DIỄN ĐÀN TOÁN THPT PHƯƠNGTRÌNHVÔTỶÔNTHI ĐẠIHỌC , Mục lục Lời nói đầu Tuyển tập toán 1.1 Từ câu đến câu 20 1.2 Từ câu 21 đến câu 40 17 1.3 Từ câu 41 đến câu 60 28 1.4 Từ câu 61 đến câu 80 38 1.5 Từ câu 81 đến câu 100 47 1.6 Từ câu 101 đến câu 120 56 1.7 Từ câu 121 đến câu 140 66 1.8 Từ câu 141 đến câu 160 76 1.9 Từ câu 161 đến câu 180 86 1.10 Từ câu 181 đến câu 200 95 1.11 Từ câu 201 đến câu 220 105 1.12 Từ câu 221 đến câu 240 115 1.13 Từ câu 241 đến câu 260 125 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 133 Bài tập tự luyện 144 Trang Chương Tuyển tập toán 1.1 Từ câu đến câu 20 ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 2x − + √ 3x − =0 − 2x2 + − x Lời giải 3 ≤x≤ 2 Có dạng phân thức thử nghĩ đến nhân liên hợp xem sao? Điều kiện − Phương trình viết lại dạng (3x − 1) 2x − + √ −3x2 + 4x − ⇔ √ − 2x2 − + x = ⇔ 2x − + − 2x2 − 2x2 + 6x − = ⇔ − 2x2 + x − =0 1−x − 2x2 = 2x2 − 6x + Nhẩm nghiệm x0 = nên ta bình phương phương trình cách bình thường    2x2 − 6x + ≥  2x2 − 6x + ≥ ⇔ ⇔ ⇔x=1  4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 =  (x − 1)2 4x2 − 16x + 22 = Đối chiếu thấy nghiệm thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Lời  giải  − 2x2 ≥ Đk:  − 2x2 = − x ⇔− ≤x≤ Nhận thấy + Nếu biến đổi tương đương ( quy đồng mẫu bình phương ta thu phương trình bậc cao, dài Trang 1.1 Từ câu đến câu 20 Vậy ta nghĩ đến cách khác) + Nếu đạt ẩn phụ, phương trình nhóm số hạng giống biểu diễn qua dẽ dàng phương án không đặt nhiều hy vọng + Do chứa mẫu có nhìn phức tạp, ta thử nghĩ đến việc nhân liên hợp để làm đơn giản mẫu, cụ thể sau (và thấy chuyễn dường dễ thở ) 3 Do − 2x2 > x − với x ∈ − ; nên ta có: 2 √ (3x − 1) − 2x2 − + x pt ⇔ − 2x = 3−√ 2x2 − x2 + 4x − (3x − 1) − 2x2 − + x ⇔ − 2x = (3x − 1) (1 − x) ⇔ 2x − 6x + = − 2x2 Đến bí, ta thử bình phương xem ( Nếu không nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II, phân tích vế thành bình phương ) Bình  phương ta được:   2x2 − 6x + ≥  2x2 − 6x + ≥ ⇔ ⇔ ⇔x=1  4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 =  (x − 1)2 4x2 − 16x + 22x = Kết hợp điều kiện toán ta có x = nghiệm phương trình ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ (2x − 5) 2x + = x+1 x−1 Lời giải Đk có nghĩa vế dấu x ≥ Khi : P t ⇔ 2x − = (2x + 3) x−1 ⇔ 104x2 − 540x + 684 = ⇔ x = 3(n)V x = ⇔ (2x − 5)2 = 4x2 − 27 57 (l) 26 Vậy Pt có nghiệm x = ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 17x + √ = 2x − 3 − 2x2 + − x Lời giải Trang Chương Tuyển tập toán Hình thức giống ta lại không nhân liên hợp nên quy đồng xem sao? Viết lại phương trình dạng 2x2 + 10x + = (2x − 3) Đặt u = − 2x2 − 2x2 ⇒ 2x2 = − u2 phương trình trở thành − u2 + 10x + = (2x − 3) u ⇔ u2 + (2x − 3) u − 10x − 10 = Coi phương trình bậc hai với ẩn u tham số x ta ∆u = (2x − 3)2 + (10x + 10) = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2 − 2x + 2x − = −2  u= Suy  Do u ≥ nên nhận nghiệm − 2x − 2x + u= = − 2x   x≤ 2 u = − 2x ⇔ − 2x = − 2x ⇔  − 2x2 = 4x2 − 20x + 25  (vô nghiệm) Vậy phương trình cho vô nghiệm ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 8x2 + 3x + 4x2 + x − Lời giải √ Pt ⇔ x+4 + 4x2 + x − √ √ x+4=4 x + + 8x2 + 2x − = 0,(1) ∆√x+4 = 4x2 + x −  √ x+4+2=0 (V N )  (1) ⇔  √ x + + 4x2 + x − = √ √ ⇔ x + − x + − 4x2 − 2x = 0, (2) ∆√x+4 = (4x + 1)2  √ x + = −2x  (2) ⇔  √ x + = 2x +  x= ⇔ ⇔ 1− √ 65  √  −3 + 57 x= Lời giải ĐK: x ≥ −4 √ √ Phương trình viết thành: 2(4x2 + x − 2) + x + (4x2 + x − 2) x + = ⇔ (4x2 + x − 2)(2 + x + 4) + x = (1) Nếu x = ta thấy không thỏa mãn pt=> x = không nghiệm Trang 1.1 Từ câu đến câu 20 √ x(4x2 + x − 2) √ Xét x = phương trình (1) tương đương với: − + x = ⇔ (4x2 + x − 2) = − + x ⇔ 2− x+4 √ √ ( x + 4)2 − x + − 4x2 − 2x = 0(2) √ 2 Đặt t = x + ≥ (2) thành:  t − t − 4x − 2x = ⇔ (t + 2x)(t + 2x − 1) = √  2x ≥ √ + 65 Với t = 2x ⇒ x + = 2x ⇔ ⇔x=  4x2 − x − =  √  1 − 2x ≥ √ − 73 Với t = − 2x ⇒ x + = − 2x ⇔ ⇒x= (TMĐK)  4x2 − 5x − = ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ √ x−3 √ =√ 2x − − x+3− x−3 Lời giải ĐK: x ≥ Phương trình cho tương đương với: x2 − − (x − 3) = √ 2x − − ⇔ x2 − − √ 2x − − (x − 4) = (1) Nhận xét: Nhận thấy pt có nghiệm x = x = ta nghĩ đến cách tạo nhân tử chung (x − 4)(x − 5) nhiên muốn tạo nhân tử thêm bớt lẻ Do ta làm sau: x2 − 2x − x+2 (1) ⇔ √ − (x − 4) = ⇔ (x − 4)( √ − 1) = √ √ 2 x − + 2x − x − + 2x − TH1: x = thỏa mãn đk toán=>x = nghiệm pt √ TH2: Quy đồng ta được: x2 − + 2x − = x + 2(2) Đêm (1) cộng (2) ta được: x2 − = x − ⇔ x2 − = x2 − 2x − ⇔ x = (TMĐK) Vậy pt có nghiệm x = 4; x = ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 6x3 + 15x2 + x + = 3x2 + 9x + x2 − x + Lời giải Đặt u = x2 − x + phương trình trở thành u2 − 3x2 + 9x + u + 6x3 + 14x2 + 2x = Coi phương trình bậc hai với ẩn u tham số x ta ∆u = 3x2 + 9x + − 6x3 + 14x2 + 2x = 3x2 + 5x + 3x2 + 9x + + 3x2 + 5x + u = = 3x2 + 7x +  Suy  3x2 + 9x + − 3x2 − 5x − u= = 2x  Trang Chương Tuyển tập toán  √  x≥0 −1 + 13 Với u = 2x ⇔ x − x + = 2x ⇔ ⇔x=  x2 − x + = 4x2   3x2 + 7x + ≥ Với u = 3x2 + 7x + ⇔ x2 − x + = 3x2 + 7x + ⇔  3x 3x3 + 14x2 + 18x + =     3x2 + 7x + ≥ x=0 √  ⇔ ⇔ +  3x + 9x + =  3x x + x = − √ √ + 13 3+ Vậy phương trình có ba nghiệm x ∈ − ; 0; − ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ √ (x − 3) + x + x − x = 2x − Lời giải ĐK: −1 ≤ x ≤ PT cho tương đương với: √ √ (x − 3)( + x − 1) + x( − x − 1) = (x − 3)x x(x − 3) ⇔√ −√ =0 1+x+1 4−x+1 x(x − 3) = 0(1) ⇔√ √ + x + = − x + 1(2) Từ (1) ta có x = x = 3 Từ (2) ta có x = Lời giải Đk −1 ≤ x ≤ √ Đặt u = x + ⇒ u2 = + x √ v=  − x ⇒ v2 = − x  u2 + v = (1) có hệ 3 u − v − 4u + 4v = 2u − (2) từ(2) (u − v) u2 + uv + v − (u − v) = (u − v) (u + v) ⇐⇒ u = v ∨ u2 + uv + v − − u − v = 0(∗) lại có (u + v)2 = + 2uv phương trình (*) thành (u + v)2 − (u + v) − = ⇐⇒ u + v = 3 u=v ⇐⇒ x = nhận u = − v (1) ta có v = ∨ v = ⇐⇒ x = ∨ x = có nghiệm x = 0, x = 3, x = Trang 1.1 Từ câu đến câu 20 ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : (x + 2) x2 − 2x + = (x − 1) x2 + 4x + Lời giải Phương trình cho tương đương với   (x + 2) (x − 1) ≥ ⇔  (x + 2)2 x2 − 2x + = (x − 1)2 x2 + 4x +   (x + 2) (x − 1) ≥ ⇔  3(x + 2)2 = 3(x − 1)2 Hệ phương trình cuối vô nghiệm Vậy phương trình vô nghiệm Lời giải Thấy thử đặt xem sao, không ngờ ngon thật thầy Đặt x2 − 2x + = a; Ta có: x2 + 4x + = b (a; b > 0) b2 − a2 + b2 − a2 − •x − = •x + = Khi phương trình cho trở thành: b2 − a2 + b2 − a2 − a= b 6 ⇔ b2 − a2 + a = b2 − a2 − b ⇔ (a + b) (a − − b) (a + − b) = •a − = b ⇔ x2 − 2x + = x2 + 4x + + x2 + 4x + = −x −    x≤2  x≤2 ⇒ ⇔  x2 + 4x + = x2 − 4x +  = 4(V L) ⇒ x2 − 2x + + = x2 + 4x +   x≥1 x2 − 2x + = x − ⇒  = 1(V L) •a + = b ⇔ ⇒ Vậy phương trình cho vô nghiệm ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ (2 2x − + x + 1)2 − 9x2 + 15 = 22x Trang 10 Chương Tuyển tập toán Lời giải Điều kiện x ≥ Cứ rút gọn phương trình xem ta gì? 2x2 + 3x − = (x + 1) √ 2x − Nhẩm nghiệm x = nên bình phươnghai vế ta   2x2 + 3x − ≥  2x2 + 3x − ≥ ⇔ ⇔x=1  2x2 + 3x − = (x + 1)2 (2x − 1)  (x − 1) 2x3 + 7x2 + 4x − = Vậy phương trình có nghiệm x = P/s: Phương trình bậc ba chứng minh vô nghiệm điều kiện đó, tắt chút bạn hoàn thiện giúp Lời giải Điều kiện: x≥ Phương trình cho tương đương: √ 2x − + x + Đặt tiếp nào! Đặt √ Ta có: = (x + 3) (9x − 5) 2x − = a (a ≥ 0) a2 + a2 + •x + = 9a2 − •9x − = •x + = Khi phương trình cho trở thành: a2 + a2 + 2a + = 2 2 ⇔ a + 4a + = a + 9a2 − 2 9a −  a=1 ⇔ −8 (a − 1) a3 + 5a + = ⇔  a3 + 5a + = √ •a = ⇔ 2x − = ⇒ 2x − = ⇒ x = •a3 + 5a + = Dễ thấy a > nên a3 + 5a + > Vậy phương trình cho có nghiệm x = Trang 10 11 1.1 Từ câu đến câu 20 ♥ Bài 10 ♥ Giải phương trình sau : √ x3 + 22x2 − 11x − (6x2 + 12x − 6) 2x − = Lời giải Điều kiện: x≥ Phương trình cho viết lại thành: √ x3 + 22x2 − 11x = (6x2 + 12x − 6) 2x − Bình phương vế lên xem Khi đó, ta được: (x − 1)2 x2 − 18x + x2 − 8x + =   x=1 x=1   √ ⇔  x2 − 18x + = ⇔  x = ± √ x2 − 8x + = x=4±2 Đối chiếu với điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm:  x=1  √  x = ± 6√2 x=4±2 Lời giải Điều kiện x ≥ Nhận thấy x0 = nghiệm phương trình nên thực nhân liên hợp ta √ x3 + 16x2 − 23x + − x2 + 2x − 2x − − = x−1 ⇔ (x − 1) x2 + 17x − − x2 + 2x − √ = 2x − +  x=1  ⇔ x2 + 2x − x2 + 17 − − √ = 0(1) 2x − + Ta giải phương trình (1) Quy đồng ta √ x2 + 17x − 2x − = 11x2 + 7x − Tiếp tục nhân liên hợp ta √ x2 + 17x − 2x − − = 10x2 − 10x  ⇔ x=1 (x − 1) x2 + 17x − √ = 10x (x − 1) ⇔  √ 2x − + 10x 2x − + = x2 + 17x − (2) Phương trình (2) tương đương với √ √ √ 5x 2x − = x2 + 12x − ⇔ x2 − 5x 2x − + 2x − = Trang 11 133 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 √ 6x + 12 √ 3x − + − 2x = √ − 2x + + 2x + Theo Bất Đẳng Thức Bunhiacopxky, ta có : √ √ ( − 2x + + 2x)2 ≤ 2(3 − 2x + + 2x) = 16 √ √ Suy : − 2x + + 2x ≤ 6x + 12 6x + 12 √ Từ đó, ta có : √ ≥ =x+2 − 2x + + 2x + √ √ 3x − + − 2x ≥ x + ⇔ 2x − + − 2x ≥ √ √ ⇔ −(3 − 2x) + − 2x − ≥ ⇔ −( − 2x − 2)2 ≥ √ ⇔ − 2x = ⇔ x = − Lời giải √ − a2 ,a ≥ 2 √ − 3a 3(3 − a2 ) + 12 √ Pt trở thành : − + 4a = , 0≤a≤2 2 a + − a2 + 2 −6a + 42 6a2 − 42 √ ⇔ −3a2 + 8a − = ⇔ a + + − a2 = 3a − 8a + a + + − a2 6a − 42 ⇔ − a − − a2 = − 3a − 8a + √ √ − a + − a2 − a − − a2 ⇔ − a − − a2 = 3a2 − 8a +  − a − − a2 =  ⇔ 3a2 − 8a + = − a + − a2  − a = − a2  ⇔ − a2 + − a2 + 2(2 + a)(3 − a) + = (V T > 0) ⇔a=2 Vậy Pt có nghiệm : x = − Đặt : a = 1.14 − 2x ⇒ x = Từ câu 261 đến câu 282 ♥ Bài 261 ♥ Giải phương trình sau : (1 + 2x) √ + 2x = √ √ + 4x + 10x Lời giải ĐK x ≥ − Ta có V T = (1 + 2x)4 ≥ Trang 133 134 Chương Tuyển tập toán 10 +)TH1: x ≥ √ √ Ta có + 2x ≥ 4x + √ + 2x ≥ 10x + √ Do VT= + 2x + 2x ≥ V P +)TH2: x2 ≤ Tương tự V T ≤ V P 1 Vậy V T = V P ⇔ x2 = ⇔ x = √ x = − √ 2 Suy x ≥ − ♥ Bài 262 ♥ Giải phương trình sau : 3x3 + x2 − 2x + = 3(x5 + x4 + 1) Lời giải Ta có : x5 + x4 + = x3 − x + x2 + x + Và : 3x3 + x2 − 2x + = x3 − x + + x2 + x + Nên phương trình trở thành : x3 − x + + x2 + x + = (x3 − x + 1) (x2 + x + 1) ⇔ ⇔ (x3 − x + 1) − (x3 − x + 1) = x2 + x + =0 x2 + x + Đến bình phương giải phương trình bậc ♥ Bài 263 ♥ Giải phương trình sau : √ x− √ x x2 + =2 x Lời giải + Điều kiện : x > √ Đặt t = x ⇒ t > nên phương trình trở thành : 2t t + = t t −1 Do V T > ⇒ V P > ⇒ t2 − > ⇒ t > 2t t + Phương trình ⇔ −2= −2 t t −1 t2 + t2 − t − t2 + t − t2 − t − ⇔ = −2 f (t) t −1 Trang 134 135 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 với f (t) = t2 t6 + t2 +2 t6 + +4 >0 t2 ⇒ t2 − t − = t2 + t2 + t − Hoặc : + = (∗) f (t) t −1 Do t > f (t) > ⇒ pt (∗) Vô nghiệm √ √ √ 3+ 3− Vậy phương trình cho ⇔ x − x − = ⇔ x = x = 2 ♥ Bài 264 ♥ Giải phương trình sau : 12 − + x2 4x2 − = 4x2 x2 Lời giải √ + Đặt t = x ⇒ điều kiện phương trình : t = x ≥ √ √ √ + Với t ≥ phương trình cho ⇔ 12t − + 4t2 − = 4t t ⇔ 4t2 + 12t − + (12t − 3) (4t2 − 3) = 16t3 ⇔ (4t2 − 3) (12t − 3) = 8t3 − 2t2 − 6t + (4t2 − 3) (12t − 3) − = 8t3 − 2t2 − 6t 12t (t − 1) (4t + 3) ⇔ = 2t (t − 1) (4t + 3) (4t2 − 3) (12t − 3) + ⇒ t (t − 1) (4t + 3) = 12 Hoặc : =2 (4t − 3) (12t − 3) + ⇔ ⇔ (4t2 − 3) (12t − 3) = ⇔ 4t2 − (12t − 3) = ⇔ t (t − 1) (4t + 3) = Vậy phương trình cho ⇔ t = x2 = ⇒ x = x = −1 ♥ Bài 265 ♥ Giải phương trình sau : √ 4x − + √ 8x − = 4x4 − 3x2 + 5x Lời giải Theo AM − GM thì: √ √ 4x − ≤ 2x; 8x − ≤ 2x ⇒ 4x4 − 3x2 + x ≤ ⇔ x(x + 1)(2x − 1)2 ≤ PT có nghiệm x = Trang 135 136 Chương Tuyển tập toán ♥ Bài 266 ♥ Giải phương trình sau : √ x+ √ x+1− x2 + x = Lời giải √ √ Đặt x = a; x + = b(a ≥ 0; b ≥ 1) Ta có hệ:  b2 − a2 =  ab = a + b b b , ta được: b2 − ( ) = ⇔ b4 − 2b3 − b2 + 2b − = ⇔ (b2 − b − 1)2 = b−1 b−1 √ √ 1+2 2+ 5+4 Dễ dàng giải b, PT có nghiệm: x = Thế a = ♥ Bài 267 ♥ Giải phương trình sau : √ x+2 √ √ x+5 = 2x + 4x − Lời giải TH1: x ≥ ĐK x ≥ Ta có V T = √ x+2 √ √ √ √ √ √ √ √ x+5 ≤ x + x + = x + ≤ 2x + = 2x + 2x + ≤ 2x + 4x − = VP ≤x≤1 Tương tự V T ≥ V P TH2: Vậy V T = V P ⇔ x = ♥ Bài 268 ♥ Giải phương trình sau : 12x2 + 16x + − 24x3 + 12x2 − 6x − x2 − x − 8x3 + 9x2 + x = Lời giải + Điều kiện : 24x3 + 12x2 − 6x ≥ 0; x2 − x ≥ 0, 8x3 + 9x2 + x ≥ + Để ý : 24x3 + 12x2 − 6x = 6x 4x2 + 2x − 8x3 + 9x2 + x = 4x2 + x (1 + 8x) Nên phương trình trở thành : 6x − ⇔ √ 6x (4x2 + 2x − 1) + 4x2 + 2x − + − 6x − 4x2 + 2x − + 4x2 − 4x − + 4x2 − 4x + 4x2 − 4x + 4x2 + 4x − (4x2 + 4x) (1 + 8x) + + 4x2 + 4x − √ + 8x =0 Trang 136 137 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 √ √ ⇒ 6x = 4x2 + 2x − 1; 4x2 − x = 1; 4x2 + 4x = + 8x √ 1+ ⇒x= √ 1+ + Đối chiếu với điều kiện ⇒ x = nghiệm phương trình ♥ Bài 269 ♥ Giải phương trình sau : x4 + x2 + = 3(x7 + x3 + x2 ) Lời giải +P t ⇔ x2 + x + x2 − x + = 3x2 (x2 + x + 1) (x3 − x2 + 1) ⇔ x2 − x + x2 + x + = 3x2 (x3 − x2 + 1), (1) √ √ x2 + x3 − x2 + +V P (1) ≤ = (x + 1) x2 − x + 2 √ 2 +Suy : V T (1) = x − x + x +x+1≤ (x + 1) x2 − x +   x ≥ −1 √ ⇔ x2 + x + ≤ (x + 1) ⇔ ⇔ x = 1, (thỏa Pt ) (x − 1)2 ≤ +Vậy :x = ♥ Bài 270 ♥ Giải phương trình sau : √ √ 32 x x + √ = 3x − x x Lời giải Điều kiện có nghiệm : x ≥ Thế Sử dụng AM − GM ta có √ √ √ 32 x x x x 32 x x+ √ = + + √ 2 x x x x √ 3x − Rõ ràng từ điều kiện thấy V T ♥ Bài 271 ♥ Giải phương trình sau : √ x ⇔ (3x − 4)2 √ x x3 ⇔ (x − 4)2 (x − 1) 0 Tức x = nghiệm PT √ √ x2 − x + x2 + x √ √ − = x2 − 1 + −x2 + x + + −x2 − x + Lời giải Đặt a = x2 − x + 2; b = x2 + x Trang 137 138 Chương Tuyển tập toán ⇒ a2 − b2 = − 2x (1) a b √ √ Và − = x2 − (2) + − a2 + − b2 a b √ √ Lấy + ta có : a2 + − b2 + = (x − 1)2 ≥ 2 1+ 4−a 1+ 4−b a b 2 √ √ ⇒a + ≥b + + − a2 + − b2 t √ Xét hàm f (t) = t2 + ≤ t ≤ hàm đồng biến + − t2 Mà f (a) ≥ f (b) ⇒ a ≥ b Lại có : a2 − b2 = − 2x ≥ ⇒ x ≤ a b √ √ Nên − = x2 − ≤ ⇒ a ≤ b 2 1+ 4−a 1+ 4−b Vậy theo đánh giá ⇒ a = b ⇒ x = ♥ Bài 272 ♥ Giải phương trình sau : x2 − 3x + = x x2 − 6x + 10 − x2 + Lời giải Xét với x = ta thấy không nghiệm pt Với x > phương trình cho tương đương với phương trình 1 x + − = + (3 − x)2 − + x x 1 ⇔ + + = (3 − x) + + (3 − x)2 x x Với x < vế phải âm vế trái đương Phương trình vô nghiệm ♥ Bài 273 ♥ Giải phương trình sau : 2x2 − 2x + + Lời giải √ + Gọi M (x; y) ; A (0; 1) ; B MB = 2x2 − 2x + √ 2x2 + 3+1 x+1 MC = 2x2 − ⇒ MA = √ 2x2 − ( − 1)x + + √ −1 ; 2 ;C √ 2x2 + ( + 1)x + = √ − −1 ; 2 3−1 x+1 + Như : M A + M B + M C ≥ T A + T B + T C với T điểm T orricelli + Để ý : ∆ABC T gốc O nên Trang 138 139 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 M A + M B + M C ≥ 3.T A = + Dấu = xảy ⇔ x = Lời giải 2x2 − 2x + = Ta có (1 − x)2 + x2 ≥ − x 2x2 − √ − x + 1+ + (2x + 1)2 = 2x2 √ + √ 3+1 x+1= 4x2 + 4x + ≥ −x 2 + x+ √ + +x 2 + x+ 2 x2 + 4x + = x + Suy V T ≥ − x + x + ≥ = V P VT =VP ⇔x=0 Vậy PT có nghiệm x = ♥ Bài 274 ♥ Giải phương trình sau : x+ √ √ 2x =3 x −4 Lời giải Điều kiện: x2 > Bình phương hai vế phương trình ta được: pt ⇔ x2 + Đặt a = 4x2 4x2 √ + = 45 x2 − x2 − x2 − ⇒ x2 = a2 + ta có a2 + 4 a2 + + = 45 a2 a ⇔ a4 + 4a3 − 37a2 + 16a + 16 = ⇔ (a − 1) (a − 4) a2 + 9a + = a2 + + ♥ Bài 275 ♥ Giải phương trình sau : √ √ x − + − x + 3x2 + 71 = 30x Lời giải + Điều kiện : x ∈ [1; 5] √ √ + Xét hàm số : f (x) = x − + − x với x ∈ [1; 5] có : √ √ 5−x−3 x−1 29 √ √ f (x) = =0⇔x= 13 x−1 5−x Trang 139 ≥ 140 Chương Tuyển tập toán √ 29 Vì f (5) = 4; f (1) = 6; f = 13 13 √ √ Nên x − + − x ≥ x ∈ [1; 5] Mặt khác : −3x2 + 30x − 71 = − (x − 5)2 ≤ Từ ⇒ x = nghiệm phương trình ♥ Bài 276 ♥ Giải phương trình sau : √ x+ √ x−3 √ √ − x − 4 x (x − 3) x−3 =3 Lời giải ĐK: x > Phương trình cho tương đương √ √ √ − x − 4 x (x − 3) = x − x − x−3 √ √ x − (x − 3) ⇐⇒ √ − 4 x (x − 3) = x − x − x−3 √ x ⇐⇒ √ − 4 x (x − 3) = x x−3 x x x ⇐⇒ −44 =2 (1) x−3 x−3 x−3 √ Đặt t = x > Phương trình (1) trở thành x−3 t4 − 4t = 2t2 ⇐⇒ t(t − 2)(t2 + 2t + 2) = ⇐⇒ t = Từ tìm nghiệm x = 16 ♥ Bài 277 ♥ Giải phương trình sau : √ x2 − x − + x = 5x2 − 4x − Lời giải Điều kiện: x ≥ Bình phương hai vế phương trình ta (x + 1) (x2 − 2x) = 2x2 − 6x − ⇔ Đặt a = 2x2 − 2x, b = (x + 1) (x2 − 2x) = x2 − 2x − (x + 1) (∗) √ x + ta có (∗) ⇔ 2a2 − 3ab − 2b2 = ⇔ (a − 2b) (2a + b) = Trang 140 141 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 Lời giải ĐK : x ≥ PT ⇔ 4x2 − 12x − − x (x − 2) (x + 1) = ⇔ x2 − 2x − x (x − 2) (x + 1) − (x + 1) = √ ⇔ x2 − 2x = x + √ ⇔ x = + 13 ♥ Bài 278 ♥ Giải phương trình sau : √ 4x + + = x2 + x3 + 7x2 + 12x + Lời giải Điều kiện:x ≥ − √ 4x + + = x2 + x3 + 7x2 + 12x + √ ⇔ (x + 2) − 4x + + x2 − + x3 + 7x2 + 12x + − (x + 2) = x2 − x2 − √ ⇔ + x2 − + =0 √ x + + 4x + (x3 + 7x2 + 12x + 6)2 + (x + 2) x3 + 7x2 + 12x + + (x + 2)2  x2 − =  1 ⇔ √ +1+ = (P T V N ) √ x + + 4x + (x3 + 7x2 + 12x + 6)2 + (x + 2) x3 + 7x2 + 12x + + (x + 2)2 ♥ Bài 279 ♥ Giải phương trình sau : √ x x + − x2 √ =1 √ x x + − x2 − x3 √ Lời giải   0≤x≤1 Điều kiện: √  x√x + − x − x = Ta có: pt ⇒ ⇒ √ √ − x2 = − x − x ⇔ √ √ x − x2 = + x − x x x (1 − x) √ 1+x+ √ x =1 Bình phương hai vế ta ⇒2 x2 + x = x2 + x + (∗) Trang 141 142 Đặt t = Chương Tuyển tập toán x2 + x t2 − 2t + = ⇔ t = Giải phương trình t = nhớ thử lại nghiệm ♥ Bài 280 ♥ Giải phương trình sau : x (x + 1) √ = −x2 + 6x − x−1 Lời giải Điều kiện x > Ta có √ x2 + x = x−1 −x + 6x − √ x2 + x ⇔ −1= x−1−1 −x + 6x − (x − 2) (2x − 1) x−2 ⇔ =√ x−1+1 −x + 6x − x=2 ⇔ 2x − 1 =√ (∗) −x + 6x − x−1+1 √ (∗) ⇒ (2x − 1) x − = −(2x − 1)2 (P T V N ) pt ⇒ ♥ Bài 281 ♥ Giải phương trình sau : −x2 + 5x − + −7x2 + 11x + + x2 − 2x + = √ 15 Lời giải + Đặt a = −x2 + 5x − ; b = −7x2 + 11x + c = 8x2 − 16x + 16 + Khi phương trình ⇔ a3 + b3 + c3 = 15 Mà : a+b+c= √ 15 ⇒ a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 (1) + Để ý : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b) (b + c) (a + c) (2) Trang 142 143 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 Từ (1) (2) ⇒ (a + b) (b + c) (a + c) = Đến chuyện coi xong ♥ Bài 282 ♥ Giải phương trình sau : √ + 2x − x2 + 2x2 = Lời giải + Điều kiện : −1 ≤ x ≤ 1 + Ta có : − x − x2 = 2 − x2 − x nên phương trình cho có dạng : − x2 − x = √ − 2x2 (∗) 1 + Điều kiện để vế phải không âm : − 2x2 ≥ ⇔ x ∈ − √ ; √ 2 Mà : − 2x2 = − x2 − x − x2 + x nên phương trình (∗) trở thành : − x2 − x = √ − x2 − x ⇒ x = √ ;x = √ 2− − x2 + x √ Trang 143 Chương Bài tập tự luyện ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 6x3 + 3x2 + 12x + + x2 + x + x2 + x + = ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 2x2 + (2x − 1) x2 + 9x + = 6x + ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : x− ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ √ x+ √ x−3= 2 1+ √ x x2 − 4x + = x + ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ √ (2x − 1) − x + (2x + 3) + x − − x2 = 3x − ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ √ √ √ √ 3x − 1(x − 2) + x( 3x − − 2) + − x + (x − x + 3)(x + x + 8) = ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : √ 23x + 22 + =√ + 3x2 x−1 2x − Trang 144 145 ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : x − 3x2 + 18x2 − = 3x ♥ Bài ♥ Giải phương trình sau : 9x2 + 12x2 + x ♥ Bài 10 ♥ Giải phương trình sau : (x + 13) 2x − 3x2 = √ √ x + + (x − 3) 3x − = 12x − ♥ Bài 11 ♥ Giải phương trình sau : √ √ √ x2 ( x + 1) + 4( x − 1) + x + = x3 + 2x2 + x + √ x−1 ♥ Bài 12 ♥ Giải phương trình sau : x2 + 2x − = x−3 x2 + 2x + x2 + 4x + ♥ Bài 13 ♥ Giải phương trình sau : x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + √ − 2x = 4x3 − 4x4 + x + ♥ Bài 14 ♥ Giải phương trình sau : x2 + x + ♥ Bài 15 ♥ Giải phương trình sau : (x + 1)3 + = (x + 1) x2 + x + √ 2x3 − 4x2 + 3x − = (5x3 − 3x4 ) − 3x ♥ Bài 16 ♥ Giải phương trình sau : x2 − + 4x + 19x2 + 50x + 40 + √ 3x + = 5x + ♥ Bài 17 ♥ Giải phương trình sau : x3 + ♥ Bài 18 ♥ Giải phương trình sau : (x2 − 1)3 = x √ 3x2 + + x − x 2+ √ 2(x2 − 1) − 3x = x + Trang 145 146 Chương Bài tập tự luyện ♥ Bài 19 ♥ Giải phương trình sau : x2 + x + + ♥ Bài 20 ♥ Giải phương trình sau : √ (x + 2) x2 − x + = − x = 3x + √ 1+x +4 ♥ Bài 21 ♥ Giải phương trình sau : √ + 2013x + √ √ − 2013x = + 2014x + √ − 2014x ♥ Bài 22 ♥ Giải phương trình sau : + x2 + 3 − x2 = + 2x2 + ♥ Bài 23 ♥ Giải phương trình sau : x3 + − = ♥ Bài 24 ♥ Giải phương trình sau : x2 + = √ √ − 3x2 2x − 2x + − √ ♥ Bài 25 ♥ Giải phương trình sau : 32 − 3x2 + x3 − 32 = x ♥ Bài 26 ♥ Giải phương trình sau : x+ x = 13 + 2x3 + 3x2 − ♥ Bài 27 ♥ Giải phương trình sau : x2 + (x + 1) x2 + 3x + = 5x + ♥ Bài 28 ♥ Giải phương trình sau : 3x2 + 4x = + x2 + x + + − 8x2 + x+1 ♥ Bài 29 ♥ Giải phương trình sau : x2 + x x2 + 3x + = + 6x2 + 3x + Trang 146 147 ♥ Bài 30 ♥ Giải phương trình sau : √ 2x + + √ x+1= x2 − 11x + 33 + √ 3x − ♥ Bài 31 ♥ Giải phương trình sau : 2x3 + x2 − ♥ Bài 32 ♥ Giải phương trình sau : x3 + x2 + (2x + 3) (x3 + x2 )2 = x3 + x2 √ √ (34 − x) x + − (x − 1) 34 − x √ √ = 30 34 − x − x + ♥ Bài 33 ♥ Giải phương trình sau : x2 + √ + 3x + √ − 3x =1 ♥ Bài 34 ♥ Giải phương trình sau : x2 − = x +1 x+1 x−1 ♥ Bài 35 ♥ Giải phương trình sau : x2 + x + x2 + −√ −2=0 x+4 x +1 Trang 147