NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET NHỊ THỨC NEWTƠN TỪ K2PI.NET Tổng hợp bởi: HUYVINH 2013 Bài 1: S  12 C2013 22013  22 C2013 22012  32 C2013 22011   20142 C2013 Hướng dẫn : Để ý với m  k  n Ckm Cnk  Cnm Cnkmm với k  (k  1)2 Cnk  k ( k  1)Cnk  3kCnk  Cnk  2Ck2Cnk  3Ck1Cnk  Cnk  2Cn2Cnk22  3Cn1Cnk11  Cnk Từ đó: k 2011 S  2C 2013 2012 C k 0  3C 2013 2011 k C k 0 2013 k  2C2013 2011  3C2013 2012  2013  C 2012 k 0 2013 Bài 2:Tìm hệ số x khai triển: P  x(1  x)5  x (1  x)10 Hướng dẫn : Khai triển nhận xét 10 P  x(C50  xC51  x 2C52  x 3C53  16 x 4C54  32 x 5C55 )  x (C100 xC10  x 2C102  27 x 3C103   (3 x )10 C10 ) Số hạng chứa x5 x.16 x 4C54  x 27 x3C103 Hệ số cần tìm 16C54  27C103 Bài 3:Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : 2Cn0  Hướng dẫn Ta có 2 23 2n 1 n 6560 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 2k 1 k k 1 k 1 Cn  Cn 1 k 1 n 1 Cn2 Cn3 Cnn    n  Cn21 Cn1 Cn2 Cnn 1 Hướng dẫn: Cũng hay nhẹ nhàng, phù hợp thi đại học Chơi tổng quát trước áp dụng ok Điều kiện bỏ qua Cnk n !( n   k )!(k  1)! k k 1  k  n  k 1 Cn ( n  k )! k ! n ! Áp dụng ta có: (n   1)  (n   2)  ( n   3)   ( n   k )   ( n   n)      ( n  1)  n n(n  1)   Cn21 C2 C3 Cn Bài 5:Chứng minh đẳng thức: Cn1  n1  n2   n nn1  Cn21 Cn Cn Cn Hướng dẫn : Bài này, giải đơn giản phép đếm sau Giả sử ta cần chọn m cô gái để làm quen sau chọn cô m cô để "tán tỉnh", số giải pháp Cnm Cm1  mCnm Cũng với mục đích đó, ta chọn cô bé để "tán tỉnh" trước bổ xung m  cô n  cô lại Từ đó, có đẳng thức mCnm  Cn1Cnm11  m; n  ;1  m  n Lại áp dụng điều lần có Cn1Cnm11  Cn1Cnn1m  Cn1m 1Cnm 1  m; n  ;1  m  n Bài 4:Chứng minh đẳng thức: Cn1  mCnm Như m 1  Cn1m 1 , dẫn đến Cn NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA Page NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET 1 n n C2 C3 Cn C  n1  n2   n nn1   C   C Cn Cn Cn m 1 n  m 1 n  m 1 k 1 k n n 1 k Bây cần để ý C số cách chọn j :0  j  k  k {1; 2;; n} Cho nên N   C k 1 k số cách chọn cặp ( j; k ) :0  j  k  n , nói khác N số cách chọn hai phần tử phân biệt tập {0; 2;; n} , tức N  Cn21 S Bài 6:Tính Cn0 Cn1 Cn2 Cn     n n3 Hướng dẫn: n Xét khai triển : 1  x   Cn0  x.Cn1  x2 Cn2   x n Cnn (*) Nhân vế (*) cho x ta có : n x 1  x   x Cn0  x3 Cn1  x Cn2   x n  2Cnn (**) Lấy tích phân cận từ đến vế (**) ta : n S   x 1  x  dx 1 n  S   1  x  1 1  x  dx   1  x  n3 n n 2 n 1 n dx   1  x  dx   1  x  dx 0 n 1 1 1 1   n3 n2 n 1 Bài 7:Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Niu-tơn ( x  2) n , biết: An3  8Cn2  Cn1  49  n  N , n  3 Hướng dẫn : S  n   Bài 8:Tìm số hạng không chứa x khai triển P( x)   x   biết (n  1) nghiệm phương trình: x  Ax3  2C xx11  3C xx13  x2  P6  25 Hướng dẫn : Bài 9: Cho khai triển: (1  x  x  x   x10 )11  a0  a1 x  a2 x  a3 x   a110 x110 Chứng minh đẳng thức sau: C110 a0  C111 a1  C112 a2  C113 a3   C1110 a10  C1111a11  11 Hướng dẫn : Ta có: ( x  1)11 ( x10  x9   x  1)11  ( x  1)11 (a0  a1 x   a110 x110 )  (C110 x11  C111 x10   C1011 x  C1111 )(a0  a1 x   a110 x110 )  x11 (C110 a0  C111 a1   C1111a11 )  (1) Lại có: ( x  1)11 ( x10  x9   x  1)11  ( x11  1)11  C110  C111 x11  (2) Từ (1)(2) Ta có hệ số x11 khai triển C110 a0  C111 a1   C1111a11 C111  C110 a0  C11 a1   C1111a11 = C111  11(dpcm) 2x Bài 10:Cho khai triển nhị thức newton (  ) n  a0  a1 x  a2 x   an x n Biết a8 hệ số lớn 5 khai triển, Tìm n Hướng dẫn : Từ khai triển ta tính được: 1 a8  C   5 n n 8 28 2    Cn8 n ; 5 NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA Page NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET 29 ; a  C n 5n 55 2C  Cn7  a  a7 Hế số a8 max     8n  a8  a9 Cn  2Cn Giải hệ ta 11