Đôi nét về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực chất)

19 172 0
Đôi nét về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực chất)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

( Ngô Minh Ngọc Bảo – Sinh viên khoa Toán đại học sư phạm TP.HCM ) Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b2  c2 27abc  ab  bc  ca  a b c ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta chứng minh bất đẳng thức phụ : xy  yz  zx   3xyz x  y  z  , x,y,z Thật vậy, xy  yz  zx   3xyz x  y  z   2 1 xy  yz   yz  zx   zx  xy  ( )  2 Sử dụng bất đẳng thức phụ : 27abc  3.3abc a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  a  b2  c 11 Ta có :   2 ab  bc  ca  ab  bc  ca  ab  bc  ca  Như vậy, để quy biểu thức P hàm f ab  bc  ca  ta cần chứng minh điều sau : a  b  c  ab  bc  ca * Thật , *  a  b  c  a  b  c  a  b  c  2ab  2bc  2ca  a  b  c  a  b  c  a  b  c   * * Theo bất đẳng thức AM GM ta có : a  a  a  a  a  3 a a a  3a b  b  b  b  b  b b b  3b c  c  c  c  c  c c c  3c  VT * *  a  b  c  a  b  c  a  b  c    VP * * 3ab bc  ca 11 11 Từ suy : P     3ab bc ca   2 ab bc ca  ab bc ca ab bc  ca  Đặt t  ab  bc  ca   P  f t   3t  11 5 t Mặt khác, ta có : a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca   t  1, 4 Xét hàm số f t   3t  11 11 11 11  5, t  1, 4 f ' t    , f ' t       t   t t t Bảng biến thiên : t 11 f ' t    f t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f 4  Vậy giá trị lớn biểu thức P 39 39 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  a2 a  b c  1  b  c a  1  2bc a b c 1 a ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Cách : Theo bất đẳng thức AM GM ta có : a  b c  1  a  b   c  1  Mặt khác, ta lại có :  a2 a  b c  1 b  c a  1  2bc  a b c   a2 a b c 1 b2  c2  b  c  a b c 1 P a2 b2  c2   a  b  c    a  b  c  a b c 1 a b c 1 a b c 1   Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz :  a2  b2  c2  a  b  c  a  b  c  Đặt t  a  b  c  P  f t   Xét hàm số f t    t, t  0, 3 t 1 3   0, t  0, 3  t, t  0, 3 , f ' t    t 1 t  1 Do hàm số f t  nghịch biến 0, 3  f t   f 3   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P  Đẳng thức xảy a  b  c  Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :    a  b  c  a  b  c   a  b  c   b  c   a Theo bất đẳng thức AM GM ta có : a  b c  1  a  b   c  1  a2 a  b c  1  a2 a b c 1  b  c a  1  b  c 3 a2 P    a  a2  a  a b c 1 a b c  2 3 3 Xét tam thức bậc hai : f a   a  a  , tam thức f a  có hệ số trước a  2 nên đạt giá trị nhỏ a  Minf a   f 1   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P  Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho hàm số f x   a  x  b  c  x  ( a,b, c  R  ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x  đoạn  0,c    ( Sáng tác : Dan sitaru – Romania ) Lời giải chi tiết Xét hàm số f x   a  x  b  c  x  , x  0, c  Ta có : f ' x   x a x 2 x c   b  c  x  2 x b  c  x   x  c  a  x a  x b  c  x  f ' x    x b  x  c   c  x  a  x  x 2b  a c  x   x  2 ac a b a ac ac 1   c nghiệm x    0, c  a b a b a  b    ac    a  b   c Khi : f 0  a  b  c , f c   b  a  c , f  a  b  Mặt khác, a  a  b     ac   ac        Để biết Max   f 0, f c , f   Min   f 0, f c , f   ta xét hiệu sau :   a  b  a  b         ac  f    f c   a  b  a  b   ac  f    f 0  a  b  a  b  2  c  b  a c    2b a  a  c    c  a  b  c2  a  b  2  a  b   2 2 c b  a c 2a b  b  c 2    c a  b c  ac   ac    f c  f   Ta thấy : f  nên hàm số f x  đạt giá trị nhỏ a  b   f 0 a  b  x  ac  Minf x   a b  0,c     ac   f  a  b  a  b   c2 Như giá trị lớn hàm số f x  đạt f c  f 0 Ta lại có :    f c   f 0  b  a  c  a  b  c    Để ý thấy : a  a  c  c  b  c       2 2  a  a c  b  b c  a  b   a  c  b2  c   a  0   a  c2  c  b  c a  c  b  c2           2 2  a  a c  b  b c Nếu a  b  a  b   f c   f 0  a  b   a  c2  b2  c2        f x   f c   b  a  c Khi ta có : f c   f 0  Max   0,c      2 2  a  a b  b  b  c Nếu a  b  a  b   f c   f 0  a  b   a b  b  c        f x   f 0  a  b  c Khi ta có : f c   f 0   Max   0,c   Vậy giá trị nhỏ hàm số f x  a  b   c đạt x  ac a b Giá trị lớn hàm số f x  b  a  c đạt x  c a  b Giá trị lớn hàm số f x  a  b  c đạt x  a  b Ngoài ra, bạn đọc dùng bất đẳng thức Minkowski để tìm giá trị nhỏ hàm số f x  sau : Đẳng thức xảy : a  x  b  c  x   a  b  2  c2 a x ac   ac  ax  bx  ac  a  b  x  x  b c x a b Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   1   Tìm giá a b c a  b2  c 3a 2b 2c ab  bc  ca   abc ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết 1 ab bc ca Từ điều kiện ta có: a b c     a b cabc  ab bc ca  abc  a b c a b c Theo bấtđẳngthức Cauchy – Schwarz : a  b  c  a  b2  c2   a  b2  c 3a 2b 2c ab  bc  ca   a  b  c  a b c ab  bc  ca  2  abc  1 Mặt khác, từ điều kiện ta có : a  b  c  1     a b c  a b c a b c Ta cần chứng minh: 5a b c  8abc   5a b c  8ab bc  ca  a  b  c* Thật vậy, ta có : a  b  c   ab  bc  ca  , : *  a  b  c   a  b  c   Từ điều suy : P  9abc  a  b  c  ( điều a  b  c  )  3 abc   Đặt t  abc    t4 1 Xét hàm số : f t   9t   7, t   f ' t     t t t4 f ' t    t    t  1 Bảng biến thiên: t f ' t     f t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f 1  19 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 19 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực a, b, c thỏa mãn  a  c  b  Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b b  c c  a   a  2b  c   6a  6c ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Vì b  nên ta có : a  2b  c  a  b  c  3 a  2b  c   3 a  b  c  Mặt khác, ta có : a  c  a  b  c  a  c   a  b  c  Đến đây, rõ ràng đa phần biểu thức P f a  b  c  , ta tìm cách đưa a  b b  c c  a   f a  b  c  Thật vậy, 2 Ta có : a  b b  c c  a   a  b c  b a  c   a  c  a 2c     Theo bất đẳng thức AM  GM ta có :   6 a  c   2ac  2ac  a  c a  b  c   2   2   a  c  a c  a  c  2ac.2ac  27 27 27 a  b  c  a  b b  c c  a   a  b c  b a  c   a  b  c  a  b  c   3 P  Xét hàm số f t    a  b  c   a  b  c  Đặt t  a  b  c   t  t   t3   3t  6t,  f ' t   t  6t  6, f ' t     t    Bảng biến thiên : t f ' t  3  3   f t    Dựa vào bảng biến thiên ta có : f t   f   Vậy giá trị lớn biểu thức P Đẳng thức xảy a  1,b  0, c   Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  3a  3c  3ac 36   2b  c a  2c a  b  c2  3abc ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Các biến a,b, c đối xứng toàn biểu thức điều kiện nên dự đoán toán rơi a  b  c  Điều kiện a  b  c  suy a  b  c  định hướng ban đầu   dồn hàm f a  b  c  f a  b  c Mặt khác ta có đại lượng bậc 2b  c  hướng dồn hàm f a  b  c   a  c  ac Rõ ràng a  2c   ma  nc ( bậc chia bậc bậc ) Để kết hợp với 2b  c tạo a  b  c  m  2, n  ( Do hướng ta dồn f a  b  c  ) Hầu đưa f a  b  c  điều kiện biểu thức P Như ta xây dựng bổ đề cuối : a  b  c  3abc  k a  b  c  để toàn biểu thức P quy f a  b  c  Dễ thấy k  Trước hết ta chứng minh bổ đề xây dựng : Với a,b, c  thỏa a  b2  c  , chứng minh : a  b  c  3abc  a  b  c  Thật vậy, Trường hợp 1: a  b  c  ta có :   a  b  c  a  b  c   a  b  c   a  b  c  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b  c  a  b  c  3abc   a  b  c   a  b  c  3abc  a  b  c  a  b  c  3abc  3 2 a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c  3abc   a  b  c      Và  a  b  c     a  b  c  ab  bc  ca a b c  Như cần chứng minh a  b  c a  b  c  3  Điều hiển nhiên   3   Trường hợp 2: Nếu a  b  c  tồn số k  cho ka   kb   kc      2  Ta có : k a  b2  c2  3k 3abc  2k a  b  c  Hay k a2  b2  c2  3k 2abc  2a  b  c   Mà k  nên a  b  c  3abc  k a  b  c  3k 2abc Chứng minh hoàn tất  a  c  ac Ta có : a  2c   2a  c   P  a  b  c   a  c   ( ) 18 Đặt t  a  b  c  a b c Xét hàm số f t   2t  18 18 ,  t  0; 3 , f ' t    , f ' t    t  3 t t Bảng biến thiên : t f ' t   f t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f 3    12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 12 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  a  c b  1 abc   ab  bc  ca ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta chứng minh : a  c b  1 abc  a  b  c2  a  c  Ta có: 4ca a c  4ac  a  c    a  c   2b 2      2b a2 b2 c2 1 2b2  a c 2 a  c  4ac 1    1 a2  b2  c2  2b   a  c  2   a c a c b   abc a2 b2 c2    2  2b   a  c  a  c  b   Ta chứng minh: a  c b  1  2   b  1  2b   a  c   a  c b   b  1 3b  9b       ( ta sử dụng phép a  c   b ) Mặt khác : 12 12    ab  bc  ca  ab  bc  ca   9  a  b  c Từ suy ra: P  a  b  c   Xét hàm số f t   t  12 Đặt t  a  b  c  , 2 a b c 12 12  1, t  3,  f ' t     0, t  t 9 t  9 Do hàm số f t  đồng biến 3;   Từ suy P  f t   f 3  Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực a,b, c  0;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  12 a  b   4abc 3  a 3  b   72 a  2b  4c  ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết   Vì a,b, c  0;2 nên ta có đánh giá sau: a  8a  a a   ( ) 2b  8b  2b b   ( ) 4c  8c  4c c  2  ( )    a  2b  4c  8a  8b  8c  a  b  c   Ta có: 12 a  b   4abc 3  a 3  b  Ta chứng minh:  12 a  b   8ab 3  a 3  b   4a 4b   a b a b 9   a  b  c  1  a b  c  a b  c  Đặt t  a  b  c  1, t   P   t  Xét hàm số f t   t  f ' t  4a 4b  a b 9  P   a  b  2  1 a b c 1 a b c   P   a b   t 4t  t, t  0;2 , quy đồng bỏ mẫu ta có 3t 4t  t  3t  t  t  ( )   P  a b  72  a  2b  4c  a  b  c  t 9 , f ' t    , f ' t    t  3 t t -  f t  Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy P   f t   f 3   P  Đẳng thức xảy : a  b  0, c  Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa 1    có hai số a b c lớn Tìm giá trị lớn biểu thức : P   abc  a2  b2  c2  54   ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta chứng minh : abc   a  b  c  Trong số a,b, c phải có số lớn nhỏ 3, giả sử số a,b Khi ta có: a  3b  3   ab   a  b  Mặt khác từ giả thiết ta có : ab  bc  ca  abc Do ta có : abc   c a  b   a  b  Ta cần chứng minh : c a  b   a  b   a  b  c  Hay c  Giả sử c  a b a b  a b 1 1 a b  4  1 1 , ta có :       a b  a b c a b a b a b a b ( Vô lý ) Do bổ đề chứng minh hoàn tất 1     ab  bc  ca  abc  27 a b c Ta có : a  b  c  54  a  b  c   ab  bc  ca   54  a  b  c    2 2 a  b  c  54   a  b  c    2 2 a  b  c  54   a  b  c  Từ suy : P  9 Đặt t  a b c   P    t 2t a  b  c a  b  c  Xét hàm số : f t   9 9t  t  f ' t     , f ' t      t  t 2t t t t3 Bảng biến thiên: t f ' t     f t  Dựa vào bảng biến thiên ta có : f t   f 9  Vậy giá trị lớn biểu thức P 18 Đẳng thức xảy a  b  c  18 Bài toán 10 : Cho số thực dương a,b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  1   2 3 a b c a b b c  c a   ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết    Ta chứng minh bổ đề : a 3b  b 3c  c 3a  a  b  c  Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :     a  b  c  a 3b  b 3c  c 3a    a  2ab  bc  c  ac Điều đúng, đẳng thức xảy a  b  c hoán vị   a,b,c   sin2 47 , sin2 27 , sin2 7    Ta chứng minh : 1    a  b  c * a b c Ta có : a  b  c   a  b  c  2ab  2bc  2ca Khi *  1    ab  bc  ca   a  b  c  a b c  0 Theo bất đẳng thức AM  GM giả thiết ta có: 1 1 1    ab  bc  ca      3abc a  b  c  ab bc ca a b c      abc  abc    a  b  c   abc  P  a  b2  c2  Đặt t  a  b  c  a  b  c2 9 Xét hàm số f t   t  , t   t ' t     nên hàm số f t  đồng biến 3;   t t  f t   f 3  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán 11 : Cho số thực dương a , b , c  1;  Tìm giá trị nhỏ biểu c  3c     thức: P   2  ab   c 16a  b    ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta có: a,b  1; 3  4a  b   16a  8ab  b   16a  b   8ab  Mặt khác:   c 16a  b    8abc abc c  3c    c  3c    c  2 c  1  ( ) c c  3c  3   Từ suy : 3  Đặt  t  abc  27 P     4ab  abc a 2b 2c a 2b 2c Xét hàm số : f t    , f ' t     , f ' t    t  t t t t Đẳng thức xảy a  1, b  3, c  12 Dễ thấy giá trị lớn biểu thức Bài toán 12 : Cho số thực dương a , b thỏa mãn a  b  Chứng minh : 1 1    2 2 a b a b ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Đặt a  b   2t , với t số thực thỏa  t   Ta có : a  b2   2t 1  t a 1 1 1  t  a  t  b           a b   t 1  t a  t a b  t  a Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 1  t  b  2  2t  2  t  a  t  b 1  t  a  2t      2 a b 1t a  at  a b  bt  b  2t   2t 2 1 1 1  t a  t b  2            a b b   t a2 b2  t  a  2t2 1  t 1 t  2t Ta cần chứng minh : 1  t 1  t    2t 2 , * Thật vậy, ta có :    1  2t  1    1    *  2  1  t 1 t  1  t 1  t     t     t 1   t  2  t  2  2t  2  1   ( Luôn t  )   2 1t  t   2t    Đẳng thức xảy t   a  b  t2 t 0 Bài toán 13 : Cho số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh : 1 2    3 a b c a  b2  c2 ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Đặt a  b  c   6t , với t số thực thỏa  t   Ta có : 2 a b c   6t 1  2t a 1 1 1  2t a  2t b  2t c             a 1  2t a  2t a b c  2t  a b c   2t Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có : 1  2t  a   2t  b   2t  c   6t  2t  a  2t  b  2t  c    a b c a 1  2t  a   b 1  2t  b   c 1  2t  c   t  t  1 1 2      2 2 a b c  t  t    a b c  6t t  1 Ta cần chứng minh : 1  2t 1  t    6t 3 * , , ta có :    t 1      1  *    2t  t  1        2t    6t 4t   0 1  2t 1  t   6t  2t        2t   t  3  6t  2t  3  2    * *  1  2t 1  t   2t   6t       Ta lại có:  t   6t  2t  3    t   6t  3   Do bất đẳng thức ** Đẳng thức xảy t   a  b  c  Bạn đọc thử tổng quát cho lớp toán 12 13 Bài toán 14 : Cho số thực dương a1, a , an n  n 3  Chứng minh :    6n  ak  7n  k 1 ak  k 1 ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Theo bất đẳng thức AM  GM ta có : n  k 1 ak  n  k 1 ak ak n   3n n  2 1     ak  1 k 1 ak  k 1 a k  k 1  n  2 ak n n  n 3  n 3       6n  ak     3n   39n  k 1 ak   k 1 ak  k 1 k 1 ak n  n 3  Ta cần chứng minh    3n   9n  7n , thật vậy, biến đổi ta có :  k 1 ak  k 1 ak n  n 3  n 2  n  3        ( )   n  n  n   n  n   a  a    k 1 k   k 1 ak   k 1 ak  k 1 k Bài toán 15 : Cho số thực không âm a1, a , , a n n  2 n    n   Chứng minh :  x k      n  2n   k 1   k 1 x k    n  1  n  ak2  n  n n  1t k 1  xk2 k 1 1i  j n Lời giải chi tiết Đặt n với t số thực thỏa :  t  xi x j  n 2  n  Ta có :  aiaj  ai  ai2   n2 n n n 1 t2  n n 1 t2 i 1  i 1  11j n   n Bất đẳng thức cho , chuẩn hóa :  ak  n i 1 Trường hợp : t  n n n.n  n    n2 Ta có : LHS   ak     n   n   a a k 1  k 1  k  k 1 k  ak k 1 n n  1  ak2 Và RHS  n  2n    2 k 1 1i  j n  n  2n   aia j n  1 n n n Trường hợp : Nếu  t  n  n  1 t  a 1 n k    a  n 1 t  ak  n  1t   k 1 k 1 k n Ta có : Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : n  n  1 t  ak k 1 ak   n a k 1 k   n  2   n  n n  1t   ak    k 1 n n n k 1 k 1 k 1  ak  n  1 t  ak   n n  1t   1  n  1t  1  t  Ta cần chứng minh :  n  n  1t n nt  2t  1   1  n  1 t  1  t     n n  1t ak2 1t n nt  2t  1 1  n  1 t  1  t    n 2t  2nt  n  t2 * *  n  LHS  n  RHS * *  n nt  2t  1  n  1t  nt  2t  n 1t    n t  1nt  2t  1  nt  2t  n  n  1t 2 2 3   n t  n t  2nt  nt  n  n t  3nt  2t  nt  2t  n 2t  nt  n   n     3n  2t t  1   t n  1n  2t  1  !  n  3n  t  n  3n  t  2 Đẳng thức xảy t   x  x  x   x n Tobe continue Hi vọng tài liệu nhỏ giúp bạn đọc thấy bất đẳng thức thú vị ! Một số không rõ nguồn đâu nên k đề cập đến tên tác giả , lời giải thân giải nên có sai xót mong bạn đọc góp ý theo địa : Facebook : Ngô Minh Ngọc Bảo Gmail : ngocbaosphcm@gmail.com

Ngày đăng: 27/08/2016, 18:50

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan