ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Vũ Ngọc Phát PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Vũ Ngọc Phát PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án kết chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Nguyễn Trường Thanh i LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, hai người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình làm luận án Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy hướng dẫn từ bước đầu tiên, cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm để viết báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v.v Nhờ bảo Thầy, ngày tiến nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, Thầy tạo điều kiện cho giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toán học nước quốc tế, khiến cho trưởng thành môi trường nghiên cứu Nhân cách lối sống Thầy điều mà phấn đấu hoàn thiện thân Từ tận đáy lòng, xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, mong Thầy mạnh khỏe để cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục nước nhà Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến nhận xét góp ý quý báu PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh Chính nhờ bình luận góp ý Thầy mà luận án hoàn thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS.TS Đặng Đình Châu nhiệt tình cung cấp hướng dẫn kiến thức cần thiết xung quanh luận án Đồng thời, chân thành cảm ơn thầy, bạn đồng nghiệp anh chị nghiên cứu sinh Bộ môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên quan tâm, giúp đỡ, trao đổi ý kiến qúy báu cho trình học tập Trong trình học tập nghiên cứu, nhận nhiều giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng Sau đại học phòng ban chức Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Tôi xin trân trọng giúp đỡ thầy cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô, bạn đồng nghiệp, nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Tối ưu Điều khiển Viện Toán Học quan tâm, trao đổi, góp ý cho suốt trình học tập làm luận án ii Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất cho hội học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS Nguyễn Văn Ngọc, Ths Tô Văn Đinh, Ths Nguyễn Lan Hương tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Đặc biệt, thực cảm ơn sâu sắc tới người thân tôi: bố, mẹ, vợ Họ sát cánh bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để cố gắng hoàn thành luận án iii Trong trường hợp này, ta     −0.0633 0.0503 0.0595 −0.0458  , L21 =  , L11 =  0.0503 −0.0102 −0.0458 −0.0031  L12 =   L11 + L21 =  −0.1369 0.0610 0.0610    0.0726 −0.0406  , L22 =  , 0.0522 −0.0406 −0.1744 −0.0038 0.0046 0.0046 −0.0132 Các tập Ωli xác định sau  Ω11 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )   Ω21 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )     < 0, L12 + L22 =  −0.9477 0.5608 0.5608 −0.0307 0.8924 −0.5164 −0.0643 0.0204 0.0204   < −0.1222   (x1 , x2 )T < 0},   (x1 , x2 )T < 0}, −0.5164 −0.0865  −0.6918 0.2240  (x1 , x2 )T < 0}, Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  0.2240 0.1739   0.3627 −0.1725  (x1 , x2 )T < 0} Ω22 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  −0.1725 −0.5369  Hợp Ω1i Ω2i R2 \ {0} với i = 1, Các tập Ωli xác định  −0.9477 0.5608   (x1 , x2 )T < 0}, Ω21 = R2 \ Ω11 , 0.5608 −0.0307   −0.6918 0.2240  (x1 , x2 )T < 0}, Ω22 = R2 \ Ω12 Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  0.2240 0.1739 Ω11 {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  Theo Định lí 3.2.2, hệ ổn định với quy tắc bật σ(x(t)) = (l1 , l2 ) x(t) ∈ Ωl11 × Ωl22 , 101 điều khiển u11 (t) = Y11 P1−1 x1 (t) = −0.0039 −0.0009 x1 (t), u21 (t) = Y12 P1−1 x1 (t) = −0.0023 −0.0002 x1 (t), u12 (t) = Y21 P2−1 x2 (t) = −0.0010 −0.0030 x2 (t), u22 (t) = Y22 P2−1 x2 (t) = −0.0015 −0.0033 x2 (t) Hơn thế, nghiệm hệ thỏa mãn ||x(t)|| ≤ 16.1997 e−0.01t ||ϕ||C 3.3 Kết luận Chương Chương trình bày kết nghiên cứu tính ổn định toán điều khiển H∞ cho lớp hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Kết đạt sau: • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4) • Đưa điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho tồn điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch sở phát triển Định lí 3.1.4 Đây kết toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng 102 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tính ổn định toán điều khiển H∞ cho số hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi hàm trễ Những kết chứng minh luận án: • Đưa số điều kiện đủ cho tồn điều khiển H∞ tính ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến hệ quy mô lớn có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hàm trạng thái quan sát (Định lí 2.1.3 Định lí 2.2.3) Tiếp đó, áp dụng định lí nghiên cứu hệ không chắn tương ứng thu kết tương tự • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4) • Đưa điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho tồn điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch sở phát triển Định lí 3.1.4 Đây kết toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Điểm luận án so với kết có: • Hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi cận trễ khác • Hầu hết hệ nghiên cứu luận án quy mô lớn, tức hệ có cấu trúc phức tạp hình thành từ nhiều hệ • Các quy tắc chuyển mạch biểu diễn hình học cách đơn giản • Trên sở áp dụng kĩ thuật nhất, cho phép đánh giá tính ổn định với độ biến thiên trễ lớn so với kết có 103 Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tính ổn định toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân điều khiển khác như: hệ nơron hệ điều khiển kĩ thuật bền vững có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng • Nghiên cứu tính ổn định thiết kế điều khiển khác điều khiển phụ thuộc hàm quan sát cho hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng 104 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Thanh N T and Phat V N (2012), "Decentralized H∞ control for largescale interconnected nonlinear time-varying delay systems via LMI approach", Journal of Process Control, 22(7), pp 1325-1339.(SCI) [2] Thanh N T and Phat V N (2013), "H∞ control for nonlinear systems with interval non-differentiable time-varying delay", European Journal of Control, 19(3), pp 190-198.(SCI-E) [3] Thanh N T and Phat V N (2014), "Decentralized stability for switched nonlinear large-scale systems with interval time-varying delays in interconnections", Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 11, pp 22-36.(SCI-E) 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Mai Viết Thuận (2014), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân hàm ứng dụng lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học Tiếng Anh [4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans AMS., 111(2), pp 133 - 156 [5] Almi A.M., Derbel N (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer, 23, pp 48 - 52 [6] Babuke L (2008), "Decentralized control: an overview", Annual Review in Control, 32(1), pp 87 - 98 [7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 5(4), pp 681 - 691 106 [8] Boyd S., Ghaoui El, Feron E., Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, 15 SIAM, Philadelphia [9] Chen N., Ikeda M., Gui W (2005), "Design of robuts H∞ control for interconnected systems", International Journal of Control, 3(2), pp 143 - 151 [10] Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, Xin-Ping Guan (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp 2600 - 2606 [11] Chen C.Y., Lee C.H (2009), "Robuts stability of homogeneous large-scale bilinear systems with time delays and uncertainties", Journal of Process Control, 19(7), pp 1082 - 1090 [12] Changki Jeong, PooGyeon Park, Sung Hyun Kim (2012), "Improved approach to robust stability and H∞ performance analysis for systems with an interval time-varying delay", Applied Mathematics and Computation, 218(21), pp 10533 - 10541 [13] Doyle J.C (1984), Lecture Notes in Advances in Multivariable Control, ONR/Honeywell Workshop, Minneapolis [14] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A (1989), "State-space solutions to standard H2 and H∞ control problems", IEEE Trans Auto Control, AC- 34(8), pp 831 - 847 [15] Du D., Jiang B., Shi P., Karimi H.R (2013), "Fault detection for continuous-time switched systems under asynchronuos switching", International Journal of Robuts Nonlinear Control, (in press) http://dx.doi.org/10.1002/rnc.2961, published online in 18 January, 2013 [16] Francis B.A (1987), A Course in H∞ Control Theory, Springer, Berlin [17] Fridman E., Shaked U (2003), "Delay-dependent stability and H∞ control: constant and time-varying delays", International Journal of Control, 76(1), pp 48 - 60 [18] Fu Q (2009), "Decentralized H∞ control for a class of large-scale interconnected nonlinear systems with uncertainties via output feedback", Mathematica Applicata, 22(4), pp 771 - 777 107 [19] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M (1995), LMI Control Toolbox for Use with Matlab, The Math Works, Inc [20] Glover K (1984), "All optimal hankel-norm approximation of linear multivariable systems and L∞ error bounds", Int J Control, 39(6), pp 1115 1193 [21] Hardy G.H (1915), "On the mean value of the modulus of an analytic function", Proceeding of the London Mathematical Society, JFM 45.1331.03, 14(1), pp 269 - 277 [22] Hale Jack K., Sioerd M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc [23] Hien L.V., Phat V.N (2009), "Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin Institute, 346(6), pp 611 - 625 [24] Hien L.V., Phat V.N (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 3(3), pp 259 - 265 [25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp 2600 - 2606 [26] Ichikawa A (2000), "Product of non-negative operators and infinite dimentional H∞ ricatti equations", Systems and Control Letters, 41(3), pp 183 - 188 [27] Ikeda M., Sijak D.D (1980), "Decentralized stabilization of large-scale systems with time delays", Large Scale Systems, 1, pp 273 - 279 [28] Jiang X., Han Q.L (2005), "On H∞ control for linear systems with interval time-varying delay", Automatica, 41(12), pp 2099 - 2106 [29] Keulen B.V (1993), H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A State-Space Approach, Bikhauser, Bolton [30] Kharitonov V L., Hinrichsen D (2004), "Exponential estimate for time delays systems", Systems and Control Letters, 53(5), pp 395 - 405 108 [...]... LIỆU THAM KHẢO Tiếng Vi t [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định của một số lớp h phương trình vi phân và điều khiển, Luận án tiến sĩ toán h c, Đại h c Sư phạm H Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán H c, NXB Đại H c Quốc Gia H Nội [3] Mai Vi t Thuận (2014), Tính ổn định của một số lớp h phương trình vi phân h m và ứng dụng trong lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán h c,... ứng dụng trong lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán h c, Vi n H n Lâm Khoa H c và Công nghệ Vi t Nam, Vi n Toán H c Tiếng Anh [4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans AMS., 111(2), pp 133 - 156 [5] Almi A.M., Derbel N (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer,... systems with uncertainties via output feedback", Mathematica Applicata, 22(4), pp 771 - 777 107 [19] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M (1995), LMI Control Toolbox for Use with Matlab, The Math Works, Inc [20] Glover K (1984), "All optimal hankel-norm approximation of linear multivariable systems and L∞ error bounds", Int J Control, 39(6), pp 1115 1193 [21] Hardy G .H (1915), "On the mean... Applied Mathematics, 15 SIAM, Philadelphia [9] Chen N., Ikeda M., Gui W (2005), "Design of robuts H control for interconnected systems", International Journal of Control, 3(2), pp 143 - 151 [10] Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, Xin-Ping Guan (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp 2600 - 2606 [11] Chen C.Y., Lee C .H (2009),... Advances in Multivariable Control, ONR/Honeywell Workshop, Minneapolis [14] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A (1989), "State-space solutions to standard H2 and H control problems", IEEE Trans Auto Control, AC- 34(8), pp 831 - 847 [15] Du D., Jiang B., Shi P., Karimi H. R (2013), "Fault detection for continuous-time switched systems under asynchronuos switching", International Journal of... overview", Annual Review in Control, 32(1), pp 87 - 98 [7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 5(4), pp 681 - 691 106 [8] Boyd S., Ghaoui El, Feron E., Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory,... Chen C.Y., Lee C .H (2009), "Robuts stability of homogeneous large-scale bilinear systems with time delays and uncertainties", Journal of Process Control, 19(7), pp 1082 - 1090 [12] Changki Jeong, PooGyeon Park, Sung Hyun Kim (2012), "Improved approach to robust stability and H performance analysis for systems with an interval time-varying delay", Applied Mathematics and Computation, 218(21), pp 10533... Nonlinear Control, (in press) http://dx.doi.org/10.1002/rnc.2961, published online in 18 January, 2013 [16] Francis B.A (1987), A Course in H Control Theory, Springer, Berlin [17] Fridman E., Shaked U (2003), "Delay-dependent stability and H control: constant and time-varying delays", International Journal of Control, 76(1), pp 48 - 60 [18] Fu Q (2009), "Decentralized H control for a class of large-scale... value of the modulus of an analytic function", Proceeding of the London Mathematical Society, JFM 45.1331.03, 14(1), pp 269 - 277 [22] Hale Jack K., Sioerd M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc [23] Hien L.V., Phat V.N (2009), "Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin... Institute, 346(6), pp 611 - 625 [24] Hien L.V., Phat V.N (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 3(3), pp 259 - 265 [25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp 2600 - 2606 [26] Ichikawa A (2000), "Product of