  0 1  sin 2x  2 sin 2xdx dx oc uo Bài 14 [ĐHB05] Tính tích phân  0 1  cos x  4 sin 2xdx Bài 15 [ĐHA06] Tính tích phân  cos2 x  4sin 2 x 0  2 sin 2x cos xdx Bài 16 [ĐHB05] Tính tích phân I   1  cos x gb 0 ln 3 4 ĐS: ln 2 2 c  4 1  2sin 2 x ĐS: co Bài 12 Tính tích phân  ln 5  ln 3 2 m  2  3 Bài 17 Tính tích phân  sin 2 x tan xdx ĐS: 2... tích phân  0  x 2  1 x5  x 3 1 Bài 2 Tính tích phân   x 2  1 2 x8  x5 Bài 3 Tính tích phân  0 2  x3  2  2 dx 3 dx Bài 4 [ĐHD09] Tính tích phân  x 1 e 1 b x eb gb ln 5 Bài 5 [ĐHB06] Tính tích phân  dx x ln 3 e  2e  3 ln 2 on Bài 6 Tính tích phân  0 x e2xdx (ex  1)(ex  2) e ln xdx 1 x(ln x  1)(ln x  2) Bài 7 Tính tích phân  kh ln 2 1  2 2 ĐS: 44  ln 5 15 ĐS: ln(e2 ... Bài 9 Tính tích phân  x tan 2 xdx ĐS:   2 ln 2   4 32 2 ĐS: 2 ln 2  1 8 0  1  x4  2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN gb CHỦ ĐỀ 3 oc uo c co 0 x7dx m 1 Bài 10 Tính tích phân  Loại 1 Tính diện tích hình phẳng on  y  f  x , y  0 * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  được tính bởi công thức:   x  a, x  b (a  b) b S   f  x  dx a kh x  f  y  , x  0  * Diện tích hình... 18 Tính tích phân  0 1  cos 3x kh Bài 19 [ĐHA08] Tính tích phân I   0  4  0 ĐS: dx  6 tan4 xdx cos 2x  4  Bài 20 Tính tích phân  1  tan8 x dx WWW.ToanCapBa.Net ĐS:  3 8 ln 5  ln 3 2   10 3 ln 2  3  27 2 ĐS: 76 105 17 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  2 sin x  cos x Bài 22 Tính tích phân ...  sin x  cos x 3  4  2 Bài 24 Tính tích phân  sin x  cos x 1  sin 2x ĐS: dx cos 2x  Bài 25 Tính tích phân  sin 2x 1  sin 2 x  3 1  2    ln 2 2 3 dx ĐS: 1 32 ĐS: ln 3 4 kh on gb 0 3 dx oc uo 0 (sin x  cos x  3)  2 3 13 2 1  2  2 co Bài 23 Tính tích phân  ĐS: 4 3 2 4 c  2 ĐS: m   sin  x   dx 4  Bài 21 [ĐHB08] Tính tích phân  sin 2x  2(1  sin x  cos x) 0... 1)(ln x  2) 1 Bài 8 Tính tích phân   2 Bài 9 [ĐHA09] Tính tích phân  (cos 3 x  1)cos 2 xdx 0 WWW.ToanCapBa.Net ĐS: 2-2ln3+ln2 ĐS: 8   15 4 16 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net  2 Bài 10 [ĐHD05] Tính tích phân  (esin x  cos x)cos xdx ĐS: e  1  0 cos xdx 5  2sin x 0 Bài 11 Tính tích phân  ĐS:  4 cos 2x