CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng : PT tham số đường thẳng d là: qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp u   u1 ; u2 ; u3   x  x o  u1t  (d) :  y  yo  u t ; t  z  z  u t o  Chú ý: Nếu u1.u2 u3  (d) có PT tắc là: x  x o y  yo z - z   u1 u2 u3 Chú ý: Đây tốn Về ngun tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ điểm thuộc d toạ độ véc tơ phương d Dạng 2: Đường thẳng (d) qua điểm A, B Bước 1: Tìm AB Bước 2: Viết PT đường thẳng d qua điểm A nhận AB làm véc tơ phương Dạng 3: Viết PT đường thẳng (d) qua A song song với đường thẳng  B1: Tìm VTCP u  B2: Viết PT đường thẳng d qua A nhận u làm VTCP Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) qua điểm A vng góc mp() B1: Tìm VTPT () n B2: Viết PT đường thẳng d qua điểm A nhận n làm VTCP Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) qua điểm A vng góc với đường thẳng (d1),(d2) B1: Tìmcác VTCP u1 , u2 d1; d2  B2: Đường thẳng d có VTCP là: u =  u1 , u2  B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm A nhận u làm VTCP Dạng 6: Viết PT đường thẳng d giao tuyến hai mp: (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0 Cách 1: Ax  By  Cz  D  tìm nghiệm (x ; y0 ; z ) ta điểm A ' x  B' y  C'z  D'  B1: Giải hệ  M (x ; y0 ; z )  d (Cho ẩn giá trị xác định giải hệ với ẩn lại tìm ẩn lại) b c c a a b ; ; B2: Đường thẳng d có VTCP là: u    b ' c' c' a' a' b'   B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm M (x ; y0 ; z ) nhận u làm VTCP Cách 2: B1: Tìm toạ độ điểm A, B  d (Tìm nghiệm hệ 2PT trên) B2: Viết PT đường thẳng AB Cách 3: Đặt ẩn t (chẳng hạn x=t), giải hệ PT với ẩn lại theo t suy PT tham số d Dạng 7: Viết PT hình chiếu đường thẳng d mp(P) B1: Viết PTmp(Q) chứa d vng góc với mp(P) B2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)  (Q) (Chú ý: Nếu d  (P) hình chiếu d điểm H= d  (P) Dạng : Viết PT đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d2 Cách 1: B1: Viết PT mặt phẳng (  ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B= ()  d B3: Đường thẳng cần tìm đt qua điểm A, B Cách 2: B1: Viết PT mặt phẳng (  ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 B2: Viết PT mặt phẳng (  ) qua điểm A chứa đường thẳng d2 B3: Đường thẳng cần tìm d  ()  () Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 cắt hai đường thẳng d2 d3 B1: Viết PT mp(P) song song với d1 chứa d2 B2: Viết PT mp(Q) song song với d1 chứa d3 B3: Đường thẳng cần tìm d= (P)  (Q) Dạng 10: Viết PT đường thẳng d qua điểm A, vng góc đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 Cách 1: B1: Viết PT mặt phẳng (  ) qua điểm A vng góc đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B  ()  d B3 : Đường thẳng cần tìm đường thẳng qua điểm A, B Cách 2: B1: Viết PT mp (  ) qua điểm A vng góc với d1 B2: Viết PT mp () qua điểm A chứa d2 B3: Đường thẳng cần tìm d  ()  () Dạng 11 : Lập đường thẳng d qua điểm A , song song mặt phẳng (  ) cắt đường thẳng d’ Cách 1: B1: Viết PT mp(P) qua điểm A song song với mp(  ) B2: Viết PT mp(Q) qua điểm A chứa đường thẳng d’ B3: Đường thẳng cần tìm d  (P)  (Q) Cách 2: B1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A song song mặt phẳng (  ) B2: Tìm giao điểm B = (P)  d ' B3: Đường thẳng cần tìm d qua hai điểm A B Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước B1: Tìm giao điểm A  d1  (P) ; B  d  (P) B2: d đường thẳng qua hai điểm A B Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm mp( P ) vng góc đường thẳng d’ cho trước giao điểm I d’ mp( P ) B1: Tìm giao điểm I = d’  ( P ) B2: Tìm VTCP u d’ VTPT n (P) v  u, n  B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I có VTCP v Dạng 14: Viết PT đường vng góc chung d hai đường thẳng chéo d1, d2 Cách 1: B1: Tìm VTCP u1 , u d1 d2 Khi đường thẳng d có VTCP u   u1 , u  B2: Viết PT mp(P) chứa d1 có VTPT n1  u, u1  B3: Viết PT mp(Q) chứa d2 có VTPT n  u, u  B4: Đường thẳng cần tìm d  (P)  (Q) (Lúc ta cần tìm thêm điểm M thuộc d) Cách 2: B1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)  d1 ; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)  d chân đường vng góc chung d1 d2 MN.u1  MN  d1 B2: Ta có    t, t ' MN  d MN.u  B3: Thay t t’ tìm vào toạ độ M, N tìm M, N Đường thẳng cần tìm d đường thẳng qua điểm M, N (Chú ý : Cách cho ta tìm độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau) Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vng góc với mp(P) cắt hai đường thẳng d1 d2 B1: Viết PT mp(P) chứa d1 vng góc với (P) B2: Viết PT mp(Q) chứa d2 vng góc với (P) B3: Đường thẳng cần tìm d  (P)  (Q) Dạng 16: Lập đường thẳng d qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d PP giải: Đây trường hợp đặc biệt dạng 10 Các tập Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP a cho trước: a) M (1;2; 3), a  (1;3;5) b) M (0; 2;5), a  (0;1; 4) c) M (1;3; 1), a  (1;2; 1) d) M (3; 1; 3), a  (1; 2; 0) e) M (3; 2;5), a  (2; 0; 4) f) M (4;3; 2), a  (3; 0; 0) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: a) A  2; 3; 1 , B 1; 2;  b) A 1; 1; 0 , B  0;1;  c) A  3;1; 5 , B  2;1; 1 d) A  2;1; 0 , B  0;1; 2 e) A 1; 2; 7  , B 1; 2; 4 f) A  2;1; 3 , B  4; 2; 2  Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng  cho trước: a) A  3; 2; 4 ,   Ox b) A  2; 5; 3 ,  qua M(5; 3; 2), N (2;1; 2)  x   3t  x  y 5 z2   c) A(2; 5; 3),  :  y   4t d) A(4; 2; 2),  :  z   2t  x   4t  x  y 1 z    e) A(1; 3; 2),  :  y   2t f) A(5; 2; 3),  :  z  3t  Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A  2; 4; 3 , (P) : x  3y  6z  19  b) A 1; 1; 0 , (P) : mp toạ độ c) A  3; 2;1 , (P) : x  5y   d) A(2; 3; 6), ( P ) : x  3y  z  19  Bài Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: (P) : x  2y  2z   (P) : x  3y  3z   (P) : 3x  3y  4z   a)  b)  c)  ( Q ) : x  y  z   ( Q ) : x  y  z     (Q) : x  y  2z   (P) : x  y  z   (P) : x  z   (P) : x  y  z   d)  e)  f)  (Q) : x  y  z   (Q) : y   (Q) : x  z   Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x   2t x  1 t x  1 t  x   3t     a) A(1; 0; 5), d1 :  y   2t , d2 :  y   t b) A(2; 1;1), d1 :  y  2  t , d2 :  y  2  t  z   t  z   3t  z   z   t x  1 t x   x  7  3t x  1 t     c) A(1; 2; 3), d1 :  y  2  2t , d2 :  y  2  t d) A(4;1; 4), d1 :  y   2t , d2 :  y  9  2t  z   3t  z   t  z   3t  z  12  t  x   3t  x  2t x  t x  t     e) A(2; 1; 3), d1 :  y   t , d2 :  y  3  4t f) A(3;1; 4), d1 :  y   t , d2 :  y   2t  z  2  2t  z   t  z  2t  z  Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng  cho trước: x  t  x  3  2t   a) A(1; 2; 2),  :  y   t b) A(4; 2; 4), d :  y   t  z  2t  z  1  4t  x   3t x  t   c) A(2; 1; 3),  :  y   t d) A(3;1; 4),  :  y   t  z  2  2t  z  2t x  1 t x  1 t   e) A(1; 2; 3),  :  y  2  2t f) A(2; 1;1),  :  y  2  t  z   3t  z  Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x   2t x  1 t x  1 t  x   3t     a) A(1; 0; 5), d1 :  y   2t , d2 :  y   t b) A(2; 1;1), d1 :  y  2  t , d2 :  y  2  t  z   t  z   3t  z   z   t  x  1  3t  x   2t  x   3t  x  t     c) A(4; 5; 3), d1 :  y  3  2t , d2 :  y  1  3t d) A(2;1; 1), d1 :  y  2  4t , d2 :  y  t  z   t  z   5t  z  3  5t  z  2t x   t  x  4  3t  x  3  3t  x   2t     e) A(2; 3; 1), d1 :  y   2t , d2 :  y   t f) A(3; 2; 5), d1 :  y   4t , d2 :  y   t  z   3t  z  2  3t  z   2t  z   3t Bài Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: (P ) : y  2z  (P ) : x  y  2z      x   2t x   t x  1 t a)  b)     x 1 y z d :   , d : y   t d : y   t , d :   y   t 2   1    z   3t    z   t z  (P ) : x  3y  3z     x  7  3t x  1 t c)     d1 :  y   2t , d2 :  y  9  2t  z   3t  z  12  t  (P ) : 3x  3y  4z     x   t x  d)    d1 :  y  2  2t , d2 :  y  2  t  z   t   z   3t Bài 10 Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x y 1 z   x y 1 z 1  :  1   :  1    x 1 y z 1 x 1 y  z      a) d1 : b) d1 : 1   x  y  z  x  y  z d : d :        x 1 y  z   x 1 y  z   :    :  2  1   x  y  z 1 x 1 y  z     c) d1 : d) d1 :   1   x  y  z 9 d : x4 y7 z    d :     1  Bài 11 Viết phương trình tham số đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 cho trước:  x   2t  x   3t  x   2t  x  2  3t     a) d1 :  y   4t , d2 :  y   t b) d1 :  y  3  t , d2 :  y   2t  z  2  4t  z   2t  z   3t  z  4  4t  x   2t x  1 t  x   3t  x  1  2t     c) d1 :  y   t , d2 :  y   t d) d1 :  y  3  t , d2 :  y   2t  z   t  z   2t  z   2t  z   t Bài 12 Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng  mặt phẳng (P) cho trước:  x  y  z 1  x 3 y 2 z  :  :     a)  b)  1 1 ( P ) : x  y  z   ( P ) : x  y  z    x 1 y 1 z   x y z 1   c)  :   2 d)  : 2   (P ) : x  y  z   ( P ) : x  y  z    x  y  z 1  x 1 y  z  :  :     e)  f)  1 2 1 (P ) : x  y  3z   (P ) : x  y  3z    5 x  y  z    x  y  z 1   :  : g)   x  2z   h)   x  2z   (P ) : x  y  z   (P ) : x  y  z   Bài 13 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 cho trước:  x  1  x 1 y  z   , d2 :  y  t a) A(0;1;1), d1 : 1  z   t x   x 1 y 1 z   , d :  y   2t b) A(1;1;1), d1 : 1  z  1  t x 1 y  z x 1 y 1 z    , d2 :   c) A(1; 2; 3), d1 : 2 3 5 Bài 14 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: a) Chứa cạnh tứ diện tứ diện ABCD b) Đường thẳng qua C vng góc với mp(ABD) c) Đường thẳng qua A qua trọng tâm tam giác BCD x3 y 6 z 3   Bài 15 Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) hai trung tuyến: (d1 ) : , 2 x4 y2 z2 (d ) :   Viết phương trình tham số đường thẳng sau: 4 a) Chứa cạnh tam giác ABC b) Đường phân giác góc A Bài 16 Cho tam giác ABC có A(3; 1; 1), B(1; 2; 7), C (5;14; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: a) Trung tuyến AM b) Đường cao BH c) Đường phân giác BK d) Đường trung trực BC ABC Bài 17 Cho bốn điểm S(1; 2; 1), A(3; 4; 1), B(1; 4;1), C(3; 2;1) a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vng góc chung SA BC Bài 18 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 1; 3), C(1; 2; 5) a) Chứng minh S.ABC tứ diện b) Viết phương trình hình chiếu SA, SB mặt phẳng (ABC)