Đang tải... (xem toàn văn)
Giaùo vieân Th.S NGUYEÃN VUÕ MINH Đt : 0914449230 TÓM TẮT CÔNG THỨC TAØI LIEÄU NAØY CUÛA …………….......................………………… BIEÂN HOØA, 25082016 LÖU HAØNH NOÄI BOÄ NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT A.x = B • A 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát • A = 0 vaø B 0 : phöông trình voâ nghieäm • A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm Ax > B • A > 0 : • A < 0 : • A = 0 vaø B 0 : voâ nghieäm • A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm NHÔÙ 2 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a 0) = b2 – 4ac
GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT A.x = B B x = • A ≠ : phương trình có nghiệm A • A = B ≠ : phương trình vô nghiệm • A = B = : phương trình vô số nghiệm Ax > B B • A>0: x> A B x < • A0 −b− ∆ −b+ ∆ = x x1 = , 2a 2a b ∆=0 Nghiệm kép x1 = x = − 2a ∆ ∆/ = ∆/ < − b / + ∆/ − b / − ∆/ x1 = , x2 = a a b/ Nghiệm kép x1 = x = − a Vô nghiệm Đt : 0914449230 (zalo – facebook) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) ♥ Chú ý: Tài liệu Tốn THPT a+b+c=0: c nghiệm x1 = 1, x2 = a a–b+c=0: c − nghiệm x1 = –1, x2 = a NHỚ : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x − –∞ f(x) Trái dấu a NHỚ : DẤU TAM THỨC b a +∞ dấu a f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) (Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Nếu Thì ∆ < f(x) > 0, ∀x a > ∆ < f(x) < 0, ∀x a < ∆ = a > ∆ = a < x ∆>0 f(x) f(x) > 0, b − ∀x ≠ 2a f(x) < 0, ∀x ≠ − –∞ x1 Cùng dấu a Đt : 0914449230 (zalo – facebook) trái dấu a b 2a x2 +∞ Cùng dấu a GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT NHỚ : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) α, β hai số thực 1/ Muốn có x1 < α < x2 ta phải có a.f(x) < ∆ > af (α ) > ta phải có 2/ Muốn có x2 > x1 > α S −α > 2 ∆ > af (α ) > 3/ Muốn có x1 < x < α ta phải có S −α < 2 4/ Muốn có x1< α < β < x2 5/ Muốn có x1< α < x2 3/ Muốn có x1 < x < α Đt : 0914449230 (zalo – facebook) af (α ) < ta phải có af ( β ) < af (α ) < ta phải có af ( β ) > ta phải có f (α ) f ( β ) < ∆ > af (α ) > af ( β ) > ta phải có α < S < β ta phải có P P>0 ta phải có S > ∆ > P>0 ta phải có S < GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B ≥ A = B A=B⇔ A B = ⇔ A B = A ≥ (hayB ≥ 0) NHỚ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A ≥ A < B ⇔ B > A < B B < A ≥ A > B ⇔ B ≥ A > B NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A = B B ≥ A = B A =B⇔ B A = ⇔ A = − B A = −B B ≥ Chú ý: f ( x) = g ( x) x ≥ f ( x ) = g ( x) ⇔ f (− x) = g ( x) x ≤ NHỚ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI − B < A < B A ; A > B ⇔ A2 > B NHỚ 10 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Đònh nghóa Dạng : A > B, A ≥ B , A < B, A ≤ B 2/ Tính chất : a > b b) b > c ⇒ a > c a) a > b ⇔ b < a Đt : 0914449230 (zalo – facebook) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) c) a > b ⇔ a + c > b + c a > b e) c > d ⇒ a + c > b + d Tài liệu Tốn THPT ac > bc, c > a > b ⇔ d) ac < bc, c < a > b > f) c > d > ⇒ ac > bd 3/ BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an a1 + a + a + + a n ≥ n a1 a a .a n n n a1 + a + a3 + + a n a a a .a n ≤ hay n Dấu đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = a3 = = an NHỚ 11 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) Sinx Sin x + Cos x = Tanx = Cosx Cosx Cotx = Tanx.Cotx = Sinx 1 + Cot x = + Tan x = Sin x Cos x Điều kiện tồn : • Tanx x ≠ π/ + kπ , k ∈ Z • Cotx x ≠ kπ ,k∈Z • Sinx – ≤ Sinx ≤ • Cosx – ≤ Cosx ≤ 2 Chú ý : a + b = (a + b) – B CÔNG THỨC CỘNG 2ab a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) sin(= a ± b) sin a.cos b ± cos a.sin b cos(a ± b) = cos a.cos b sin a.sin b tan a ± tan b tan(a ± b) = tan a.tan b Đt : 0914449230 (zalo – facebook) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT C CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI : sin 2u = 2sin u.cos u cos 2u = cos u − sin u = cos u − = − 2sin u tan u tan 2u = − tan u D HẠ BẬC : ( công thức) − Cos 2a Sin a = ⇒ − Cos 2a = Sin a + Cos 2a Cos a = ⇒ + Cos 2a = 2Cos a E TỔNG THÀNH TÍCH : a+b a −b cos 2 a+b a −b −2sin cos a − cos b = sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a −b sin a − sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos F TÍCH THÀNH TỔNG : [cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = − [cos(α + β ) − cos(α − β )] sin α cos = β [sin(α + β ) + sin(α − β )] = β cos α sin [sin(α + β ) − sin(α − β )] cos α cos = β Đt : 0914449230 (zalo – facebook) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT G CUNG LIÊN KẾT : Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα Cos đối Sin bù Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα Phụ chéo Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα Khác π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα Sai π/ Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A CƠ BẢN : Sinu = Sinv u = v + k 2π ⇔ k∈Z u = π − v + k 2π Sinu = ⇔ u = ±v + k 2π ⇔ u = v + kπ ⇔ u = v + kπ ⇔ u = kπ ⇔ u = π / + k 2π Sinu = –1 ⇔ u = −π / + k 2π Cosu = Cosv Tanu = Tanv Cotu = Cotv Sinu = Cosu = Cosu = Cosu = – ⇔ u = π / + kπ ⇔ u = k 2π ⇔ u = π + k 2π B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin Cos Dạng ( a2 + b2 ≠ ) a.sinx + b.cosx = c 2 ☻ phương trình có nghiệm ⇔ a + b ≥ c ☻ phương trình vơ nghiệm ⇔ a + b < c Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 2 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Phương pháp : Chia hai vế cho Đặt : a a +b 2 = Cosα Ta có Sin( x + α ) = ; c a2 + b2 Tài liệu Tốn THPT a2 + b2 b a +b 2 = Sinα (*) C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/ Đối với hàm số lượng giác: Giả sử a ≠ aSin x + bSinx + c = ( đặt t = Sinx , t ≤ ) aCos x + bCosx + c = (đặt t = Cosx , t ≤ ) π ( đặt t = Tanx , x ≠ + kπ ) ( đặt t = Cotx , x ≠ kπ ) aTan x + bTanx + c = aCot x + bCotx + c = 2/ Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx Dạng: Hay aSin x + bSinxCosx + cCos x = (1) aSin x + bSin xCosx + cSinxCos x + dCos x = (2) Phương pháp : ♣ Kiểm x = π/ + kπ có phải nghiệm phương trình ? ♣ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai, bậc ba tanx 3/ Phương trình đối xứng Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = (*) Phương pháp: Đặt : t = Sinx + Cosx = Sin( x + Đt : 0914449230 (zalo – facebook) π ), t ≤ GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) t −1 (*) ⇔ at + b +c =0 ⇒ Chú ý: Dạng t Tài liệu Tốn THPT ( có) ⇒ x a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = (*) giải tương tự : π t ≤ Đặt : t = Sinx − Cosx = Sin( x − ), 1− t2 + c = ⇒ t ? ( có) ⇒ x ? (*) ⇔ at + b D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/ Tổng bình phương : • A2 + B2 + + Z2 = ⇔ A = B = = Z = • A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ Ta có : A + B + + Z = ⇔ A = B = .= Z = 2/ Đối lập : Giả sử giải phương trình A = B (*) A ≤ K B ≥ K Nếu ta chứng minh A = K (*) ⇔ B = K NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG Tam giác thường ( đònh lý) • a = b + c − 2bcCosA Hàm số Cosin Hàm số Sin b2 + c2 − a2 • CosA = 2bc a b c = = = 2R • SinA SinB SinC • a = RSinA, Trung tuyến • ma SinA = a 2R 2(b + c ) − a = Đt : 0914449230 (zalo – facebook) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) • S= Diện tích Tài liệu Tốn THPT 1 aha = bhb = chc 2 1 S = bcSinA = acSinB = abSinC • 2 • S = pr abc = S • 4R • S = p ( p − a )( p − b)( p − c) Chú ý: S A B C r = = ( p − a ) Tan = ( p − b ) Tan = ( p − c ) Tan • p 2 abc a b c R = = = = • 4S SinA SinB SinC • • • • • a, b, c : A, B, C: ha: ma: R, r : • p= cạnh tam giác góc tam giác Đường cao tương ứng với cạnh a Đường trung tuyến vẽ từ A Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác a+b+c Nữa chu vi tam giác NHỚ 15: HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC VNG • AH = BH CH AH BC = AB AC 1 = + AH AB AC • AC = CH CB ; AB = BH BC • BC = AB + AC • Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 10 A B H C GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 2/ Phương trình tiếp tuyến M(x0; y0): (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 Tài liệu Tốn THPT ( Dạng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = ( Dạng 2) 3/ Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâmI (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: (x − a) + (y − b) = R2 Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Bán kính R = d(I, ∆) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB – Bán kính R = AB Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d ∆ – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I ∈ d d(I, ∆ ) = IA – Tâm I (C) thoả mãn: – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B vng góc với ∆ – Xác định tâm I giao điểm d ∆′ – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 d(I, ∆1 )= d(I, ∆ ) IA d(I, ∆1 ) = – Tâm I (C) thoả mãn: – Bán kính R = IA Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 22 (1) (2) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT Chú ý: Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định ∆1 ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 ∆2 Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = d(∆1 , ∆ ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d d(I, ∆1 )= d(I, ∆ ) I ∈ d – Tâm I (C) thoả mãn: – Bán kính R = d(I, ∆1 ) Dạng (hay gặp) : (C) qua ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) (*) – Phương trình (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c ⇒ phương trình (C) 2 D ELIP PT tắc Lý thuyết Trục lớn, độ dài Trục nhỏ, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 23 x2 y2 + = a2 b (a > b ) Ox, 2a Oy, 2b c2 = a – b F1(– c, 0), F2( c, 0) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) Đỉnh c a a x= ± e e= Tâm sai Đường chuẩn MF1 = a + ex MF2 = a – ex x0 x y0 y + = a2 b Bán kính qua tiêu Pt tiếp tuyến M(x0 , y0) Pt hình chữ nhật sơ ûMNPQ x = ±a y = ±b A 2a2 + B 2b = C Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : • • • → → → → M ( x, y, z ) ⇔ OM = x e + y e + z e → → → → → a = (a1 , a2 , a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 Cho A( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B ) → ( xB − x A , y B − y A , z B − z A ) 1) AB = Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 24 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 2) AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 3) Tọa độ trung điểm I AB : x A + xB x = y A + yB y = z A + zB z = x A + kxB x = 1− k y A + kyB y = 1− k z A + kz B z = 1− k 4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ : • Tài liệu Tốn THPT Phép toán : → → Cho a = ( a1 , a2 , a3 ) ; b = (b1 , b2 , b3 ) a1 = b1 a= b ⇔ a2 = b2 1) a = b 3 → → → → 2) a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) → 3) m a = (ma1 , ma2 , ma3 ) →→ 4) a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 → 5) a = → a12 + a22 + a32 → 6) a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = a1b1 + a2b2 + a3b3 → → Cos a b = , 7) a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 → → a2 a3 a3 a1 a1 a2 8) Tích vô hướng hai Vectơ a , b = b b , b b , b b 3 1 Điều kiện đồng phẳng : Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 25 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT → → → a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b c = → → → → → * Diện tích tam giác ABC : S = AB , AC B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG : 1/ Phương trình tham số : x =x0 + a1t1 + b1t2 y =y0 + a2t1 + b2t2 , (t1 , t2∈ R ) z =z + a t + b t 31 → Cặp Vectơ phương (= VCP) a 2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = → (= a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) → n = ( A, B, C ) Vectơ pháp tuyến (VPT) Đặc biệt : • By + Cz + D = song song trục Ox • Cz + d = song song mặt phẳng Oxy • Ax + By + Cz = qua gốc tọa độ • By + Cz = chứa trục Ox • z=0 mặt phẳng Oxy → 3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,có VPT n = ( A, B, C ) là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 4/ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn tên trục tọa độ: x y z + + = a b c 5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = β: A2x + B2y + C2z + D2 = a/ Góc mặt phẳng : Tính công thức : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 b/ Vuông góc : α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = c/ Vò trí tương đối : • α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 26 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) A1 B1 C1 D1 α ≡ β ⇔ = = = • A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 • α // β ⇔ A = B = C ≠ D 2 2 Tài liệu Tốn THPT Với A2, B2, C2, D2 ≠ d/ Phương trình chùm mặt phẳng có dạng m( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = Với m2 + n2 ≠ α cắt β C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: x x0 + a1t = y0 a2t , t ∈ R y =+ = z z0 + a3t 1/ Phương trình tham số : → Với a = (a1 , a2 , a3 ) Vectơ phương 2/ Phương trình tổng quát : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = d : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A12 + B12 + C12 > A22 + B22 + C22 > → → d có Vectơ phương a = n1 , n2 → 3/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) x − xA y − yA z − zA = = xB − x A y B − y A z B − z A D VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1/ Hai đường thẳng : → d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a = (a1 , a2 , a3 ) → d’ qua N ( x , y , z ) có Vectơ phương b = (b1 , b2 , b3 ) ' ' ' → → → ⇔ * d, d’ nằm mặt phẳng a , b MN = Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 27 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT → → → * d chéo d’ ⇔ a , b MN ≠ * Góc d d’ : Cosϕ = a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 2/ Đường thẳng mặt phẳng : → • d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a = (a1 , a2 , a3 ) • mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp → tuyến n = ( A, B, C ) → → a.n = ⇔ * d // ( α ) Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ → → * d cắt ( α ) ⇔ a n ≠ → → a.n = ⇔ ⊂ α *d Ax0 + By0 + Cz0 + D = ⇔ a1 : a2 : a3 = A: B :C * d⊥α * Góc đường mặt phẳng : tính công thức a1 A + a2 B + a3C Sinϕ = a12 + a22 + a32 A2 + B + C E KHOẢNG CÁCH : 1/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 2/ Khoảng cách từ điểm N(x’0, y’0, z’0) đến đường thẳng d qua → M(x0, y0, z0) có VCP a = (a1 , a2 , a3 ) : → → MN , a → a Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 28 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT → → → a , b MN 3/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ : → → a , b F MẶT CẦU : Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R • (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 • x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC β d α d2 d1 β d d' α d' α d α ∩ β = d / /α / / β d / / d ⇒ d ≡ a d ⊂ β d ≡ b d1 ⊂ α d // d ' ⇒ d //(α ) d ' ⊂ (α ) d β Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng ( có) song song với đường thẳng d' α ∩ β = ⇒ d / /d ' d ⊂ β d / /α Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 29 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) β a //(α ) ⇒ a // b a ⊂ ( β ) ( β ) ∩ (α ) = b a b α Nếu α chứa a b cắt nhau, a// β , b// β α // β a α Tài liệu Tốn THPT b β a P ∩ α = P ∩ β = b ⇒ a // b α // β P α a β b a Nếu P // Q // R chúng chắn tr6n hai cát tuyến a, b đoạn thẳng tỉ lệ b A' A P C' C R B' B Q AB A' B ' = ' ' BC B C a R d P b Q Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 30 P ∩Q = d R∩P = a ⇒ a // b // d R ∩Q = b d // R GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT a ⊥ (P ) ⇒a ⊥b b ⊂ (P ) a b b, c cắt , b, c ⊂ (P ) , 10 a a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P ) b c P Nếu a//b a ⊥ α b ⊥ α Nếu a ⊥ α b ⊥ α a//b 11 α a b 12 Nếu α // β a ⊥α Nếu a ⊥α a⊥β a⊥β β α // β α a 13 b α β a α a b Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 31 Nếu a chéo b * Có mộ tvà đường vuông góc chung * Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường * Có hai mặt phẳng song song mặt chứa đường GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 14 O H A' B A α 15 b a b' Tài liệu Tốn THPT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN * Đoạn vuông góc chung OH đoạn ngắn * Hai đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OA = OA’ ⇔ HA = HA’ *Hai đoạn xiên có độ dài khác đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OB > OA ⇔ HB > HA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC a ⊂ α đường xiên b có hình chiếu vuông góc α b’ , ta có : a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' α 16 Q a b (P ) ∩ (Q ) = b ⇒ a ⊥ (P ) a ⊂ (Q ), a ⊥ b P (α ) ⊥ (P ),(β ) ⊥ (P ) (α ) ∩ (β ) = ∆ ∆ (α ) (β ) P 17 – Hình đa diện: Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 32 ⇒ ∆ ⊥ (P ) Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thoả mãn hai tính chất: GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT a) Hai đa giác phân biệt có thể: khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác – Khơng hình đa diện: 18 A C B A' C' B' Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Tên gọi thành phần: đỉnh, cạnh, mặt bên, … đặt tương ứng với hình đa diện tương ứng HÌNH LĂNG TRỤ 1/ Đònh nghóa : Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt song song gọi hai đáy cạnh không thuộc hai đáy song song 2/ Các loại : * Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy * Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Ngoài có lăng trụ xiên Hình lăng trụ tam giác Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 33 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Tốn THPT Hình lăng trụ tứ giác Hình lăng trụ lục giác Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp 3/ Sxq, STP, V : * Sxq tổng diện tích mặt bên * Sxq chu vi thiết diện thẳng nhân với độ dài cạnh bên * Sxq lăng trụ đứng hay chu vi đáy nhân độ dài cạnh bên * STP = Sxq + 2Sđáy * V = B.h B : diên tích đáy h : chiều cao Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 34 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 19 S D A B C S A D H B C Tài liệu Tốn THPT HÌNH CHÓP 1/ Đònh nghóa : Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt lại tam giác có chung đỉnh * Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên * Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy 2/ Sxq, STP, V : • Sxq hình chóp hình chóp cụt tổng diện tích tất mặt bên hình • Hình chóp : STP = Sxq + Sđáy • Hình chóp cụt : STP = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ • Hình chóp : S xq = chu vi đáy x trung đoạn • Thể tích hình chóp : V = B.h B : diện tích đáy h : chiều cao • Thể tích hình chóp cụt : = V ( h B + B ' + B.B ' ) B, B’ : diện tích hai đáy h : chiều cao Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 35 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 20 Tài liệu Tốn THPT SỰ TẠO THÀNH MẶT TRỊN XOAY Trong KG, cho mp (P) chứa đường thẳng ∆ đường (C) Khi quay (P) quanh ∆ góc 3600 điểm M (C) vạch đường tròn có tâm O thuộc ∆ nằm mp vng góc với ∆ Khi (C) tạo nên hình đgl mặt tròn xoay (C) đgl đường sinh mặt tròn xoay ∆ đgl trục mặt tròn xoay HÌNH TRỤ TRÒN XOAY 1/ Đònh nghóa : * Hình chữ nhật OO’A’A quay quanh cạnh OO’ tạo nên hình gọi hình trụ tròn xoay( hay hình trụ) _ Hai cạnh OA O’A’ vạch thành hai hình tròn gọi hai đáy _ Cạnh AA’ vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt xung quanh hình trụ _ OO’ gọi trục hay đường cao hình trụ 2/ Sxq, STP, V : • S xq = 2π Rh STP 2π R(h + R) •= • V =πR h R : bán kính h : đường cao Đt : 0914449230 (zalo – facebook) 36